Antenne - Cours 8 pdf

(1)

Cours d’Introduction sur les Antennes.

Christine Letrou

GET/INT - D ´epartement CITI

Module RA12 - Avril-Mai 2007

(2)

Plan

1

Introduction

2

Le rayonnement ´electromagn ´etique

Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain

Calcul du champ rayonn ´e par une antenne

3

Caract ´eristiques des antennes

Diagramme de rayonnement et directivit é L’antenne c ôt é circuit

Antenne en r ´eception

Bilan de liaison en espace libre

(3)

Plan

1

Introduction

2

Le rayonnement ´electromagn ´etique

Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain

Calcul du champ rayonn ´e par une antenne

3

Caract ´eristiques des antennes

Diagramme de rayonnement et directivit é L’antenne c ôt é circuit

Antenne en r ´eception

Bilan de liaison en espace libre

(4)

Fonctions d’une antenne

1. Optimiser le couplage (ou la conversion)

à l’ émission : ondes guid ées (ou signal localis é)→ondes rayonn ées, en r éception : onde plane incidente→ondes guid ées (ou signal localis é).

Dip ˆoles - c ˆable coaxial (alimentation ou sortie)

Cornet et bride de fixation

`a un guide rectangulaire

(5)

Cornet conique

connect é à un m élangeur millim étrique et son oscillateur local (boˆıtiers, technologie guide d’onde)

Antenne à fente annulaire et m élangeur int égr é

(diodes Schottky, couplage `a une ligne coplanaire)

(6)

Fonctions d’une antenne

2. “Focaliser” le rayonnement

dans une direction privil égi ée : antenne directive dans un plan privil égi é : antenne omnidirectionnelle

Antenne semi-directive

pour la station de base : alignement d’antennes dip ˆoles ou pav ´es Antenne

omnidirectionnelle sur le mobile : filaire, m ´etallique ou imprim ´ee

(7)

Syst `eme spatial (communication, diffusion) :

antennes directives

Les plus courantes : antennes `a r ´eflecteur(s) Mais aussi :

- panneaux rayonnants (r ´eseaux d’antennes imprim ´ees,

´eventuellement actives) - antennes lentilles (stations locales)

(8)

Panneau rayonnant Antenne pav ´e (patch) (structure multicouche :

antenne bi-fr équence, et couplage électromagn étique)

(9)

Int ér êt de la propagation libre / guid ée ?

Communications mobiles

“Sans fil” intra-b âtiment et liaisons hertziennes (fixes terrestres) en compl ément ou remplacement de r éseaux c âbl és (rapidit é de d éploiement, investissements moins lourds)

Applications spatiales (diffusion, communication, g ´eolocalisation)

Radar (surveillance, aide `a la navigation) Exploitation du spectre radio (spectroscopie) en

t él éd étection, sondage atmosph érique, astrophysique...

P én étration dans les mat ériaux : d étection d’objets enfouis,

sondage d’ouvrages d’art, identification (RFID), chauffage,

hyperthermie...

(10)

Caract ´eristiques des antennes

Antenne passive = dispositif r ´eciproque, par cons ´equent :

Ses propri ét és en r éception se d éduisent de ses propri ét és en émission et r éciproquement.

à l’ émission à la r éception bande de fr équence bande de fr équence

r épartition angulaire variation de la puissance reçue de l’ énergie rayonn ée en fonction de la direction d’arriv ée

de l’onde incidente diagramme de rayonnement diagramme de r ´eception

directivit ´e aire effective maximale

pertes (ohmiques, d ´esadaptation) pertes (ohmiques, d ´esadaptation)

gain aire effective

polarisation de l’onde polarisation de l’onde incidente rayonn ée par l’antenne qui maximise la puissance reçue tenue en puissance temp érature (de bruit) d’antenne

PIRE G/T (facteur de m ´erite)

(11)

Plan

1

Introduction

2

Le rayonnement ´electromagn ´etique

Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain

Calcul du champ rayonn ´e par une antenne

3

Caract ´eristiques des antennes

Diagramme de rayonnement et directivit é L’antenne c ôt é circuit

Antenne en r ´eception

Bilan de liaison en espace libre

(12)

Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources

R ´egime harmonique : ´equations de Maxwell en amplitudes complexes

On suppose une variation en fonction du temps de la forme exp(jωt).

−→

rotE~ = −jω~B (1)

−→

rotH~ = ~J+jω~D (2)

div~D = ρ (3)

div~B = 0 (4)

En milieu parfait (di ´electrique sans pertes, homog `ene isotrope) :

D~ = ~E (5)

~B = µ ~H (6)

Rappel des notations standards :

Vitesse (de phase ou de groupe) d’une onde plane dans l’air :c=1/√

oµo=3·10⁸m/s . Vitesse d’une onde plane dans un di ´electrique de permittivit ´e relative_r=/_o:v=c/√

_r. Fr ´equence :f. Pulsation :ω=2πf.

