THÉORIE ALGÉBRIQUE DU SYLLOGISME CATÉGORIQUE

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(1)THÉORIE ALGÉBRIQUE DU SYLLOGISME CATÉGORIQUE P. V . G R O SJ EAN. Sommaire On rappelle d'abord (') que les fonctions logiques d 'o rd re ri sont aussi des re la tio n s d 'o rd re n , établies su r u n doubleton quelconque. Dè s lo rs, ces fonctions, — que l'imp lica t io n o rdonne e n une «trame», — se représentent p a r des «matrices d'incidence», e t se prêtent ainsi au ca lcu l des relations (calcul ma tricie l booléen). Grâce au produit relationnel, la trame des 16 fonctions d 'o rdre 2 se v o it dotée d'une stru ctu re d'algèbre, d o n t o n d o it dégager le s symé trie s e t le s automorphismes. C e q u e i o n fait en mettant l'accent su r deux sous-ensembles remarquables de cette algèbre, le groupe «identité-négation» d'une part, e t le doubleton «and-nor» d'autre part, q u i rassemble deux «projecteurs» supplémentaires. On constate que chacune des 2 bases duales de cette algèbre est constituée p a r 4 «jugements prédicatifs», s o it e n t o u t 8 jugements, d o n t 4 seulement fig u re n t dans l e ca rré lo g iq u e scolastique. L e s symé trie s d e ce t ensemble d e 8 jugements sont celles d'une p yra mid e tronquée, l a «pyramid e logique». Tout syllo g isme catégorique répond a lo rs à u n schéma d e produit re la tio n n e l, l e sch é ma fondamental é t a n t c e lu i d u «Barbara» (imp lica tio n X imp lica tio n = imp lica tio n ). C'est du Barbara que d é rive n t le s autres schémas, p a r des opérations ad hoc de négations et/ou de projections. Alors, tenant compte des symétries, des projections e t des automorphismes, o n é ta b lit sans peine: 11 L a théorie purement algébrique des 24 syllogismes classiques, partagés e n 1 5 syllo g isme s d ire cts (a ya n t 3 co mp o santes) e t 9 syllogismes indirects (comptant, en fait, 4 composantes); cette théorie sera qualifiée d'asymétrique, parce qu'elle n'utilise, a la suite des Scolastiques, qu'une p a rtie seulement des symétries de la pyramide logique..

(2) 548. P. .. V. GROSJ EAN. 2°) U n e t h é o rie p lu s générale, d i t e symé triq u e , u t ilisa n t toutes le s symé trie s possibles, th é o rie q u i id e n tifie 9 6 typ e s distincts de syllogismes, tous issus de 3 générateurs, «les tro is B» (Barbara, Bocardo, Baroco). §1. — Relations sur un doubleton 1.1. — Les 2 une 2 ntrame A „, c'est-à-dire en un t re illis de Boole dont la base estf un trecillis o n t i de Boole ( 2 Pour o n sn — 0, la tra me se ré d u it au doubleton {1 ,0 } = B , o rdonné ). l o p agr lai lo i d'implication, la q u e lle peut s'écrire: q u e (s1-1 ) 0 d ' 0 o r Pour 0 — 1.2. n = 1, o n a 1 E d Çr p donnent % 2 . a r l a l o i (1 -1 ) a p p liq u é e a d e s t e rme s d e mê me rang rassemblés ,.e dans d olesn 2-uples t l e s en B 2 é n8 l é m e n t s 1 .l'ensemble s12 ' ' B od o té rdes deux lo is de composition ( A ) e t (V ). op r 5 La dop a ireo de vecteurs notés [3 = [1,0] e t [3 = [0,1] e st à la fo is 1 la base de ce ve cto rie l et la base de la trame A 1 ns n de . L Be jo s u eén t ldonc é m lee rônlet dse «scalaires». es n Chaque élément de B tè partie 2 ed 'u s nt doubleton l a quelconque C , le q u e l p e u t rassembler ed f o n c t i o n notamment, ne so it une proposition s e t sa contradictoire c a r a c t é s , us o i t unr ensemble i s t i S qe t uso n complémentaire S, so it le s d e u x scan laires e de [13 e A d ce titre ' , le s uéléments de B s c a r a c t é r i s e n t 2 unaires n possibles e su r un doubleton. Par extension de langage, onltd iraeque le s s scalaires d e B ca ra cté rise n t le s 2 re la tio n s 4r zéro-aires, universelles (le vra i et le faux). u e r1.3. l an =t 2, on i a o A — Pour c s n sentent 2 = au B mie u x sous l'aspect de matrices carrées; la fig u re t I est 4 le diagramme de Hasse de la trame A s'ordonnent s ,u d ocomme n t ceux de A i. . , lr d oe n t s l e s é éel él m e é m n e t ns d t s ' s e e p r é s p a c.

(3) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 4 9. Figure I: La trame A,, des 16 relations binaires sur 13. F. 2'.

