Démonstration théorique de la formule de Lyot tirée du Bruhat :

Démonstration théorique de la formule de Lyot tirée du Bruhat :

I : Eclairage d'un plan objet en lumière cohérente? Structure de l'onde dans le plan image.

Influence des petites variations de chemins optique

Considérons une source S à l'infini produisant un front d'onde plan traversant un échantillon porté par le plan AB :

Figure 1 Dans le plan objet (AB), à l'origine des phases :

V₀=Asin(ωt) 1

En désignant L la distance optique constante entre le plan image et le plan objet (plan de fronts conjugués), l'expression des vibrations dans le plan image s'exprime sous la forme :

V '₀=Asin(ω(t−L

c))=Asin(ωt−Φ) 2 avec Φ=ωL

c =2π L λ ³

2 causes de retard ou d'avance de phases sont possibles : - Une variation locale d'indice Δn 4

- Une variation d'épaisseur locale Δe 5

Supposons l'indice parfaitement homogène. Avec Δe 5 la profondeur de la cavité, la différence de marche locale de la portion d'onde traversant la lame en regard de la cavité s'écrit : δ=(n−1)Δe 6 et provoque une avance (ou un retard) de phase de ϕ=2π δ

λ 7 Donc après perturbation par une bosse ou un creux :

V '=Asin(ωt−Φ+ϕ) 8 Par les identités des fonctions trigonométriques :

V '=Acos(ϕ)sin(ωt−Φ)+Asin(ϕ)cos(ωt−Φ) 9 Et avec cos(x)=sin(x+ π

2) 10

V '=Acos(ϕ)sin(ωt−Φ)+Asin(ϕ)sin(ωt−Φ+ π 2) 11

Si les fluctuations locales de chemin optique restent petites par rapport à la longueur d'onde, on peut écrire :

ϕ≪ π2 ;cos(ϕ)≈1;sin(ϕ)≈ ϕ 12 V ' se simplifie en :

V '=Asin(ωt−Φ)+Aϕsin(ωt− Φ+ π 2) 13 Autrement dit :

V '=V '₀+Aϕsin(ωt−Φ+ π 2) 14 V' peut être donc considérée comme due à la superposition de deux ondes :

- L'onde principale (abusivement appelée onde directe) : V '₀=Asin(ωt−Φ) 15

- L'onde secondaire (dont l'amplitude est modulée par la phase locale) : V '₁=Aϕsin(ωt−Φ+ π

2) 16 Note du Bruhat :

“On peut décomposer cette onde secondaire en ondelettes partielles locales d'amplitude sensiblement constante. Ces ondelettes secondaires sont en quadrature de phase avec l'onde principale, quadrature avance, quadrature avance lorsque la modification de phase ϕ 17 correspond à une avance (

ϕ>0 18), quadrature retard lorsque la modification de phase correspond a un retard ( ϕ<0 19 ).

En effet, dans le dernier cas, on peut écrire : V '₁=−A|ϕ|sin(ωt−Φ+ π

2)=−A|ϕ|sin(ωt−Φ− π 2) 20

Les ondelettes secondaires V '₁ 21 peuvent être considérées comme dues à des vibrations lumineuses “diffractées” par les irrégularités de l'objet AB. L'onde principale Vo couvre toute la surface, du faisceau incident et donne lieu en S' à une tache de diffraction très fine, la tache centrale vue du centre optique de la lentille ayant un diamètre angulaire de l'ordre de 2.1,22λ

D 22, D étant le diamètre de cette lentille. Une ondelette V₁ 23 créée par une petite bosse Q de l'objet ne couvrira que la portion de la surface d'onde en regard de cette bosse, et tout se passe comme si elle sortait d'un diaphragme dont l'ouverture est égale aux dimensions latérales de cette bosse. Elle donne donc lieu, dans le plan image S' de la source à un phénomène de diffraction étendu, le diamètre angulaire de la tache centrale étant de l'ordre de 2.1,22λ

d 22, d étant le diamètre de cet incident d'épaisseur. Dans le plan de front, correspondant à l'image géométrique S' de la source ponctuelle, l'énergie de l'onde principale Vo se trouve donc concentrée pratiquement sur une petite aire autour de S', alors que

l'énergie des ondelettes secondaires s'étend sur une aire d'autant plus grande que les régions d'altération de chemin optique de l'objet sont étroites. Cette séparation des ondes Vo et V₁ 23 permettent de modifier les vibrations de l'un sans agir sensiblement sur les vibrations de l'autre. “

Remarque BTR : Ce modèle en marche d'escalier peut donner une explication aux speckles fixes (discontinuité des sources de l'objet => interférences dans le plan image) !

II : La Strioscopie.

La strioscopie consiste à introduire sur le trajet lumineux un écran opaque qui arrête la majeure partie de l'énergie de l'onde principale Vo. Il convient de placer cet écran en S', de lui donner une forme circulaire et des dimensions telles qu'il couvre la tache centrale et les premier anneaux de diffraction de l'onde principale Vo. Les ondes V₁ 23 diffractées par les variations de chemin optique de l'objet ne sont pas arrêtées par l'écran et produisent dans le plan image A'B' des éclairements locaux

proportionnels à

A²ϕ² 24 Les images des bosses et des creux de l'objet apparaîtrons en clair sur fond noir.

