MPSIA 2012/2013
Devoir en temps limit´e n˚12
vendredi 24 mai 2013
Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.
L’exercice et les probl`emes sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 3 pages.
Exercice I
Soientf et gles fonctions deR2 dansRd´efinie par :
f(x, y) = y(x2−y2)
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) f(0,0) = 0
et
g(x, y) = xy
px2+y2 si (x, y)6= (0,0) g(0,0) = 0.
Faire l’´etude de la continuit´e def etg surR2.
Probl` eme II (d’apr` es Centrale PSI 2013)
Le but du sujet est d’´etudier l’exponentielle de matrices, r´eelles ou complexes. Dans tout le sujet,pd´esigne un entier naturel non nul. SiKd´esigne un coprs,RouC, on adopte les notations suivantes.
- Mp(K) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordrep`a coefficients dansK. - Ip est la matrice identit´e deMp(K).
- Une matriceA∈Mp(K) est dite antisym´etrique sitA=−A.
- GLp(K) est l’ensemble des matrices inversibles de Mp(K).
- On note Tr l’application trace et det l’application d´eterminant.
- Op(R) est l’ensemble des matrices orthogonales `a coefficients dansRd’ordrep.
- SOp(R) est l’ensemble des matrices de Op(R) de d´eterminant 1.
- On munitMp(K) de la norme quadratiquek.k2 d´efinie par
∀A= (ai,j)1≤i,j≤p∈Mp(K), kAk2= v u u t
p
X
i=1 p
X
j=1
|ai,j|2= q
Tr(tAA)
et on munitMp(K) de la structure d’espace vectoriel norm´e associ´e.
- Si A ∈Mp(K), on note uA l’endomorphisme de Kp canoniquement associ´e `a la matrice A et, par abus de notation, ker(A) = ker(uA).
- SiA∈Mp(K) on d´efinit, lorsque cette limite existe,E(A) = lim
n→+∞
Ip+ 1
nA n
. (C’est-`a-dire lorsque lim
n→+∞kE(A)− Ip+n1An
k2= 0.)
- LorsqueK=R, on munitRp de sa structure euclidienne canonique d’espace euclidien.
1
MPSIA 2012/2013
Devoir en temps limit´e n˚12
vendredi 24 mai 2013
Partie A Question pr´ eliminaire.
Soitz∈C. On posez=a+ibo`ua, b∈R.
1. Soitn∈N∗. D´eterminer le module et un argument de 1 +nzn
en fonction de a, betn.
2. En d´eduire que lim
n→+∞
1 + z
n n
=ez.
3. Montrer qu’une suite de matrices (An = (ai,j(n)))n∈Nconverge vers une matriceB= (bi,j) si et seulement si,toutes les suites (ai,j(n))n∈N des coefficients des matrices convergent versbi,j lorsqueptend vers +∞.
(On rappelle que (An= (ai,j(n)))n∈
Nconverge versB= (bi,j) lorsque lim
n→+∞kB−Ank2= 0.)
Partie B Matrices antisym´ etriques r´ eelles d’ordre.
Soitn∈N∗. SoitA∈M2(R) une matrice antisym´etrique.
1. Montrer qu’il existe un uniqueα∈Rtel queA=
0 −α
α 0
o`uα∈R. 2. D´eterminer un nombreβn ∈R+∗ tel que 1
βn
I2+ 1
nA
∈SO2(R).
3. D´eterminer un nombre r´eelθn tel que 1 βn
I2+1
nA
=
cos(θn) −sin(θn) sin(θn) cos(θn)
.
4. En d´eduire queE(A) existe et que c’est une matrice de rotation, dont on pr´ecisera l’angle.
Partie C Matrices antisym´ etriques d’ordre 3.
SoitB∈M3(R) antisym´etrique.
1. (a) Montrer que det(B) = 0.
(b) Montrer que (ker(uB))⊥ est stable paruB. (c) En d´eduire queB est de rang 0 ou 2.
2. Montrer qu’il existe une matriceP deO3(R) et un r´eelβ tels que B=P
0 0 0
0 0 −β
0 β 0
P−1. 3. Montrer que lorsque l’´egalit´e de la question pr´ec´edente est v´erifi´ee, on a|β|= kBk2
√2 . 4. Montrer queE(B) existe et est une matrice de rotation.
