aujourd’hui il ne pleut pas

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Feuille 1 d’exos en analyse.

1. Considerons les ´enonc´es suivants :

• p: “Toto a la fi`evre”

• q: “Toto a peur de l’´evaluation”

• r: “Toto va `a l’´ecole”.

Interpreter les 2 enonc´es suivants : p∨q=⇒ ¬r, ¬p∧ ¬r=⇒q.

2. Verifier, selon le principe du Modus Ponens, si les deductions suivantes sont correctes.

• Aujourd’hui s’il pleut, je sors en voiture;

aujourd’hui il ne pleut pas; alors je ne sors pas en voiture.

• Aujourd’hui s’il pleut, je sors en voiture;

je ne sors pas en voiture; alors aujourd’hui il ne pleut pas.

3. Soientx, y deux nombres naturels etp(x, y): “x < y”. Interpreter les ´ecritures suivantes:

∃x∀y :p(x, y), ∃x∃y:p(x, y), ∀x∀y:p(x, y), ∀x∃y:p(x, y)

Soit p(x, y) : le point x est sur la droite y. Interpreter les ecritures suivantes et faire le dessin g´eometrique correspondant.

∀x∃y:p(x, y), ∃x∀y :p(x, y), ∀x:p(x, y), ∀y∃x:p(x, y), ∃y∀x:p(x, y).

4. On consid´ere l’implication suivantep=⇒q, avecp: (α= 2)etq: (αest pair).Ecrire la contrapos´ee

¬q=⇒ ¬p, la contraire¬p=⇒ ¬q, la reciproque q=⇒p, et la n´egationp∧ ¬q, chaqu’une avec la table de verit´e qui leur est propre.

5. Formaliser `a l’aide des quantificateurs:

• L’´equationx²+ 1 = 0n’a pas de solution dansR.

• La fonctionf :R→Rprend la valeur constante2.

• La fonctionf :R→Rest paire.

• La fonctionf :R→Ra un unique zero.

6. On consid´erep(x) :xest un ´el`eve,q(x) :xadore les maths. Formaliser:

• tous les ´el`eves adorent les maths.

• pas tous les ´el`eves adorent les maths.

7. Montrer que la relation d’inclusion entre ensembles est une relation d’ordre.

8. Soitn∈IN. Montrer que : Pn

k=1k= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ et que Pn

k=0(2k+ 1) = (n+ 1)². 9. Montrer que la fonctionf :R→Rd´efinie parx7→e^x n’est pas surjective.

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10. Ecriref ◦g etg◦f pour les fonctions suivantes:

f :x7→x³ , g:t7→sint . f :x7→2x , g:t7→e^t.

f :x7→cosx , g:t7→ ¹_t.

11. Definir, s’il existe, la fonction inverse (not´eef⁻¹) des fonctions suivantes :

f :x7→ 1

x, f :x7→lnx, f :x7→2x+ 3, f :x7→x^2/3.

12. Dans chacun des cas suivants, dites si l’ensemble consid´er´e est major´e ou minor´e. Lorsque c’est possible, donnez la borne sup´erieure et la borne inf´erieure et d´eterminez si l’ensemble poss`ede un maximum, un minimum.

A=]−3,1]∪]0,2], B=]− ∞,1] ∩[1,+∞[, C= [0,1[∪[2,3[, D=]− ∞,3[∩[2,4[, E=]− ∞,3]∩]−1,+∞[, F= [1,3]∪]2,4[, G=]− ∞,1[∪]1,+∞[, H = [0,4]∩]0,3[.

13. SoientA etB les deux ensemble suivants:

A={−4,−3,−1,−2,0,4,5,6,7,8}, B={−1,−2,1,2,3}.

D´efinirA∩B,A∪B,A\B,B\A,A△B,CUAetCUB avecU ={n∈Z,−4≤n≤8}.