Les facteurs démographiques comme déterminants des soldes extérieurs

Les facteurs démographiques comme déterminants

des soldes extérieurs

Mémoire

James Wabenga Yango

Maîtrise en économique

Maître ès arts (M.A.)

Québec, Canada

Résumé

Ce mémoire développe un modèle d’équilibre général dynamique pour analyser les impacts des facteurs démographiques sur les soldes extérieurs des pays. Le modèle de Gertler [1999] est gé-néralisé à une économie internationale regroupant deux zones économiques, l’une représentant les pays du Nord, développés et dont la population est vieillissante, et l’autre regroupant les pays du Sud, en développement et ayant une population jeune. Les résultats des simulations ré-vèlent que le taux d’épargne d’un pays dépend de la structure d’âge de sa population. Les pays du Sud ont un taux d’épargne élevé alors que les pays du Nord ont un faible taux d’épargne. En conséquence, le modèle prédit des soldes externes excédentaires couplés à l’endettement pour les pays du Sud et des soldes externes déficitaires pour les pays du Nord.

Abstract

This thesis develops a dynamic general equilibrium model to analyze the impacts of the demo-graphic factors on the external balance of countries. The model of Gertler [1999] is generalized in an international economy including two economic zones, the first one representing the de-veloped countries, with an ageing population, and the other one including the developing countries, having a young population. The results of the simulations reveal that the rate of savings of a country depends on the structure of age of his population. The developing coun-tries have a high rate of savings while developed councoun-tries have a low rate of savings. As a consequence, the model predicts that developing countries have an external balance surplus coupled with the debts and developed countries have an external balance deficit.

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures xi

Avant-propos xv

Introduction 1

1 Revue de la littérature. 5

2 Modèle 11

2.1 Description sommaire du modèle. . . 11

2.2 Choix intratemporels des agents. . . 12

2.3 Les choix intertemporels des agents. . . 14

2.4 Problème de la firme. . . 21

2.5 Dynamique de la population. . . 23

2.6 Agrégation des choix individuels. . . 25

2.7 Modèle international en unités efficaces. . . 30

3 Équilibre stationnaire et résultats quantitatifs 31 3.1 Équilibre stationnaire . . . 31

3.2 Calibrage des paramètres . . . 33

3.3 Résultats quantitatifs . . . 37

4 Sentier dynamique des variables. 45 4.1 Choc démographique : boom des naissances dans le Sud (+ 1,06%) . . . 45

4.2 Choc de productivité dans l’économie du Nord (+5% ) . . . 52

Conclusion 59

Bibliographie 63

A.1 Modèle en unités efficaces pour l’économie locale . . . 67

A.2 Modèle en unités efficaces pour l’économie étrangère . . . 69

B Résultats quantitatifs de l’état stationnaire 71

B.1 Baisse de l’espérance de vie à la retraite dans le Sud . . . 72

B.2 Baisse de la période d’activité au Nord . . . 73

C Dynamique transitoire 75

C.1 Fonctions de réponse : choc démographique . . . 75

C.2 Fonctions de réponse : choc de productivité . . . 79

Liste des tableaux

0.1 Distribution de la population mondiale . . . 2

3.1 Valeurs des paramètres pour le scénario symétrique (benchmark) . . . 35

3.2 Réduction de l’espérance de vie à la retraite au Sud . . . 35

3.3 Réduction de la période d’activité d’un an et augmentation de la longueur de la retraite d’un an sans réduction de l’espérance de vie au Nord . . . 36

3.4 Baisse de l’espérance de vie à la retraite dans le Sud . . . 39

3.5 Baisse de la période d’activité dans le Nord . . . 43

B.1 Baisse de l’espérance de vie à la retraite dans le Sud . . . 72

Liste des figures

0.1 Croissance démographique . . . 2

0.2 Distribution et croissance de population âgée- World Population ageing 2013 . 3 0.3 Pyramides des âges . . . 3

0.4 Distribution de la population âgée- World Population ageing 2013 . . . 4

2.1 Description schématique du modèle international . . . 11

4.1 Effets sur le capital, la richesse et les facteurs démographiques . . . 46

4.2 Emploi et loisir . . . 47

4.3 Soldes extérieurs, investissement et richesse financière . . . 48

4.4 Q de Tobin et richesses humaines . . . 50

4.5 Dépenses de consommation, prix et de richesse totale des agents . . . 51

4.6 Productivité, capital et richesses . . . 53

4.7 Emploi et loisir . . . 54

4.8 Dépenses de consommation, prix et de richesse totale des agents . . . 55

4.9 Soldes extérieurs, investissement et richesse financière . . . 56

4.10 Q de Tobin et richesses humaines . . . 57

C.1 Productivité, capital et croissance démographique . . . 76

C.2 Production, prix et consommation . . . 77

C.3 Consommation, richesse financière et emploi . . . 78

C.4 Production, prix et consommation . . . 80

C.5 Consommation, richesse financière et emploi . . . 81

The whole of science is nothing more than the refinement of everyday thinking.

Avant-propos

J’aurais voulu avoir les talents d’un poète ou d’un écrivain pour écrire une belle page de re-merciements à celles et ceux qui ont permis l’aboutissement de cette étude. Malheureusement, je n’ai aucun de ces talents, mais que chacun trouve dans la simplicité de ces quelques mots toute ma gratitude.

Pour ce, je remercie sincèrement mon directeur, Professeur Benoît Carmichael qui a bien voulu diriger ce mémoire. Sa rigueur, son sérieux, ses encouragements, ses idées novatrices encourageant la créativité et la confiance de soi, sa confiance à mes capacités intellectuelles et ses remarques pertinentes m’ont été d’un apport inestimable.

Mes remerciements s’adressent également à mon codirecteur, Professeur Kevin Moran. Son exigence pour les travaux bien faits et ses encouragements m’ont permis d’éviter certaines erreurs et de pousser mon raisonnement et mes investigations plus loin afin d’approfondir mes analyses.

J’exprime ma reconnaissance au Professeur Bernard Decaluwe avec qui j’ai eu des échanges au cours de mes études au département d’économique. Ses précieux conseils m’ont permis de mettre à jour mes connaissances sur les questions d’économie internationale.

Dans un registre plus personnel, je voudrais remercier mes parents qui ont dû supporter mon asociabilité pendant ces années d’études et qui ont su m’accorder toute l’attention nécessaire. Ils m’ont encouragé à accomplir ce travail de recherche. Je remercie particulièrement mon grand frère Monsieur l’Abbé Léonard Kamalebo Bulambo, Herphil Kamalebo Yango et Ornella Mbombo.

Je suis reconnaissant envers tous ceux qui ont, par une remarque constructive ou une attention particulière, contribué à la réalisation de ce mémoire.

Introduction

La détermination des soldes extérieurs demeure une grande préoccupation en macroéconomie. La littérature économique identifie généralement le taux de change, la politique monétaire et la politique fiscale comme étant les principaux déterminants du solde externe d’une économie ; les facteurs démographiques étant, pour l’essentiel, absents de ces analyses. Le monde actuel connait cependant une transition démographique importante caractérisée par des changements substantiels de la structure de l’âge de la population. Cette transition démographique risque d’influencer profondément les décisions d’épargne et d’investissement des nations et d’avoir, en conséquence, un effet important sur la répartition internationale des soldes extérieurs. C’est cet effet que ce mémoire cherche à évaluer.

Les statistiques démographiques (2013)1 montrent que 82.5% de la population mondiale vit

dans le Sud (pays en développement et pays les moins avancés) alors que 17,5% réside dans ceux du Nord (pays développés). Les projections démographiques de la division de la population montrent que la population des pays du Sud grimpera à 86,4% de la population mondiale d’ici 2050 tandis que celle du Nord tombera à 13,6% de la population mondiale et que cette tendance restera inchangée jusqu’en 2100. On peut donc prévoir que les pays développés auront un effectif moins élevé d’agents travailleurs que le Sud (Table 0.1). Les différences démographiques observées entre pays sont provoquées en grande partie par la disparité de la croissance démographique (c’est-à-dire la disparité de la fécondité et de l’espérance de vie à

la naissance) (Figure 0.1, (Figure 0.2)2 et (Figure 0.4)3).

Selon la théorie du cycle de vie, la consommation d’un agent économique dépend de l’ensemble de ses revenus gagnés sur un horizon de vie. Dans la mesure où les revenus des agents varient avec l’âge, on peut raisonnablement s’attendre à ce que l’épargne agrégée d’une économie dépende de sa structure démographique. Les économies ayant un effectif élevé d’agents actifs auront vraisemblablement tendance à épargner plus et consommer moins tandis que celles qui ont un effectif important d’agents retraités épargneront moins et consommeront plus. Ceci peut-il contribuer à expliquer les écarts d’épargne et d’investissement au niveau mondial ? La

1. Population Division of the Department of the United Nations Secretariat (2013),World Population Pros-pects the 2012 Revision Highlights and advance Tables, p.2.

