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On the Complexity of Distributed Graph Coloring with Local Minimality Constraints

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Academic year: 2021

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(1)On the Complexity of Distributed Graph Coloring with Local Minimality Constraints Cyril Gavoille, Ralf Klasing, Adrian Kosowski, Łukasz Kuszner, Alfredo Navarra. To cite this version: Cyril Gavoille, Ralf Klasing, Adrian Kosowski, Łukasz Kuszner, Alfredo Navarra. On the Complexity of Distributed Graph Coloring with Local Minimality Constraints. [Research Report] RR-6399, INRIA. 2007. �inria-00200127v2�. HAL Id: inria-00200127 https://hal.inria.fr/inria-00200127v2 Submitted on 20 Dec 2007. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. On the Complexity of Distributed Graph Coloring with Local Minimality Constraints Cyril Gavoille — Ralf Klasing — Adrian Kosowski — Łukasz Kuszner — Alfredo Navarra. N° 6399 December 2007 Thème COM. ISSN 0249-6399. apport de recherche.

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(49) „H‚pqƒŸKr#Œ!€²·d~€±‡€Œ}z&€‰·p{®m rb€6•p{}†¯qƒ‚ q ·N€Œ!„k‚ q7rŒ|€‚ z!¥Œ®ˆ‰•pm~#±µˆ‰z|z}rz#º†¯„p~±¯‚p– †¯„ ¥ ~€q7• ±¯r{®r kêǕdˆ‰Œg{®†³{®r¸¥Œ}ˆ‰• m z#ºd~Aˆ²{}rŒ|• †¯±‡±µˆ‰Œ|zºH~Œ}€WÃ(„ z#º;ˆ‰„ –%Ÿ †¯•dˆ²Œ|{®†³{®rÃ(mprr±‡z ³£W š U¹ }. . . . . . 798

