I. Angles orientés Le radian Angle défini sur l ensemble des réels Angles remarquables sur le cercle... 2

Texte intégral

(1)TRIGONOMETRIE Table des matières I.. Angles orientés ......................................................................................................................... 1 1. 2. 3.. II.. Le radian............................................................................................................................................. 1 Angle défini sur l’ensemble des réels ................................................................................................. 1 Angles remarquables sur le cercle ...................................................................................................... 2. Trigonométrie ............................................................................................................................ 2 1.. Dans le triangle rectangle ................................................................................................................... 2 Définition : Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴, on définit les rapports suivants :........................................... 2 2. Définition ............................................................................................................................................ 3 3. Tableau des angles remarquables ...................................................................................................... 3 4. Relations trigonométriques ................................................................................................................. 3 5. Equations trigonométriques ................................................................................................................ 4 Exercice d’application ....................................................................................................................................................... 4 6. Lignes trigonométriques dans le cercle ............................................................................................... 5. III. 1. 2. 3.. Fonctions sinus et cosinus ..................................................................................................... 5 Définition ............................................................................................................................................ 5 Propriétés............................................................................................................................................ 5 Variations ........................................................................................................................................... 6. Première générale – spécialité mathématique www.plusdebonnesnotes.com.

(2) Trigonométrie. I.. ANGLES ORIENTES. 1. Le radian Définition : Le radian est une unité de mesure d’un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l’arc entre deux points du cercle unité. Le demi-cercle unité ayant une longueur de 𝜋, on a 180° = 𝜋 𝑟𝑑 La mesure d’un degré en radian vaut : 1 𝑟𝑑 =. 180 = 57° 𝜋. Voici un tableau qui donne la conversion de quelque angle remarquable :. Remarque : le tableau précédent est un tableau de proportionnalité de 𝜋 coefficient : 𝑘 = 180 Le cercle unité est aussi appelé le cercle trigonométrique :. 2. Angle défini sur l’ensemble des réels Définition : On appelle 𝑑 la droite tangente au cercle unité en 𝐼. A un point 𝑀(1; 𝑥) de la droite 𝑑, on associe un point 𝑀1 par enroulement de 𝑑 sur le cercle unité. Au réel 𝑥, on associe alors l’angle en radian, formé par les points 𝑂, 𝐼 et 𝑀1 compté positivement ou négativement suivant le sens de la rotation. Le sens positif ou trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Remarque : Si on choisit un point 𝑀 sur la droite, on va trouver un unique point 𝑀1 sur le cercle trigonométrique. Si on choisit un point 𝑀1 sur le cercle, alors il y a une infinité de points 𝑀 sur la droite qui lui correspondent.. Première générale – spécialité mathématique www.plusdebonnesnotes.com Page 1.

(3) Trigonométrie. Cela signifie qu’il y a une infinité d’angles en radian qui correspondent au même point sur le cercle trigonométrique. Exemple : Les angles 𝜋 et 3𝜋 correspondent au même point sur le cercle trigonométrique car 3𝜋 − 𝜋 = 2𝜋, ce qui correspond à un tour complet. De même les angles. 𝜋 6. et. 13𝜋 6. correspondent au même point sur le cercle. trigonométrique car leur différence vaut 2𝜋. De manière générale, si l’écart entre deux angles en radian 𝑥 et 𝑥′ vaut un multiple de 2𝜋 à savoir 𝑥 − 𝑥 ′ = 𝑘 × 2𝜋 où 𝑘 est un entier relatif, alors les deux points du cercle correspondants sont confondus.. 3. Angles remarquables sur le cercle Voici les angles remarquables sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle ]−𝜋; 𝜋] :. II.. TRIGONOMETRIE. 1. Dans le triangle rectangle Définition : Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴, on définit les rapports suivants :. Première générale – spécialité mathématique www.plusdebonnesnotes.com Page 2.

(4) Trigonométrie 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é sin(𝐵̂ ) = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒. 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 cos(𝐵̂ ) = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒. 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑐𝑜𝑠é tan(𝐵̂ ) = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡. 2. Définition Définition : 𝑀 est le point du cercle trigonométrique associé au réel 𝑥 : cos(𝑥) = 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑀 sin(𝑥) = 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑀 sin(𝑥). tan(𝑥) = cos(𝑥) Par conséquent : −1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1 𝑒𝑡 − 1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1 sin2 (𝑥) + cos2 (𝑥) = 1. 3. Tableau des angles remarquables Démonstration : Voir la partie exercice de ce chapitre. Ces résultats sont à connaitre par cœur.. 4. Relations trigonométriques ∀𝑥 ∈ ℝ, −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1 ∀𝑥 ∈ ℝ, −1 ≤ sin(𝑥) ≤ 1. Première générale – spécialité mathématique www.plusdebonnesnotes.com Page 3.