2. http ://www.un.org/en/development/desa/population/publications/pdf/ageing/WorldPopulationAgeing2013.pdf 3. http ://www.answers.com/topic/population-pyramid

contraction de l’épargne dans les économies du Nord, conduira-t-elle à l’apparition d’un solde négatif des comptes extérieurs dans le Nord avec un effet contraire dans le Sud ? C’est ce que ce mémoire tâchera d’analyser.

Table 0.1: Distribution de la population mondiale

Figure 0.1: Croissance démographique

Figure 0.2: Distribution et croissance de population âgée- World Population ageing 2013

Figure 0.3: Pyramides des âges

Par ailleurs, les pyramides des âges représentées par la Figure 0.2, ci-dessous, illustrent les grandes disparités démographiques au niveau international. Nous remarquons que les pays africains ont une population en majorité jeune contrairement aux pays de l’Europe qui ont une population vieillissante.

Figure 0.4: Distribution de la population âgée- World Population ageing 2013

En effet, les pays dont la population vieillit peuvent se trouver dans deux situations diamé-tralement opposées : s’ils ont accumulé des actifs extérieurs, grâce à des excédents courants réguliers, ils disposent alors d’une possibilité de supplément de revenu permettant de finan-cer une consommation plus importante. S’ils ne disposent pas d’actifs extérieurs, ils doivent réduire la demande intérieure ou accepter de s’endetter à l’étranger.

Dans ce mémoire, nous construisons un modèle dynamique d’équilibre général à deux pays qui donne un rôle important à la structure démographique. Ce modèle est à même de simuler l’effet probable des changements démographiques prévus.

Hormis l’introduction et la conclusion générale, ce mémoire comprend quatre chapitres. Le premier chapitre présente une revue de la littérature théorique et empirique, afin de rappeler les résultats de quelques travaux antérieurs ayant jeté les jalons de l’analyse de cette problé-matique. Ensuite, le deuxième chapitre présentera le modèle théorique utilisé dans ce travail. Le troisième chapitre présente l’équilibre stationnaire du modèle, la calibration et les résultats quantitatifs de l’équilibre de long terme. En fin, le quatrième chapitre présente la dynamique transitoire.

Chapitre 1

Revue de la littérature.

Il existe une vaste littérature sur les déterminants des soldes extérieurs des pays développés. La plupart de ces travaux mettant l’accent sur les effets de la technologie, des flux des ca-pitaux, du taux de change, de la politique monétaire ou de la politique fiscale sur les soldes extérieurs. Toutefois, rares sont les travaux qui prennent en compte l’importance des facteurs démographiques comme déterminants des soldes extérieurs.

Cette quasi absence des facteurs démographiques est surprenante puisque la théorie du cycle de vie de Modigliani and Brumberg [1954] associe les différences d’épargne aux variables démographiques. Ces auteurs proposent une vision macroéconomique découlant de la logique microéconomique des choix intertemporels du consommateur. Celui-ci est censé répartir ses dépenses entre les périodes de manière optimale, en tenant compte du fait que ses revenus varient au cours de sa vie. Il peut emprunter lorsqu’il est jeune, rembourser et épargner lors de sa phase d’activité et utiliser cette épargne pour sa retraite. Sur le plan empirique, Modigliani-Brumberg trouvent une relation entre l’épargne privée et l’âge de la population pour les données en coupes transversales, confirmant les prédictions du cycle de vie. Au niveau macroéconomique, des travaux ont identifié le même genre de corrélation à l’échelle agrégée. Les travaux de Modigliani [1970], Graham [1987] et Masson and al [1996] montrent que les pays avec une grande proportion d’agents retraités ont tendance à avoir des taux d’épargne bas.

C’est dans cette logique que Blanchard [1985] propose son modèle à générations imbriquées dit de "jeunesse perpétuelle". Blanchard suppose que les agents font tous face à une probabilité constante de décès, peu importe leur âge. Ce risque de longévité influence l’équilibre macroéco-nomique par le truchement de la propension marginale à consommer, qui dépend positivement de la probabilité de décès. Malgré que le modèle de Blanchard permette d’analyser certains aspects de l’effet de l’espérance de vie sur l’équilibre macroéconomique, il n’est pas en mesure d’intégrer toutes les étapes du cycle de vie des ménages.

cycle de vie des agents économiques. Gertler fait l’hypothèse que la population est répartie en deux groupes distincts : les travailleurs (agents actifs) et les retraités. À chaque période, les travailleurs font face à une probabilité constante de devenir retraités alors que les retraités font face à une probabilité constante de décéder : ces deux probabilités sont indépendantes de l’âge des agents. En général, le risque de longévité et la transition vers la retraite compliquent grandement le calcul des décisions individuelles, notamment la fonction de consommation. Pour contourner ces problèmes méthodologiques, Gertler fait deux hypothèses clés. Premièrement, il suppose que les préférences des agents sont de la forme proposée par Farmer [1990]. Ces préférences ont comme caractéristique principale la neutralité des agents actifs à l’égard du risque de perte de revenu engendré par la transition aléatoire vers la retraite. En conséquence, les décisions de consommation des agents actifs dépendent uniquement du revenu espéré sur l’horizon de vie. Deuxièmement, pour neutraliser le risque de longévité, Gertler suppose que les retraités participent à une mutuelle qui redistribue aux retraités vivants les actifs des retraités décédés. Ces deux hypothèses permettent de résoudre analytiquement le problème de consommation des agents actifs et retraités, pavant la voie vers une fonction de consommation agrégée.

Ferrero [2010] propose une version internationale du modèle de Gertler, afin d’analyser les déterminants des déficits du solde extérieur des Étas-Unis envers les pays du G6. Cette étude cherchait donc à comprendre les facteurs influençant les soldes extérieurs entre deux régions relativement comparables et ayant les mêmes caractéristiques démographiques. Le modèle de Ferrero permet d’étudier séparément les effets de l’espérance de vie et la croissance de la population dans les deux régions sur leurs balances commerciales. L’analyse quantitative met en évidence le rôle prépondérant de l’espérance de vie sur les décisions de consommation-épargne. Les pays où les individus vivent en moyenne longtemps (G6) sont associés à des taux d’épargne élevés et affichent un excédent commercial. La conclusion de Ferrero [2010] est que les soldes extérieurs des États-Unis par rapport aux pays du G6 sont principalement une manifestation des différences de la croissance démographique et de la productivité entre les deux régions.

D’autres études s’intéressent également à l’effet des facteurs démographiques sur les agrégats macroéconomiques. Backus et al. [2013] étudient les effets de la démographie sur les fluctua-tions internationales dans les flux des capitaux, à l’aide d’un modèle à générafluctua-tions imbriquées avec une durée de vie incertaine. Ils explorent notamment l’impact de l’amélioration de l’es-pérance de vie à la naissance causée par la réduction de la mortalité des adultes. Ils trouvent que la réduction de la mortalité affecte l’accumulation des actifs agrégés de deux manières : en changeant l’épargne des ménages, et en changeant la distribution de l’âge de la population. Ils montrent également que, dans une économie ouverte, les facteurs démographiques peuvent produire des flux de capitaux persistants.

Baxter [1995] montre que l’accumulation du capital et les mouvements des capitaux sont au

coeur de l’analyse du commerce international et des cycles réels. Baxter [1995] montre que les écarts de croissance de la productivité sont incapables à eux seuls d’expliquer l’ampleur du solde extérieur des États-Unis à l’égard du G6. En particulier, les fluctuations dans les exportations nettes et les soldes extérieurs sont dominées par le commerce des biens d’équi-pement. Baxter développe un modèle international à deux pays dans lequel l’accumulation du capital et les mouvements des capitaux jouent un rôle central. Le travail explore la dynamique du modèle en analysant un choc de productivité et un choc fiscal et trouve que les chocs se transmettent entre les deux économies (économie locale et économie étrangère). Il trouve en outre que le modèle capte les effets saillants du cycle économique international. Néanmoins, Baxter souligne que le modèle a une limite celle des co mouvements entre l’offre de travail et l’investissement. Cette limite suggère que l’inclusion des facteurs démographiques pourrait aider le modèle à reproduire ces co mouvements.