Lorsque les variations de phase sont petites, il faut utiliser une source lumineuse intense pour obtenir ainsi un éclairement perceptible.

Exemple : Δe=80angström 25 , λ =5500angström 26 ϕ≈ 1

10 27 le rapport A²ϕ² A² = 1

100 28

L'éclairement étant proportionnel à ϕ² 29 , une bosse et un creux donneront le même effet.

Note du Bruhat :

Figure 2

« La méthode imaginée par Foucault pour déceler les défauts optiques d'un objectif de miroir ou de lentille dérive de la strioscopie. »

III : Le contraste de phase, (méthode de Zernike).

« La lame qui couvre la tache de diffraction de l'onde principale n'est pas entièrement opaque et elle imprime aux vibrations Vo qui la traverse une modification de phase déterminée, que l'on choisi en général égale à ±π

2 30 , soit en considérant l'expression du, déphasage Φlame 31 introduit dans l'expression de V'o pour remettre les deux ondes en phase :

Φ_lame= ±π

2 +kπ=ωL c =2π

λ L_lame 32 Soit :

L_lame= λ

4(2k+1) 33 avec k entier relatif. Cette grandeur correspond à l'épaisseur optique nécessaire

à l'obtention d'un déphasage de ±π 2 30

Supposons dans un premier temps que la lame de phase n'atténue pas l'onde principale.

V'o deviens :

V ' '₀=Asin(ωt− Φ+Φ_lame)=Asin(ωt−Φ± π 2) 34 En choisissant un contraste de phase positif :

V ' '₀=Asin(ωt− Φ+ π 2) 35 Soit au final : V' deviens V'' avec :

V ' '=V ' '₀+V '₁ 36 V ' '=Asin(ωt−Φ+ π

2)+Aϕsin(ωt−Φ+ π

2)=A(1+ϕ)(sin(ωt−Φ+ π 2)) 37 Soit pour le module de l'intensité à la distance L correspondant au déphasage Φ 38 :

I ' '=A²(1+ϕ)²(sin ²(ωt−Φ+ π 2)) 39 avec ϕ 40 algébrique.

Si ϕ 40 est petit, l'intensité I'' mesurable est égale à : I ' '=A²(1+ϕ)²(sin ²(ωt−Φ+ π

2))≈A²(1+2ϕ)(sin ²(ωt−Φ+ π 2)) 41 Cette intensité aura donc une amplitude :

|(I ' ')|≈A²(1+2ϕ) 42

Refaisons le calcul en introduisant, en plus du déphasage de l'onde, une atténuation de l'intensité par la lame de phase. Notons N cette atténuation. Après passage par la lame de phase.

I ' '₀=A² N 43 Soit l'amplitude de l'onde principale incidente dans le plan objet :

V ' '₀= A

√

^{N 44}

Donc l'onde principale additionnée a l'onde secondaire dans le plan objet est de la forme : V ' '=( A

√

^{N+Aϕ)(sin(ωt−Φ+ π2))=}

A

√

^N(1+ϕ

√

^{(N))(sin(ωt−Φ+ π}₂^{)) 45}

Soit une modulation de l'amplitude de l'onde de la forme :

|V ' '|= A

√

^N(1+ϕ

√

^{(N)) 46}

Soit une variation sur l'intensité de l'onde dans le plan image : I=|V ' '|²=A²

N (1+ϕ

√

^{(N))² 47}

Après développement et en tenant compte de l'hypothèse ϕ≪ π

2;cos(ϕ)≈1;sin(ϕ)≈ ϕ 48 I=|V ' '|²=A²

N (1+ϕ

√

(N))²=A²

N (1+2ϕ

√

⁽N)+Nϕ²) 49 Soit au final

I=|V ' '|²=A²

N (1+4π δλ

√

^{(N)) 50}

On est ici en transmission et δ 51est la différence de marche sur l'onde respectant la différence de chemin optique δ=(n−1)Δe 52

Dans le cas de l'adaptation à la réflexion par un miroir, l'indice du miroir considéré comme parfait s'exprime sous la forme précédente, en considérant l'indice de réfraction de la surface optique égale à

-1 :

δ=−2Δe 53 avec δ 51 l'erreur sur l'onde et Δe 54 l'erreur sur le verre Donc Δe 54 se déduit du déphasage par la relation :

δ

2=Δe 55 au signe près IV

: Discussion sur l'obtention et l'utilisation de la formule de Texereau

Dans un premier temps, afin de comprendre les notions d'opacité et de densité, il faut partir des bases de la définition du facteur de transmission.

Wikipédia Absorbance : http://fr.wikipedia.org/wiki/Absorbance

Figure 3a

Dans la démonstration précédente, nous avons appelé N l'opacité de la lame. Lorsque nous parlons d'une lame de densité 3, cela signifie que son opacité est de 10³=1000.