(50). U6PH>A@ U BCJu[^<WB [^>AP`SVU\D [^G [^B:UF. . ÉÂr0~€„pz}†¯–prŒ(Œ}r#z|{®Œ|†¯~{®r–%´²ˆ‰Œ}†¯ˆ‰„Š{®zn€‰·!{®m r-´r#Œ|{®rÁ.~€±‡€Œ}†‡„ ¥¶• Œ}€‰Ÿ ±¯r#q †¯„.ˆ7–p†¯z|{}Œ}†‡Ÿ ‚p{®r#–„ r#{gê ÀŒ ºˆ‰z|z}‚ q7†¯„ ¥7{®m rz}€²êó~Aˆ‰±‡±¯r#–éØ †¯„ †¯ˆ‰± q7€_– r#±&€‰·~€‰q\• ‚_{—ˆ²{}†¯€„ºdÃ(m †‡~—m醯zÃ(†¯– r#±‡y‚ z|r–À†‡„ • Œ}r´_†‡€‚ z¸Œ|rz|rAˆ‰Œ|~—mÀ€„{®mprƒz}‚ ŸkŽ|r~#+{  ›pº|£ !pº£Wœ_º} p¤ U¹¸x_‚ ~—mfˆj–p†¯z|{}Œ}†‡Ÿ ‚p{®r#–é„ r{ÇÀŒ~#€„ z}†‡z|{}z €‰·bˆz}r{ V €‰·b• Œ}€H~r#z}z|€Œ}z-ˆ‰„p–fˆz}r#{ E €‰·QŸ †‡– †¯Œ|r~#{}†¯€„ ˆ‰±&~€q7qƒ‚ „ †‡~Aˆ²{}†¯€„.±¯†‡?„ kzŸ;r#{ÇÃÅrr„ •dˆ‰†¯Œ|zƒ€‰·E• Œ}€H~r#z}z|€Œ}z#N¹ ó{<~Aˆ‰„ÌŸ;r2q\€H– r±‡r– ŸŠÿ‰„Ì‚ „p– †¯Œ|r~#{}r–Ì¥Œ}ˆ‰• m G = (V, E) ¹ÂÉÙr – r„ €²{®r n = |V | ¹ Qr#Œ|{}†¯~r#zˆ²Œ}rf†¯– r#„Š{®†‡Æ r– Ÿky q7rAˆ‰„pz%€²·ƒ‚ „ 3† 1k‚ rf±µˆ‰Ÿ;r±‡z¹ ‘bˆ²~—m ´r#Œ|{}rÁ mdˆ‰z%†‡{}z2±¯€H~Aˆ‰± z|{—ˆ{®r‰ºn–prz}~#Œ}†‡ŸKr#– Ÿky ˆÂ~#rŒg{—ˆ‰†‡„i„k‚ qƒŸ;rŒ\€‰·-†¯„Š{®r#¥rŒ<´²ˆ‰Œ}†¯ˆ‰Ÿ ±‡rz¹ lnm rz|yHz|{}rq ·N‚ „ ~#{}†¯€„pz †¯„Âz|€²êÇ~ˆ‰±¯±‡r–ÄÓ¿aÐ  'H¼—͏ÐdÏ ½}¾¼® Í HÐ;¾Óº,~#€„ z}†‡z|{}†¯„ ¥%€‰·8{}m Œ}r#rjz|{}r• 0z /7ˆ%´r#Œ|{}rÁÙÆdŒ}zg{ƒŒ}rˆ‰– z†‡{®z €îÃ(„ ±¯€H~Aˆ‰±z|{—ˆ{®r´‰ˆ²Œ}†µˆ²Ÿ ±¯r#z<ˆ‰„ –Ì{®m r%±¯€H~Aˆ‰±z|{—ˆ{®r´‰ˆ²Œ}†µˆ²Ÿ ±¯r#z¶€‰·¸ˆ²±¯±n†‡{}z¶„ r†‡¥mkŸK€‰‚ Œ}z#º{®m r#„ •Kr#Œ|·N€Œ|q\z0ˆ‰„ˆ‰Œ}Ÿ †³{®Œ}ˆ‰Œ|yfˆ²q\€‚p„k{0€‰·±¯€H~Aˆ‰±~#€q7• ‚p{—ˆ{®†¯€‰„ zºˆ‰„ –5Æd„dˆ‰±‡±‡yÀ‚p•K–dˆ{®rz0†‡{}z-±¯€H~Aˆ‰± z|{—ˆ{®r°´²ˆ‰Œ}†¯ˆ‰Ÿ ±¯r#znˆ‰~#~€Œ|– †¯„ ¥‰±‡y¹ ’E±‡{}m €‚ ¥m¶±‡€_~ˆ‰±p~#€q7• ‚p{—ˆ{®†¯€‰„ zˆ‰Œ|rn‚ „kŸK€‚p„ – r–JºH{}m rn~Aˆ‰z|r(€‰·JŒ}ˆ‰„ – €‰q\†‡z}r–<ˆ²±¯¥€Œ|†‡{}m q\z#º †U¹ r‰º&ˆ‰±‡¥€Œ}†³{®m q7z({®mdˆ²{¸~Aˆ‰„fq\pˆ ‰r¶‚ z|r<€‰·8ˆz|€²êÇ~ˆ‰±¯±‡rO– —͏ÏSÐ Ú Ïúß·N‚p„ ~#{}†¯€„ºJ†¯z°‚ z|‚dˆ‰±¯±³yz|r•dˆîê Œ®ˆ²{}r±‡yjz|{}‚ – †¯r#–¹Åx_r~{®†‡€„¤7†‡zn– r#´‰€‰{®r#–.{}€\z|‚ ~—m鈃´²ˆ‰Œ}†¯ˆ‰„Š{A¹ DŽjˆ‰±¯±_·N‚ Œ|{}m rŒb~€„pz}†¯–prŒ®ˆ{®†¯€‰„ zÃrˆ‰z}z|‚ q\r({®m ˆ²{Q{ÇÀ¥±¯€Ÿ ˆ‰± •dˆ‰Œ}ˆ‰q7r#{®r#Œ}zbˆ‰Œ|R r k„ €WÃ(„j{}€ ˆ‰±¯±´r#Œ|{®†‡~r#&z /z}€‰q\r¸~#€„ zg{—ˆ‰„Š{|êU·Lˆ‰~#{}€Œ‚p• •Kr#Œ8Ÿ;€‚ „ – zn€‰„j{®m r°„k‚ q