(4) 550. P. .. y . GROSJ EAN. Cet ensemble est lu i aussi u n ve cto rie l su r B ; sa base est celle d e A 0*, 2 J * sur la figure I. , Chaque e t élément de A 2 = B e 4l lep asrttie d u dune l paro d u it ca rté sie n C X D f o rmé p a r d e u x doubletons e f o n cquelconques, t i o n éventuellement identiques. s A c ce a e titre r a, les c éléments t é r i de B rq a uc t eésur ri un s edoubleton: n t binaires chaque ma trice de la fig. c 4 s o tc ai possibles l painsi e la smatrice d'incidence d u n e telle relation. En p a rtiImest 6 n ctio n d 'imp lica tio n ) e st l a ma t rice d'incidence culier, o 1 s d (fo de r la relation e l (1-1). a t i o e s ces matrices sont aussi les tables de Pythagore des 16 d nEnfin, ecompositions in t e rn e s p o ssib le s s u r B conjonction ( V ) , Je e st l a d isjo n ctio n -mu ltip lica tio n ( A ) o u s2 .4 .ie (.), A i n s i , S * .e s t l a m s t— Le p ro d u it relationnel associatif (de signe 0 ae 1.4. sur rt ) Aéi t a b l i t 2 cl ' V.9,YeA u nd ea (1-2) e sd 2i g que ce produit s'exécute comme un produit de deux snt i:t Rappelons b ordinaires, ' roo uon matrices à condition toutefois d 'e mp lo ye r les co m= . ctb t positions (V ) et (A ) en lieu et place de l'addition et de la mu ltiplication 2 numériques, , A respectivement. u éi 0r 2 e n e d sa 1.5. — Par ailleurs, le même p ro d u it peut s'exécuter entre ma t rice d e A i I'une 2 unaire), ce lu i-ci p o u va n t ê t re mis e n colonne e t à a r ,(relation (e r e l dae tl ai omantrice , o u b ie n mis e n lig n e horizontale e t a ltdroite gauche b i r g ( i ndeala matrice: P e ) ,è+ be ) (1-3) V tR E A 2 , V a c A ru . l :g chaque 0 ma trice de la figure I est aussi un applicateur en Ainsi, linéaire a e de A l'espace l , ve cto rie l 1 B v c : efi 2 l'opérateur c t o identique . (matrice-unité). t e u .r 9E t A - i 2 .d e s t le ' a p p l i c a t e u rA n u l , l.

(5) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 5 1. 1.6. — Parmi ces applicateurs, nous distinguons notamment: 1°) De u x opérateurs b ije ctifs, e t d e u x seulement, à sa vo ir e et x , dont l'ensemble forme un groupe binaire pour le p ro duit relationnel, groupe isomorphe a u groupe a d d itif dans le corps b in a ire B (e t dont la table de Pythagore est justement A l . L'opérateur dir est involutif: (1 -4) P t. A. t. 0. (. C'est l'opérateur de négation, permutant les deux vecteurs de base [1,0] et [0,1] du vectoriel B 2 . 2°) De u x projecteurs supplémentaires, à sa vo ir ..se et Je*. Ces deux applicateurs obéissent e n effet à la d é fin itio n des p ro jecteurs (supplémentaires l' u n d e l'a u tre ) e n ve cto rie lle :. o f0 0 0- 11- 1=* = q 1 1 5*J o r a * = . / V . , * ). L e s a p p lica te u rs J e t Je* p ro je t (N.B.: J + .1* tent l e ve ctes ou r tautologique [1,1] s u r le s ve cte u rs d e base. i Rappelons qu'un = projecteur est essentiellement un applicateur r singulier, non• inversible. * = =. (1-5). § 2. — Symétries et automorphismes de A2. / o 2.1. — L'hypercube que représente l a fig u re I possède u n c groupe d e symé trie s co mp ta n t 2 f celles-ci signalons d'abord ce lle q u i nous sera la mo in s u tile , 4 * la . 4 symé 1 =trie centrale, 3 8 4q u i n'est autre que la complémentation: o p é r a t i o n s . P (2-1)aV R er A 2 , mF + . i g e t i t E importante Plus A ic i sera la réciprocité, transformant la ma 2.

(6) 552. P. .. y . GROSJ EAN. trice g t en sa transposée C e l l e - c i d é f in it l a re la tio n ré ciproque, appelée souvent e t à t o rt la re la tio n inverse. La ré ciprocité é ta b lit u n a n t i a u t o mo rp h isme s u r l Les ' in a valria n g ts èd e la b ré cip ro cité so n t le s matrices-relations r e symétriques (.91 = l e s q u e l l e s so n t g , e *, , / * a in si que A 2 gl, 2 '. Par exemple, si d' caractérise la re la tio n ensem: bliste S c M, a lo rs d' caractérisera l a re la t io n M S , é q u iva lente à S c M. 2.2. — Le groupe 6 a) l'identité 1 / , . / r ) banale: d e f i n i t (2-3) d eV 9 /u I , Ax 2 s y m m é b) :tuner conjugaison, que nous qualifierons d e simp le : i e s g : l o 9 0 . . / V o g e o . Adet P —g l* P 0 (2-4) / / Par exemple, si d caractérise la relation S c M, alors d * caractérisera S c M. Cette opération est une symé trie p a r rapport à. la lig n e médiane ve rtica le de la fig u re I ; e lle laisse invariantes le s re la tions rassemblées su r cette ligne, à sa vo ir les re la tio n s autocon jugées F, La conjugaison d é fin it u n automorphisme su r A 2 : (2-5). = g 0sP. =. 0 ,99*. Pour mémoire, la dualité au sens d 'A. de Morgan est le p ro duit d'une complémentation e t d'une conjugaison, définissant A. gt*. C'e st u n e symé trie p a r ra p p o rt à l a lig n e médiane horizontale d e la figure, la issa n t invariantes le s re la tio n s d e.