En effet, si conformément à la définition du tableau précédent nous avons un flux incident Φ0 56 , le flux sortant Φ 57 sera égal à Φ=Φ₀.T 58 avec T la transmission de la lame. Donc en tenant compte de la définition de l'opacité, nous avons pour un flux réfléchi par le coin Φ=Φ₀

O 59 avec O l'opacité du coin photométrique le long du rayon qui nous intéresse.

Figure 3b

Figure 4 Note de David Vernet :

N’importe lequel est utilisable pour des lames de densité comprise entre 2 et 3.

Sur la surface du miroir, nous avons la relation de Lyot donnant l'intensité fonction du contraste :

I=A²

N (1+4π δ

λ

√

^{N) 60}

Sur le coin photométrique, en considérant l'absorption totale aux points O et O' après un double passage dans la structure du coin (voir Figure 4), Appelons k la proportion d'ondes diffractées (et donc non atténué en N par la lame après réflexion dans le coin photométrique, proportion dépendante de la quantité de flux reçue par le coin), k est par définition inférieur ou égal à 1. On obtiens les intensités :

I_O=k A²

O 61 et I_O'=k A² O ' 62

En appelant δ_O 63 la hauteur du point de la surface correspondant à une intensité réfléchie par la surface d'un point du miroir correspondant à l'intensité I_O 64 , et de la même manière, δ_O' 65 la hauteur du point de la surface correspondant à une intensité réfléchie par la surface d'un point du miroir correspondant à l'intensité I_O' 66 et N l'atténuation de la lame de phase, on peut écrire :

I_O=k A² O =A²

N (1+4π δ_O

λ

√

N) 67 [1] et I_O'=k A² O '=A²

N (1+4π δ_O'

λ

√

N) 68 [2]

Si on effectue la soustraction [1]-[2] : I_O−I_O'=k[A²

O − A² O']=A²

N (1+4π δ_O

λ

√

N)−A²

N (1+4π δ_O'

λ

√

N) 69 En ne conservant que le second et le troisième membre :

k[ A² O −A²

O']=A²4π (δ₀−δ_O') λ

√

^{N 70}

soit en simplifiant par A² :

4π(δ₀−δ_O')

λ =k

√

^N[_O¹⁻_O'^{1 ] 71 [3]}

Effectuons maintenant la somme [1]+[2] : I_O+I_O'=k[A²

O +A² O ']=A²

N (1+4π δ_O

λ

√

N)+ A²

N (1+4π δ_O'

λ

√

N) 72 soit en simplifiant par A² :

k[ 1 O+ 1

O']=2

N+4π δ_O λ

√

^{N +}

4π δ_O' λ

√

^{N 73}

Au final :

k[1 O+ 1

O']=2 N+ 4π

λ

√

^{N(δO+δO') 74}

Or nous avons posé comme postulat dans les démonstrations précédentes que la moyenne de hauteur des défauts est algébriquement égale à zéro ,c'est a dire :

(δ_O+δ_O')

2 =0 75 donc la relation précédente devient : k[1

O+ 1 O']=2

N 76 soit au final : N=1 k

2 1 O+ 1

O '

=1

k2 OO ' O+O' 77 D’où l'on peut en déduire que :

√

^{N= 1}

√

^k

√

^{OO '}

√

^{O+O '2 78 [4]}

Si l'on réinjecte [4] dans [3], on obtient alors : 4π(δ₀−δ_O')

λ =

√

^N[_O¹⁻_O'^{1 ]= 1}

√

^k

√

^{OO '}

√

^{O+O'2 [}

1 O− 1

O'] 79 Soit en développant :

4π(δ₀−δ_O')

λ = 1

√

^k

√

^{OO '}

√

^{O+2O '[}

O'−O OO ' ]= 1

√

^k

O'−O

√

^{O+2O' [}

1

√

^{OO '] 80}

or

O'−O=(

√

^O')²−(

√

^O)²=(

√

^{O '+}

√

^O)(

√

^O'−

√

^{O) 81}

soit

4π(δ₀−δ_O')

λ = 1

√

^k

(

√

^O'+

√

^O)(

√

^{O '−}

√

^O)

√

^O+2O'

^√

^{OO ' =}

1

√

^k

(

√

^O'+

√

^O)

√

^O+2O'

√

^O'−

√

^O

√

^{OO ' =}

2

√

^k

(

√

^O'+

√

^O)

2

√

^{O+2O ' (}

1

√

^{O '−}

1

√

^O)

82

En notant 1

√

^K=

2

√

^k

(

√

^{O '+}

√

^O)

2

√

^O+2O' 83 [5a] on obtient : 4π(δ₀−δ_O')

λ = 1

√

^K(

1

√

^{O '−}

1

√

^{O) 84 [5b]}

[5b] est la formule de Texereau utilisable dans le cadre de l'utilisation du coin photométrique.

