Arithmétique. Chapitre 10 DIVISIBILITÉ. Sommaire. 1) La propriété fondamentale

Chapitre 10

Arithmétique

Sommaire

I Divisibilité . . . 96

1) La propriété fondamentale . . . 96

2) La division euclidienne . . . 97

3) Congruences . . . 97

4) Diviseurs communs . . . 97

II Éléments premiers entre eux . . . 98

1) Théorème de Bézout . . . 98

2) Conséquences. . . 99

III Le plus grand diviseur commun . . . 99

1) Définition . . . 99

2) Propriétés . . . 100

3) Généralisation. . . 101

IV Le plus petit multiple commun . . . 102

1) Définition . . . 102

2) Propriétés . . . 102

V Nombres premiers, décomposition . . . 103

1) Définition . . . 103

2) Décomposition en facteurs premiers . . . 104

3) Notion de valuationp-adique . . . 104

4) Applications . . . 105

VI Solution des exercices . . . 106

I DIVISIBILITÉ

1) La propriété fondamentale

Toute partie de

non vide et minorée admet un plus petit élément.

Théorème 10.1

Preuve: Soit A une partie deZnon vide et minorée par un entiern₀. Soit M l’ensemble des minorants de A, on an₀∈M, supposons quen∈M =⇒ n+1∈M, alors d’après le principe de récurrence,∀n∈Z,n>ⁿ0 =⇒ n∈M. Soitp∈A, p>ⁿ0, doncp+1∈M ce qui entraîne quep+16^p: absurde, donc il existe un entiern₁tel quen₁∈M etn₁+1∉M, mais alors il existe un élémentp₁de A tel quep₁<n₁+1, d’oùn₁6^p1<n₁+1, ce qui entraînep₁=n₁, et doncn₁∈A,

nécessairementn₁est le plus petit élément de A.

• Toute partie non vide et majorée de

admet un plus grand élément. En effet, si A est non vide majorée, alors − A = { − a / a ∈ A} est non vide minorée, donc − A admet un plus petit élément − n

, ce qui signifie que n

est le plus grand élément de A.

• Toute partie non vide de

admet un plus petit élément (propriété fondamentale de

).

À retenir

Divisibilité Chapitre 10 : Arithmétique 2) La division euclidienne

Soient a ∈

et b ∈

, il existe un unique couple d’entiers (q, r ) tel que a = bq + r avec 0 6 ^r < |b|, q est appelé le quotient, et r le reste.

Théorème 10.2

Preuve: Supposonsb>0 : soit B={b(n+1) /n∈Z}, alors B est non majoré et non minoré, donc il existe un entiern₁ tel quea<b(n₁+1) et il existe un entiern₂tel queb(n₂+1)<a. Soit A={n∈Z/a<b(n+1)}, alors A est non vide (n₁∈A) et minoré parn₂, donc A admet un plus petit élémentq, d’oùbq6^a<b(q+1), en posantr=a−bq, on a a=bq+ret 06^r<b= |b|.

Supposonsb<0 : on applique ce qui précède à−b>0, il existe un entierqet un entierrtels quea=(−b)q+r= b(−q)+ravec 06^r< −b= |b|.

Montrons l’unicité : sia=bq+r=bq⁰+r⁰avec 06^r< |b|et 06^r0< |b|, alors|r−r⁰| = |bq⁰−bq| = |b||q⁰−q| < |b|,

d’oùq⁰=q(ce sont des entiers) et doncr⁰=r.

Soient a, b ∈

, on dit que b divise a lorsqu’il existe k ∈

tel que a = bk. Notation : b | a.

Définition 10.1

Remarque 10.1 –

On a ainsi défini une relation dans

, elle est réflexive, non symétrique, non antisymétrique, et transitive.

F^{Exercice10.1 Soient a,b}∈Zet n∈N, montrer que a−b|aⁿ−bⁿ.

Soient a, b ∈

avec b 6= 0, alors b | a ssi le reste dans la division euclidienne de a par b est nul.

Théorème 10.3

Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice.

Notation

: Soit n ∈

, on note n

l’ensemble des multiples de n, n

= {kn / k ∈

}.

• b | a ⇐⇒ a ∈ bZ.

• Si a 6= 0, alors b | a =⇒ |b| 6 |a |.

• (a | b et b | a) ⇐⇒ a

= b

⇐⇒ a =

b avec

= ± 1 [on dit que a et b sont associés].

• Si b | a et b | c alors ∀ u , v ∈

| au + c v.

• Si nb | na et si n 6= 0, alors b | a . Théorème 10.4

3) Congruences

Soient a, b,n ∈

, on dit que a est congru à b modulo n lorsque n | a − b. Notation : a ≡ b (mod n ).

Définition 10.2

• La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence.

• Soient a, b, c,d ,n ∈

, si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n ) alors : ac ≡ bd (mod n) et a + c ≡ b + d (mod n).

On dit que la relation de congruence est compatible avec les opérations.

Théorème 10.5

Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice.

Remarque 10.2 –

Soit a, n ∈

avec n 6= 0, a ≡ r (mod n) et 0 6 ^r < |n| si et seulement si r est le reste de la division de a par n.