Longueur d’onde :λ=v/f. Nombre d’onde :k=2π/λ=ω/v=ω√ _r/c=ω√

µ.

(13)

Equations de Maxwell en milieu parfait (1) −→

rotE~ =−jωµ~H (3) divE~ =ρ/

(2) −→

rotH~ =~J+jω~E (4) divH~ =0

(4)⇒ ∃~Atel queH~ =−→ rot~A (1) devient alors :−→

rot(~E+jωµ ~A) =0, d’o `u :

∃Vtel que :E~+jωµ~A=−−→

grad V (7)

Pour calculer~Eet~Hil suffit de connaˆıtre~AetV(4 composantes au lieu de 6) (2) et (7)⇒∆~~A+k²~A=−~J+−−→

grad(div~A+jωV) (3) et (7)⇒∆V+jωµdiv~A=−ρ/

et on peut choisir(~A,V)v ´erifiant la condition de Lorentz :div~A+jωV=0.

(14)

On obtient alors :

Equations de Helmholtz inhomog `enes

∆ ~ ~ A + k

²

A ~ = − ~ J (8)

∆V + k

²

V = −ρ/ (9)

Expressions de E ~ et H ~ en fonction de ~ A

E ~ = −jωµ~ A + 1 jω

−−→ grad (div A) ~ (10) H ~ = − →

rot ~ A (11)

Il suffit de r ´esoudre (8) pour en d ´eduire E ~ et H. ~

(15)

Rep `ere utilis ´e pour les points d’observation

(16)

Source en M

⁰

: notations utilis ´ees

(17)

Solution de∆~~A+k²~A=−~J (+condition de rayonnement de Sommerfeld) :

Soit une source de courant él émentaire (unitaire et ponctuelle), localis ée au point O :

~ J (O) = δ(0)ˆ u

_s

avec u ˆ

_s

un vecteur unitaire.

Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette source :

~ A(M) = exp(−jk r )

4πr u ˆ

_s

avec r = OM

(18)

Soit une source de courant él émentaire (unitaire et ponctuelle), localis ée au point O :

~ J (O) = δ(0)ˆ u

_s

avec u ˆ

_s

un vecteur unitaire.

Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette source :

~ A(M) = exp(−jk r )

4πr u ˆ

_s

avec r = OM

(19)

Soit une source de courant él émentaire (unitaire et ponctuelle), localis ée au point M

⁰

:

~ J (M

⁰

) = δ(M

⁰

)ˆ u

_s

avec u ˆ

_s

un vecteur unitaire.

Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette source :

~ A(M) = exp(−jkR)

4πR u ˆ

_s

avec R = M

⁰

M = k~ r − ~ r

⁰

k

(20)

Soit une distribution (lin éique, surfacique ou volumique) de sources de courants él émentaires ~ J (M

⁰

), M

⁰

∈ S.

Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette distribution source.

~ A est est une fonction lin ´eaire de ~ J, donc on applique le principe de superposition des sources :

~ A(M) = Z

S

dM

⁰

~ J(M

⁰

) exp(−jkR)

4πR (A · m)

avec R = M

⁰

M = k~ r − ~ r

⁰

k

(21)

Champs rayonn ´es par une distribution source~J(M⁰)

Rappel :E~ =−jωµ~A+_jω¹ −−→

grad(div~A) et H~ =−→ rot~A

E~(M) = Z

S

dM⁰ exp(−jkR) 4πR

×(−jωµ)

»

−1+3j 1 kR+ 3

(kR)² –

(~J(M⁰)·R) ˆˆ R

+

» 1−j 1

kR− 1 (kR)²

–

~J(M⁰)

!

H(M) =~ Z

S

dM⁰ exp(−jkR)

4πR ×jk

» 1− j

kR –

(~J(M⁰)∧R)ˆ

Notations :~R=−−→

M⁰MetRˆ=^~^R_R

(22)

Approximation champ lointain

Source “ ´etendue” centr ´ee sur l’origine

(23)

A grande distance de l’antenne (kr1etr⁰r) :

1 - On n églige les termes en 1/(kR)d’ordres les plus élev és carkR1 (la distance entre n’importe quel point source et le point d’observation est tr ès grande par rapport à la longueur d’onde).

E~(M) = Z

S

×(−jωµ)

»

−1+3j 1 kR+ 3

(kR)² –

(~J(M⁰)·R) ˆˆ R

+

» 1−j 1

kR− 1 (kR)²

–

~J(M⁰)

!