(51) ŸKr#Œ8€‰· ´r#Œ|{}†¯~r#z ˆ‰„ –j€„ {®m r<q\ˆÁ_†¯qƒ‚ q ´r#Œ|{}rÁٖ r¥‰Œ}rr ∆ ¹7lnm †¯z0ˆ‰z|z}‚ q7•p{®†‡€„f†¯z°‚ z|r–Ù€„ ±‡y.{®€• Œ|€î´H†‡– r7nˆ%z|†¯q7• ±¯r q\r#~—mdˆ‰„ †‡z}q ·N€Œ8rÁ_r#~‚p{}†¯„ ¥<z}‚pŸ Œ}€‚_{®†¯„prz8€‰· k„ €WÃ(„~€q7• ±‡rÁ_†‡{Çy7Ã(†‡{}mŒ}r#z}•;r~#{({}€ n ˆ‰„ – ∆ ˆ‰„ –Ã8ˆ‰†³{®†‡„ ¥<ˆ H„p€îÃ(„.„k‚ qƒŸ;rŒ(€‰·!Œ}€‚ „p– zn·N€Œ8{®m r#†¯Œn~#€q\•p±¯r#{}†¯€„J¹ 5d€Œ,~€„Š´r#„ †¯r#„ ~r(€‰·;„ €²{—ˆ²{}†¯€„º²Ãr8Ã(†‡±¯±_ˆ‰z}z|‚ q\r8{}mdˆ²{á{}m rnz}•;r~#†µˆ‰±p±¯€H~Aˆ‰±Hz|{®ˆ²{®r8´²ˆ‰Œ|†µˆ‰Ÿ ±‡r ˆ‰±‡ÃˆAy_znzg{®€Œ|rzn{®mpr°€‚p{®~#€q7r¸€‰·&{®m r-ˆ²±¯¥€Œ|†‡{}m q 4Š·N€ŒrÁpˆ‰q7• ±¯r²ºp†¯„ˆƒ~#€±¯€‰Œ}†¯„p¥ƒ• Œ}€H~r#z}z#º c(v)c †¯zn{®m r0~€‰±¯€Œ8´²ˆ‰±‡‚ r0ˆ‰z}z|†¯¥„ r#–%{}€\´‰rŒ|{}rÁ v ¹lnm rˆ‰±‡¥€Œ}†³{®m q†¯z(~#€„ z|†¯– r#Œ}r–%{®€7ŸKr0~€‰q\• ±‡r#{}r Ã(m r„7{®m rn´²ˆ‰±¯‚przQ€‰· ˆ²±¯±p´²ˆ‰Œ|†µˆ‰Ÿ ±‡rz ˆ²Œ}r(~€Œ|Œ}r#~#{®±³y¶z}r{8ˆ²„ –7{}m rEˆ‰±¯¥€‰Œ}†‡{}m q Ã(†¯±‡± „ €‰{bq7€_– †³·Sy {®m r#q †¯„%ˆ‰„Šy2z|‚ Ÿ z}0r 1k‚ r„Š{°Œ|€‚ „ –¹ c . . 5. =. E Y Y.

(52) ¤. ËÅÊ(Ò  ͏ÏSÎSί½  0γҏÓÏSÐH»   ¶ÍWÓWÍ ,Ó

(53) Ï   kÓÐJ½¼   -Ò  ҉¼¼|Ò. d€Œ-rˆ‰~—mÙ´‰rŒ|{}rÁ v – rÆd„ r\†‡{®z¶ÐJ½ϳ» 'W*͏¼ 'dÍW; N (v) = {u : {u, v} ∈ E} ˆ‰„ –  ½¼Ô ½|Ü ¾H½U»‰¼—½—½ deg (v) = |N (v)| ¹8lnm rqjˆÁ_†‡qƒ‚ q – r#¥Œ}r#rƒˆ‰q7€„ ¥\ˆ‰±‡±J´r#Œ|{®†‡~r#z¸†¯„ G †¯z(– r#„ €‰{®r#– Ÿky ∆ = max{deg (v)} ¹ DŽ.€Œ|– rŒn{}€<– †¯zg{®†¯„p¥‚ †¯z|m%ˆ‰q\€‰„ ¥¶„ r†‡¥mkŸK€‰‚ Œ}z(€‰·,m †¯¥mprŒn– r#¥Œ}r#r‰º ÃrÀÃ(†¯±‡±‚ z|rÀ{®m rfz|yHqƒŸ;€± N (v) = {u ∈ N (v) : deg(u) ≥ deg(v)} ˆ‰„ – z}†‡q\†‡±µˆ‰Œ|±‡y ¹lnm rÀ¾‰Ï¯ÓÔó҉aÐ —½ Ú d ÐJ½ϳ » 'W* Í H ¼ 'dÍW; N (v) €‰· N (v) = {u ∈ N (v) : deg(u) > deg(v)} ´rŒg{®rÁ v †‡z¸– r#Æ „ r–Ùˆ‰z{}m r¶z}r{€²·ˆ²±¯±&´rŒg{®†‡~rz0ˆ²{°ˆ– †¯zg{—ˆ‰„ ~#r¶ŸKr{ÇÃr#r„ 0 ˆ‰„ – d ·NŒ}€q v ¹ 5€‰Œ¸ˆ‰„Šy.z}‚ Ÿ z|r#{-€‰·´‰rŒg{®†¯~#rz ºKÃÅr¶– r„p€‰{®r