Z

^{: Dans}

, si n = a

+10a

+· · ·+ 10

a

(écriture décimale) alors n ≡ a

+· · ·+ a

(mod 3) car 10

≡ 1 (mod 3)

4) Diviseurs communs

Éléments premiers entre eux Chapitre 10 : Arithmétique

Pour a ∈

, on note D

l’ensemble des diviseurs de a. Si a, b ∈

, on note D

l’ensemble des diviseurs communs à a et b, on a donc D

= D

∩ D

, cet ensemble contient toujours ± 1.

Définition 10.3

Remarque 10.3 –

– Pour tout élément a ∈

, ±1 | a.

– Si a 6= 0, alors D

est un ensemble fini, plus précisément D

⊂ J −| a | ; | a | K ^. – D

=

, D

= {± 1}.

– Si a et b sont dans

: D

= D

(on en déduit que D

= D

).

Soient a, b,q , r ∈

, si a = bq + r , alors D

= D

. Théorème 10.6

Preuve: Sid∈D_a,b, alorsd|aetd|bdoncd|a−bq i.e. d|r, doncd∈D_b,r.

Réciproquement, sid∈D_b,r, alorsd|betd|rdoncd|bq+r i.e. d|a, d’oùd∈D_a,b. Application –Le théorème ci-dessus fournit un algorithme pour la recherche des diviseurs communs àaetb(entiers naturels) basé sur la division euclidienne : c’estl’algorithme d’Euclide¹, voici son principe :

On remarque que si b = 0 alors D

= D

. On peut supposer désormais que b 6= 0 et on cherche à calculer D = D

:

Étape 1 : on effectue la division euclidienne de a par b, a = bq

+ r

avec 0 6 ^r

< b. On a D = D

, donc si r

= 0 alors D = D

, sinon on passe :

Étape 2 : on effectue la division euclidienne de b par r

, b = r

q

+ r

avec 0 6 ^r

< r

. On a D = D

, donc si r

= 0 alors D = D

, sinon on passe :

Étape 3 : on effectue la division euclidienne de r

par r

; r

= r

q

+ r

avec 0 6 ^r

< r

. On a D = D

, donc si r

= 0 alors D = D

, sinon on passe à l’étape 4...

La suite des restes obtenus est une suite strictement décroissante d’entiers positifs, elle est donc néces- sairement finie, i.e. il existe un entier n > 1 tel que r

= 0, l’ensemble cherché est donc D = D

(avec la convention r

= b).

D

= D

où r est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

À retenir

Z

: Cherchons les diviseurs communs à a = 336 et b = 210

– on effectue la division de a par b : 336 = 1 ×210 + 126, donc D

= D

.

– on effectue la division de 210 par 126 : 210 = 1 × 126 + 84, donc D

= D

= D

. – on effectue la division de 126 par 84 : 126 = 1 × 84 +42, donc D

= D

.

– on effectue la division de 84 par 42 : 84 = 2 × 42 +0, donc D

= D

= D

, c’est à dire : D

= {±1,±2, ±3, ±6,±7, ±14,±21, ±42}.

II ÉLÉMENTS PREMIERS ENTRE EUX 1) Théorème de Bézout

Soient a ,b ∈

, on dit que a et b sont premiers entre eux (ou a est premier avec b) lorsque le seul diviseur commun positif est 1, i.e. D

= { ± 1}.

Définition 10.4

1. EUCLIDE(300 av. J.C. – 275 av. J.C. environ) : on ne sait pratiquement rien de sa vie, il était vraisemblablement grec. Son œuvre est colossale et son ouvrage fondamental « Les éléments » regroupe toutes les connaissances de l’époque, il faudra près de vingt siècles pour dépasser son œuvre.

Le plus grand diviseur commun Chapitre 10 : Arithmétique

– Dire que a est premier avec b revient à dire que le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide est 1.

– Si a est premier avec b, alors au moins un des deux est non nul (sinon l’ensemble des diviseurs communs est

).

– a est premier avec a si et seulement si a ± 1.

Soient a,b ∈

a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u , v ∈

tels que au +bv = 1. Les entiers u et v sont appelés coefficients de Bézout (non uniques en général).

Théorème 10.7

Preuve: Supposons queuetvexistent et soitdun diviseur commun àaetb, alorsd|aetd|b, doncd|au+bv i.e.

d|1, doncd= ±1 ce qui prouve queaetbsont premiers entre eux.

Réciproquement : siaest premier avecb. En appliquant l’algorithme d’Euclideon vérifie qu’à chaque étape le rester_kpeut se mettre sous la former_k=au_k+bv_kavecu_ketv_kdansZ(récurrence) (algorithme d’Euclide étendu), comme le dernier reste non nul est 1, il existe bienuetvdansZtels que 1=au+bv(de plus on sait les calculer !).

Z

^: ∀ n ∈

,n et n + 1 sont premiers entre eux, puisque n + 1 − n = 1.

2) Conséquences

Si a est premier avec b et si a est premier avec c, alors a est premier avec le produit bc. On en déduit que si a est premier avec c

, . . . , c

, alors a est premier avec le produit c

× . . . × c

.