H(M) =~ Z

S

dM⁰ exp(−jkR)

4πR ×jk

» 1− j

kR –

(~J(M⁰)∧R)ˆ

(24)

1 - On n églige les termes en 1/(kR)d’ordres les plus élev és carkR1 (la distance entre n’importe quel point source et le point d’observation est tr ès grande par rapport à la longueur d’onde).

E~(M) = Z

S

×(−jωµ) (−1)(~J(M⁰)·R) ˆˆ R

+~J(M⁰)

!

H(M~ ) = Z

S

dM⁰ exp(−jkR)

4πR ×jk(~J(M⁰)∧R)ˆ

(25)

2 - On remplaceRˆ parˆr car les droites reliant n’importe quel point source avec le point d’observation sont à peu de chose pr ès parall èles entre elles.

r⁰etrdu m ˆeme ordre de grandeur “Champ lointain” :r⁰r Directions d’observation depuis 2 points sources

(26)

E ~ (M) = Z

S

dM

⁰

exp(−jkR)

4πR × (−jωµ)

~ J(M

⁰

) − ( ~ J(M

⁰

) · R) ˆ R ˆ H(M) ~ =

Z

S

dM

⁰

exp(−jkR)

4πR × jk ( ~ J(M

⁰

) ∧ R) ˆ

(27)

E ~ (M) = Z

S

dM

⁰

exp(−jkR)

4πR × (−jωµ)

~ J(M

⁰

) − ( ~ J(M

⁰

) · ˆ r ) ˆ r H(M) ~ =

Z

S

dM

⁰

exp(−jkR)

4πR × jk ( ~ J(M

⁰

) ∧ ˆ r )

(28)

3 - Dans le terme de phase, on utilise l’approximation au 1er ordre dekR pourkr grand :kR=kk−−→

OM−−−→

OM⁰k=kk~r−r~⁰k ≈kr−kˆr·r~⁰. D’o `u : exp(−jkR)≈exp(−jkr)exp(+jkˆr·~r⁰).

4 - Dans le terme d’amplitude, approximation d’ordre 0 : 1/R≈1/r.

Justification :

Dans le terme en 1/R, on peut se contenter de l’approximation `a l’ordre 0 deR: 1/R≈¹_r(1+¹_rˆr·r~⁰)≈1/rcar|ˆr·r~⁰| r.

Dans l’exponentielle complexe, on ne peut pas n ´egliger le terme du 1er ordre :

|kˆr·r~⁰|est en effet de l’ordre de grandeur dekr⁰, soit 2πr⁰/λ, qui n’est pas n ´egligeable par rapport `a 2πsauf si la distribution source est quasi-ponctuelle.

(29)

E~(M) = (−jωµ) Z

S

dM⁰exp(−jkR) 4πR

“~J(M⁰)−(~J(M⁰)·ˆr) ˆr”

H(M)~ = jk Z

S

dM⁰exp(−jkR) 4πR

“~J(M⁰)∧ˆr”

(30)

E(M)~ = (−jωµ) Z

S

dM⁰exp(−jkr)

4πr exp(+jkˆr·r~⁰)“

~J(M⁰)−(~J(M⁰)·ˆr) ˆr”

H(M)~ = jk Z

S

dM⁰exp(−jkr)

4πr exp(+jkˆr·r~⁰)“

~J(M⁰)∧ˆr”

(31)

E(M)~ = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)

Z

S

dM⁰“

~J(M⁰)−(~J(M⁰)·ˆr) ˆr”

exp(+jkˆr ·r~⁰)

H(M)~ = exp(−jkr) 4πr jk

Z

S

dM⁰“

~J(M⁰)∧ˆr”

exp(+jkˆr·r~⁰)

(32)

Z

S

dM⁰“

~J(M⁰)−(~J(M⁰)·ˆr) ˆr”

exp(+jkˆr ·r~⁰)

Z

S

dM⁰“

~J(M⁰)∧ˆr”

exp(+jkˆr·r~⁰)

Par convention, on consid ère que l’approximation champ lointain est valide si les termes de phase qui ont ét é n églig és dans les int égrands sont inf érieurs

`aπ/8.

(33)

Z

S

dM⁰“

~J(M⁰)−(~J(M⁰)·ˆr) ˆr”

exp(+jkˆr ·r~⁰)

Z

S

dM⁰“

~J(M⁰)∧ˆr”

exp(+jkˆr·r~⁰)

Par convention, on consid ère que l’approximation champ lointain est valide si les termes de phase qui ont ét é n églig és dans les int égrands sont inf érieurs

`aπ/8.