(7) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 5 3. cette lig n e (re la tio n s b in a ire s «dégénérées», simp le s re p ré sentations des relations unaires basiques d e B 2 ) . 2.3. — Le produit d'une conjugaison simple et d'une ré cip ro cité est une conjugaison hermitique ( 3 ) : (2 -6 ) g + (1-1 ( 7 4 ) *. =. ( g / * ). Cette symé trie laisse invariantes le s re la tio n s hermitiques ( 3 savoir d , d * , 0 , 412* a i n s i q u e F , g / , .2'. A in si, s i d ), caractérise SOEM, a lo rs d + ca ra cté rise ra ivI cS , re la tio n e n sembliste équivalente à la précédente. Une relation hermitique obéit donc d: (2-7) , R — g + c - à - d. =. La conjugaison h e rmitiq u e d é f in it u n anti-automorphisme de l'algèbre A 2 : (2-8) P I == Pi o y < = > = „V+ 0 Ce+ Théorème I : S i d e u x re la tio n s h e rmitiq u e s o n t u n p ro d u it hermitique, alors elles commutent. Ce théorème résulte directement de (2-8) lorsqu'on y pose g = PIP, PI = = Y+, Théorème 2: Par négation à droite ou bien à gauche de l'h e rmitique o n o b tie n t la symé triq u e Y , o u b ie n respectivement la symétrique Y *. En effet:. (2-9) r = dr+ = 0 5r - 0 A r • d r A = t D'où: S P d et:. lt • d f = ( d r A l. (2-10) e t : 9 *r .= / = t d r. .9. ; i 9 0 , A r.

(8) 554. P. .. V. GROSJ EAN. § 3. — Jugements prédicatifs e t syllogismes catégoriques 3.1. — Un jugement (prédicatif) e st une re la tio n basique de la trame A 2 définie au re 1.3., — dans ce cas le jugement est p a rticu lie r, ,- soit à la base duale {S*, d * , d , e }, — et dans ce cas le jugement r e l est a t universel. i oDen ces 8 jugements, la logique traditionnelle ne re tie n t que logique a p p traditionnel, sans astérisque: d , 6, ceux a r que t nous avons désignés par les voyelles mêmes du ca rré e n a n 3.2. t — Dans chacune des bases, le s quatre jugements s'obtiennent p a r le s opérations d 'u n groupe d e K le in , q u i so n t: s l'identité, la négation à droite, la négation à gauche, la négao tion à d ro ite e t à gauche (c'est-à-dire la conjugaison simple). i De t ce groupe, l a lo g iq u e classique n e re t ie n t q u e l e so u sgroupe fo rmé p a r les deux premières de ces opérations. à l Il suffit donc de se donner un «jugement-repère» dans chaque base, puis de laisser opérer le groupe. Et il est tout indiqué de a choisir comme repères l'u n ive rse l d (l'imp lica tio n ) e t le p a rtib culier 5 (l'u n des projecteurs, d o n t la ma trice est la table de a la s composition «et»). e Par définition, ces d e u x repères seront d its a ffirma tifs. Les autres jugements se ro n t a ffirma tifs o u négatifs se lo n q u ' ils f sont issus du repère p a r un nombre p a ir ou u n nombre imp a ir f de , négations, respectivement. A i n s i e st d é fin ie l a «qualité» d'un jugement, au sens aristotélicien. 0 , 0 3.3. — Quant à la «quantité», e lle e st évidemment d é fin ie par * l'appartenance à t e lle o u t e lle base d e l a tra me . P o u r passer du repère universel d au repère p a rticu lie r J , i l su ffit , de projeter le premier au moyen du second mis à sa gauche: J e * (3 Par1 négation ) à droite, il vient J (3-2) J d r =-- tP o s ( =.