δ₀−δ_O'= λ 4π

√

^K(

√

^O−

√

^O'

√

^{OO ' ) 85}

V

: Discussion sur le terme 1

√

^{K 86 :}

Par définition, O et O' son les opacités des rayons I_O 87 et I_O' 88 ayant traversé le coin photométrique. Le rayon incident en O et en O' on effectué 2 passages dans le coin photométrique autrement dit, le rayon Io voit une opacité optique O=(

√

^(O))² 89 et le rayon Io' voit une opacité

O'=(

√

^(O'))² 90 autrement dit,

√

^{O 91 et}

√

^{O '} 92 sont les opacité du coin en simple passage.

Le numérateur de la relation [5a] (

√

^O'+

√

^O)

2 93 correspond à la moyenne , des opacités du coin en simple passage.

Le dénominateur de la relation [5a]

√

^O+O'2 94 correspond à la racine carrée de la moyenne des opacités en double passage.

D'une manière générale, si l'on considère que O est voisin de O', on peut écrire : avec O≈O'⇒ 1

√

^K=

2

√

^k

(

√

^O')

2

√

^{2O'2 =}

1

√

^k

(

√

^O')

√

^{O' =}

1

√

^{k 95}

Mais sous quelles conditions sur O et O', le rapport de 5a sur 5b modifie quantitativement la mesure des hauteurs de défaut ?

En supposant k = 1 (pas de modification de l'amplitude de l'onde incidente), et en fixant différentes valeurs de l'opacité O, on constate la chose suivante :

Figure 5

On constate immédiatement que si les valeurs d'opacités O' sont contenues dans la décade inférieure ou supérieures à O, la hauteur de défaut sera sous estimée d'environ 10 %.

Sur la figure 6 nous pouvons voir l'image de l'un des coins utilisé par David Vernet pour quantifier les mesures de contraste sur la surface d'un miroir.

Figure 6 Note de David Vernet :

A la question posée par nos collègues allemands, « K est qui ou quoi dans cette formule pour x ? », D.

Vernet répond :

« K est une constante qui varie selon le type de montage.

Ce qu’en dit Lyot : K étant la proportion des radiations diffractés qui parviennent à l’objectif

A l’époque ca m’avait pas paru super clair j’avais alors demandé des explications à Texereau. En fait, idéalement le Lyot devrait se pratiquer avec un disque déphasant de 0.4 à 0.5 mm de diamètre et un trou source. C’est de cette façon que l’on obtiendrait le maximum de sensibilité et K serait alors égal à 1. En réalité on utilise plutôt un trait déphasant et une fente, pour plus de commodité (ca permet

d’avoir plus de lumière), mais le montage n’est pas optimum pour avoir le max de sensibilité, du coup Lyot y a introduit une constante K = 0.5 (qu’ils ont déterminés expérimentalement d’après ce que j’ai compris) pour tenir compte de ce manque de sensibilité du à un montage avec trait déphasant et fente. »

Regardons de plus près la théorie liée à l'introduction de cette constante de proportionnalité K.

L'introduction de la constante de proportionnalité k est due, non pas à un ajout par B. Lyot, suivant un impératif expérimental particulier, mais bien à la nécessité, en optique ondulatoire, de tenir compte de la structure source d'éclairement, composée d'une source ponctuelle et d'une écran occulteur générant la figure de diffraction vue par le point éclairé sur le miroir. Il faut remonter à l'utilisation du principe de Huygens-Fresnel pour comprendre la source de cette constante k (Bruhat §100, 101, 104, 105, 110- 111). Sans trop rentrer dans le détail des démonstrations,contrairement à ce que nous avons fait pour le test de Lyot, un bref résumé peut être le suivant. Les expériences menées pour rendre compte des phénomènes de diffractions montrent que « la propagation de la lumière ne se fait pas suivant la loi simple admise en optique géométrique . Il faut pour les expliquer faire appel à sa nature ondulatoire : la lumière se propage de proche en proche à travers l'espace, chacun des points atteint par la vibration lumineuse devenant à son tour une source de vibration»[Bruhat §100].

Considérons une source ponctuelle A, dont la pulsation peut s'exprimer sous la forme ^{Acos(2π (}_T^t)) 96

Supposons une surface fermée « S » entourant la source A. Le principe de Huygens s'énonce de la manière suivante : « Les vibrations qui se propagent à l'extérieur d'une surface fermée S, entourant une source A, sont identique à celle que l'on obtiendrait en supprimant cette source, et en la

remplaçant par des sources convenablement réparties sur la surface S ». Autrement dit, en considérant un écran percé d'une ouverture dont le périmètre repose sur la surface S, pour calculer l'état vibratoire en un point B situé au de la de la surface S par rapport à la source A, il faut considérer l'ensemble des points de la surface S entourés par le contour de l'ouverture (voir figure 7).

Figure 7

Reste a savoir quelles sont les sources à répartir sur la surface S. L'hypothèse la plus pertinente est appelée postulat de Fresnel, confirmé formellement par le calcul par Helmoltz et Kirshoff :

« Un point M de la surface S peut être considéré comme une source dont l'amplitude et la phase sont précisément l'amplitude et la phase de la vibration produite en M par la source A ».