Théorème 10.8

Preuve: Il existeu,v∈Ztels queau+bv=1, il existep,q∈Ztels queap+c q=1. On effectue le produit de ces deux relations, ce qui donnea(uc q+uap+pbv)+bc(v q)=1, d’après le théorème deBézout,aetbcsont premiers entre

eux. Une simple récurrence surnpermet de démontrer la généralisation.

Si a est premier avec c, si a | b et si c | b, alors ac | b . Théorème 10.9

Preuve: Il existeu,v∈Ztels queau+c v=1, on multiplie parb, ce qui donne :bau+bc v=b, orc|bdoncac|bau, et a|bdoncac|bc v, ce qui entraîneac|bau+bc v i.e. ac|b.

Remarquons que ce théorème est faux lorsqueaetcne sont pas premiers entre eux, par exemple : 2|12 et 4|12

mais 2×4=86 |12.

Si a | bc et si a est premier avec c, alors a | b.

Théorème 10.10

Preuve: Il existeu,v∈Ztels queau+c v=1, on multiplie parb, ce qui donnebau+bvc=b, ora|bcdonca|bau+bc v,

i.e. a|b.

F^Exercice10.2 Résoudre dansZl’équation17x+12y=3.

III LE PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN

1) Définition

Soient a ,b ∈

non tous deux nuls (i.e. a 6= 0 ou b 6= 0), on sait que D

= D

où r est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide, on voit que les diviseurs communs à a et b ont une valeur absolue inférieure ou égale à celle de r et donc r est le plus grand diviseur commun.

Soient a, b ∈

non tous deux nuls, on appelle pgcd de a et de b le plus grand diviseur commun.

Notation : pgcd(a ,b) ou a ∧ b, c’est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Définition 10.5

2. BÉZOUT Étienne(1730 – 1783) : mathématicien français, l’un des précurseurs de la géométrie algébrique.

Le plus grand diviseur commun Chapitre 10 : Arithmétique

Il en découle que deux éléments a et b de

seulement si pgcd(a, b) = 1.

Si a, b ∈

sont non tous deux nuls alors ∀q ∈

, pgcd(a, b) = pgcd(a − bq, b).

Théorème 10.11

Preuve: Soitr=a−bq, on aa=bq+ret on sait alors que D_a,b=D_b,r, le résultat en découle.

Listing 10.1 –

euclide pour a et b positifs

1 def p g c d(a,b) :

2 A,B = a,b

3 w h i l e B != 0:

4 A,B = B, A%B

5 r e t u r n(A) # d e r n i e r r e s t e non nul

F^Exercice10.3

1/Prouver la terminaison de l’algorithme.

2/Montrer que l’on a l’invariant de boucle de boucleP(k)=«pgcd(a,b)=pgcd(A_k, B_k)».

3/Conclure.

Z

: Soit à calculer d = pgcd(3282, 1281) : – 3282 = 2 × 1281 +720, donc d = pgcd(1281, 720), – 1281 = 1 × 720 +561, donc d = pgcd(720, 561), – 720 = 1 × 561 + 159, donc d = pgcd(561, 159), – 561 = 3 × 159 + 84, donc d = pgcd(159, 84), – 159 = 1 × 84 +75, donc d = pgcd(84, 75), – 84 = 1 × 75 + 9, donc d = pgcd(75, 9), – 75 = 8 × 9 + 3, donc d = pgcd(9, 3), – 9 = 3 × 3 +0, donc d = 3.

2) Propriétés

Soient a, b ∈

non tous deux nuls, et soit d ∈

. On a alors :

• d = pgcd(a ,b) ⇐⇒ d | a, d | b et ∃ u, v ∈

tels que au + bv = d.

• d = pgcd(a ,b) ⇐⇒ ∃ u, v ∈

premiers entre eux, tels que a = d u et b = d v . Théorème 10.12

Preuve: Pour le premier point : Sid=pgcd(a,b), cela découle d l’algorithme d’Euclide étendu.

Sid|a,d|bet∃u,v∈Ztels queau+bv=d, alorsdest diviseur commun àaetb, et la deuxième relation entraîne que tout diviseur commun àaetbest un diviseur ded, doncd=pgcd(a,b) (détant positif ).

Pour le second point : Sid=pgcd(a,b) alors il existeu,v∈Ztels quea=d uetb=d v, soitk=u∧v, alorskd diviseaetb, donc|kd|6|d|ce qui entraîne|k|6^{1 et donck}=1.

Sia=d u,b=d vavecu∧v=1, alorsdest un diviseur commun àaetb, d’après le théorème deBézout, il existe α,β∈Ztels queαu+βv=1, d’oùd=αa+βb, et donc d’après le premier point,i.e. d=a∧b.

Soient a, b ∈

non tous deux nuls :

a) ∀ n ∈

, si n | a et n | b, alors n | pgcd(a, b).

b) ∀ k ∈

, pgcd(ka, kb) = k pgcd(a, b).

c) ∀ n ∈

, b

) = pgcd(a, b)

.

d) Si a et c sont premiers entre eux, alors pgcd(a ,bc) = pgcd(a, b).