(9) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 5 5. et par conjugaison simple (3 3) Donc les 4 jugements p a rticu lie rs s'obtiennent p a r des p ro J jections exécutées à gauche d e s ju g e me n ts u n ive rse ls. O n e peut * donc d ire que d est le générateur des 8 jugements. o 3.4. s — La logique traditionnelle rassemble le s 4 jugements i classiques e n une célèbre fig u re géométrique, le «carré lo g i* que». O r cette fig u re e st à la fo is ma l choisie e t incomplète: = o 1°) e Ma l choisie: Un ca rré possède 2 que 2 * l'ensemble des 4 jugements classiques n 'e n possède q u e 2, l'id .=2 !e n tité8 e t la négation à droite, ce lle -ci permutant d et 0, 0 ainsi s yq um e . "é ett 0r (changement i e s , de la «qualité»). L a p ro je ctio n *a (changement l o d e lra «quantité») s n e s t pas u n e symé trie , p u is-. que c'est une opération non inversible. Les symé trie s de l'e n semble (d , S ; J, 0 ) so n t celles d'un trapèze, e t nous proposons de substituer le trapèze logique (fig . 2 ) a u ca rré logique. 2°) Incomplète: E lle ignore le s 4 jugements n o n classiques, lesquels forment le trapèze logique conjugué. 3.5. — E n conséquence, n o u s proposons d e re mp la ce r l e carré logique p a r la p yra mid e logique (fig. 2), p yra mid e tro n quée à base rectangulaire, o b je t a ya n t d e u x plans d e symé trie, marqués su r la fig u re p a r des tire ts affectés d u n e notation in d iq u a n t l a n a tu re d e l a symé trie : «n.d.» (n é g a tio n droite) e t on.g.» (négation à gauche). L 'a xe ve rt ica l e st a xe de symé trie p o u r l'opération d e conjugaison simple. Les bases n e p e u ve n t ê t re d e s ca rré s, c a r l e g ro u p e d e Klein, mentionné a u n ° 3.2., ne le u r donne que le s symé trie s d'un rectangle. Enfin, le sommet de la p yra mid e e st le «centre d e p ro je ction», o rig in e des projetantes appliquant la base supérieure (jugements universels) su r la base inférieure (jugements p a rticuliers)..

(10) 556. P. .. V. GROSJ EAN. Figure 2: La pyramide logique. Centre de projection ,ʻ v. I. /. (projection par a gauche). / I\ / t \ / 1 I 1 I n.d. (S c P). Rectangle des universels (S c P). (S(ZP) Rectangle des particuliers (SczP). lace avant: trapeze logique. lace arrière: trapeze conjugué.

(11) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 5 7. § 4. — Les syllogismes classiques directs 4.1. — Une relation g est transitive lorsque: (4-1) g o. Ycg i. Formons — QI Li P. Ce t t e re la t io n e s t ré f le xive , p u isq u e Vc.91; e n outre e lle est idempotente, donc tra n sitive : ( Mo 6 g f —.9? P On d it que .9 Iest un préordre. L'ensemble A , compte 4 p ré ordres, a sa vo ir U les deux équivalences (préordres symétriques) g/ e t r , e t le s deux Y ordres (préordres antisymétriques) d e t ) — d , réciproques l'un de l'autre. 0 Les deux relations 0 e t 0 * so n t des ordres stricts (non ré ( flexifs), tous deux nilpotents: 0 — 2 ' = 0 * 0 0*. 6 Les 4 éléments 1 h e rmitiq u e s n o n symé triq u e s d e l'a lg è b re sont donc tous des ordres (stricts ou non). ? / 4.2. P a r définition, le syllogisme fondamental est la re la U tion d'idempotence d e l'o rd re fondamental d : g l (4 — a 3 )est entendu que: 1°) Le p re mie r facteur d est la fonction Il l caractéristique s de la mineure, la q u e lle se tra d u it e n notation l ensembliste : p a r S c M ; conformément a l'usage, n o u s d iro n s U S est I le «sujet» de la conclusion, et que M est le «moyen terme» g du0syllo g isme . 2°) L e second fa cte u r caractérise l a majeure, l notée d M c P , o ù P est le «prédicat» d e la conclusion. 3°) L e résultat du p ro dU u it est la conclusion, notée S P . L'écriture (4-3)g e st a in si équivalente a u x énoncés tra d itio n H nels, qui s'expriment: g o ordinaire (la mineure étant citée en p re mie r a) e n language contrairement à gl'usage): (Or) to u t S est M, tout M est P; donc i — 0 1 1 U g (4-2) 1.

(12) 558. P. .. y . GROSJ EAN. tout S est P. (Expressions abrégées signifiant: To u t élément de S est élément de M, etc.). b) e n langage ensembliste: [(S M ) e t ( M c P)I [ S c P ] c) e n langage propositionnel: m ) e t (m p ) ] [ s p ] , où le symb o le s représente la proposition x S , e tc... Le syllo g isme fondamental (4-3) e st connu sous le n o m d e «Barbara». 4.3. — Les syllogismes de la «première figure» (au sens classique) se déduisent d u Barbara exactement co mme le s ju g e ments classiques se déduisent de l'imp lica tio n a . O n a ainsi, en se rappelant que le p ro d u it re la tio n n e l e st associatif: «Celarent»: (4-4) ( d o d ) o . A r - «Darii» (4-5) d o ( s s t s i t ) = (, / o at) 0 ( d 0 . 4 1 = d 0 S «Ferio» = S. =. 0. (4-6) 0 ( d 0 ssi) N ( / 0 s i On t ) sait 0 que ( s lai consonne . A in itia le des noms mnémotechniques désigne 1 le type du syllogisme. Nous verrons que cette notation est) redondante; se u le la conclusion d é f in it univoquement l e type. = No u s aurons , f a inisi ler s «syllogismes universels» (co n clu sions particuliers» (e n f i e t en 0). 0 d et e) e t les4«syllogismes ' Rappelons une dernière fois que dans les produits re la tio n nels syllogistiques, l e p re mie r fa cte u r (l a p re miè re vo ye lle majuscule) e st la mineure, a lo rs q u e dans le s mo ts mn é mo techniques scolastiques, l a p re miè re vo ye lle désigne l a ma jeure. 4.4. — L a lo g iq u e classique co n n a ît 4 «figures» d e s y llo gismes, f ig u re s d o n t le s schémas s e déduisent d u sch é ma.