(54) {}m rƒz|‚ Ÿ ¥Œ}ˆ‰• mÀ€‰· G †¯„ – ‚p~r–ÀŸŠy%´r#Œ|{®rÁ S⊆V z}r#{ S ˆ²z G[S] ¹lnm r¸±‡r„ ¥‰{}m€‰· {}m rz|m €Œ|{}rzg{(~#yH~±‡r†¯„j¥Œ®ˆ‰•pm G †‡z k„ €WÃ(„ˆ‰z8†³{®z»‰ÏS¼fÔ '2ˆ‰„ – – r„ €²{®r–%ŸŠy g(G) ¹ 5. G. G. v∈V. ≥. >. 798. d. ;=<?U   @C> D. . >HFHB [^B:UFRJ. DŽ<{}m †¯z,•dˆ‰•;rŒáÃÅrn~€„ z|†¯– r#Œá{ÇÀ°´²ˆ‰Œ|†µˆ‰„Š{®z,€‰·K{}m r8¥Œ}ˆ‰• m<~€‰±¯€Œ|†¯„ ¥E• Œ}€Ÿp±¯rq/†¯„¶ˆ°– †‡z|{}Œ}†¯Ÿp‚p{®r#– z}r#{|{®†‡„ ¥ º²{}m €z|r€‰·€Ÿ_{—ˆ‰†‡„ †¯„ ¥ˆ j êó~€±‡€Œ}†‡„ ¥ˆ‰„ –ƒ€²·d€Ÿp{®ˆ‰†¯„ †‡„ ¥Eˆ‰„ ~W²êó~€±‡€Œ}†‡„ ¥(€‰· {}m rzgy_zg{®r#q ¥Œ®ˆ‰•pmº²–pr„ €‰{}r– jAqr ~nˆ‰„p–$~^ qr ~nŒ}r#z}•;r~{®†‡´‰r±³y¹,’Ez!q7r„Š{}†¯€„ r#–-†¯„°{®m rx_‚ Ÿpz}r~{®†‡€„j£¹³£º jAqr ~<ˆ‰„ – ~W qr ~<ˆ‰Œ}r0Œ}rÆd„ rq7r„Š{}z€‰·!{®m r0• Œ}€‰Ÿ ±¯r#q €‰·,Æ „ – †¯„p¥ˆ êó~€±‡€Œ}†‡„ ¥¶€‰· {®m rƒzgyHz|{®r#q¥Œ}ˆ‰• m G ÖNz}†¯q7• ±³y– r„ €²{®r– r ~×ºKˆ‰„ –é{}mk‚ z°ˆ‰Œ|r