Domaine de validit ´e de l’approximation champ lointain r > 2 D

²

λ

D est la plus grande dimension de l’objet rayonnant

(34)

Propri ét és du champ rayonn é à grande distance d’une antenne

Le champ ´electrique est transverse E(M) =~ exp(−jkr)

4πr (−jωµ) Z

S

dM⁰“

~J(M⁰)−(~J(M⁰)·ˆr) ˆr”

exp(+jkˆr·~r⁰)

~J(M⁰)−(~J(M⁰)·ˆr) ˆr =~J⊥(M⁰)

o `u~J⊥(M⁰)est la composante de~J(M⁰)orthogonale `a la direction

d’observationˆr, encore appel ´ee composante “transverse” de~J(M⁰)dans la direction d’observationˆr.

(35)

Le champ ´electrique est transverse

~E(M) =exp(−jkr) 4πr (−jωµ)

Z

S

dM⁰~J⊥(M⁰)exp(+jkˆr·r~⁰)

Expression du champ lointain en fonction du potentiel vecteur Rappel :~A(M) =R

SdM⁰~J(M⁰)^exp(−jkR)_4πR En champ lointain :~A(M) = ^exp(−jkr_4πr ⁾R

SdM⁰~J(M⁰)exp(+jkˆr·~r⁰)

E(M) = ~ −jωµ ~ A

⊥

(M)

(36)

Base locale de vecteurs en coordonn ´ees sph ´eriques

(37)

~H(M)se d ´eduit deˆr et~E(M)comme dans le cas d’une onde plane

~H(M) = exp(−jkr) 4πr (−jk)

Z

S

dM⁰“

ˆr∧~J(M⁰)

”exp(+jkˆr·r~⁰)

= 1

ηˆr∧~E(M) Notations :

η=q

µ

est l’imp ´edance d’onde du milieu di ´electrique. Dans l’air,η=120π(Ω).

⇓

L’onde rayonn ´ee en champ lointain est localement plane.

(38)

Champ rayonn ´e = onde localement plane Au pointM: ~E(M)⊥ˆr et H(M) =~ 1

ηˆr∧E(M)~ ˆr=

−−→ OM OM

!

(39)

ηˆr∧E(M)~ ˆr=

−−→ OM OM

!

Champ rayonn ´e = onde sph ´erique×fonction angulaire

~E(M) = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)

Z

S

dM⁰~J⊥(M⁰)exp(+jkˆr·r~⁰) =exp(−jkr) 4πr

~f(ˆr)

(40)

ηˆr∧E(M)~ ˆr=

−−→ OM OM

!

Z

S

~f(ˆr)

~f(ˆr) =“caract ´eristique vectorielle de rayonnement”de l’antenne.

(41)

ηˆr∧E(M)~ ˆr=

−−→ OM OM

!

Z

S

~f(ˆr)

Amplitude complexef(ˆr) “diagramme de rayonnement”.

Vecteur unitaireˆf(ˆr) =vecteur de polarisationdu champ rayonn ´e.

(42)

Calcul du champ rayonn ´e par une antenne

Evaluer ~ f (ˆ r ) = Probl `eme ext ´erieur

On suppose connus les courants ´electriques sur l’antenne.

On cherche `a calculer le champ lointain de l’antenne.

Solution directe

E(M) = ~ −jωµ ~ A

⊥

(M)

Pour des antennes complexes :

On superpose les champs rayonn ´es par des sources

él émentaires translat ées : on utilise le th éor ème de translation et le principe de superposition.

On remplace les sources “physiques” par des sources

´equivalentes “virtuelles” : on utilise le principe d’unicit ´e et

le th éor ème d’ équivalence.

(43)

Principe de superposition

Le champ rayonn é par un ensemble de sources est la somme des champs rayonn és par ces sources (on suppose connu le courant ou la densit é de courant pr ésente au niveau de chaque source en pr ésence des autres).

Th ´eor `eme de translation

E(M) = ~ exp(−jkr )

4πr (−jωµ) Z

S

dM

⁰

~ J

⊥

(M

⁰

) exp(+jkˆ r · ~ r

⁰

)

Si la source est translat ´ee du vecteur ~ δ, alors ~ r

⁰

est remplac ´e par ~ r

⁰

+ ~ δ, d’o ù le champ rayonn é par la source translat ée :

E ~

_~_δ

(M) = E ~ (M) exp(+jk ˆ r · ~ δ)

(44)

Application : antenne r ´eseau Il s’agit d’un ensemble d’antennes

identiques,

translat ´ees les unes par rapport aux autres,

qui sont le si ège de la m ême distribution de courant à une constante multiplicative pr ès.

Exemple :

Alignements de dip ˆoles demi-onde

(45)

Exemple (suite) : antenne de station de base pour zone rurale

Antenne r éalis ée par alignement vertical de dip ôles.

Couverture omnidirectionnelle dans le plan horizontal.