En appelant r la distance AM, la vibration au point M est de la forme A

r cos 2π ( t T−r

λ) 97 avec λ 98

la longueur d'onde de la vibration. La vibration envoyée aux différents points de la droite MB par les sources fictives M d'un petit élément dS de la surface S a pour expression :

ds=kA r dS1

r'cos 2π( t

T−r+r ' λ ) 99

Le coefficient k dépend de la longueur d'onde et des angles θ 100 et θ' 101 de la normale à l'élément dS avec les directions MA et MB. Pour se rendre compte de la nécessité de ce coefficient, il faut considérer le fait qu'une surface données dS reçoit d'autant plus d'énergie de l'onde incidente qu'elle est plus près de lui être normale. D'autres part, les sources M ne sont pas des sources réelles, indépendante les unes des autres, mais des sources dérivées et leur émission ne doit pas avoir la même intensité dans toutes les directions : si dS est normal à AM, il est évident que l'énergie émise doit être maximum dans la direction MP, prolongement de AM. Enfin la relation entre l'amplitude de la

vibration d'une source et l'amplitude de la vibration du milieu dans lequel elle se propage dépend de la longueur d'onde. Il est donc nécessaire que k ait les mêmes dimensions que r'/dS et soit inversement proportionnel à la longueur d'onde.

L'éclairement « s » d'un point B par un écran défini précédemment, ne peut se calculer que dans des cas cbien particuliers ou l'intégration sur la surface de l'écran est possible (ouverture peu écartée de la droite joignant A et B). Seulement dans ces conditions, le principe de Huygens/Fresnel est applicable et le coefficient k prend la valeur constante 1/lambda. Si l'on s'éloigne de ces conditions, le calcul de s fait intervenir l'expression de k explicité par Helmholtz, comme dans le cas, par exemple de la diffraction par une ouverture circulaire ou une ouverture rectangulaire :

Ouverture circulaire : s=2π A

a+b

∫

^{kcos2π (}_T^t−r_λ^{)dr 102}

avec a, b et r les grandeurs caractéristiques du montage.

En tout état de cause, il apparaît que la détermination de cette constante k est expérimentalement accessible car mesurable grâce à la quantité de lumière directement intégrée sur un point de la surface (éclairement), ce qui semble être l’option choisie par Lyot et Texereau.

VI

: Discussion sur une erreur de phase associée au déphasage induit par la lame :

La relation de départ test celle induisant un déphasage sur l'onde principale (onde directe), prise ici hors atténuation :

V ' '₀=Asin(ωt− Φ+Φ_lame)=Asin(ωt−Φ± π 2) 34

L'onde principale s'écrit alors, en contraste de phase positif, avec une erreur de phase Δ Φ_lame 103 : V ' '₀=Asin(ωt− Φ+Φ_lame+Δ Φ_lame) 104

or sin(θ₁+θ₂)=sinθ₁cosθ₂+cosθ₁sinθ₂ 105 soit en appelant θ₁=ωt−Φ+Φ_lame 106 et θ₂=Δ Φ_lame 107

V ' '₀=Asin(ωt− Φ+ π

2)cos(Δ Φ_lame)+Acos(ωt−Φ+ π

2)sin(Δ Φ_lame) 108 Donc dans l'expression complète de l'onde finale :

V ' '=Asin(ωt−Φ+ π

2)cos(Δ Φ_lame)+Acos(ωt−Φ+ π

2)sin(Δ Φ_lame)+Aϕsin(ωt−Φ+ π 2) 109

soit

V ' '=A[cos(Δ Φ_lame)+ϕ]sin(ωt− Φ+ π

2)+Acos(ωt−Φ+ π

2)sin(Δ Φ_lame) 110 donc en résumé, V ' '=Bsin(ωt−Φ+ π

2)+Ccos(ωt−Φ + π 2) 111 avec B=A[cos(Δ Φ_lame)+ ϕ] 112 et C=A[sin(Δ Φ_lame)] 113

Or l'identité trigonométrique suivante, concernant la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus : αsinx+βcosx=

√

^{α²+β² sin(x+ψ) 114 avec ψ=arctan(β}_{α )} ^{115 si} α >0 116 et

ψ=arctan(β

α )+π 117 dans les autres cas.