Théorème 10.13

Preuve: Pour le premier point : Soitd=pgcd(a,b), alors D_a,b=D_ddonc tout diviseur commun àaetbest un diviseur ded.

Pour le deuxième point : soitd=pgcd(a,b), alors il existeu,v∈Zpremiers entre eux tels quea=d uetb=d v, d’oùka=kd uetkb=kd v, donckd=pgcd(ka,kb).

Pour le troisième point : en reprenant les notations ci-dessus,aⁿ=dⁿuⁿetbⁿ=dⁿvⁿ, oruetvsont premiers entre eux, doncuⁿetvⁿaussi (conséquence du théorème deBézout), par conséquentdⁿ=pgcd(aⁿ,bⁿ).

Pour le dernier point : on reprend les notations ci-dessus,a=d uetbc=d c vmaisu|aetaest premier avecc, doncuest premier avecc, d’oùuest premier avecc v, et doncd=pgcd(a,bc).

Le plus grand diviseur commun Chapitre 10 : Arithmétique 3) Généralisation

Soient a ,b, c trois entiers non tous nuls, l’ensemble des diviseurs communs à a, b et c est : D

= D

∩ D

∩ D

= (D

∩ D

) ∩ D

= D

∩ (D

∩ D

)

or on sait que D

∩ D

= D

, donc D

= D

= D

. Ces deux entiers étant strictement positifs, on a (a ∧ b) ∧c = a ∧ (b ∧c) et ce nombre est le plus grand diviseur positif commun à a , b et c. Par définition ce nombre est le pgcd de a, b et c, on le note : pgcd(a, b,c) .

Soient a, b,c trois entiers avec b non nul, alors pgcd(a ,b, c) = (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c).

Théorème 10.14

L’associativité du pgcd permet de ramener le calcul au cas de deux entiers.

À retenir

Notons d

= a ∧ b et d = pgcd(a ,b, c), alors d = d

∧ c, donc il existe deux entiers u

et w tels que d = d

u

+ c w, de même, il existe deux entiers

et

tels que d

=

a +

b, d’où en remplaçant, d = a

u

+ b

u

+ c w = au + bv + c w avec u, v, w ∈

Réciproquement, si d est un diviseur commun positif, et si d = au +bv + c w , alors il est facile de voir que tout diviseur commun à a, b et c est un diviseur de d et donc d = pgcd(a ,b, c), d’où le théorème :

Soient a, b,c trois entiers non tous nuls et d ∈

, alors :

d = pgcd(a,b, c) ⇐⇒ d ∈ D

et ∃u, v, w ∈

, d = au +bv + c w.

Théorème 10.15

Soient a, b,c trois entiers non tous nuls, on dira que ces trois nombres sont :

•

lorsque pgcd(a, b,c) = 1.

•

lorsque pgcd(a, b) = pgcd(b, c) = pgcd(a, c) = 1.

Définition 10.6

Les deux notions ne sont pas équivalentes,la deuxième entraîne la première mais la réciproque est faussecomme le montre l’exemple suivant :

pgcd(6, 15, 20)=1maispgcd(6, 15)=3,pgcd(6, 20)=2etpgcd(15, 20)=5.

Attention !

Il découle du théorème précédent :

Soient a, b, c trois entiers non tous nuls, alors a , b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement si :

∃ u, v, w ∈

, au + bv + c w = 1.

Théorème 10.16

Soient a, b,c trois entiers non tous nuls et d ∈

, alors :

d = pgcd(a, b,c) ⇐⇒ ∃ u, v, w ∈

, a = d u, b = d v et c = d w avec pgcd(u, v, w) = 1.

Théorème 10.17

Preuve: Sid=pgcd(a,b,c) alors il existe∃u,v,w∈Z,a=d u,b=d vetc=d w. Il existe également des entiersα,βetγ tels qued=αa+βb+γcd’où 1=αu+βv+γcet donc pgcd(u,v,w)=1.

Réciproquement, sia=d u,b=d vetc=d wavec pgcd(u,v,w)=1. Il existe des entiersα,βetγtels que 1= αu+βv+γw, en multipliant pardil vient alors qued=αa+βb+γc, ce qui entraîne qued=pgcd(a,b,c) (card∈N^∗

etd∈Da,b,c).

Le plus petit multiple commun Chapitre 10 : Arithmétique

Nous avons étendu la notion de pgcd à trois entiers, mais on pourrait l’étendre de la même manière à n entiers.

IV LE PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN 1) Définition

Si a et b sont non nuls, il existe un unique élément m positif dans

tel que (a

) ∩ (b

) = m

. Théorème 10.18

Preuve:aZ∩bZcontient|ab| >0, on notemle plus petit élément strictement positif dansaZ∩bZ, alors il est facile de voir quemZ⊂aZ∩bZ. Sip∈aZ∩bZ, on effectue la division depparm,p=mq+ravec 06^r<m, d’oùr=p−mq, on vérifie alors querest aussi dansaZ∩bZ(caraetbdivisentpetmdoncp−mq). Sir>0 alorsr>^mcarmest le plus petit élément strictement positif dansaZ∩bZ, ceci est absurde, doncr=0 etp=mq, d’oùaZ∩bZ⊂mZ, et finalement on a bein l’inégalité.