Antenne directive dans le plan vertical.

(46)

Antennes r ´eseaux (contrexemple)

Antenne “r ´eseau” multicouche,

`a pav ´es rayonnants

Distribution de courants sur les pav ´es

Les distributions de courant ne sont pas identiques (translat ´ees)

⇒le th ´eor `eme de translation ne s’applique pas

⇒la th éorie des r éseaux (facteur de r éseau) n’est pas valide.

(47)

Antennes r ´eseaux (facteur de r ´eseau)

Si on note :

E ~

_o

(M) le champ rayonn ´e par l’une de ces antennes plac ´ee

`a l’origine, aliment ´ee par une source d’amplitude complexe

´egale `a 1,

~ r

_n

la position de l’antenne n ,

E ~

_n

(M) le champ rayonn ´e par l’antenne n aliment ´ee par une source d’amplitude complexe I

n

,

alors le champ E ~

_{r ´eseau}

(M) rayonn é par le r éseau est donn é par :

E ~

_{r ´eseau}

(M) = X

n

E ~

n

(M) = E ~

o

(M) X

n

I

n

exp(+jkˆ r · ~ r

n

)

La fonction scalaire g(ˆ r ) = P

n

I

n

exp(+jk ˆ r · ~ r

n

) est appel ´ee

facteur de r ´eseau. Elle ne d ´epend que de l’emplacement des

antennes ´el ´ementaires et de leur alimentation.

(48)

Antennes r ´eseaux (suite)

Conditions de validit é du th éor ème de translation

Les antennes él émentaires ne doivent pas être coupl ées, sinon leurs distributions de courant ne sont pas identiques.

La distance d’observation doit être sup érieure à 2D

²

/λ,

o ù D est la taille du r éseau (rayon de la plus petite sph ère

entourant le r ´eseau).

(49)

Calcul du champ rayonn ´e (suite)

Utilisation de sources ´equivalentes

On remplace les sources de courant ´electrique r ´eelles par des distributions

“virtuelles” permettant d’obtenir les m ˆemes champs tangents sur une surface ferm ´ee entourant l’antenne, ou sur un plan infini.

Application : principe des images

Source “image” permettant de rendre compte de la pr ´esence d’un plan r ´eflecteur.

Le champ obtenu par superposition des champs rayonn ´es par l’image (virtuelle) et par la source r ´eelle est normal au plan conducteur : il est alors

égal au champ rayonn é par la source r éelle en pr ésence du plan r éflecteur dans tout le demi-espace o ù se trouve la source.

(50)

Doublet et son image par rapport au plan r ´eflecteur xOy

(51)

Calcul du champ rayonn ´e (suite)

Autre application : ouverture rayonnante

On utilise les champs dans l’ouverture de l’antenne comme sources “secondaires”.

Exemple : rayonnement d’un cornet

Les champs ´electromagn ´etiques dans l’ouverture du cornet

servent de sources “secondaires” ´equivalentes aux courants

pr ´esents sur les parois int ´erieures du cornet.

(52)

Cornet et son ouverture “ ´equivalente”

(53)

Plan

1

Introduction

2

Le rayonnement ´electromagn ´etique

Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain

Calcul du champ rayonn ´e par une antenne

3

Caract ´eristiques des antennes

Diagramme de rayonnement et directivit é L’antenne c ôt é circuit

Antenne en r ´eception

Bilan de liaison en espace libre

(54)

Diagramme de rayonnement et directivit ´e

Vecteur de Poynting au pointM Π(M~ ) =1

2Re“

~E(M)∧H~^×(M)”

= 1

2ηkE(M)k~ ²ˆr = 1 2η

1

r²|f(ˆr)|²ˆr Densit é de puissance rayonn ée par unit é de surface enM

C’est le produit scalaire du vecteur de Poynting et du vecteur unitaire dans la direction de propagation de l’onde,ˆr :

~Π(M)·ˆr= Π(M) = 1

2ηk~E(M)k² souvent not ´ep(M)

(55)

Densit é de puissance rayonn ée par unit é d’angle solide enM

C’est la densit é de puissance rayonn ée par unit é de surface, multipli ée par la surfacer², d écoup ée au pointMpar un angle solide unitaire (1 st éradian) :

r²Π(M) = 1 2η|f(ˆr)|²

Elle est ind épendante der, not éeU(ˆr)et appel éeintensit é de rayonnement.

(56)

Rep ères et variables pour la d éfinition des densit és de puissance rayonn ée

et le trac ´e des diagrammes de rayonnement 3D.

(57)

Diagramme de rayonnement

C’est la repr ésentation graphique des variations angulaires du champ ou de la (densit é de) puissance rayonn ée.