(55) „ €‰{rAˆ‰(∆z|†¯r#Œ+†¯„.1){®m rƒz|r„ z|r¶€‰· ~€q7• ‚p{®ˆ²{®†‡€„7{}†¯q7r‰ ¹ DŽ\·Lˆ‰~{Aº jAqr ~0ˆ‰„ – ~W qr ~ˆ‰Œ|r¸ˆ‰±‡z}€0„ €‰{ÅrAˆ‰z|†¯r#Œb{}mdˆ‰„j{}m rE•pŒ}€Ÿ ±‡rq €‰·áÆd„ –p†¯„ ¥jˆ\q\ˆÁ_†¯q\ˆ‰±†¯„p– r•;r„ –pr„Š{¸z|r#{¸†‡„ G ÖN– r„ €²{®r– d׺z}†¯„p~r·N€‰ŒEˆ²„ky j êÇ~#€±¯€Œ|†¯„ ¥ €‰· G {®m r-z|r#{E€‰·áˆ²±¯±K´‰rŒg{®†¯~#rzmdˆA´H†¯„ ¥<~€‰±¯€Œ 1 †¯zn~#±¯rˆ‰Œ}±³yˆ<qjˆîÁp†‡qjˆ²±K†‡„ – r•;r„p– r„Š{Ez}r#{¹ -r#´‰rŒ|{}m r±‡rz|zºn†‡{ƒ†¯z¶•;€z}z|†¯Ÿ ±‡r{®€5• ‚p{¶·N€ŒgÃ8ˆ‰Œ|–iˆÀ– rÆd„ †³{®†¯€‰„:€²· jAqr ~Àˆ²„ – ~^ qr ~ Ã(m †¯~—mĖprq7€„ z|{}Œ®ˆ²{}rz0{®m r\±¯€H~Aˆ‰±„dˆ{®‚ Œ|r\€‰·{®m r\†¯q7•K€z|r–5~€„pz|{®Œ}ˆ‰†¯„Š{}&z 4·N€Œ-~€q7• ±‡r#{®r#„ rz|z Ãr0• Œ}€W´H†¯–pr°±¯€H~Aˆ‰±J·N€‰Œ}qƒ‚ ±¯ˆ²{®†‡€„ zŀ‰· r ~¶ˆ‰„p– 2ˆ‰znÃr#±¯±C¹ ã gS© g ç x'd½ —͏ÐpÓÏL¾H½¼®½}¾<¾‰Ï¯ÓÔL¼Ï *&HÔǽ}¾ß;¼®pÍ *ί½Ý

(56) Ӹ҉¼®½¸¾H½ QÐJ½}+¾ *¿

(57) fÔ 'd½ A͏ÎSί Í ÏSÐH+» —ÍÐ Ú ÓÔC¼|҉ÏSÐdÔSӶ͏ÐéfÔ 'd½0ί|Í }҉Π ҉¼ÏLuÒ *ί½ c ҉Ô҉Ðd¿  ½¼Ôǽ|Ü v ËÅ͏ί͏¼ÏSÐH» r ~ (∆ + 1) Ú c(v) ∈ {1, . . . , ∆ + 1} \ c(N (v)) ÛfÒA܁ÏSÝ7҉ÎÞÐ;¾H½Çßd½Ð;¾H½ÐdÔáà½Ô c(v) 6= 0 ⇔ c(N (v)) = {0} Ê8¼—½—½}¾‰¿.ËÅ͏ί͏¼ÏSÐH» jAqr ~ c(v) = min {1, . . . , ∆ + 1} \ c(N (v)) Ñ Ò‰¼C»H½—ÓÔ Ú ÕQÏS¼®ÓÔËÅ͏ί͏¼ÏSÐH» ]~^ qr ~ c(v) = min {1, . . . , ∆ + 1} \ c(N (v)) lnm rn• Œ}€H€‰·;€‰·d{}m rn&r 1k‚ †³´‰ˆ²±¯r„p~rn€‰·d{}m r(ˆ‰Ÿ;€î´‰rn– r#Æ „ †‡{}†¯€„ z!Ã(†‡{®mƒ{}m rn• Œ|†¯€Œ!~—mdˆ‰Œ®ˆ²~#{®r#Œ}†‡z®ˆ²{}†¯€„ z †¯z¸zg{®Œ®ˆ²†¯¥mŠ{}·N€‰Œ|ȉŒ}–¹ 5d€Œ{}m r jAqr ~\• Œ}€Ÿp±¯rq%ºJ~#€„ z|†¯– r#Œ-ˆ‰„Šy j êÇ~€‰±¯€Œ|†¯„ ¥ c €‰·b¥Œ®ˆ²• m G º ˆ‰„ –Ùˆ‰„ˆ²Œ}Ÿ †³{®Œ®ˆ²Œ}†¯±³y%~—m €z}r#„Ù´‰rŒ|{}rÁ ¹\x_†¯„ ~#r7ˆ²{-{®m r¶{®†‡q\r¶€²·~#€±¯€‰Œ}†¯„p¥2z}€q7r<€‰·Å{}m r<´rŒ ê {®†¯~#rz·NŒ}€q N (v) ˆ‰Œ|r¶ˆ‰±‡Œ}rAˆ²–py~€±‡€Œ}vr#–Àˆ‰„ – v €Ÿ_{—ˆ‰†‡„ zE{}m r