(13) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 5 9. (SM,MP) d e la 1 ' figure, p a r le s opérations d 'u n groupe d e Klein permutant l'ordre des termes S et M, et/ou ce lu i des te rmes M e t P, le schéma SP de la conclusion restant inchangé. Ces 4 figures sont ainsi: (4-7). I. = (SM,MP) I I — (SM,PM) I I I = (MS,MP) IV ( M S , P M ). Or, si .9 et g? caractérisent respectivement la mineure (SM) et la ma je u re (MP), a lo rs 9" e t .9 caractériseront respectivement l a min e u re (MS ) e t l a ma je u re (P M). Dè s lo rs, a u x 4 figures classiques correspondront le s p ro d u its respectifs: (4-8). gom. y o g i. .90.R. g o 0 ge. 4.5. — D'après le théorème 2 du ri 0 2 . 3 . , l e s bara d co é n rtie ni d vro nét d es s composants symé triq u e s Y O r , si dl'u n desup ro d u its (4-8) co n tie n t une ma trice symé triq u e SP, Bst é gaa l a u rp ro d u- it contenant Y . D'o u la Règle I : il e Si un syllogisme de la première fig u re contient k prémisses symétriques, il engendre 2' syllogismes. On a les cas suivants: k 0 (Barbara), k 1 (Celarent, Da rii) et k = 2 (Ferio). Par ailleurs, s i la conclusion e st symétrique, d o n c égale sa transposée, le syllo g isme e n engendre 2, lu i-mê me e t son transposé, défini selon (2-2). Te lle est la Règle 2, laquelle s'applique aux dérivés du Celarent et du Darii. En co n clu sio n , n o u s s o mme s a r r i v é s à d é d u ire a i n s i 2° + 2.2 ques, 1 + que l'on trouvera au tableau 2 . 2 1 4.6. — I l e xiste cependant 2 autres d é rivé s classiques d u + Ferio, q u e n o u s obtenons e n changeant M e n M (négation 2 du mo ye n te rme ), c'e st-à -d ire e n n ia n t à d ro it e l e p re mie r 2 facteur e t à g a u ch e l e se co n d fa cte u r. N o u s a p p e lle ro n s =«anticonjugaison d'un produit» cette opération étrangère à la 1 3 s y l l o g i s m e s ( c.

(14) 560. P. .. V. GROSJ EAN. logique classique (la conjugaison d u n p ro d u it .9 0 e n g e n d r e 0.9 0 0 = o R * ) . L e procédé donne immédiatement le «Baroco»: (4-9) 1 9 — 5 0 4 = - , (Légalité A * — •A' (e• se l i t directement su r la p yra mid e lo g i5 0 . 4 t o . A t o g que; = e t co mme d e st hermitique, o n a d * = Le est C Baroco o d hermitique comme le Barbara, en ce sens que ses* tro is composantes sont hermitiques; d'après le théorème I — du 2 3 , ses prémisses commutent, e t cette commutation enC o ; gendre le «Bocardo» (4-10). I s f o. ignorant donc l'anticonjugaison, les Scolastiques ramenaient le Baraco et le Bocardo au Barbara au moyen d'une «réduction par l'absurde»; c'e st ce que ra p p e lle la présence d e l a co n sonne «c» dans le n o m du syllogisme. Nous n'avons donc pas besoin d e ce tte opération classique, étrangère a u x règles e t aux calculs élémentaires que nous employons ici. Par conséquent, la consonne «B» in it ia le ne correspond pas une classification co n fo rme à n o s règles. L e Baroco e t l e Bocardo sont des syllogismes en «o» (fin a l), d u typ e Ferio. 4.7. — I l se f a it cependant q u e l'in it ia le «B» désigne u n e propriété trè s importante de ces t ro is syllogismes: le u rs t ro is composantes sont des ordres (relations hermitiques non symétriques), tro is ordres non stricts pour le Barbara, un ordre non strict (en prémisse) e t deux ordres stricts p o u r le Bocardo e t le Baroco. P o u r ces raisons, n o u s prendrons ce s t ro is s y llo gismes e t le u rs co n ju g u é s co mme s «générateurs» d a n s l a théorie générale d u syllo g isme catégorique, classique o u non (§ 6)..