Sim⁰Z=mZavecm⁰>0, alorsmetm⁰se divisent muutuellement, d’oùm=m⁰.

Il découle de ce théorème que c est un multiple commun à a et b si et seulement si c ∈ (a

∩(b

équivaut à c ∈ m

, c’est à dire m | c. Ceci entraîne en particulier : m 6 |c|.

Soit a,b ∈

m ∈

, on dit que m est le ppcm de a et b lorsque (a

∩ (b

= m

Notation : m = ppcm(a ,b ) ou encore m = a ∨ b.

Définition 10.7

Soient a, b ∈

, non nuls, et soit m ∈

alors :

m = ppcm(a, b) ⇐⇒ ∃ u, v ∈

premiers entre eux ; tels que m = au = bv.

Théorème 10.19

Preuve: On supposea,b∈Z, non nuls. Sim=ppcm(a,b) : alorsa|metb|m. Donc il existeu,v∈Ztels que m=au=bv, soitd=pgcd(u,v) alors il existeα,β∈Zpremiers entre eux tels queu=dαetv=dβ, d’oùm=adα=bdβ, mais alorsm⁰=aα=bβest un multiple commun àaetbdonc|m|6|m⁰|ce qui entraîned=1.

Si∃u,v∈Zpremiers entre eux tels quem=au=bv, alorsa|metb|m, il existeα,βtels queuα+vβ=1, soitm⁰ un multiple commun non nul, alorsm⁰=m⁰uα+m⁰vβ, on en déduit quem|m⁰et donc|m|6|m⁰|, ce qui prouve que

m=ppcm(a,b).

2) Propriétés

Soient a, b ∈

, non nuls :

a) ∀ n ∈

, si a | n et b | n alors ppcm(a ,b) | n .

b) Si a et b sont premiers entre eux, alors ppcm(a, b) = | ab | . c) ∀ k ∈

, non nul, ppcm(ka, kb) = k ppcm(a, b).

d) ppcm(a, b) × pgcd(a ,b) = | ab | . e) ∀ n ∈

, ppcm(a

, b

) = ppcm(a,b )

. Théorème 10.20

Preuve: Pour le deuxième point :aetbsont premiers entre eux, alorsab=bapar conséquent ppcm(a,b)=abd’après le théorème précédent.

Pour le troisième point : soitm=ppcm(a,b), alorsm=au=bvavecuetvpremiers entre eux, d’oùkm=kau= kbvet donckm=ppcm(ka,kb).

Pour le quatrième point : soitm=ppcm(a,b) etd=pgcd(a,b), il existeuetvpremiers entre eux tels quea=d vet b=d u, orau=bvdoncm=au=bvpar conséquentmd=ad u=ab.

Pour le cinquième point : soitm=ppcm(a,b) on am=au=bvavecuetvpremiers entre eux, doncmⁿ=aⁿuⁿ=

bⁿvⁿavecuⁿetvⁿpremiers entre eux, doncmⁿ=ppcm(aⁿ,bⁿ).

Nombres premiers, décomposition Chapitre 10 : Arithmétique

Soient n, m ∈

, si d = pgcd(n,m) alors il existe u et v premiers entre eux tels que n = d u et m = d v, on a alors ppcm(n,m) = d ppcm(u, v) = d uv.

V NOMBRES PREMIERS, DÉCOMPOSITION 1) Définition

Un entier p ∈

est dit

lorsque p > 2, et que ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p. L’ensemble des nombres premiers est noté

.

Définition 10.8

Z

^:

– 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . sont des nombres premiers.

– Les nombres de Fermat

: F

= 2

+ 1 sont premiers pour n = 0, 1, 2, 3, 4 mais pas pour n = 5, car F

= 641 × 6700417.

– Les nombres de Mersennes

: M

= 2

− 1 où p ∈ P, sont premiers pour p = 2, 3, 5, 7, 127, . . . mais pas pour p = 11, car M

= 23 ×89.

F^Exercice10.4

1/Soient a,b∈Zet n∈N, montrer que a−b|aⁿ−bⁿ. Si n est impair, montrer que a+b|aⁿ+bⁿ. 2/Montrer que si2^p+1est un nombre premier alors p est une puissance de2.

3/Montrer que si2^p−1est un nombre premier, alors p est un nombre premier.

Propriétés élémentaires

:

a) Si p est premier, alors ∀ n ∈

p | n, soit pgcd(n ,p ) = 1.

Preuve: Soitd=pgcd(p,n), alorsd|pdoncd=1 oud=p, maispne divise pasn, doncd6=p,i.e. d=1.

b) Si n > ^{2, alors n} possède au moins un diviseur premier.

Preuve: Soit B={|d|/d|netd6=1}, alors B est une partie deNnon vide (|n| ∈B), soitpun diviseur denavec

|p| ∈Bminimal, sid|pavecdpositif etd6=1, alorsd|net donc|d| ∈B, d’où|d|>|p|, ord|p, donc|d|6|p|et

finalement|d| = |p|, d’oùd=pet doncpest premier.

c) L’ensemble

est infini.