Variations angulaires :

Variations en fonction des directions de rayonnementˆr i.e. en fonction des angles en coordonn ´ees sph ´eriquesθetφ

avec dans le cas g ´en ´eralθ∈[0, π]etφ∈[0,2π[.

(58)

Diagramme de rayonnement

C’est la repr ésentation graphique des variations angulaires du champ ou de la (densit é de) puissance rayonn ée.

Diff ´erents types de diagrammes :

En champ :|f(θ, φ)| En puissance :U(θ, φ)

Diagrammes normalis ´es :

|f(θ, φ)|/|f(θ, φ)|max et U(θ, φ)/U(θ, φ)max.

Diagrammes en dB (identiques en champ et en puissance) : non normalis ´es : 20 log|f(θ, φ)|=10 logU(θ, φ)

normalis ´es : 20 log(|f(θ, φ)|/|f(θ, φ)|max) =10 log(U(θ, φ)/U(θ, φ)max)

(59)

Diagramme de rayonnement (3D)

(60)

Diagramme de rayonnement (2D)

(61)

Diagramme omnidirectionnel

La densit é de puissance rayonn ée est la m ême dans toutes les directions du plan de rayonnement maximal (en g én éral : antenne à sym étrie cylindrique).

Diagramme 3D d’un doublet électrique (dip ôle de longueur infinit ésimale)

Diagramme 2D d’un dip ˆole demi-onde dans un plan contenant 0z

(62)

Diagramme directif

Le diagramme poss `ede une seule direction de maximum absolu de puissance rayonn ´ee (“direction” du lobe principal).

Diagramme 3D

d’un cornet

(63)

Directivit ´e

Quantifie la façon dont une direction de rayonnement est privil égi ée (ou p énalis ée).

On compare la densit é de puissance rayonn ée dans une direction avec la densit é de puissance rayonn ée moyenne :

D(θ, φ) = U(θ, φ) Umoyen

o `uUmoyen= W 4π

West la puissance totale rayonn ée par l’antenne, qui s’obtient par int égration de l’intensit é d’illuminationUsur l’angle solide total - ou par int égration du flux du vecteur de Poynting à travers une sph ère :

W =

Z θ=π

θ=0

Z φ=2π

φ=0

U(θ, φ)sinθdθdφ

= Z θ=π

θ=0

Z φ=2π

φ=0

Π(r, θ, φ)r²sinθdθdφ

(64)

Directivit ´e d’une antenne

Umoyenest la densit é de puissance rayonn ée par une source isotrope rayonnant la m ême puissance totale rayonn éeW que l’antenne.

Diagrammes 3D

Diagramme 2D d’un dip ˆole demi-onde dans un plan contenant 0z Comparaison des diagrammes de rayonnement d’une source isotrope et d’un dip ˆole

demi-onde, à puissances totales rayonn ées égales.

(65)

Directivit ´e d’une antenne

= sa directivit é dans la direction (ou dans une des directions) o ù elle rayonne la densit é de puissance la plus élev ée (maximum du lobe principal).

Ordres de grandeur de directivit és typiques dip ôle, antenne pav é (unique) : quelques dB alignement de dip ôles ou de pav és : 6 à 15dB cornet, lentille : 15 à 20dB

antenne à r éflecteur(s) ou panneau rayonnant : au-del à de

20dB

(66)

L’antenne c ˆot ´e circuit

A l’ ´emission

L’antenne est vue comme une charge terminale par l’ ´emetteur.

(67)

Circuit équivalent (mod èle de Th évenin)

G én érateur ( émetteur) : f.e.m.Vg(amplitude complexe cr ête),

imp ´edance interneZg=Rg+jXg

Charge (antenne) : imp ´edanceZA=RA+jXA

avecRA=RL+Rr

RL: r ´esistance de pertes Rr : r ´esistance de rayonnement

(68)

Transfert de puissance du g én érateur à l’antenne

La puissance disponible du g én érateur est pour partie r éfl échie, pour partie transmise à l’antenne (puissance incidente) :

P

_disponible

= P

r ´efl ´echie

+ P

_incidente

(69)

Rappels

Puissance disponible d’un g ´en ´erateur

= puissance maximale qu’il peut transmettre `a une charge : Pdisponible=|Vg|²

8Rg

=|Vg<efficace>|² 4Rg

La puissance disponible du g én érateur n’est int égralement transmise à la charge d’imp édanceZtque siZt=Z_g^∗.

Puissance r éfl échie par une charge d’imp édance Z

t

plac ée aux bornes du g én érateur :

P

r ´efl ´echie

= |Γ|

²

P

_disponible

avec Γ = Z

t

− Z

_g^∗

Z

t

+ Z

g

(70)

Transfert de puissance de l’antenne `a l’espace libre

La puissance transmise à l’antenne (puissance incidente) est pour partie dissip ée par pertes ohmiques dans les di électriques ou conducteurs imparfaits au niveau de l’antenne ou de son c âble d’alimentation (feeder).