Cela permet d'écrire : V ' '=Bsin(ωt−Φ+ π

2)+Ccos(ωt−Φ + π

2)=

√

^{(B²+C²)sin(ωt−Φ + π}₂^+arctan(C_B^{)) 118}

Soit en élevant au carré :

I ' '=V ' '²=(B²+C²)sin ²(ωt−Φ+ π

2+arctan(C

B)) 119

Comme précédemment, le terme qui nous intéresse, est le terme d'amplitude (même si le sinus principal est affecté, au passage, d'un déphasage en C/B) :

|_{I ' '}|_{=(B²+C²)=A²[cos(Δ Φlame)+ϕ]²+A²[sin(Δ Φlame)]²} 120 soit

|_{I ' '}|_{=A²[cos ²(Δ Φlame)+2ϕcos(Δ Φlame)+ϕ²+sin ²(Δ Φlame)]=A²[1+2ϕcos(Δ Φlame)+ϕ²]} 121 Finalement, en tenant compte de l'hypothèse ϕ 122 petit, on retrouve la relation vue précédemment au facteur cos(Δ Φ_lame) 123 près, à savoir :

|I ' '|≈A²[1+2ϕcos(ΔΦ_lame)] [6] 124

Si Δ Φ_lame=0 le cosinus est égal a 1 et l'on retrouve : |(I ' ')|≈A²(1+2ϕ) 125

En conclusion, un écart de phase Δ Φ_lame 103 provoque une chute de la valeur du contraste mesurable en raison du cos(Δ Φ_lame) 123.

VII

: Discussion sur la valeur de la diffusion moyenne, le TIS, et l'équation de Maréchal :

Les choses se compliquent avec le calcul de la valeur de la diffusion sur la base de la connaissance des valeurs de la rugosité.

La démonstration de la formule du TIS par Maréchal est la suivante :

Figure 8

Si l'on place un point objet à l'origine, on obtient dans le plan image une répartition d'éclairement qu'on peut représenter par la fonction D(x ' , y ') qui tiens compte de l'ensemble des influences qui altèrent la qualité de l'image : aberrations, diffraction (note : par la pupille) et diffusion.

Si O(x,y) est la répartition des luminances dans l'objet : I(x ' , y ')=

∬

O

O(x , y)D(x '−x , y '−y)dxdy

Dans le cas où l'objet O(x',y') à une luminance uniforme, ou quasi égale à l'unité : I(x ' , y ')=I₀=

∬

^{D(x '−x , y '−y)dx dy}

Du fait de la conservation de l'énergie (et via le théorème de Wiener Khintchine)

∬

^{D(x '−x , y '−y)dx dy=R²}

∬

^{|F( γ' ,δ')|²dγ' dδ'}

Et donc

I(x ' , y ')=R²

∬

^{|F(γ' ,δ')|²dγ' dδ'}

avec F( γ' ,δ')=E₀+jkE₀Δ (γ' ,δ')=E₀e^{j2πλ Δ (γ' ,δ')}

L'éclairement dans le plan image est donc composé de deux termes, l'un I₁(x ' , y ')=R²E₀²

∬

^{dγ' dδ'=R²E}0²Ω

Ω étant l'angle solide sous lequel on voit la pupille, il correspond à l'image classique due a une pupille parfaite ;

L'autre

I₂(x ' , y ')=R²k²E₀²

∬

^{|Δ (γ' ,δ')|²dγ' dδ'}

provenant des fluctuations de la phase dans la pupille.

A. Maréchal définit dans son article la fonction d'autocorrélation normalisée A(γ,δ) des écarts normaux Δ (γ' ,δ') telle que :

∬

^{Δ (γ' ,δ')Δ (γ'−γ,δ'−δ)dγ' dδ'=ΩΔ²A(γ,δ)}

Si γ=δ=0 , A(γ,δ) prend la valeur A(0,0)=1 (note : éclairement spéculaire).

Dans ces conditions,

∬

^{|(Δ (γ' ,δ'))|²dγ' dδ'=ΩΔ²A(0,0)} (définition de la valeur quadratique moyenne) et

I₂(x ' , y ')=R²k²E₀²ΩΔ²=4π²R²E_0²ΩΔ² λ²

Le rapport entre l'éclairement parasite et l'éclairement dû à l'objet de luminance uniforme est donc : K=I₂(x ' , y ')

I₁(x ' , y ')=4π² λ² Δ²

Ce rapport donne la valeur relative de l'énergie diffusée appelé couramment TIS (Total Integrated Scatterring) :

TIS=4π²

λ² Δ² [7]

Il faut noter que Δ² est ici l'écart quadratique moyen de l'onde par rapport à la surface de référence et non pas celui de la surface optique. Cette remarque est importante car les ouvrages traitant de ces sujets prennent pour Δ l'écart de la surface optique à la meilleure sphère, et aboutissent ainsi a une expression légèrement différente. Note : De plus, cette relation est valable dans des conditions de réflexions spéculaire, à savoir que la totalité de l'énergie du rayon incident se trouve dans le rayon réfléchi. Nous allons voir en suivant que c'est une approximation optimiste.

Une approche statistique (MODÈLE SCALAIRE) proposée par Claude Amra nous permet de retrouver cette démonstration de maréchal, mais principalement dans le cas de distributions statistiques

gaussiennes. Si nous considérons une surface décrite par une fonction z=h(r)=h(x , y) .

Plaçons nous dans le cas où l'on considère la perpendiculaire a la surface rugueuse à étudier (axe z).

si nous comptons le nombre d’occurrences ou ces droites interceptent la surface à chaque altitude z, nous obtenons une estimation de la densité de probabilité p(h=z) de la surfaçe.