Baxter and Crucini [1994] montrent que les marchés financiers sont importants pour la trans-mission des chocs dans le cycle économique international, en permettant aux individus de lisser leur consommation lors que ceux-ci sont affectés par des chocs idiosyncratiques. Les auteurs développent un modèle à deux pays et montrent que le degré d’intégration financière est au cœur de la transmission internationale des cycles économiques partiellement lorsque les chocs sont très persistants ou ne sont pas transmis à l’échelle internationale.

Alfaro et al. [2011] décomposent les flux des capitaux internationaux en composantes publiques et privées afin d’étudier leur relation avec la croissance de la productivité. Cette expérience ré-vèle que les flux des capitaux internationaux sont principalement influencés par les décisions du gouvernement. Ils montrent que les flux internationaux des capitaux nets de la dette publique sont en corrélation positive avec la croissance et répartis selon les prédictions néoclassiques. En outre, les flux internationaux des capitaux nets, dont la plupart sont comptabilisés comme une dette, sont également positivement corrélés avec la croissance de la productivité compa-tible avec les prédictions du modèle néoclassique. Finalement, les flux de la dette publique ne sont corrélés négativement avec la croissance que si la dette publique est financée par le gouvernement et non par des prêteurs privés. Selon leurs conclusions, l’absence des flux des capitaux publics dans l’analyse des soldes extérieurs est une lacune de la littérature récente. Certains auteurs vérifient la contribution des facteurs démographiques sur les autres variables macroéconomiques. C’est le cas de Lane and Milesi-Ferretti [2001] qui montrent à partir des données empiriques des Etats-Unis et des pays du G6 que le niveau de la dette extérieure dans les pays industrialisés dépend de la production par habitant, des indicateurs de la dette publique mais également des indicateurs démographiques.

C’est dans le même objectif d’étudier les déterminants des soldes extérieurs que Borsch-Supan et al. [2006] et Floden [2003] ont résolu un modèle d’équilibre à générations imbriquées multi-régional pour étudier si les effets des divergences des tendances démographiques observées

peuvent expliquer l’évolution à basse fréquence dans la mobilité internationale des capitaux au cours des 50 dernières années et de prédire l’avenir de ces mouvements. Ils ont trouvé des effets quantitativement importants des variables démographiques sur les soldes extérieurs. Chen et al. [2009] montrent que les changements dans le compte courant des États-Unis sont affectés par les différences de productivité dans le temps. La baisse dans le compte courant est expliquée par l’augmentation de la productivité multifactorielle sur le commerce. La croissance de la population ou la politique fiscale n’ont pas d’effets significatifs sur le changement des soldes du compte courant des États-Unis. il arrivent donc à une conclusion similaire à celle de Baxter [1995]. La principale différence est que, dans leur travail, les variations dans le temps d’amortissement et les taux d’imposition représentent la fraction des soldes extérieurs inexpliquée par les écarts de croissance de la productivité.

C’est dans cette perspective que Miles [1999] montre que les changements dramatiques de la démographie des pays développés de l’Europe pourraient avoir des effets sur le comportement de l’épargne des agents économiques, mais estime que ces effets ne sont pas les mêmes dans tous les pays. Il utilise un modèle d’équilibre général dynamique stochastique pour simuler les impacts de la reforme des systèmes de pension. Pour corriger les limites du modèle de Obstfeld [1996], il explique le fait que les modèles à générations imbriquées soient basés sur l’hypothèse du comportement prospectif dans un environnement où la productivité de travail a la forme de bosse ne donne pas des bons résultats et puis il développe un modèle d’équilibre général et utilise des projections du changement démographique pour capter les effets des facteurs démographiques. Il a en plus utilisé le modèle calibré pour effectuer des simulations sur les impacts du changement de la structure des pensions de retraite et des taux de taxe.

Behrman et al. [1999] analysent la relation entre la structure démographique et les agrégats macroéconomiques en Amérique latine. Les résultats suggèrent que les variables considérées suivent les tendances liées à l’âge, que les modèles diffèrent selon les régions, et qu’ils diffèrent avec les différentes politiques liées à l’ouverture commerciale. Apparemment les régions telles que l’Asie de l’Est ont été en mesure de profiter de cette opportunité démographique au cours des dernières décennies. Cependant, dans d’autres régions, comme l’Amérique latine et les Caraïbes qui sont au point de vivre les plus grands changements de la structure par âge dans les prochaines décennies ; la création d’un environnement économique adéquat pour traduire l’occasion dans le niveau de vie de sa population est importante.

Higgins and Williamson [1996] ont analysé la relation entre la structure démographique et les agrégats macroéconomiques pour l’Asie du Sud. Les résultats de cette étude sont basés sur l’estimation des séries temporelles de l’épargne agrégée et de l’output sur les indicateurs démographiques. Cependant, ces résultats varient selon les pays et les périodes, mais ils ont trouvé que le changement des facteurs démographiques au cours des trente dernières années est du à l’accélération des revenus par tête autour de 1% par an pour l’Asie du Sud.

Bloom and Canning [2003] ajoutent la santé et la longévité à un modèle standard de l’épargne sur le cycle de vie et montrent que, sous des hypothèses plausibles, l’augmentation de l’espé-rance de vie conduit à des taux d’épargne plus élevés à tous les âges, même si la retraite est endogène. Dans une population stationnaire ces taux d’épargne plus élevés sont compensés par l’augmentation du ratio de la dépendance des personnes âgées, mais au cours de la phase de déséquilibre, quand la longévité augmente, l’effet sur les taux d’épargne agrégés peut être considérable.

Higgins [1998] analyse la relation entre la distribution de l’âge, l’épargne et le solde du compte courant. Il met en exergue la hausse de l’effectif des jeunes et du ratio de la dépendance des personnes âgées avec l’épargne et l’investissement et montre le rôle de la démographie dans la détermination du solde externe. L’estimation des facteurs démographiques sur le solde externe excède 6% du PIB pour les trois dernières décennies pour un nombre de pays.

Persuadés de l’importance des facteurs démographiques, Attanassio et al. [2006] quantifient l’impact de la transition démographique observée sur les agrégats macroéconomiques (les prix, le taux d’épargne et la croissance économique) et le bien-être intergénérationnel dans les pays en développement. Ils développent un modèle à générations imbriquées à deux régions, le modèle est calibré sur les pays du Nord (pays développés) et les pays du Sud (pays en développement). Ils arrivent au résultat selon lequel la tendance démographique des pays en développement dépend du degré de mobilité des capitaux internationaux et celle des pays du Nord dépend du système pay-as-you-go mis en place.

Chapitre 2

Modèle

2.1

Description sommaire du modèle.

Pour analyser les impacts de la démographie sur les soldes externes, nous développons une version à deux pays du modèle de Gertler [1999]. La structure du modèle est présentée à la Figure 2.1. Chaque pays est peuplé d’agents actifs, d’agents retraités et de firmes. Les agents actifs et retraités font un choix consommation-épargne et consommation-loisir de manière à maximiser l’utilité sur leur horizon de vie. Les agents actifs font face à chaque période à une probabilité constante ω de demeurer actif à la période suivante, et donc à une probabilité constante 1 − ω de devenir retraité. Les agents retraités font des choix similaires, en tenant compte du fait que leur travail est moins productif et donc moins rémunéré que celui des agents actifs. Les agents retraités font face à une probabilité constante γ de survivre à la fin de chaque période, et donc à une probabilité 1 − γ de décéder à chaque période.

En général, les risques de longévité et de transition vers la retraite compliquent grandement le calcul des décisions individuelles, notamment la fonction de consommation. Pour contourner ce problème méthodologique, nous adoptons la démarche de Gertler qui fait deux hypothèses clés. Premièrement, nous supposons que les préférences des agents sont de la forme proposée par Farmer [1990]. Ces préférences ont comme caractéristique principale la neutralité au risque pour les agents actifs faisant face à une perte de revenu potentielle engendrée par la transition vers la retraite. En conséquence, les décisions de consommation des agents actifs dépendent uniquement du revenu espéré sur l’horizon de vie. Deuxièmement, pour neutraliser le risque de longévité, nous supposons que les retraités participent à une mutuelle qui redistribue aux retraités vivants les actifs des agents retraités décédés. Pour cette raison, le rendement brut à

la période t, des placements financiers des retraités survivants est égal à Rt

γ . Cette hypothèse

est équivalente à l’existence d’un marché parfait d’hypothèques inversées à la Yaari [1965] et Blanchard [1985]. Ces deux hypothèses permettent de résoudre analytiquement le problème de consommation des agents actifs et retraités et ouvrent la voie à une fonction de consommation agrégée.