(15) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 6 1. 4.8. — No u s avons a in si obtenu 15 syllogismes classiques, résumés p a r le tableau I . No u s le s avons appelés «directs», pour rappeler q u 'ils n e comportent effectivement que 3 cornTableau Les 15 s y llogis mes direc t s c las s iques. Conclusions d —. S=. 1 — f s i 0 si iBarbara g u d r Celarent eo. 2 fig u re. 3' figure. 4' figure. Cesare. e0s,". „ „, e0 sl. Camestres. Calemes. Je 0 si Da rii. fi o d. Datisi. f —. 0 =. —. Je0e. J 0e. Ferio. Festin(). s i o ,t. d o ,t. Disamis. Dimatis. —. ,540 g. ——. Ferison. Fresison. 0 0 sit Baroco — si 0 0 Bocardo. Je06'.

(16) 562. P. .. y . GROSJ EAN. posantes, ce qui n'est pas du tout le cas des autres syllogismes classiques, que nous a llo n s é tu d ie r maintenant. § 5. — Les syllogismes classiques indirects 5.1. - L a lo g iq u e classique co n n a ît 2 4 syllo g isme s v a l i des. P a rmi c e u x q u i n e f ig u re n t p a s a u ta b le a u I , cit o n s d'abord: 1°) Bamalip, 2°) Darapti, Felapton, Fesapo. Ces 4 syllo g isme s so n t to u s étrangers à l a I f i g u r e , e t tous se ramènent à cette fig u re p a r l'opération connue cla ssiquement so u s l e n o m d e « co n ve rsio n p a r limita tio n » , — ainsi q u e le rappelle la présence d e la le t t re «p» dans le s 4 noms. 5.2. — Ce tte opération classique e st exactement u n e p ro jection, u n passage de l'u n ive rse l au p a rticu lie r. Donc le p ro jecteur Je d o it fig u re r dans le s p ro d u its relationnels caractéristiques de ces syllogismes, ma is en ta n t que 3' facteur. Ces syllogismes ont donc plus de 3 composantes, et pour cela nous les appellerons des syllogismes indirects. C'est ce que mo n tre n t le s énoncés complets d e ces syllo gismes e n langage ordinaire. P a r exemple: 1°) Da ra p ti: To u t M est S, d'où quelque S est M, to u t M est P, donc quelque S est P. 2°) Bamalip: To u t M e st S, t o u t P e st M, d o n c t o u t P est S, d'où quelque S est P. Dans ces énoncés nous avons f a it précéder l a 4 ' composante p a r «d'où», souligné. Ainsi le p ro d u it caractéristique d u Da ra p ti se ra . . = 2Je1 e toceJlu i d u0 Bamalip S jee 0t d o f = 5 . Felapton e t Fesapo auront, comme Darapti, u n . / en facteur du milie u , — ce q u i justifie la distinction en (1°)(2°) au n° 5.1. On n e peut évidemment associer le J à l' u n des facteurs voisins, ca r alors o n ne d é fin ira it q u 'u n syllo g isme d ire ct. OSEO O. k i d. 5.3. — Restent e n fin 5 syllogismes classiques auxquels le s Scolastiques n 'o n t donné a u cu n n o m p a rce q u 'ils découlent immédiatement des 5 syllogismes universels p a r application de.

(17) THÉORIE ALGÉBRIQUE DU SYLLOGISME CATÉGORIQUE 5 6 3. Tableau II Les 9 s y llogis mes indirec t s c las s iques. Conclusions. 1.' figure. 2 f igure. 3' f igure. 4' f igure. f i o d o d Barbarip. Pl. Je -=. — d 0 jr 0 d Darapt i (2°). 5 0 d 0g Celarop. (31. o=. d o Bamalip d (11 o . . 9 5 -. J 0 d '0 - arop Ces 6' (3°) ,./ 0 ( S' t ros p Cames 0 Pl 1/. Jogod. , se o , f ro ʻ Felapt on (2°). Calemos p ( 3 — " d o j o & ) Fes apo (21. la p ro je ctio n op» à la conclusion. Ce so n t donc, e u x aussi, des syllogismes indirects, auxquels nous donnerons le s n o ms ci-après, p o u r re ste r dans la note: 3 1 Ba rb a rip ; Camestrosp,.