Figure 9

L'hypothèse de poids fort, est de considérer que cette densité de probabilité suis une loi gaussienne, auquel cas :

p(z)=e⁽

−(z−µ)² 2σ² )

√

^{2π σ =}

e⁽⁻⁽

z L)²)

L^√π

si la moyenne des hauteur est prise pour origine, et avec L=

√

2σ le facteur de normalisation de la

loi normale.

Les différents paramètres caractéristiques de cette loi de probabilité (Moments de la variable aléatoire) sont les suivants :

- Moyenne : z=⟨z⟩=

∫

z

z p(h=z)dz On considère ici la moyenne des hauteurs comme étant égale à zéro, ce qui revient à fixer l'origine des z au niveau moyen de la surface.

- Écart type : σ²=⟨(h−z)²⟩=⟨(h)²⟩=

∫

z

z²p(h=z)dz

La densité de probabilité étant gaussienne, on obtient pour l'écart type : σ= L

√

²

Cette valeur est considérée comme la mesure de la rugosité de surface.

- La fonction caractéristique de la variable aléatoire z se définit comme : χ(β)=E[e^jβz]

ou E représente l'espérance mathématique de la variable, et β une variable dont la dimension est en m⁻¹ , soit l'inverse d'une longueur.

En supposant que la fonction z possède une densité de probabilité p(h=z) , la fonction caractéristique s'écrit sous la forme d'une moyenne :

χ (β)=⟨p(h=z)e^jβz⟩=

∫

z

p(h=z)e^jβzdz [8]

Cette fonction caractéristique est, à un coefficient prêt, la transformée de Fourier de la densité de probabilité p(z). Il faut pour cela utiliser la définition générale des transformée de Fourier directe et inverse (source http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html ) en utilisant le jeu de paramètres (1,1) pour a et b :

F(ω)=

√

^{((2|π)(b)(1−a)| )−∞}

^∫

^{∞ f(t)ejbωtdt soit F(ω)=−∞}

^∫

^{∞ f(t)ejωtdt [9a]}

f(t)=

√

^{((2π )|(b)(1+a| ))}

^∫

^{−∞∞ f(t)e−jbωtdt soit f(t)=21π−∞}

^∫

^{∞ f(t)e−jωtdt [9b]}

Donc en associant z à l'espace direct (t dans les relations [8] et [9]) et β l'espace réciproque ( ω dans les relations [8] et [9]) et en appelant ~p(β) la transformée de Fourier de p(z) :

~p(β)=

∫

−∞

∞

p(z)e^jβzdz p(z)= 1

2π

∫

−∞

∞ ~p(β)e^−jβzdβ et donc

χ(β)=~p(β)

(note : les relations 11a et 11b de la démonstration de C. Amra sont erronées)

Dans le cas d'une statistique Gaussienne sur la distribution des hauteurs z, , on obtiens avec le facteur de normalisation précédent : (note : cours de ch. Suquet : « intégration Analyse de fourier probabilité » http://math.univ-lille1.fr/~suquet/ens/IFP/Cours/cours04/Ifp04.pdf p212) :

χ(β)=e⁻⁽

βL 2 )

2

[10]

Cette fonction caractéristique nous sera utile dans la calcul de la diffusion par la surface rugueuse.

Considérons maintenant une onde plane incidente à la surface. Cette onde a pour expression : ϕ(t ,r⃗)=A.e^{j(ωt−⃗k.r⃗)}

⃗k

(

^kkkxyz

)

est le vecteur d'onde associé a la propagation de l'onde et ⃗r

(

^xz^y

)

est le vecteur position du point de l'espace considéré. Le produit scalaire ⃗k.⃗r s'exprime sous la forme

⃗k.⃗r=k_x.x+k_y.y+k_z.z avec k_x,k_y,k_z les projections respectives du vecteur d'onde de l'onde incidente dans la base orthonormée x,y,z.

Le problème qui nous intéresse, est une réflexion sur une surface à symétrie cylindrique. Nous pouvons donc nous placer dans un référentiel 2D n'utilisant que les composantes x et z du vecteur d'onde.

L'onde incidente peut donc s'écrire :

ϕ(t , x , z)=A.e^{j(ωt−(kxx+kzz))} soit sur l'amplitude de l'onde plane incidente à l’interface entre deux milieux d'indices respectifs n et n₀ et i l'angle d'incidence de cette onde plane par rapport a la surface du dioptre :

|(ϕ (t , x , z))|=A.e^{−j(kxx+kzz)} avec k_x=2π

λ nsin(i) et k_z=2π

λ n₀cos(i₀) en réflexion, on obtient :

Figure 10

En appelant r₀ la valeur du coefficient de réflexion complexe à l'interface du dioptre, on obtient pour ϕ₁(t ,⃗x ,⃗z) et ϕ₂(t ,⃗x ,⃗z) après réflexion :

ϕ₁(t ,⃗x ,⃗z)=r₀ϕ (t ,⃗x ,⃗z) [11] pour h=0 et ϕ₂(t ,⃗x ,⃗z)=r₀ϕ (t ,⃗x ,⃗z)e^{(2j k0hcosi0)} [12] pour h≠0 Le terme en exponentielle est celui qui introduit le déphasage par rapport a l'onde de référence.