Les firmes productrices engagent les facteurs de production, capital et travail, de manière à maximiser la valeur présente de leur profit net sous une contrainte d’investissement. Contrai-rement au modèle de Gertler [1999], nous faisons l’hypothèse que ce sont les firmes qui ont la responsabilité de l’accumulation du capital et que les ménages (actifs et retraités) sont propriétaires de ces firmes via un marché implicite d’actions. Les décisions individuelles des agents économiques sont agrégées et les prix sont déterminés en égalisant l’offre à la demande sur chacun des marchés. Cette agrégation tient compte du fait que les taux de croissance des populations des deux pays peuvent être différents.

Pour résoudre le modèle, nous utilisons la technique du budget à deux étapes. À la première étape, nous commençons par trouver à chaque période la répartition intratemporelle opti-male, en calculant la combinaison optimale de biens et de loisir qui minimise le coût d’un panier de consommation donné d’un agent. À la deuxième étape, nous trouvons la répartition intertemporelle de la dépense qui maximise l’utilité intertemporelle de l’agent.

2.2

Choix intratemporels des agents.

L’utilité découle de la consommation de biens et de loisir, selon : dr_t = (cr_t)υ(Xt`rt)1−υ pour le

retraité et dw_t = (cw_t)υ(Xt`wt)

1−υ

pour l’agent actif, où υ est la part de biens dans le panier dr_t

et dw_t , Xtmesure la productivité du facteur travail à long terme, et crt (cwt) et `rt (`wt ) dénotent

la consommation de biens et de loisir de l’agent retraité (actif)1.

1. En présence de la croissance à long terme, l’utilité marginale de loisir doit suivre le même rythme d’augmentation de la productivité du travail pour assurer l’existence d’un équilibre stationnaire pour `rt et `wt.

2.2.1 Choix consommation-loisir de l’agent actif

L’agent actif choisit les quantités de biens et de loisir qui minimisent le coût de son panier de

consommation dw_t. Le problème intratemporel de l’agent actif se présente donc comme suit :

min

{cw t,`wt}

φw_t = cw_t + Wt`wt

s.c dw_t = (cw_t)υ(Xt`wt )1−υ

où φw_t mesure le coût optimal du panier dw_t, exprimé en termes de biens cw_t.

Les conditions du premier ordre de la minimisation du coût d’achat du panier dw_t nous donnent

les fonctions de demande pour cw_t et `w_t. Pour cw_t, nous avons :

cw_t = υ Ptdwt. (2.2.1)

La demande de loisir de l’agent actif, quant à elle, est directement proportionnelle à la valeur de son panier de consommation et inversement proportionnelle à son salaire, de la manière suivante : `w_t = (1 − υ)Ptd w t Wt . (2.2.2)

Finalement, le prix du panier de consommation de l’agent actif en termes de biens de

consom-mation ( i.e. la valeur optimale de φw_t pour dw_t = 1) est donné par :

Pt= τ  Wt Xt 1−υ (2.2.3) où τ = 1 υυ_{(1 − υ)}1−υ (2.2.4)

2.2.2 Choix consommation-loisir de l’agent retraité

L’agent retraité choisit la quantité de biens et de loisir qui minimisent le coût de son panier

de consommation dr_t et ce problème intratemporel de l’agent retraité se présente comme suit :

min {cr t,`rt} φr<sub>t</sub> = cr<sub>t</sub> + W<sub>t</sub>r`r_t s.c dr_t = (cr_t)υ(Xt`rt) 1−υ

où φr_t mesure le coût optimal du panier dr_t, exprimé en termes de biens de consommation.

Les conditions du premier ordre de la minimisation du coût d’achat du panier dr_t nous donnent

les fonctions de demande pour la consommation :

et pour le loisir :

`r_t = (1 − υ) P

r t drt

W_tr . (2.2.6)

Le prix du panier de consommation du retraité dr_t (la dépense optimale φr_t pour que dr_t = 1)

est donnée par l’expression suivante :

P_tr = τ W r t Xt 1−υ (2.2.7)

où W_tr = ξ Wt est le salaire réel du retraité, ce qui tient compte du fait que l’agent retraité

est moins productif que l’agent actif (ξ < 1). Nous pouvons en déduire que l’indice des prix du panier de consommation des retraités est proportionnel à celui des agents actifs.

P_tr = ξ1−υPt (2.2.8)

2.3

Les choix intertemporels des agents.

Chaque pays est peuplé par une cohorte de ménages actifs (w) et une cohorte de ménages retraités (r). Les préférences intertemporelles des individus de la cohorte z = {w,r} sont données par une fonction de valeur de l’utilité tenant compte des caractéristiques de chaque agent de la cohorte, telles qu’exprimées par l’expression (2.3.1) :

Vtz=(Ctz)ρ+ βzEt Vt+1z | z

ρ 1/ρ

(2.3.1) La fonction (2.3.1) est une version de la famille d’utilités récursives à la Kreps and Porteus [1991] et Epstein and Zin [1989]. Ce type de préférences sépare l’aversion au risque de la substitution intertemporelle, ce qui rend l’individu neutre au risque (de perte des revenus), tout en conservant de la flexibilité relative à la valeur de l’élasticité de substitution intertemporelle. La fonction de valeur et le facteur d’escompte diffèrent selon les cohortes car la valeur future de l’utilité dépend du statut de l’agent. On a donc :

Et(Vt+1| z) =    V_t+1r si z = r ωV_t+1w + (1 − ω) V_t+1r si z = w ; βz=    βγ si z = r β si z = w où E_t Vz t+1| z

est l’anticipation rationnelle de la fonction de valeur de la période future

conditionnelle à la cohorte z, βz est le facteur d’escompte des utilités futures des agents de la

cohorte z et γ est la probabilité de survie des retraités. Notez que le taux d’actualisation des

utilités futures d’un agent retraité (βr = βγ) est inférieur à celui des agents actifs (βw = β)

en raison de la probabilité de survie des retraités qui est inférieure à l’unité. Les probabilités γ et ω sont, par hypothèse, indépendantes de l’âge et du statut (z) des agents.

Cette formulation des préférences génère des décisions en équivalent certain en présence de risque idiosyncratique du revenu. En effet, les individus ne se soucient que du premier moment des revenus attendus en établissant leurs règles de décision. Le paramètre de courbure ρ introduit toutefois un lissage entre la consommation d’aujourd’hui et celle de demain.

2.3.1 La contrainte de richesse des agents.

La contrainte de richesse des agents retraités et actifs est modélisée de manière à ce qu’elle tienne compte de la probabilité de survie γ de l’agent retraité et des coûts d’ajustement du capital.

Considérons un agent retraité ayant, capital et intérêt, 1+rt

γ



br_t en actifs financiers et y_tr

comme revenu autonome. Par hypothèse, le rendement du capital rtest déterminé à la période

t − 1. Sous cette hypothèse, rt+1est une valeur connue à la période t. La contrainte budgétaire

instantanée de l’agent retraité de la période t est donc :

dr_t+ br_t+1= 1 + rt

γ 

br_t + y_tr (2.3.2)

Pour transformer cette contrainte en contrainte de richesse, la première étape consiste à cal-culer la contrainte budgétaire intertemporelle du retraité. Commençons par évaluer (2.3.2) à la période t + 1 :

dr_t+1+ br_t+2= 1 + rt+1

γ 

br_t+1+ yr_t+1, (2.3.3)

ce qui nous permet de déduire que

br_t+1= γ

1 + rt+1

dr_t+1+ br_t+2− y_t+1r
. (2.3.4)

En remplaçant (2.3.4) dans (2.3.2) cela implique que

dr_t+ γ 1 + rt+1 dr_t+1+ br_t+2
= 1 + rt γ  br_t+ yr_t + γ 1 + rt+1 y_t+1r . (2.3.5)

Nous pouvons maintenant avancer (2.3.4) d’une période :

br_t+2= γ 1 + rt+2 dr_t+2+ br_t+3− y_t+2r
, (2.3.6) et remplacer (2.3.6) dans (2.3.5) dr_t + γ 1 + rt+1  dr_t+1+ γ 1 + rt+2 dr_t+2+ br_t+3− y_t+2r
 = 1 + rt γ  br_t + y_tr+ γ 1 + rt+1 y_t+1r . (2.3.7) Nous obtenons la contrainte budgétaire intertemporelle en poursuivant indéfiniment le

rem-placement de br_t+i à l’aide de (2.3.4) évaluée à la période appropriée. Définissons Rt, t+i de la

manière suivante pour simplifier la notation.