La puissance restante est rayonn ´ee.

P

_incidente

= P

_{dissip ´ee}

+ P

_{rayonn ´ee}

(71)

Transfert de puissance de l’antenne `a l’espace libre

R ´esistance de rayonnement

Dans un mod èle “circuit”, la puissance rayonn ée est consid ér ée comme dissip ée dans une r ésistance, dite “de rayonnement”, not éeRr:

Prayonn ´ee=1 2Rr|I|²

o ù|I|est l’amplitude du courant parcourant l’antenne (en un point à d éterminer).

R ´esistance de pertes

Dans un mod èle “circuit”, la puissance dissip ée est consid ér ée comme dissip ée dans une r ésistance, dite “de pertes”, not éeRL:

P_{dissip ´ee}=1 2RL|I|²

(72)

Transfert de puissance du g én érateur à l’espace libre

D ésadaptation g én érateur-antenne

P

_incidente

= (1 − |Γ|

²

)P

_disponible

o `u Γ =^Z^A^−Z

∗ g

Z_A+Z_g est le coefficient de r éflexion en entr ée de l’antenne avecZA=RA+jXA(imp édance d’entr ée de l’antenne) etRA=RL+Rr

Coefficient d’efficacit ´e li ´e aux pertes ohmiques : e

_cd

P

_{rayonn ´ee}

= P

_incidente

− P

_{dissip ´ee}

= e

_cd

P

_incidente

o `u e

_cd

≤ 1 Facteur d’efficacit ´e k

_eff

P

_{rayonn ´ee}

= e

_cd

(1 − |Γ|

²

)P

_disponible

= k

_eff

P

_disponible

(73)

Gain d’une antenne

Dans une direction donn ´ee :

Il compare l’intensit é de rayonnement de l’antenne à celle d’une source de r éf érence aliment ée avec la m ême puissance :

G(ˆ r ) = U(ˆ r )/U

_ref

(ˆ r )

Remarques

Si on ne pr ´ecise pas la directionˆr, il s’agit du gain de l’antenne dans sa (ou une de ses) direction(s) de rayonnement maximum.

La puissance qui “alimente” l’antenne, not ée dans la suitePalimentationest la puissance disponible du g én érateur plac é en entr ée de l’antenne, pr éc édemment not éePdisponible.

(74)

Gain isotrope

La source de r ´ef ´erence est une source isotrope : G

_iso

(ˆ r ) = U(ˆ r )

P

alimentation

/4π

G

_iso

(ˆ r ) = P

_{rayonn ´ee}

P

alimentation

U(ˆ r )

P

_{rayonn ´ee}

/4π = e

_cd

(1 − |Γ|

²

) D(ˆ r )

o `uD(ˆr)est la directivit ´e de l’antenne dans la directionˆr.

(75)

Antenne en r ´eception

Mod `ele de type circuit

L’antenne est vue comme un g ´en ´erateur par le circuit de

r ´eception (charge terminale).

(76)

Circuit équivalent (mod èle de Th évenin)

G én érateur (antenne) : f.e.m.VT(amplitude complexe cr ête),

imp ´edance interneZA=RA+jXA

avecRA=RL+Rr

RL: r ésistance de pertes Rr : r ésistance de rayonnement Charge terminale (r écepteur) : imp édanceZT=RT+jXT

(77)

Puissance capt ´ee par l’antenne

Elle est proportionnelle `a la densit ´e de puissance incidente sur l’antenne.

P

c

= p

i

(ˆ r ) A

c

(ˆ r )

pi(ˆr)est la densit ´e de puissance par unit ´e de surface d’une onde plane incidente sur l’antenne en provenance de la directionˆr,

Ac(ˆr)est la surface de captation de l’antenne dans la directionˆr.

La puissance capt ´ee par l’antenne est :

1

dissip ´ee dans la r ´esistance interne R

A

= R

L

+ R

r

du “g én érateur” que constitue l’antenne, c’est- à-dire :

pour une part (PL)dissip éedans la r ésistance de pertesRL, pour l’autre dissip ée dans la r ésistance de rayonnementRr, ce qui signifiere-rayonn ée(diffract ée Pd),

2

r éfl échie en entr ée de la charge terminale (r écepteur),

3

transmise (P ) `a la charge terminale (r ´ecepteur).