Preuve: SiP est fini, alorsP ={p1, . . . ,pn}, posons N=1+p1×. . .×pn, alors N>1, donc N admet au moins un diviseur premierq, commeq∈P, on aq|p1×. . .×pn, et commeq|N, on aq|1 ce qui est absurde, doncP est

infini.

d) Si p est premier et si p | nm, alors p | n ou p | m.

Preuve: Supposons quepne divise pasn, alorsn∉pZdonc pgcd(p,n)=1 et par conséquentp|m(d’après le

théorème deGauss).

e) Si n > 1 n’a pas de diviseur autre que 1 dans l’intervalle [1; p

n], alors n est premier.

Preuve: Sinest non premier alors on peut écriren=p qavecp>1 etq>1. Si les deux étaient strictement supérieurs àp

nalors on auraitpq>nce qui est absurde, donc un des deux est dans [1;p

n]. Le résultat s’en

déduit par contraposée.

f ) Si p est premier, alors ∀ k ∈ J ^{1 ;p} − 1 K ^{, p} |

¢

. On en déduit que pour tout entier a et b, on a (a + b)

≡ a

+ b

(mod p).

Preuve: On ak¡p k

¢=p¡p−1 k−1

¢qui est donc divisible parp, mais commek∈J^{1 ;p}−1K^,pest premier aveck, par conséquent, d’après le théorème deGauss,p|¡p

k

¢. Pour le second point, on développe le binôme.

Compléments

: Soit (p

)

la suite strictement croissante des nombres premiers, la répartition de ces nombres encore aujourd’hui mal connue, cependant on a les quelques résultats suivants :

– Tout segment de la forme J ^{n ; 2n} K contient au moins un nombre premier (théorème de Bertrand ).

– Si a, b ∈

sont premier entre eux, alors il existe une infinité de nombre premiers de la forme an + b (théorème de Dirichlet ).

– p

∼

+∞

n ln(n) (théorème de Hadamard ).

3. FERMAT Pierre De(1601 – 1665) : mathématicien amateur (éclairé !) l’un des plus féconds de son époque mais qui faisait peu de démonstrations et publiait peu.

4. MERSENNES Marin(1588 – 1648) : moine français qui entretenait une correspondance suivie avec les mathématiciens de son époque.

Nombres premiers, décomposition Chapitre 10 : Arithmétique

Si p est un nombre premier, alors pour tout entier n on a n

≡ n (mod p). Et si n ∉ p

n

≡ 1 (mod p).

Théorème 10.21

Preuve: Pourn∈Non fait une récurrence : la propriété est vraie au rang 0, supposons la vraie au rangn, alors (n+1)^p≡n^p+1 (modp), en appliquant l’hypothèse de récurrence, on a (n+1)^p≡n+1 (modp).

On remarque ensuite que (−1)^p≡ −1 (modp) car soitp=2, soitpest premier impair, on en déduit que (−n)^p≡ −n (modp). On a donc pour tout entiern,p|n^p−n=n(n^p−1−1), sipne divise pasnalorspest premier avecn, donc

p|n^p−1−1, c’est à diren^p−1≡1 (modp).

F^Exercice10.5 Soient u et v des entiers premiers entre eux, montrer que u+v et uv sont premiers entre eux.

2) Décomposition en facteurs premiers

Tout élément n ∈

, autre que ± 1, est un produit de nombres premiers. Plus précisément, il existe r > 1, il existe p

, . . . , p

∈

(distincts), il existe des entiers

, . . . ,

∈

, il existe

∈ {− 1; 1} tels que :

n =

× p

× p

× . . . × p

. Théorème 10.22

Preuve: On an=λ× |n|avecλ= ±1. On se ramène ainsi au cas oùnest positif.

Par récurrence surn: pourn=2 il n’y a rien à montrer car 2 est premier. Supposons le théorème démontré jusqu’au rangn>^{2, alorsn}+1 admet au moins un diviseur premierp, doncn+1=pk, sik=1 alorsn+1 est premier, sinonk

est un produit de facteurs premiers (HR), doncn+1 aussi.

Si n ∈

s’écrit sous la forme :

n =

× p

×. . . × p

=

× q

× . . . × q

,

avec p

, . . . , p

∈

(distincts),

, . . . ,

∈

, q

, . . . , q

∈

(distincts),

, . . . ,

∈

, et

,

∈ { − 1; 1}

alors r = s,

=

et il existe une permutation

de J ^{1 ;r} K telle que pour i ∈ J ^{1 ;r} K ^{, p}

= q

,α

=

. La décomposition est unique (à l’ordre près).

Théorème 10.23

Preuve: Sip₁∉{q₁, . . . ,q_s}, alorsp₁est premier avecq₁, . . . ,q_s, doncp₁est premier avecq₁^β1×. . .×q^β_s^s,i.e. p₁est premier avecn, ce qui est absurde puisquep₁|n, doncp₁∈{q₁, . . . ,q_s}. Finalement on a {p₁, . . . ,p_r}⊂{q₁, . . . ,q_s} et par symétrie on a l’égalité des deux ensembles, doncr=s. Quitte à permuter les indices que la famille (q_i), on peut supposer que p₁=q₁, . . . ,pr=qr.