Si nous prenons l'hypothèse sur l'ensemble de la surface d'une réflexion sur une surface en « marche d'escalier » comme dans la démonstration de la formule de Lyot extraite du Bruhat, et en considérant que la réflexion se fait sur chaque « sommet des marches » conformément à la relation [12], nous avons pour chacune de ces réflexions :

ϕ_n(t ,⃗x ,⃗z)=r₀ϕ (t ,⃗x ,⃗z)e^{(2j k0hncosi0)}

On notera que ce modèle est valide pour des surfaces a pentes modérées et des longueur de corrélation grandes (la taille des marches très supérieure a la longueur d'onde).

Si l'on cherche à obtenir la moyenne des champs réfléchis dans une direction donnée, on a alors :

⟨ϕ_n(t ,⃗x ,⃗z)⟩=r₀⟨ϕ(t ,⃗x ,⃗z)e^{(2jk0hncosi0)}⟩=r₀ϕ(t ,⃗x ,⃗z)⟨e^{(2j k0hncosi0)}⟩

au final l'amplitude moyenne de l'onde réfléchie est :

⟨ϕ_n(t ,⃗x ,⃗z)⟩=r₀ϕ (t ,⃗x ,⃗z)⟨e^{(2jk0hncosi0)}⟩=r₀ϕ(t ,⃗x ,⃗z)χ(2k₀cosi₀) Et si l'on passe aux intensités : l'intensité moyenne réfléchie R prend la forme :

R=R₀

|

χ(2k₀cosi₀)

|

² [13] avec R₀ la réflexion par un dioptre plan

Dans le cas d'une répartition gaussienne des hauteurs de défaut, en utilisant la relation [10], on obtient χ(2k₀cosi₀)=e^{−(k0cosi0L)2} or L=

√

^{2σ ou σ} est l'écart type des hauteurs de défaut

d'où : χ(2k₀cosi₀)=e^{−(√2k0σcosi0)2} Donc :

R=R₀

|

χ (2k₀cosi₀)

|

²=R₀

|

e^{−(√2k0σcosi0)2}

|

²=R₀

|

e^{−2(k0σcosi0)2}

|

²

L'exponentielle étant toujours positive, R=R₀

|

^{χ (2k}0cosi₀)

|

^2=R0(e^{−2(k0σcosi0)2})²=R₀e^{−4(k0σcosi0)2} Au final, en explicitant k₀ et en considérant n0=-1 (réflexion sur un miroir) :

R=R₀e^{−(4πλn0σcosi0)}

2

(sachant que n0 est au carré dans l'exponentielle), soit : R=R₀e^{−(4πλσcosi0)}

2

[14]

R représente la quantité totale de lumière diffractée dans le cas d'un modèle en marche d'escalier. Si l'on regarde l'effet de la rugosité σ par rapport à la lumière diffractée par une surface parfaite ( σ

=0), on obtient la définition du Total Integrated Scatter comme présenté par James Harvey P25 de cette présentation : (http://www.creol.ucf.edu/research/Publications/3078.pdf)

TIS=R₀(1−e^{−(4πλσcosi0)}

2

) [15]

En utilisant un développement limité de l'exponentielle au premier ordre (ce qui revient à dire que la rugosité est petite devant la longueur d'onde, et que l'on considère le rayon incident comme

perpendiculaire a la surface (i0=0), au coefficient de réflexion près, on retrouve la formule de Maréchal [7] :

TIS_smooth=R₀(4π

λσ )² [16]

La comparaison entre les 2 modèles a parfaitement été explicitée par Harvey :

Figure 11

Le calcul du TIS par la formule de maréchal est pessimiste dès que l'on approche une rugosité

supérieure à lambda/20. L'erreur associée entre la formule de Maréchal et celle du TIS est rapidement colossale, comme le souligne Harvey :

Figure 12

Les gaussiennes en rouges représentent le TIS calculé avec la formule de Maréchal, et les gaussiennes en bleu, celles du TIS standard. On voit que la surestimation pour une rugosité à lambda sur 10 atteint quasiment un facteur 2.

En conclusion de ce paragraphe, et sans aborder les modèles déterministes électromagnétiques, on peut conclure sur les formules scalaires, qu'elles sont utilisables sous certaines restriction. Les hypothèses de répartition statistique de hauteur des défauts (loi normale) conditionne la validité des hypothèses.

De plus, ces formules ne permettent pas de mettre en évidence les effets de bande passante optique du système. Comme le dit Claude Amra : « On ne peut pas parler de rugosité ou de microstructures si l'on ne précise pas l'échelle de fréquences spatiales mises en jeu, qui peut aller du microscopique au macroscopique. » Il faut en passer à cette condition par une modélisation électromagnétique ou une approche en optique de Fourier.