Rt, t+i= i Y k=1  γ 1 + rt+k  ∀i ≥ 1 ⇒ R_{t, t+k} =  γ 1 + rt+1   γ 1 + rt+2  ...  γ 1 + rt+k  (2.3.8)

Rt, t+i= 1 pour i = 0 (2.3.9)

Cette notation nous permet de simplifier l’écriture de (2.3.7) :

dr_t+ Rt, t+1drt+1+ Rt, t+2(drt+2+ brt+3) =

 1 + rt

γ 

br_t+ yr_t+ Rt, t+1yt+1+ Rt, t+2yrt+2 (2.3.10)

Nous obtenons la contrainte budgétaire intertemporelle en substituant (2.3.6) recursivement dans l’équation (2.3.10) : +∞ X i=0 Rt, t+idrt+i=  1 + rt γ  br_t+ +∞ X i=0 Rt, t+iyrt+i. (2.3.11)

Définissons les richesses financières (af_tr), humaine (hr_t) et totale (ar_t) de l’agent retraité :

af_tr = 1 + rt γ  br_t; (2.3.12) hr_t = +∞ X i=0 Rt, t+iyrt+i; (2.3.13) ar_t = af_tr+ hr_t; (2.3.14) Sachant que ar_t+1= 1 + rt+1 γ  br_t+1+ +∞ X i=0 Rt+1, t+1+iyrt+1i (2.3.15)

et en les combinant avec (2.3.2) nous obtenons :

ar_t+1= 1 + rt+1 γ   1 + rt γ  br_t+ yr_t − dr_t  + +∞ X i=0 Rt+1, t+1+i yt+1+ir (2.3.16)

que l’on peut réécrire

ar_t+1= 1 Rt, t+1  br_t Rt−1, t − dr t  + 1 Rt, t+1 y_tr+ +∞ X i=0 Rt+1, t+1+i yt+1+ir . (2.3.17) Sachant que : Rt+1, t+1+i = i Y k=1 1 1 + rt+1+k = 1 Rt, t+1 i+1 Y k=1 1 1 + rt+k = Rt, t+1+i Rt, t+1 (2.3.18)

nous pouvons réécrire (2.3.17)

ar_t+1 = 1 Rt, t+1  br t Rt−1, t − dr_t  + 1 Rt, t+1 y_tr+ +∞ X i=0 Rt, t+1+i Rt, t+1 yr_t+1+i. (2.3.19) 16

En regroupant les deux derniers termes de l’équation (2.3.19 ) pour permettre d’introduire yr t

dans la somme, nous obtenons :

ar_t+1= 1 Rt, t+1  br_t Rt−1, t − dr_t  + 1 Rt, t+1 +∞ X i=0 Rt, t+iyt+ir , (2.3.20)

ce qui implique que

ar_t+1= 1 Rt, t+1  1 + rt γ  br_t− dr_t  + 1 Rt, t+1 +∞ X i=0 Rt, t+iyt+ir . (2.3.21) Et donc : ar_t+1= 1 Rt, t+1 (af_tr− dr_t) + h r t Rt, t+1 (2.3.22) L’équation (2.3.22) implique ar_t+1= 1 Rt, t+1 (af_tr+ hr_t − dr_t) , (2.3.23) ce qui donne : ar_t+1= 1 Rt, t+1 (ar_t − dr_t) , (2.3.24)

L’équation (2.3.24) illustre l’évolution de la richesse et est utilisée dans le problème d’optimi-sation ci-dessous.

la richesse financière de l’agent retraité dans une économie avec capital,correspond au capital en place et aux actifs financiers, i.e :

br_t = qtktr+ ftr (2.3.25)

où q_t est le Q de Tobin et fr

t les autres actifs financiers de l’agent retraité. La contrainte de

richesse du retraité du modèle de Gertler dans lequel nous ajoutons les coûts d’ajustement est donnée par les expressions (2.3.24) et (2.3.25). On obtient la contrainte de richesse de l’agent actif en suivant la même démarche tout en imposant la contrainte γ = 1 (l’agent actif a une probabilité γ = 1 de survivre jusqu’à la prochaine période).

La structure des choix intertemporels des deux catégories d’agents suggère une résolution à rebours des problèmes. Nous commencerons par résoudre le problème des retraités, et cherchent ensuite la solution au problème de l’agent actif sachant qu’il se comportera comme un retraité s’il passe à la retraite à la période suivante.

2.3.2 Les choix intertemporels de l’agent retraité

L’agent retraité choisit optimalement son panier de consommation dr_t, sa richesse totale future

de sa richesse (2.3.27) et une condition terminale qui l’oblige à payer toutes ses dettes avant son décès. Son problème est alors défini comme suit :

max {dr t,art+1,λrt} Vtr=(dtr)ρ+ β γVt+1r (art+1) ρ 1/ρ (2.3.26) s.c ar_t+1= Rt+1 γ (a r t− Ptrdrt) (2.3.27)

Les conditions du premier ordre liées à ce problème sont données par :

(dr_t)ρ−1(dr_t)ρ+ β γ V_t+1r (ar_t+1)
ρ 1−ρ ρ ₋ P r t Rt+1 γ λ r t = 0 (2.3.28) βγ V_t+1r (ar_t+1)
ρ−1 (dr t)ρ+ β γ Vt+1r (art+1)
ρ1−ρ_ρ V_tr0(ar_t+1) − λr_t = 0 (2.3.29) ar_t+1−Rt+1 γ (a r t− Ptrdrt) = 0 (2.3.30)

La condition de l’enveloppe de l’agent retraité est donnée par l’expression suivante :

V_t+1r0 (ar_t+1) = d r t+1
ρ−1 dr_t+1
ρ+ βγ Vtr(art+2)
ρ1−ρ_ρ Pr t+1 (2.3.31)

Ensemble, les équations (2.3.28), (2.3.29) et (2.3.31) permettent de déduire la condition d’Euler de la consommation de l’agent retraité.

dr_t+1= βσdr_t(P_tr)σ(P_t+1r )−σRσ_t+1 (2.3.32)

où σ = _1−ρ1 est l’élasticité de substitution intertemporelle et Rt+1 est le taux d’intérêt réel des

actifs entre les périodes t et t + 1. L’équation (2.3.32) montre comment le sentier intertemporel de consommation varie avec le facteur d’intérêt et les prix courants et futurs de biens de consommation.

Solutions au problème de l’agent retraité

Nous postulons que la dépense de consommation de l’agent retraité (évaluée en unités de biens de consommation) est proportionnelle à sa richesse totale (richesse humaine et financière) :

P_trdr_t = (tπt) art (2.3.33)

où la propension marginale des retraités à dépenser la richesse est tπt, écrite de cette manière

parce que la propension similaire des agents actifs est πt. On déduit l’équation dynamique de

la propension marginale à dépenser en remplaçant (2.3.33) dans (2.3.32) et en simplifiant à l’aide de (2.3.30), pour obtenir :

tπt= 1 −

γ βσR_t+1σ−1P_tσ−1P_t+11−σ(tπt)

(t+1πt+1)

(2.3.34)

Cette relation révèle que la propension marginale à dépenser de l’agent retraité varie avec le

taux d’intérêt et le sentier du prix de biens de consommation. Il sied de signaler que _tπt est

constante et égale à 1 − βγ lorsque l’élasticité de substitution intertemporelle σ est égale à 1. La richesse humaine de l’agent retraité est la somme de son salaire au temps t et la richesse

humaine future hr_t+1 actualisée avec le facteur _Rγ

t+1 qui tient compte de sa probabilité de

survie :

hr_t = ξ Wt+

γ hr_t+1

Rt+1

(2.3.35)

Par ailleurs, pour résoudre ce modèle et calculer son équilibre de long terme, nous devons connaître les formes paramétriques des fonctions de valeurs des retraités et des agents ac-tifs. La structure du modèle suggère que ces fonctions sont proportionnelles aux paniers de consommation des agents. Dans le cas de l’agent retraité, ceci suggère une solution de la

forme V_tr = 4r_tdr_t. On déduit la dynamique de 4r_t en remplaçant cette solution postulée dans

(2.3.26) tout en tenant compte de (2.3.30) et on obtient :

(4r_t)ρ= βσγ P_tσ−1P_t+11−σRσ−1_t+1 4r_t+1
ρ

(2.3.36) La comparaison de (2.3.36) et (2.3.32) permet de déduire que

4r_t = (tπt)

−1

ρ _(2.3.37)

2.3.3 Les choix intertemporels de l’agent actif

L’agent actif choisit son panier de consommation dw_t et sa richesse totale future aw_t+1de manière

àmaximiser son utilité (2.3.38) sous contrainte de sa richesse totale. Son problème est alors défini comme suit :

max {dw t} Vtw =(dtw)ρ+ βωVt+1w + (1 − ω) Vt+1r ρ 1/ρ (2.3.38) s.c aw_t+1= Rt+1(awt − Ptdwt) (2.3.39)