(5) Trigonométrie. 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) = 1 sin(−𝑥) = −sin(𝑥) cos(−𝑥) = cos(𝑥) sin(𝜋 − 𝑥) = sin(𝑥) cos( 𝜋 − 𝑥) = − cos(𝑥) sin(𝜋 + 𝑥) = −sin(𝑥) cos(𝜋 + 𝑥) = − cos(𝑥) 𝜋. sin (𝑥 + 2 ) = cos(𝑥) 𝜋. cos (𝑥 + ) = −sin(𝑥) 2. 5. Equations trigonométriques Soit 𝑎 un nombre réel compris dans l’intervalle : [−1; 1]. On considère l’équation : cos(𝑥) = 𝑎 On trouve d’abord un angle 𝛼 tel que cos(𝑥) = cos(𝛼) Ensuite on donne les solutions sous la forme : 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ou 𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋 où 𝑘 est un entier. De même on peut résoudre les équations sous la forme sin(𝑥) = 𝑎 On trouve d’abord un angle 𝛼 tel que sin(𝑥) = sin(𝛼), puis on donne les solutions sous la forme : 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ou 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋 Exercice d’application Résoudre dans ℝ l’équation : 2 sin(𝑥) + √3 = 0. Première générale – spécialité mathématique www.plusdebonnesnotes.com Page 4.

(6) Trigonométrie. 6. Lignes trigonométriques dans le cercle. III.. FONCTIONS SINUS ET COSINUS. 1. Définition Définition : Les fonctions sinus et cosinus, notés 𝑐𝑜𝑠 et 𝑠𝑖𝑛, sont les fonctions définies sur ℝ par :. Rmarque : Comme à tout réel 𝑥 on peut associer un angle, les fonctions sin et cos sont tout naturellement définies sur ℝ. On devrait en toute rigueur écrire sin(𝑥) et non sin 𝑥 mais l’usage préfère la notation sin 𝑥 sans parenthèses, plus simple.. 2. Propriétés Propriétés : Les fonctions sin et cos sont 2𝜋 −périodiques : ∀ 𝑥 ∈ ℝ, sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ℝ, cos(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥 Les fonctions sin et cos sont respectivement impaires et paires : ∀𝑥 ∈ ℝ, sin(−𝑥) = − sin 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ℝ, cos(−𝑥) = cos 𝑥 Leur courbes représentatives sont donc symétriques respectivement par rapport à l’origine et à l’axe des ordonnées. Première générale – spécialité mathématique www.plusdebonnesnotes.com Page 5.

(7) Trigonométrie. hosto ) -1 Simla). -. 3. Variations Théorème : les fonctions sin et cos sont dérivables sur ℝ : 𝑠𝑖𝑛′ (𝑥) = cos(𝑥) cos ′(𝑥) = −sin(𝑥) Exercice d’application : Etudier les variations des fonctions sin et cos sur ℝ :. Première générale – spécialité mathématique www.plusdebonnesnotes.com Page 6. O. -.

(8) 19/03/21. Première Générale Trigonométrie TD. :. ±. :. .. f- f=. xtI-gItkxztonktk.lt/2sinlxtI. n' 16. 1). :. d-. ). 41. 1=0. -. x. .. -1¥ III KXZT. -. -. 2X. +3. tkxlîsinlxttfttz 1--1. isinlxt. -3¥. a-. .. X=. kxzî. t. .. .. sinlxtrqfsin. (E). Ou. théîoù l' EX. x¥= ". ¥4 par. +. µ. ET # tlézî _. '. a. ⇐. % ¥. +. -. l' 2T. '. m. ,. ". +. =. .. ¥T. +. KKUT. Kf3 =3 .. +. =3 -3 X. 4). lool. 2x. Coster "". 2x. La. -. -. Is ). g). =L. =. -. =. IZTIZTKXUT 2¥. t. KXLI. Lez. Iztktt. .. M. osti ). Ê Izthxzî =. a.. d'. =. .. 2x. =. x=. # t' XLT. d' T. .. +. l' xzî. .. -. O. ..

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