Pr´eciser la valeur de son angle non orient´e en fonction dekBk2.
2
MPSIA 2012/2013
Devoir en temps limit´e n˚12
vendredi 24 mai 2013
Probl` eme III
Soit E =R3 un espace vectoriel euclidien orient´e, de dimension 3 sur le corps de r´eels. On consid`ere l’espace vectoriel produitR×E,de dimension 4 surR,dont les ´el´ements sont des couples (x,−→
U) o`uxest un r´eel et −→
U un vecteur deE.On d´efinit surR×E une multiplication par :
(x,−→ U)(y,−→
V) = (xy−−→ U ·−→
V , x−→ V +y−→
U +−→ U ∧−→
V) pour tous r´eelsxety,pour tous vecteurs−→
U et−→
V deE,o`u−→ U ·−→
V et −→ U ∧−→
V d´esignent respectivement le produit scalaire et la produit vectoriel de−→
U par−→ V .
L’espace vectorielR×E muni de la multiplication est not´eHet ses ´el´ements sont appel´esquaternions.
Partie A Le corps des quaternions
1. Montrer que la multiplication surHa pour ´el´ement neutree= (1, ~0).
2. D´eterminer les quaternionsq= (x,−→
U) tels queq2=e,puis ceux tels que q2=−e.
3. Soit−→ I ,−→
J ,−→
K trois vecteurs deE eti= (0,−→
I),j= (0,−→
J) etk= (0,−→
K) trois quaternions associ´es `a ces vecteurs.
(a) Montrer que (−→ I ,−→
J ,−→
K) est une base orthonormale directe deE si et seulement si
i2 = j2 = −e ij = k
(b) lorsqu’il en est ainsi, v´erifier queji=−ket calculerk2, jk, kj, ki, ik.
V´erifier les cinq ´egalit´es :i2i=ii2, i2j=i(ij), (ij)i=i(ji), (ij)j=ij2, (ij)k=i(jk).
(c) [Question hors bar`eme]En d´eduire sans autre calcul que la multiplication deHest associative.
(On pourra utiliser le fait (´evident) que la multiplication est une forme bilin´eaire deH×HdansH).
4. ´Etant donn´e un quaternionq= (x,−→
U),d´eterminer les quaternionsr= (y,−→
V) tels querq=qr.
En d´eduire que les quaternionsqtels que rq=qrpour tout quaternionr; ces quaternions sont ditsr´eels.
5. Montrer que tout ´el´ement non nul deHposs`ede un inverse pour la multiplication.
On a montr´e que l’addition et la multiplication deHlui conf`erent la structure de corps (non commutatif).
Partie B Une conjugaison dans H
A tout quaternion` q= (x,−→
U) on associe sonconjugu´eq= (x,−−→
U) et le r´eelN(q) =x2+−→ U ·−→
U . 1. V´erifier que les quaternions ´egaux `a leur conjugu´e sont les quaternions r´eels.
Les quaternions oppos´es `a leur conjugu´e, c’est `a dire de la forme (0,−→
U) sont ditspurs.
2. Exprimer les produitsqq etqq en fonction deN(q).
3. Exprimer le conjugu´eqr du produitqr de deux quaternionsq etr quelconques en fonction des conjugu´eesq et r.En d´eduireN(qr) en fonction deN(q) etN(r).
4. Montrer que les quaternionsqtels queN(q) = 1 forment un groupe pour la multiplication des quaternions. Ce groupe sera not´eS dans toute la suite.
5. Montrer que pour tout quaternionqnon nul il existe un unique couple (ρ, u) o`uρest un r´eel positif etuun quaternion deS tel queq=ρu.
Partie C Une structure euclidienne de H
On d´efinit sur Hla forme bilin´eaire (· | ·) par (x,−→
U)|(y,−→ V)
=xy+−→ U ·−→
V. 1. D´emontrer que (· | ·) est un produit scalaire sur H.
2. Montrer que l’application q7→p
N(q) deHdansRest la norme euclidienne associ´ee `a (· | ·).
3. Soitq,rdeux quaternions. Montrer l’´equivalence des propri´et´es suivantes : (i) qet rsont orthogonaux ;
(ii) le produitqr est un quaternion pur ; (iii) qr+rq= 0.
3