Le théorème deGaussentraîne quep^α_k^k|p^β_k^k, doncαk6βk, par symétrie on aβk6αk, et doncαk=βk, ce qui

termine la preuve.

3) Notion de valuation

-adique

Si n est un entier naturel non nul et p un nombre premier, alors l’ensemble

k ∈

/ p

| n

est non vide (contient 0) et majoré par n (on peut montrer par récurrence que p

> n), cet ensemble admet donc un maximum :

Soit p ∈

et n ∈

on appelle valuation p-adique de n, notée v

(n), le plus grand entier k tel que p

| n. La définition s’étend à

v

(−n) = v

(n) si n < 0 et v

(0) = +∞.

Définition 10.9

Remarque 10.8 :

– v

(n) = k ⇐⇒ p

| n et p

- ⁿ ⇐⇒ ∃ q ∈

, n = p

q avec p ∧ q = 1 .

– v

(n) > ¹ ⇐⇒ p | n, auquel cas v

(n) est la puissance de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.

–

k ∈

/ p

| n

= J ^{0 ;v}

⁽ⁿ⁾ K ^.

Nombres premiers, décomposition Chapitre 10 : Arithmétique

Pour tout entier n > 2, la décomposition de n en produit de facteurs premiers s’écrit : n =

p∈P

p

. À retenir

En effet, seul un nombre fini de valuations sont non nulles (les autres donnent un facteur égal à 1).

∀ n ,m ∈

, on a :

a) ∀ p ∈

, v

(nm) = v

(n) + v

(m).

b) ∀ p ∈

, v

(n + m) > ^min(v

(n ); v

(m)).

c) n | m ⇐⇒ ∀ p ∈

, v

(n) 6 ^v

(m).

d) Si n et m sont non nuls alors ∀ p ∈

:

v

(n ∧ m) = min(v

(n); v

(m)) et v

(n ∨ m) = max(v

(n ); v

(m)).

Théorème 10.24

Preuve:

a) Si un des deux est nul, c’est évident. Supposonsnetmnon nuls, soitn=p^kqavecp∧q=1 etm=p^k0q⁰avec p∧q⁰=1, d’oùnm=p^k+k0q q⁰etp∧(q q⁰)=1, doncvp(nm)=kk⁰.

b) Si un des deux est nul, c’est évident. Supposonsnetmnon nuls, et avec les mêmes notations, supposonsk6^k0, alorsn+m=p^k[q+p^k0−kq⁰] doncv_p(n+m)>k. On remarque qu’il y a égalité lorsquek6=k⁰.

c) Sim=0 c’est évident, supposonsm6=0 etn|m, alors pour tout premierp,©

k∈N/p^k|nª

⊂©

k∈N/p^k|mª doncvp(n)6^vp(m). La réciproque est évidente.

d) Soitd=n∧malorsvp(d)6^{vp(n) etvp(d)}6^{vp(m), doncvp(d)}6^min(vp(n);vp(m)). D’autre partp^{min(vp(n);vp(m))} divisenetmdonc divisedd’où min(vp(n);vp(m))6^vp(d), par conséquent min(vp(n);vp(m))=vp(d). Pour le ppcm on peut utiliser le fait que (n∧m)(n∨m)= |nm|et doncvp(n∨m)=vp(nm)−vp(n∧m)=vp(n)+ vp(m)−min(vp(n);vp(m))=max(vp(n);vp(m)).

Il découle du théorème ci-dessus que : pgcd(n, m) =

p∈P

p

et ppcm(n ,m) =

p∈P

p

. À retenir

F^Exercice10.6 Soient n et m deux naturels non nuls, premiers entre eux, tels que le produit nm est un carré, montrer que n et m sont des carrés.

4) Applications

– Si n 6= ± 1, alors la décomposition de n en produit de facteurs premiers permet de trouver tous les diviseurs de n.

En effet : Si n =

× p

× . . . × p

, soit d est un diviseur positif de n, si p est un diviseur premier de d , alors p est un diviseur premier de n, donc p ∈ {p

, . . . , p

}, donc d s’écrit sous la forme :

d = p

× . . . × p

avec 0 6

6

– Si n,m ∉ {−1; 1}, alors à partir de leur décomposition en produit de facteurs premiers, on peut calculer pgcd(n, m) =

p∈P

p

et ppcm(n, m) =

p∈P

p

. Plus précisément : Si n =

× p

× . . . × p

et m =

q

× . . . × q

, alors les diviseurs premiers communs à n et m doivent appartenir à {p

, . . . , p

} ∩ {q

, . . . , q

}, d’où la discussion :

• {p

, . . . , p

} ∩ {q

, . . . , q

} = ∅ , alors n et m sont premiers entre eux, i.e. pgcd(n, m) = 1 et donc ppcm(n, m) = | nm | .