Les conditions du premier ordre liées au problème de l’agent actif sont : (dw_t)ρ−1(dw t) ρ + β (1 − ω)Vtr(awt+1) + ωV w t (a w t+1)
ρ 1−ρ ρ _{− P} tRt+1λwt = 0 (2.3.40) β (1 − ω)V_tr(ar_t+1) + ωV_tw(aw_t+1)
ρ−1 (1 − ω)V_tr0(aw_t+1) + (ω)V_tw0(aw_t+1) (dw t) ρ + β (1 − ω)V_tr(aw_t+1) + ωV_tw(aw_t+1)
ρ 1−ρ ρ _{− λ}w t = 0 (2.3.41) aw_t+1− Rt+1(awt − Ptdwt) = 0 (2.3.42)

La condition de l’enveloppe de l’agent actif est donnée par l’expression suivante :

V_t+1w0(aw_t+1) = (d w t+1)ρ−1(dwt) ρ + β (1 − ω)Vtr(awt+2) + ωVtw(awt+2)
ρ1−ρ_ρ Pt+1 (2.3.43)

Ensemble, les équations (2.3.40), (2.3.41) et (2.3.43) permettent de déduire la condition d’Euler de la consommation de l’agent actif.

dw_t = β−σ Pt+1 Pt σ R−σ_t+1  ωdw_t+1+ (1 − ω)dr_t+1 σ 1−σ t+1  Ω−σ_t+1 (2.3.44)

où Ωt+1 est le facteur multiplicatif du taux d’intérêt réel. Ce facteur tient compte du statut

de travailleur de l’agent actif et de son statut de retraité :

Ωt+1= ω + χ (1 − ω)  1 1−σ t+1 (2.3.45) avec χ =  1 ξ 1−υ .

L’équation (2.3.44) montre comment le sentier temporel de consommation varie avec le taux d’intérêt, les prix courants et futurs de biens et le statut de l’agent actif.

Solutions au problème de l’agent actif

Nous postulons que la dépense de consommation de l’agent actif (évaluée en unités de biens de consommation) est proportionnelle à sa richesse totale (richesse humaine et richesse financière).

La richesse totale d’un agent actif à la période t mais qui devient retraité en t + 1 est aw_t+1,

c’est-à-dire la même que celle d’un travailleur actif en t + 1 (ce travailleur ne reçoit donc pas de rente viagère sur son capital, qu’il retire uniquement à partir de la période t + 2). Par ailleurs, le facteur d’escompte est en unité du panier de consommation. En d’autres mots, un panier

épargné à la période t rapporte (1 + r_t+1) unités du panier à la période t+1. Dans le présent

modèle, l’équivalent de (1 + rt+1) est le terme Rt+1Ωt+1. Donc, une unité épargnée du bien

de consommation rapporte à la période suivante Rt+1Ωt+1 paniers. On peut donc en déduire

que le facteur d’escompte de biens est donné par _R 1

t+1Ωt+1.

Nous postulons que la dépense de consommation de l’agent actif (évaluée en unités de biens de consommation) est proportionnelle à sa richesse totale (richesse humaine et financière) :

Ptdwt = πtawt (2.3.46)

On déduit l’équation dynamique de la propension marginale à dépenser en remplaçant (2.3.46) dans (2.3.44) et en simplifiant à l’aide de (2.3.42), pour obtenir :

πt= 1 −

βσRσ−1_t+1 P_tσ−1P_t+11−σΩσ−1_t+1 πt

πt+1

(2.3.47)

Cette relation révèle que la propension marginale à consommer de l’agent actif varie avec le

taux d’intérêt et le sentier du prix de biens de consommation. Il sied de signaler que πt est

simplement ègale à 1 − β lorsque l’élasticité de substitution σ est égale à 1. En d’autres mots, la propension marginale à consommer des agents actifs est constante dans le temps lorsque l’élasticité de substitution intertemporelle est unitaire.

La richesse humaine actualisée de l’agent actif est la somme de son salaire, de sa richesse

future tenant compte de son statut d’activité ω hw_t+1 et de celle tenant compte de son statut

de retraité dans le futur χ(1 − ω) 

1 1−σ t+1 hrt+1. hw_t = Wt+ χ (1 − ω)  1 1−σ t+1 hrt+1+ ω hwt+1 Rt+1Ωt+1 (2.3.48)

où hw_t est la richesse humaine actualisée de l’agent actif et _R 1

t+1Ωt+1 le taux d’escompte de

la richesse humaine de l’agent actif. L’agent actif épargne pour sa retraite. La probabilité de perdre son salaire suite à la retraite pousse l’agent actif à actualiser les flux des salaires futurs lorsqu’il fait face à un taux d’intérêt élevé. Cet effet est reflété par la présence de la probabilité de rester dans la population des travailleurs qui affecte le taux d’escompte. Un taux d’escompte élevé réduit la valeur de la richesse humaine par rapport au cas de l’horizon infini en réduisant ainsi la consommation présente et en augmentant l’épargne pour la retraite.

Le facteur Ωt+1varie positivement avec le rapport entre la propension marginale à consommer

de l’agent retraité et celle de l’agent actif _t+1 et la probabilité de devenir retraité.

Si _t+1 > 1, alors Ωt+1 > 1. Ωt+1 > 1 implique que l’agent actif actualise le futur à un

taux relativement élevé par rapport à l’horizon infini, lorsque Ωt+1 est introduit de façon

multiplicative avec le taux d’intérêt Rt+1 dans la fonction de consommation. Le gain d’utilité

marginale d’une unité de richesse pour l’agent retraité est inférieure à celui d’un agent actif. Comme dans le cas de l’agent retraité, nous postulons que la fonction de valeur de l’agent actif

est proportionnelle au panier de consommation, i.e. Vtw = 4wtdwt , 4wt la proportion applicable

au choix de la période t. On déduit la dynamique de 4w

t en remplaçant cette solution postulée

dans la fonction (2.3.38) tout en tenant compte de (2.3.42), ce qui nous donne :

4w

t = (πt)

−1

ρ _{. (2.3.49)}

Rappelons que la richesse totale de l’agent actif tient compte du fait que l’agent actif n’est pas prêt à échanger un pour un les unités de la période d’activité contre les unités de la période de la retraite. La richesse totale de l’agent actif est donnée par l’expression suivante :

aw_t = af_tw+ hw_t , (2.3.50)

2.4

Problème de la firme.

Les firmes maximisent la valeur présente de leur profit net sous contrainte de l’investissement en engageant les facteurs de production, capital et travail. Les firmes ont la responsabilité de l’accumulation du capital et les ménages sont propriétaires des firmes via un marché implicite d’actions. Cette hypothèse est différente de celle de Gertler [1999]. Des coûts d’ajustement convexes, que nous interprétons comme des coûts liés à l’installation et/ou la mise au rebut

du capital contraignent les décisions des firmes à l’égard du capital. La présence de ces coûts d’ajustement modifie sensiblement le comportement de la firme, notamment suite à un choc exogène après quoi celle-ci est incitée à ajuster graduellement les dépenses d’investissement. La fonction de production agrégée de la firme représentative est donnée par une technologie Cobb-Douglas,

Yt= ZtKt1−α(XtHt)α (2.4.1)

où Ht est la demande de travail agrégée, Zt la productivité multifactorielle, Kt le stock de

capital et X_t la productivité du facteur travail et Y_t la production.

La productivité du facteur travail X_t croît au taux (1 + x). Elle est exogène et neutre au sens

de Harod, et nous avons donc

Xt+1= (1 + x) Xt. (2.4.2)

La productivité multifactorielle Zt est modélisée en tenant compte de l’idée selon laquelle les

deux pays peuvent avoir des niveaux de productivité différents à court terme, si bien que

Zt+1= Z1−φZtφ (2.4.3)

avec 0 < φ < 1 et Z est la productivité multifactorielle de long terme2. La possibilité de chocs

transitoires à Zt qui s’effacent au rythme φ.

La fonction de valeur de la firme représentative est donnée par :

J (kt) = ZtKt1−α(XtHt)α−1₂Φ  It Kt − (x + δ) 2 − W_tHt− It+ J [K_R t+1] t+1 + qt(It+ (1 − δ)Kt− Kt+1) (2.4.4)

où q_test le prix relatif du capital en place (le Q de Tobin) et Φ ≥ 0 est le paramètre des coûts

d’ajustement. Finalement δ représente le taux de dépréciation du capital.