(58) q7†¯„ †‡qƒ‚ q •;€z|z}†¯Ÿp±¯r

(59) ~#€±¯€‰ŒºÃr mdˆA´r c(v) ≤ min {1, . . . , ∆ + 1} \ c(N (v)) ºpŸ ‚p{ˆ‰±‡z}€ c(v) ∈/ c(N (v)) ŸŠyj{}m r°±¯r#¥Šˆ‰±‡†‡{Çy<€‰· {®m r<~€‰±¯€Œ|†¯„ ¥ º{}mk‚ z c(v) = min {1, . . . , ∆ + 1} \ c(N (v)) ¹js€„Š´r#Œ}z|r±‡y‰ºá¥†³´r„Ùˆz}r#{€‰· ~€±‡€ŒE´²ˆ‰±‡‚ rz·N‚p±‡Æd±‡±¯†¯„p¥ c(v) = min {1, . . . , ∆ + 1} \ c(N (v)) Ãr¶~ˆ‰„5ˆ‰±‡ÃˆAy_z~€„ zg{®Œ|‚ ~#{ ˆƒ~€Œ|Œ}rz|•K€‰„ – †¯„p¥¶z}&r 1k‚ r#„ ~r ·N€Œ{}m r jkml0lcnpocqrasWt sbk •pŒ}€H~r–p‚ Œ}r°z|†¯q7• ±‡y7ŸŠy€Œ|– rŒ|†¯„ ¥ƒ´‰rŒ ê {®†¯~#rz0ˆ‰~#~€Œ|– †¯„ ¥2{}€%„p€„_êǖpr~KŒ|rAˆ‰z|†¯„ ¥2´²ˆ‰±‡‚ rz-€‰· c(v) ¹ 5d€Œ¸{}m r<– r#Æd„p†‡{®†‡€„f€‰· ~^ qr ~j{}m r ˆ‰Œ}¥‚pq\r#„k{<†‡z<ˆ‰„dˆ‰±‡€¥€‚p&z 4nˆ‰„:ˆ‰•p• Œ}€•pŒ}†µˆ{®r2z}0r 1k‚ r„ ~#r K ~Aˆ‰„:ŸKr~#€„ z|{}Œ}‚ ~{®r#–iŸŠỳŒ}–prŒgê †¯„ ¥

(60) ´‰rŒg{®†¯~#rzˆ‰~#~€Œ|– †¯„ ¥{®€¶„ €„Hêdž¯„p~Œ}rˆ‰z}†‡„ ¥

(61) ´²ˆ‰±‡‚ rz8€²· deg(v) ºpŸ Œ|rApˆ k†‡„ ¥ƒ{®†‡rznˆ‰~#~€Œ|– †¯„p¥ƒ{®€ „ €„_êó– r~#Œ}rAˆ²z}†¯„p¥<´²ˆ‰±‡‚ rz(€‰· c(v) ¹ ’Ez¶ˆz|†¯– r„p€‰{®r²º†‡{†¯z

(62) †‡„Š{®rŒ|rzg{®†¯„p¥{®€é€‰Ÿ z}r#Œ|´r{}mdˆ²{{®m r•pŒ}€Ÿ ±‡rq €‰·nÆd„ –p†¯„ ¥Àˆ²„ x~îê ~€±‡€Œ}†‡„ ¥j€‰·b¥Œ}ˆ‰• m G – €Hrz¸„ €²{-ˆ‰– q7†‡{ˆ‰„Šy鱇€_~ˆ‰±!–pr#Æd„ †³{®†‡€„¹ DŽ – r#r–º Ã(m r#„ G †¯zˆŒ}†‡„ ¥ . . . . . . . .  . .

(63). .  . .  . . . . .  . ". . . . .   !. #. . . #. . . ≥. . . . 8GT5>8GI.

(64) ÐéÔf'd½\ËÅ͏ݐß;ί½|܁ÏSÔL¿Í -ϯÓÔL¼Ï *&HÔǽ}¾Ê8¼|Òß)'ÙËÅ͏ί͏¼ÏSÐH» {. . ‰€ ·nr#´‰r„̱¯r#„ ¥‰{}mºáˆ‰„ŠyÙz}‚ ~—m ~#€±¯€‰Œ}†¯„p¥.‚ z|rzƒrÁpˆ‰~#{}±‡y 2 ~#€±¯€Œ|z¹l!ˆpk†¯„ ¥é†‡„Š{®€éˆ²~~€‰‚ „Š{

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(79) $' t R. w H >yx{zW|7}~ ;=<?U H @:> D. 68:7

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