• {p

, . . . , p

} ∩ {q

, . . . , q

} = {v

, . . . , v

}, alors quitte à changer la numérotation, on peut supposer que p

= q

= v

, . . . , p

= q

= v

sont les diviseurs premiers communs à n et m.

pgcd(n, m) = v

× . . . × v

avec k

= min(

,

) pour i ∈ J ^{1 ;t} K ^.

Et :

Solution des exercices Chapitre 10 : Arithmétique

ppcm(n, m) = v

× . . . × v

× p

× . . . × p

× q

× . . . × q

avec k

= max(

,

) pour i ∈ J ^{1 ; t} K ^.

Z

^{: 336} = 2

× 3 × 7 et 420 = 2

× 3 × 5 × 7, donc pgcd(336, 420) = 2

× 3 × 7 = 84, et ppcm(336, 420) = 2

× 3 × 5 × 7.

VI SOLUTION DES EXERCICES

Solution10.1 aⁿ−bⁿse factorise par a−b (identité de Bernoulli), l’autre facteur est entier.

Solution10.2 a=17et b=12sont premiers entre eux, appliquons l’algorithme d’Euclide : a=b×1+5d’où r₁=5=a−b

b=r₁×2+2, d’où r₂=2=b−2r₁=b−2(a−b)= −2a+3b r₁=r₂×2+1, d’où r₃=1=r₁−2r₂=a−b+4a−6b=5a−7b

On a ainsi une relation de Bézout entre a et b, on en déduit une solution particulière en multipliant par3:15a−21b=3, donc(x₀=15,y₀= −21)est une solution particulière.

L’équation équivaut alors à a(x−x₀)=b(y₀−y), d’après le théorème deGauss, a et b étant premiers entre eux, on a b|x−x₀et a|y₀−y, i.e. x=x₀+bk et y=y₀−bk⁰, en reportant dans la relation on voit que k=k⁰et donc les solutions sont les couples(x0+bk,y0−ak)avec k∈Z.

Solution10.3

1/À l’itération0,on aB₀=b∈N. Si la boucle ne se termine jamais, alors on a une suiteB_i de nombres non nuls. À l’itération i+1, on aA_i+1=B_i etB_i+1est le reste de la division deA_iparB_i, on en déduit par récurrence sur i , que (B_i)est une suite d’entiers positifs (B₀=b∈N) et strictement décroissante carB_i+1<B_i, ce qui est absurde, donc la boucle while se termine.

2/Montrons l’invariant de boucleP(i) : pgcd(a,b)=pgcd(Ai, Bi), par récurrence sur i , au rang0, on aA0=a etB0=b, P(0)est donc vraie. SupposonsP(i)vraie et qu’il y a une itération i+1, doncBi6=0, à l’itération i+1on aAi+1=Bi, etAi=BiQi+Bi+1(division euclidienne deAiparBi), doncpgcd(Ai, Bi)=pgcd(Bi, Bi+1)=pgcd(Ai+1, Bi+1), ce qui montreP(i+1).

3/Soit n le nombre d’itérations, à l’issue de l’itération n, on apgcd(a,b)=pgcd(A_n, B_n)(invariant), et comme il n’y a pas d’itération n+1cela signifie queB_n=0, finalementpgcd(a,b)=pgcd(A_n, 0)=A_n. La valeur de la variableA qui est renvoyée est bien le pgcd cherché.

Solution10.4

1/a≡b (moda−b)d’où aⁿ≡bⁿ (moda−b), c’est à dire a−b|aⁿ−bⁿ.

a≡ −b (moda+b)d’où aⁿ≡(−b)ⁿ (moda+b), si n est impair alors aⁿ≡ −bⁿ (moda+b), et donc a+b|aⁿ+bⁿ.

2/SoitN=2^p+1un nombre premier, on peut écrire p=2^rq avec q impair (r est valuation2-adique de p), on a alors N=2^2rq+1=

³ 2^2r´q

+1^q, q étant impair,Nest divisible par2^2r+1, ce nombre est plus grand que1etNest premier, donc2^2r+1=N=2^p+1, ce qui entraîne p=2^r(et donc q=1).

3/SoitN=2^p−1un nombre premier, soit d un diviseur positif de p, on peut écrire p=d q avec q∈N, on a alors N=2^{d q}+1=2^{d q}−1^q, doncNest divisible par2^d−1, orNest premier, donc2^d−1=1ou bien2^d−1=N=2^p−1, ce qui entraîne d=1ou d=p, donc p est premier.

Solution10.5 Par l’absurde, si p est un premier qui divisepgcd(u+v,uv), alors p|uv donc p divise u ou v, mais p divise aussi u+v, donc p divise u et v ce qui est absurde.

Solution10.6Soit p un nombre premier, comme n∧m=1, on a v_p(n∧m)=0, or v_p(n∧m)=min(v_p(n);v_p(m)), on a donc v_p(n)=0ou v_p(m)=0, d’autre part, nm étant un carré d’entier, v_p(nm)est pair, or v_p(nm)=v_p(n)+v_p(m)et une des deux valuations est nulle, donc l’autre est forcément paire. Finalement, pour tout premier p, v_p(n)est pair et vp(m)est pair, donc n et m sont des carrés d’entiers.