ATS ATS
Jules Ferry
TD 4 : Oscillateurs mécaniques en régime sinusoïdal forcé
M5
Exercice 1 : Détermination expérimentale des caractéristiques d'un oscillateur
À partir du relevé expérimental ci-dessous de la courbe de résonance en élongation d'un oscillateur forcé amorti, et sachant que la courbe d'évolution du déphasage (non fournie) fait apparaître un retard de phase de π/2 pour une pulsation d'excitation de 14 rad.s-1, déterminer les caractéristiques suivantes :
• la masse m ;
• le coefficient de frottement visqueux ;
• le coefficient de raideur k.
Il est précisé que le mouvement obéit à l'équation différentielle suivante : mx¨ ˙xk x=Fesinωt avec Fe=100N.
Exercice 2 : Modélisation d'un accéléromètre embarqué
L'accéléromètre est modélisé par un simple mobile de masse m posé sur un support horizontal et pouvant se déplacer le long de l’axe des x. Le mobile est relié au support par des systèmes ressorts/amortisseurs décrivant le comportement mécanique des éléments d'un accéléromètre réel (raideur k , coefficient de frottement f ).
On note xc la position du centre de masse du mobile en mouvement et xb sa position au repos par rapport au support ( xb correspond aussi à la position du support et ne varie que si le support se déplace, c’est-à-dire si l’accéléromètre se déplace en bloc).
Ce mobile subit les effets de l’accélération a(t)= ¨xb du support. Le rôle de ce système est de permettre la mesure de cette accélération a(t).
L’analyse des forces donne l’équation de mouvement du centre de masse de la partie mobile (dans ce modèle, il n’y a pas de frottement entre la partie horizontale du support et le bas de la partie mobile).
Quand le « ressort 2 » est en compression (force de rappel ⃗T2), le « ressort 1 » est en extension (force de rappel T⃗1 ) et réciproquement, ce avec proportionnalité à l’élongation L=xc−xb.
Les forces de freinage ⃗F1 et ⃗F2 sont similaires dans les deux cas et proportionnelles à la vitesse relative ( ˙xc–x˙b) du mobile par rapport au support.
On obtient alors l’équation de mouvement en élongation L(t) : d2L dt2 +2 f
m dL
dt +2k
m L(t)=−a(t) (1) L’analyse harmonique se fait sur l’équation complexe associée (transformation d
dt→ jω). On obtient : L
a=
− m 2k 1−
(
ωω0)
2+2 jμ ωω0(2)
Mesurer le déplacement L(t) revient donc à mesurer l'accélération du support seulement dans le cas où ω≪ω0 : L(t)≈− m
2k a(t) (3).
ω (rad/s)
1. Établir l'équation différentielle (1) du document 1 et la mettre sous la forme canonique suivante : d2L
dt2 +2μω0
dL dt +ω0
2L(t)=−a(t). Établir les expressions de μ et ω0. Que représentent ces grandeurs ?
2. Établir l'équation (2) du document 1. Si on considère a(t) comme signal d'entrée et L(t) comme signal de sortie, quel type de filtre est l'accéléromètre ?
3. Pourquoi faut-il avoir une pulsation ω≪ω0 ?
Exercice 3 : RSF en électrocinétique
Les systèmes électroniques sont régulièrement soumis à des tensions sinusoïdales et peuvent être étudiés dans le cadre des oscillations forcées (en même temps, si ce n'est pas le cas, on utilise les séries de Fourier …).
On considère le circuit ci-contre excité par un générateur sinusoïdal de tension : e(t)=Ecos(ωt).
L'équation qui régit l'évolution temporelle de u(t) est : RC d2u
dt2 +du dt+R
Lu(t)=de dt
1. Montrer qu'en régime sinusoïdal forcé, l'amplitude complexe de u(t) peut se mettre sous la forme
U= E
1+j R
√
CL(
ωω0−ωω0)
.Remarque : j2=−1 ; il n'est pas appelé i pour ne pas confondre avec une intensité …
2. Donner les valeurs de l'amplitude U de u(t) lorsque ω→0 et ω→∞ et montrer astucieusement qu'il y a résonance pour une pulsation particulière ωr dont on donnera l'expression.
3. Exprimer la phase de u(t) lorsque ω=ω0. 4. Exprimer la largeur de la bande passante Δ ω.
Remarque : il s'agit du fonctionnement des récepteurs radios !
Exercice 4 : Action d'un filtre électrocinétique sur un signal périodique
Le même signal e(t) périodique, dont le spectre en fréquence est donné figure 1, est envoyé à l'entrée de trois filtres électrocinétiques différents. On donne les spectres en fréquence du signal de sortie pour chaque filtre (figures 2, 3 et 4).
Quelles caractéristiques de chaque filtre peut-on en déduire ?
e(t) u(t)
Pour aller plus loin ...
Exercice 5 : Le bleu du ciel (modèle « classique » de l'électron élastiquement lié)
Pour décrire l'interaction entre une onde lumineuse et un électron d'un atome (ou d'une molécule), on utilise le modèle suivant (modèle de l'électron élastiquement lié) : l'électron, assimilé à un point matériel M de masse me, subit une force de rappel dirigée vers le centre O de l'atome ⃗F=−k⃗OM , une force de frottement fluide
⃗f=−h⃗v et la force due au champ électrique de l'onde lumineuse ⃗Fe(t)=−e⃗E(t) avec, ici,
⃗E(t)=E0cos(ωt)⃗ex et e la charge électrique élémentaire. Le poids de l'électron est négligé.
1. Établir les équations différentielles du mouvement de l'électron pour le modèle précédent suivant les axes Ox, Oy et Oz. On posera 2ξ ω0= h
me et ω0=
√
mk .2. On étudie maintenant le régime permanent. Montrer que l'électron oscille parallèlement à l'axe Ox.
3. Déterminer les amplitudes Xm de x(t) et Am de ax(t) (accélération de l'électron suivant l'axe Ox).
4. Cet atome se situe dans l'atmosphère et est éclairé par la lumière blanche du Soleil. Ainsi, la lumière éclairant l'atome est composée de champs électriques ayant toutes les pulsations comprises entre 1
(rouge) et 2 (violet) avec 2≈21. Sachant que 2 est très inférieur à 0 et que ≪1, montrer que l'amplitude Am est proportionnelle à 2.
5. On admet qu'un électron accéléré émet de la lumière dont la puissance moyenne est proportionnelle au carré de l'amplitude de son accélération. Expliquer la couleur bleue du ciel.