(78)

Aire ´equivalente, ou “ouverture efficace”, ou

“surface effective” en r ´eception

On appelle aire équivalente en r éception de l’antenne dans une direction donn ée ˆ r , le rapport :

A

e

(ˆ r ) = P

T

/p

i

(ˆ r )

En raison du principe de r éciprocit é, on a pour toutes les antennes le m ême rapport A

e

(ˆ r )/G(ˆ r ) quel que soit ˆ r . On peut montrer que ce rapport vaut

^λ_4π²

:

A

e

(ˆ r ) = λ

²

4π G(ˆ r )

(79)

Calcul du rapport de la puissance reçue à la puissance émise pour une liaison point à point :

Soit 2 antennes, l’une utilis ée à l’ émission, l’autre en r éception.

NB : On appelle “puissance reçue” la puissance transmise à la charge terminale que constitue le r écepteur. On note donc cette puissancePr au lieu dePTpr éc édemment.

(80)

Ge(θe, φe) = pi(R, θe, φe)

Pe 4πR²

o ùpi(R, θe, φe)est la densit é de puissance incidente sur l’antenne de r éception.

pi(R, θe, φe) =Ge(θe, φe) Pe

4πR²

La puissance transmise par l’antenne de r ´eception au r ´ecepteur est alors : Pr =Ae(θr, φr)pi(R, θe, φe)

=Ae(θr, φr)Ge(θe, φe) Pe

4πR² Pr

Pe

=Ae(θr, φr)Ge(θe, φe) 1 4πR²

(81)

On dispose de 2 antennes, appel ´ees “antenne 1” et “antenne 2”.

Dans un premier temps on choisit l’antenne 1 comme antenne d’ ´emission, et l’antenne 2 comme antenne de r ´eception. Dans ce cas :

Pr

Pe

=A2(θ2, φ2)G1(θ1, φ1) 1 4πR² Si l’on inverse les r ˆoles des 2 antennes, on a :

Pr

Pe

=A1(θ1, φ1)G2(θ2, φ2) 1 4πR² Compte tenu du principe de r ´eciprocit ´e,^P_P^r

e est le m ˆeme dans les deux cas : A2(θ2, φ2)

G2(θ2, φ2) = A1(θ1, φ1) G1(θ1, φ1)

Cette ´egalit ´e est vraie quelles que soient les antennes et les directions de rayonnement choisies.

Le rapportAe(ˆr)/G(ˆr)est donc une constante universelle.

On montrera (en TD) que cette constante vaut ^λ_4π².

(82)

Bilan de liaison en espace libre

Unbilan de liaison(sous entendu : en puissance) exprime :

la puissance reçuePr (= puissance reçue par le r écepteur apr ès pertes dans l’antenne et d ésadaptation éventuelle antenne-r écepteur) en fonction de la puissance émisePe(encore appel ée “puissance transmise” = puissance disponible du g én érateur)

pour une liaison entre un syst ème d’ émission et un syst ème de r éception.

Laformule de transmission de Friis pour les antennesexprime un bilan de liaison pour des antennesen visibilit ´e et en espace libre(pas

d’obstacles ni de trajets multiples), en fonction :

des gains des antennes :Gegain de l’antenne utilis ée à l’ émission, et Gr gain de l’antenne utilis ée à la r éception

des caract ´eristiques de la liaison : longueur d’ondeλ, distance entre les antennesR

(83)

Comme vu pr ´ec ´edemment :

Pr=PeAe(r)(θr, φr)Ge(θe, φe) 1 4πR²

o ùAe(r)(θr, φr)est la surface équivalente en r éception de l’antenne utilis ée en r éception. OrAe(r)(θr, φr) =_4π^λ²Gr(θr, φr), d’o ù :

Pr =PeGe(θe, φe)Gr(θr, φr)

„ λ 4πR

«2

Formule de transmission de Friis pour les antennes P

r

= P

e

G

e

(θ

r

, φ

r

)G

r

(θ

e

, φ

e

)

Att

_el

o `u Att

_el

=

4πR λ

2

est appel ´e “att ´enuation d’espace libre”.

(84)

P.I.R.E.

LaPuissance Isotrope Rayonn ée Equivalente (PIRE)caract érise un syst ème d’ émission (g én érateur+antenne, avec les c âbles d’alimentation et circuits interm édiaires éventuels) : c’est la puissance totale que devrait rayonner une source isotrope pour rayonner la m ême densit é de puissance que l’antenne dans sa direction de rayonnement maximal.

Pour une antenne de gainGealiment ée avec une puissancePe, la densit é de puissance maximale rayonn ée par unit é d’angle solide est égale à :

Umax=PeGe

4π

Une source isotrope rayonne la m ˆeme densit ´e de puissance dans toutes les directions.

La puissance totale rayonn ée par une source isotrope dont l’intensit é de rayonnement vautUmaxest donc égale à : 4πUmax, soitPeGe.

PIRE = P

e

G

e