(18) 564. P. .. y . GROSJ EAN. Calemosp, Cesarop, Celarop. Ces noms sont issus de ceux des syllogismes directs correspondants. 5.4. L e tableau I I rassemble le s 9 syllo g isme s in d ire cts classiques. No u s le s a vo n s classés e n (1 1 (2 1 (3 1 se lo n q u e le f a ct e u r Je co mp lé me n ta ire s e t ro u v e re sp e ctive me n t droite, o u au milie u , o u à gauche d u p ro d u it caractérisant le syllogisme d ire c t in it ia l. Ce t t e cla ssifica tio n décompose l e cardinal 9 en 9 — 1 + 3 + 5. Le Da ra p ti e st auto-transposé, ta n d is que le Bamalip e t l e Barbarip sont transposés l'u n de l'autre. Le Bamalip est le seul, parmi les 9, qui découle d u n syllogisme non classique, à savoir le conjugué = 0 d * d u Barbara; i l e st l e se u l o ù l e projecteur J fig u re à droite. La transposition des syllogismes en oo» ne fo u rn it aucun syllogisme classique, puisque 0 * = 0 est étranger à la logique traditionnelle. § 6. — Théorie symé triq u e générale d u syllo g isme d ire ct 6.1. T e l l e q u e nous venons d e l a re co n stru ire s u r des bases algébriques, l a th é o rie classique d u syllo g isme d ire ct présente une asymétrie flagrante, laquelle se manifeste cla ire ment dans le tableau I. L'origine de cette asymétrie n'est autre que le bannissement d e tous le s <jugements conjugués» (re présentés p a r des le ttre s étoilées dans l a p yra mid e logique, fig. 2). Historiquement, ce t ostracisme a d û reposer su r des mo t ivations d'ordre ontologique. Au ssi n'en vo it-o n plus trè s b ie n aujourd'hui l a ra iso n d'être, d a n s u n e Logique q u i se v e u t purement fo rme lle . C'e st ce q u e v a nous mo n t re r l'e xe mp le ci-après, emprunté à la mathématique d it e moderne, science formelle s'il en est: 6.2. L ' u n i v e r s du discours étant g ( E ), o ù E e st u n ve ctoriel à n dimensions, co n sid é ro n s l e s systè me s E g ( E ) , comptant un nombre f in i d e vecteurs, et, p a rmi ces systèmes: 11 ceux qui sont (linéairement) liés, dont l'ensemble sera noté.

(19) THÉORIE ALGÉBRIQUE DU SYLLOGISME CATÉG O RI Q UE 5 6 5. cgo(E), e t ceux q u i sont lib re s (n o n liés, n o n L), d o n t l'e n semble e st F = 14 2°) ceux (dont l'ensemble est N) q u i rassemblent p lu s de n vecteurs, e t ceux (les non-N, d o n t l'ensemble est N = M) q u i n e rassemblent p a s p lu s d e n ve cte u rs. La p ro p o sitio n b ie n connue « t o u t systè me d e p lu s d e n vecteurs e s t lié » , co n stitu e u n ju g e me n t d u t yp e d : N c L . Mais o n peut lu i substituer 8 énoncés équivalents (lu i-mê me y compris), q u i sont tous intéressants, e t tous d'usage courant. Ces 8 énoncés sont les suivants, que l'o n tra d u ira aisément en langage ordinaire: type d : N c L e t L c M type s type S* : M c L et F : -N c N type d * : c i et c F Supposons que la d ite p ro p o sitio n d o ive s e rv ir d e ma je u re e dans u n raisonnement syllo g istiq u e a conclusion universelle. t Alors, selon la théorie scolastique: 1°) Les 4 dernières formes F te r, puisqu'elles n e fig u re n t dans aucun syllo seraient a re je c gisme «officiel». 2 °) L e s 4 premières, e n revanche, se ra ie n t acceptées, maMis e lle s fig u re ra ie n t dans des syllogismes « o ffi— ciellement distincts», Barbara, Ce la re n t o u Cesare, se lo n le s (6-1). cas. L'incohérence d e s d iscrimin a tio n s classiques sa u t e i c i aux yeux. Peut-être cette incohérence a u ra it-e lle é té mo in s frappante si nous avions raisonné a p a rt ir de l'antique exemple de ju g e ment d : «tous les hommes sont mortels», jugement aux relents certains d'ontologisme... 6.3. — La conclusion de ceci, c'est que la théorie asymétrie traditionnelle a b o u tit a u n dénombrement t ro p p a u vre d e s types d e syllogismes, — o u t ro p rich e , se lo n le s p o in ts d e vue, tout dépendant ici des inférences dont on tiendra ou dont.

(20) 566. P. .. V. GROSJ EAN. on ne tiendra pas compte, lo rs de la d é fin itio n des types d istincts. Par exemple, si l'o n e xclu t les inférences p a r «figures», i l ne reste que 8 syllogismes (1 p a r ligne du tableau I), — ou plutôt, selon la langue rigoureuse de l'algébriste, 8 classes d'équivalence, (équivalence p a r transposition de l'u n e o u l'a u tre p ré misse symétrique, s'il s'en présente). Mais si au contraire on rejette toute équivalence, en déclarant q u e to u te symé t rie (a u tre q u e l'id e n tité ) engendre u n nouveau typ e de syllogisme, — et ce p a r définition même, — alors on a rrive aux 96 syllogismes distincts de la théorie symétrique, q u e nous a llo n s développer sans peine: 6.4. — A in si qu'annoncé au ric) 4.7, adoptons co mme générateurs les produits d'hermitiques dont le résultat est hermitique:. (6-2) d r 0 dr2= dr, étant entendu que ces tro is d r, sont des éléments (éventuellement transposés) du carré logique traditionnel. D'après to u t ce q u i précède, i l existe 3 générateurs de typ e classique, et 3 seulement, «les trois B», que nous rappelons ici: Baroco : d 0 (6-3). =. :. (S cM ) 0 ( M c P) = (S c P). Barbara : 0 0 d = 0 : (S M ) 0 (1 3 c M ) ( S Bocardo: d 0 P: c t ) ( M c S) 0 (M P ) = (S P ). 6.5. — Les autres syllogismes de la théorie symétrique vo n t se déduire p a r des opérations d e symétries, d o n t l'ensemble forme u n groupe d'opérateurs. Ce groupe est le p ro d u it d ire ct de deux de ses sous-groupes: 11 Le groupe des symétries «par figures», dont les opérations remplacent l'une des deux prémisses d r (ou le s deux, o u a u cune) p a r sa conjugée hermitique d r+ = d r; p a r exemple, une de ces opérations transforme (S M ) e n (1v1 – c – S). C o m m e d a n s.