Solutions au problème de la firme

Les conditions du premier ordre de l’équation (2.4.4) impliquent ce qui suit :

Wt= α

ZtKt1−α(XtHt)α

Ht

(2.4.5)

L’équation (2.4.5) détermine l’emploi Ht. La firme ajuste Ht jusqu’au point où le salaire réel

Wt est égal à la productivité marginale du travail. La fonction d’investissement, quant à elle,

est donnée par l’expression suivante :

It=

qt− 1

Φ Kt+ (x + δ) Kt. (2.4.6)

2. La valeur de Z = 1 sera utilisée lors des simulations de l’état stationnaire et la dynamique transitoire.

Kt+1= It+ (1 − δ)Kt (2.4.7)

Finalement, un marché de location du capital implicite détermine le loyer du capital qt :

qt= 1 Rt+1     −1₂Φ  It+1 Kt+1 − (x + δ) 2 + ΦIt+1 Kt+1  It+1 Kt+1 − (x + δ)  + (1 − δ)qt+1+(1−α) Y_Kt+1t+1     (2.4.8)

Un marché des actifs détermine à la période t le taux d’intérêt R_t+1 qui est égal au produit

marginal du capital. Rt+1= (1 − α) Yt Kt + (1 − δ) (2.4.9)

2.5

Dynamique de la population.

La structure du cycle de vie se présente comme suit : au temps t, les agents travailleurs (w) et

les agents retraités (r) ont un effectif N_tw et N_tr, respectivement. Les travailleurs de la période

t ont une probabilité constante ω de rester dans la population des travailleurs à la période t + 1 et une probabilité (1 − ω) de devenir retraité. La probabilité de survie d’un agent retraité entre la période t et t + 1 est de γ et celle de décéder est de (1 − γ). L’effectif des naissances

à la période t+1 est donné par (n_t− ω)Nw

t . La durée de vie moyenne d’un agent dans la

population des travailleurs est de _1−ω1 périodes et celle dans la population des retraités est de

1

1−γ périodes.

Le nombre d’agents actifs croit au taux brut nt et est donné par :

N_t+1w = (nt− ω)Ntw+ ωNtw = ntNtw (2.5.1)

Le nombre d’agents retraités au temps t + 1 est égal à la somme de l’effectif des nouveaux retraités au temps t et des retraités survivants.

N_t+1r = (1 − ω)N_tw+ γN_tr (2.5.2)

En divisant l’équation (2.5.2) par N_t+1w , nous trouvons l’équation dynamique du ratio ψt de la

dépendance des retraités par rapport aux agents actifs.

N_t+1r N_t+1w = (1 − ω) N_tw N_t+1w + γ N_tr N_t+1w = (1 − ω) N_tw ntNtw + γ N r t ntNtw (2.5.3) ψt+1= 1 − ω nt + γψt nt (2.5.4)

À long terme : ψ_t= ψt+1= ψ, avec

ψ = 1 − ω

n − γ . (2.5.5)

Afin de tenir compte de la dynamique de la population dans notre modèle à deux pays, nous subdivisons la population mondiale en deux : la population mondiale des agents actifs et celle des agents retraités. Nous allons nous concentrer sur la dynamique de la part de la population des travailleurs dans les deux pays.

La population mondiale des agents actifs P_tw est constituée de la population des agents actifs

de l’économie nationale et de celle des agents actifs de l’économie étrangère.

P_tw = N_tw+ N E_tw (2.5.6)

où N Ew

t est l’effectif des travailleurs de l’économie étrangère. La part de la population des

agents actifs de l’économie locale est symbolisée par θ_t et celle de l’économie étrangère par

1 − θt. En divisant l’équation (2.5.6) par l’effectif de la population mondiale des travailleurs,

on obtient la part de la population des travailleurs de chaque pays.

P_tw Pw t = N w t Pw t +N E w t Pw t = θt+ 1 − θt= 1 (2.5.7)

La dynamique de l’effectif de la population mondiale des agents actifs au temps t+1 est donnée par l’expression suivante :

P_t+1w = ntNtw+ nEt N Etw (2.5.8)

Autrement dit, l’équation (2.5.8) montre que l’effectif de la population mondiale au temps

t+1 est égale à la somme des agents actifs de l’économie locale n_tN_tw et celle de l’économie

étrangère nE_tN E_tw.

En combinant les expressions (2.5.6) et (2.5.8) on obtient l’équation dynamique de la part de la population des agents actifs de l’économie nationale, qui dépend du taux de croissance de la population de l’économie locale, du taux de croissance de l’économie étrangère, et des parts des populations des agents actifs de chaque économie au temps t :

θt+1=

θtnt

θtnt+ (1 − θt) nEt

(2.5.9)

A l’état stationnaire, θ_t+1= θt= θ. Cette part dépend de l’historique des taux de croissance

des populations dans chacun des pays et dans les simulations présentées plus loin, on présume

que θ = 1₂ est le point de départ.

Pour nos simulations, on fait l’hypothèse que le taux de croissance de la population ntsuit un

processus autorégressif d’orde 1, i.e. :

nt+1= n1−ρnρt, (2.5.10)

où ρ détermine la durée du choc lorsqu’il en survient un et n le taux de croissance de la popu-lation à l’état stationnaire. Il sied de signaler que les deux taux de croissance des économies seront les mêmes à long terme pour assurer l’équilibre de long terme, mais qu’ils pourront différer à court terme.

2.6

Agrégation des choix individuels.

Après avoir déduit les fonctions de consommation et de richesses des agents pris individuel-lement, il est maintenant possible d’agréger les décisions individuelles en vue de calculer les dépenses globales de l’économie en biens de consommation et en loisir. Les variables agrégées sont identifiées en lettres majuscules afin d’éviter une confusion entre les choix individuels et les valeurs agrégées. Par ailleurs, cette agrégation tient compte du fait que les taux de croissance des populations de deux pays peuvent différer à court et moyen termes.

La demande agrégée des agents retraités et actifs dépend de leur richesse totale agrégée Ar

t et

Aw_t, et du prix de biens de consommation. La demande agrégée des retraités est donnée par

l’expression ci-après :

P_trD_tr= tπtArt, (2.6.1)

où la richesse totale agrégée des agents retraités, Ar_t, est la somme de la richesse financière

agrégée des agents retraités qui survivent, γAF_tr, et de leur richesse humaine agrégée H_tr :

Ar_t = γAF_tr+ H_tr (2.6.2)

alors que la richesse humaine agrégée des agents retraités est donnée par :

H_tr = ξ WtNtr+ γ N_trH_t+1r Rt+1Nt+1r = ξ WtNtr+ γ ψtHt+1r Rt+1((1 − ω) + γ ψt) (2.6.3)

L’équation (2.6.3) montre que la richesse humaine agrégée H_tr est une somme de la valeur

actualisée de la richesse agrégée des retraités survivant à chaque période. En effet, la richesse

des retraités est actualisée au taux R_t+1((1−ω)+γ ψt). Ce taux d’actualisation tient compte de

l’effectif des retraités peuplant l’économie à la période t. Dans ce contexte, une augmentation

du facteur ((1 − ω) + γ ψt) provoque une baisse de la richesse humaine agrégée des retraités.

De manière similaire, la dépense agrégée des agents actifs est proportionnelle à leur richesse agrégée :

PtDtw= πtAwt (2.6.4)

où la richesse agrégée des agents actifs, Aw_t, est composée de la richesse humaine agrégée des

agents actifs au temps t et de la richesse financière agrégée des agents actifs au temps t :

La richesse humaine agrégée des agents actifs, Hw

t , est composée de la richesse humaine des

agents actifs au temps t, de la richesse actualisée des agents actifs au temps t + 1 et de la richesse humaine actualisée des agents actifs pendant leur retraite. Elle est donnée par la relation suivante : H_tw= WtNtw+ ω Nw t Ht+1w Nw t+1 + χ (1−ω)  1 1−σ t+1 NtwHt+1r Nr t+1 Rt+1Ωt+1 = WtNtw+ ω H_t+1w ntRt+1Ωt+1 + χ (1 − ω)  1 1−σ t+1 Ht+1r ((1 − ω) + γ ψt)Rt+1Ωt+1 (2.6.6)

L’équation (2.6.6) montre que la richesse humaine H_tw est une somme de la valeur actualisée

de la richesse agrégée de l’économie à chaque période. Le taux d’actualisation ntRt+1Ωt+1 est

le produit du taux d’actualisation par agent actif et du taux de croissance de la population. Le taux de croissance démographique vient augmenter le taux d’escompte car au fur et à mesure que la population augmente, la richesse humaine des agents actifs baisse.