(21) THEORIE ALGEBRIQUE DU SYLLOGISME CATEGORIQUE 5 6 7. la théorie classique, ces opérations n e peuvent p o rte r su r la conclusion; en effet, c'est en ordonnant ses termes S et P que la conclusion d r, définit, p a r opposition, le «sujet» e t le «prédi_ cat». O n a b ie n , p a r exemple, (S P ) ( 1 nest qu'une conclusion ma l écrite, o ù l'o n a noté P le su je t ) et E SS le )prédicat. compte 4 opérations, et il engendre O , m aCe igroupe s à p a rt irSde chacun des générateurs. (4 syllogismes P c ) 2°) L e groupe des symétries «par négations», d o n t le s opérations consistent a n ie r soit zéro, so it un, so it deux, so it tro is des termes S, M, P. Le groupe compte 2 3 — chacune engendre 8 8 syllo g isme s a p a rt ir des générateurs e t de o pleurs é rdérivés a t i par o nfigures. s , d On oa rri v en a in ts i a u t o t a l d e 3 X 4 X 8 = 96 syllo g isme s directs, classiques ou non classiques. 6.6. — On peut classer autrement les symétries: A chacun des générateurs co rre sp o n d s o n co n ju g u é simp le : (6-4) A r ye,,0dr = . 0 d r e ce lq u i porte à 6 le nombre de générateurs au sens large, c'està 0 -(1°)A des figures p ro d u it 24 syllogismes, d o n t le s t ro is compod t santes so n t h e rmitiq u e s. L 'o p é ra tio n (6 -4 ) f a is a it p a rt ie d u i 0 groupe (2°) des négations, et nous devons donc l'en supprimer; . / ce groupe se réduit alors à 4 opérations, lesquelles vo n t p o rte r r f / ea 2 4 X 4 = 96 l e n o mb re d e s t yp e s d e syllo g isme s. P a rmi ceux-ci, i l en existe 72 q u i comportent au moins une re la tio n c . symétrique (non hermitique) p a rmi le u rs 3 composantes. l 0 . ; a s r6.7. — Inutile de préciser que nous n'avons parlé que de syl2 slogismes valides. No tre comptage n'a rien à vo ir avec le comp= itage tra d itio n n e l q u i a b o u tit a 256 syllo g isme s, va lid e s o u . qnon. Pareil comptage n'a d'ailleurs pas plus de sens que ce lu i u Y e e s 3 o 0 u A n / o . n < c =.

(22) 568. P. .. V. GROSJ EAN. qui co n clu ra it à l'existence de 2 p ro d u it s a X b = c, lo rsq u e les nombres a,b,c n e peuvent v a lo ir q u e ± 1. 6.8. — P o u r te rmin e r, signalons q u e p lu sie u rs d e s rè g le s traditionnelles d e va lid it é se ramènent à une seule rè g le d e parité. U n jugement sera p a ir (o u a ffirma tif) s ' i l co n tie n t u n nombre p a i r d e négations, ce lle s-ci p o rt a n t in d iffé re mme n t sur les termes ou sur le signe d'inclusion (n° 3.2); i l sera imp a ir dans le cas contraire. La parité d u n syllogisme est le p ro d u it des parités de ses 3 composants. Donc, d'après (6-3), les 3 générateurs sont tous pairs. Or, la parité est un invariant du groupe des 32 symétries. En effet: 1°) Un e symé trie p a r négations n e peut changer la parité, puisque chacun des termes S,M,P, fig u re deux fois dans (6-3); 2°) I l en va de même pour les symétries par figures, telles que (S M ) = ( M c S) p a r exemple. Par conséquent, les 96 syllogismes de la théorie symétrique sont tous pairs. Cette théorie ayant conduit à un dénombrement exhaustif, on a la règle de parité: Un syllogisme valide ne peut être impair. Mons. P. V. GROSJEAN. NOTES (') P. V. Gros jean: Identité, e n logique f ormelle, des not ions algébriques de «Relat ion» e t d e «Compos ition» binaires . (Mat hemat ic a & Paedagogia, N' 44, 1970). ( donné 2 p a r la l o i d'inc lus ion, e t dont la bas e es t c ons tituée p a r les s ingletons ) de E. Et g (Y (E )) es t une trame dont la base es t l'ens emble des s ingletons A de Y(E). (i en 3nalgèbre ordinaire. )s M i o, tl e' m e pn ls oe ym éb il ce ig.

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