La demande agrégée de loisir des agents retraités est donnée par l’expression (2.6.7) : notons que cette demande baisse avec l’augmentation du taux de salaire des agents retraités, reflétant le fait que les retraités ont un incitatif à offrir plus de travail lorsque le salaire augmente :

N_tr`r_t = (1 − υ) P

r tDrt

ξ Wt

(2.6.7) La demande de biens de consommation agrégée des agents retraités, à l’équation réflète le fait

que la demande de biens de consommation baisse lorsque le prix P_tr augmente :

C_tr= υ P_trDr_t (2.6.8)

Du côté des agents actifs, la demande agrégée de loisir est en (2.6.9), alors que la demande de biens de consommation est en (2.6.10). À nouveau, la demande de loisir baisse lorsque le

salaire W_taugmente et la demande de biens baisse lorsque le prix P_taugmente.

N_tw`w_t = (1 − υ) PtD w t Wt (2.6.9) C_tw = υ PtDwt (2.6.10)

La demande d’investissement est fonction du stock de capital et tient compte des coûts d’ajus-tement :

It=

qt− 1

Φ Kt+ (x + δ) Kt (2.6.11)

La richesse totale agrégée de l’économie nationale quant à elle est donnée par :

At= γ  Rt γ  Ar_t + RtAwt = Rt(Art+ Awt) (2.6.12) 26

avec Ar

t la richesse totale agrégée des agents retraités et Awt la richesse totale agrégée. Par

ailleurs, la richesse financière de l’économie Af_t est la différence entre la richesse totale de

l’économie Ar_t + Aw_t et la richesse humaine agrégée de l’économie H_tr+ H_tw :

Aft= Art+ Awt − (Htr+ Htw) (2.6.13)

La part de la richesse financière détenue par les agents retraités Af_tr est donnée par λtet celle

des agents actifs Af_tw est donnée par 1 − λt, si bien que l’on a :

λt= Afr t Aft (2.6.14) 1 − λt= Af_tw Aft (2.6.15)

La fonction de dépense agrégée de l’économie est la somme de la consommation des agents actifs et des agents retraités. Elle est donnée par :

Bt= Drt + Dtw = tπt(Aftr+ Htr) P_tr + πt(Aftw+ Htw) Pt (2.6.16) En exprimant l’expression (2.6.16) en termes des parts des richesses financières détenues par les agents retraités et les agents actifs, on a :

Bt= πt((1 − λt) + tλt) Aft+ πt((1 − ςt) + tςt) Htg (2.6.17) avec ςt= H_tr H_tg et 1 − ςt= H_tw H_tg (2.6.18)

et où H_tg = H_tw+ H_trest la richesse humaine de l’économie, ςtla part de cette richesse détenue

par les retraités et 1 − ςt la part détenue par des agents actifs. La dynamique de la richesse

financière agrégée des agents retraités à la période t + 1 est alors modélisée comme suit :

Ar_t+1= RtArt+ Wtξ Ntr− PtrCtr+ (1 − ω) (RtAwt + WtNtw− PtCtw) (2.6.19)

L’équation (2.6.19) montre que la richesse agrégée des agents retraités au temps t + 1 est la somme de la richesse provenant des agents déjà retraités, de leur revenus de travail moins la consommation de la période t et de revenus des nouveaux retraités à la période t moins leur

consommation (i.e. (1 − ω) (R_tAw_t + WtNtw− PtCtw)).

La dynamique de la richesse financière agrégée des agents actifs à la période t + 1 est alors modélisée comme suit :

L’équation (2.6.20) montre que la richesse agrégée des agents actifs au temps t+1 est la somme de la richesse provenant des actifs des agents actifs de la période t, de leur richesse humaine de la période t moins la consommation.

La dynamique de la part de richesse financière de l’économie détenue par les agents retraités est obtenue en combinant (2.6.14), (2.6.15), (2.6.19) et (2.6.20) :

λt+1= (1 − ω) AF_twRt+1 AFt+1 − (1 − ω)D w t Rt+1Pt AFt+1 +ξ N r t Rt+1Wt AFt+1 + (1 − ω)N w t Rt+1Wt AFt+1 −H r t Rt+1tπt AFt+1 +AFtRt+1λt AFt+1 −AFtRt+1tπtλt AFt+1 (2.6.21)

Les flux internationaux des capitaux égalisent le taux d’intérêt réel dans les deux pays, de

sorte que le taux d’intérêt local Rt et étranger REt sont toujours égaux :

Rt= REt . (2.6.22)

La somme de la richesse financière du pays local sous forme d’obligations Ftet sa contrepartie

étrangère F_tEdoit être égale à zéro à l’équilibre, car les prêts d’un pays constituent les emprunts

de l’autre :

Ft+ FtE = 0 (2.6.23)

En incorporant les facteurs démographiques dans l’équation (2.6.23) via la multiplication et la

division de l’équation par l’effectif de la population des agents actifs locaux N_tw et étrangers

N Ew_t , nous obtenons l’expression (2.6.24) exprimée en termes des richesses financières par

travailleur local ftet étranger ftE :

N_twft+ N EtwftE = 0 (2.6.24)

En introduisant l’effet de la part de la population des travailleurs dans l’équation (2.6.24), nous exprimons les flux des capitaux internationaux par effectif de la population des travailleurs de chaque pays : N_tw P_twft+ N E_tw P_tw f E t = 0 (2.6.25)

L’équation (2.6.25) donne l’expression tenant compte de la part de la population des

tra-vailleurs de l’économie locale θt et celle de l’économie étrangère (1 − θt) :

θtft+ (1 − θt) ftE = 0 (2.6.26)

L’équilibre interne entre l’offre et la demande est donné par l’identité suivante qui stipule que le PIB est égal à la somme des dépenses (consommation et investissement) et les soldes extérieurs liés à l’accumulation d’actifs externes :

Yt= Ctr+ Ctw+ It+ XNt (2.6.27)

À l’équilibre, les soldes extérieurs de deux pays se somment à zéro :

XNt+ XNtE = 0 (2.6.28)

En tenant compte de la part des populations des travailleurs de chaque pays, l’expression d’équilibre international des soldes extérieurs devient :

θtxnt+ (1 − θt) xnEt = 0 (2.6.29)

où xnt et xnEt représentent respectivement les soldes extérieurs de l’économie locale et de

l’économie étrangère tenant compte des facteurs démographiques.

Les équations relatives aux identités dépenses-revenus de la comptabilité nationale, les soldes externes, la richesse en présence des coûts d’ajustement, l’emploi agrégé, la productivité mul-tifactorielle et la richesse des agents vont s’ajouter aux différentes parties du modèle afin de bien structurer le modèle international.

En considérant F_t comme actifs nets de l’économie locale, l’économie locale prête à l’étranger

au taux d’intérêt mondial R_t. La dynamique de ces actifs dépend du marché de biens et

d’actifs. Les actifs nets étrangers représentent le paiement reçu du reste du monde en échange des exportations. La contrainte des ressources de l’économie internationale devient :

Ft+1 = RtFt+ XNt (2.6.30)

La richesse financière agrégée de l’économie AFtest la somme du rendement du capital et des

actifs au temps t avec q_t le prix du capital, dans la logique des coûts d’ajustement :

AFt= Rt(qtKt+ Ft) (2.6.31)

L’emploi agrégé de l’économie est composé de l’offre de travail des agents actifs et retraités :

Ht= NtwLwt + NtrξLrt (2.6.32)

où ξ Lr_t est la quantité effective du travail fourni par les retraités et ξ ∈ (0,1) représente la

productivité d’une unité de travail fourni par une personne âgée (retraité) par rapport à une personne plus jeune (agent actif).

Chaque individu a une unité de temps par période qu’il peut utiliser soit pour travailler soit pour profiter de loisir. Le temps alloué au loisir par l’agent actif est donné par :

`w_t = 1 − Lw_t (2.6.33)

alors que le temps alloué au loisir par l’agent retraité est donné par :

Rappelons que le modèle considère que les deux pays sont symétriques (c’est-à-dire les com-portements des agents sont les similaires dans les deux pays et ils sont modélisés de la même façon) à l’exception de la valeur des coefficients. Cela étant, toutes les équations de l’économie locale sont pareilles à celles de l’économie étrangère et les variables pertinentes de l’économie étrangère sont indexées par la lettre E.

2.7

Modèle international en unités efficaces.

Le modèle est exprimé en unités efficaces afin de pouvoir le simuler. Le modèle en unités efficaces dégonflent les variables pour tenir compte des changements démographiques et de la croissance à long terme. Les deux pays sont initialement identiques. Les variables en lettres minuscules sont les variables en unités efficaces. La lettre E désigne les variables étrangères. Le modèle en unités efficace pour l’économie internationale est présenté dans l’annexe A.