Calcul di¤érentiel et intégral - MVA005

Institut Supérieur des Sciences Appliquées et Économiques Centre du Liban associé au

Conservatoire National des Arts et Métiers

Calcul di¤érentiel et intégral - MVA005

Examen partiel 2017-2018 - Semestre I Durée : 1h :30 Centres de : Beyrouth, Baakline, Baalbek, Ghazza,Tripoli, Bickfaya, Nahr Ibrahim

DOCUMENTS INTERDITS

Sujets Coordonnés par : Dr. Noureddine ASSAAD SOLUTIONS

Exercice 1 (20 points) Questions indépendantes

1. Montrer quef(x) = ln 1 +x

1 x est impaire surR f 1;1g(6pts) Calculer lim

x!1f(x)et lim

x!+1f(x):

2. Calculer la dérivée de la fonctiony(x) = (xⁿ)^xn;n2R(6pts) 3. Calculer les limites suivantes :

(a) lim

x!0

x²sin_x¹

sinx (3pts) (b) lim

x!1

x sinx x+ sinx (5pts)

SOLUTION. 1

1. f( x) = ln 1 x

1 +x = ln 1

1+x 1 x

= ln 1 +x

1 x = f(x) 2 points 8x2D;( x)2Ddoncf(x)est impaire surD,

xlim!1f(x) = lim

x!1ln 1 +x

1 x = ln1=12 points

x!lim+1f(x) = lim

x!+1ln 1 +x

1 x = lim

x!+1ln 1 x + 1 1

x 1

= ln 1 = 02 points

2. y= (xⁿ)^xn =x^nxn =)lny =nxⁿlnx2 points (lny)⁰ = (nxⁿlnx)⁰

y⁰

y =n²x^{n 1}lnx+nxⁿ1

x =nx^{n 1}(nlnx+ 1) =nx^{n 1}(lnxⁿ+ 1)3 points d’oùy⁰=nx^{n 1}x^nxn(lnxⁿ+ 1)1 point

3. (a) f(x) = x²sin¹_x

sinx = x

sinx xsin 1 x

xlim!0

x

sinx = 1;sin 1

x est une fonction bornée donc lim

x!0xsin 1 x = 0;

par suite lim

x!0f(x) = 0 3points

(b) g(x) = x sinx x+ sinx =

1 sinx x 1 +sinx

x sinx est bornée, 1

x _x!

!10 =) sinx x _x!

!10 par suite lim

x!+1g(x) = 1 5points

Exercice 2 (25 points) On dé…nit les deux suites(un) et(vn) :

u_n+1 = u_n+v_n

2 et 2

v_n+1 = 1 u_n+ 1

v_n On poseu0 =b etv0 =aavec 0< a < b:

1. Montrer que, 8n2N; un etvnsont bien dé…nis et 0< vn< un (5pts)

2. Montrer que(un)est décroissante minorée par0et que(vn)est croissante majorée parb.

En déduire que ces deux suites sont convergentes.(10pts) 3. Montrer que(un) et(vn) sont adjacentes, (c’est -à-dire lim

n!1(un vn) = 0 )(3pts) 4. Montrer que la suite (unvn) est constante, et en déduire la limite commune ` des deux

suites(un)et (vn):(7pts)

SOLUTION. 2

1. Par récurrence.

Pourn= 0 :on a0< b < a alorsu0 etv0 sont bien dé…nis et 0< v0< u0 2points Supposons que pour certain entier natureln; u_n etv_n sont bien dé…nis et 0< v_n< u_n: vn+1 est bien dé…ni puisqueun etvn sont strictement positif, comme 1

u_n + 1 v_n: un+1 est de toute façon bien dé…nie, de plus vn+1 = 2

1 un +_v¹

n

= 2unvn

u_n+v_n >0 u_n+1 v_n+1 = u_n+v_n

2

2u_nv_n un+vn

= (u_n+v_n)² 4u_nv_n

2 (un+vn) = (u_n v_n)²

2 (un+vn) >03 points 2. Calculons la di¤érenceu_n+1 u_n

u_n+1 u_n = u_n+v_n

2 u_n = 1

2(v_n u_n) < 0 donc (u_n) est décroissante minorée par 0:3 points

vn+1 vn = 2unvn

u_n+v_n vn = 2unvn unvn v²_n

u_n+v_n = unvn v_n²

u_n+v_n = un vn

u_n+v_nvn > 0 donc (vn) est croissante 3 points

comme on a 8n2 N;0 < v_n < u_n et(u_n) est décroissante on déduit que (v_n) est majorée paru0 =b:2points

(u_n) est décroissante minorée par0 donc elle est convergente 1point (v_n) est croissante et majorée paru₀=bdonc elle est convergente. 1point 3. (un) et(vn) sont convergente. Soit `= lim

n!1unet m= lim

n!1vn

d’après la relation de récurrence on aura`= `+m

2 =)2`=`+m()`=m:

Les suites(u_n) et(v_n)sont adjacentes. 3points

4. 8n2N:un+1vn+1= un+vn

2

2unvn

u_n+v_n =unvn donc(unvn) est constante. 3 points En particulieru_nv_n=u₀v₀ =ab 1 point

nlim!1(unvn) =`<sup>2</sup> =abdonc`=p

ab: 3points

Exercice 3 (15 points) Soit aun réel donné. Considérons la fonction f dé…nie par :

f(x) =

( p

1 +x si x >0 x+a

x 2 si x <0

1. Déterminer a tel que f soit prolongeable par continuité au point x = 0: soit g son prolongement.

2. Déterminer la dérivée g⁰(x) pourx6= 0:

3. La fonctiong est-elle dérivable au pointx= 0? Justi…er votre réponse.

SOLUTION. 3

1. lim

x!0+

p1 +x= 1 1 point et lim

x!0+

x+a

x 2 = 1

2a 1 point f est prolongeable par continuité au point x= 0 si 1

2a= 1 donc si a= 2 1point son prolongement est

g(x) =

p1 +x si x >0

1 si x <0 2 points

2. Pourx >0 :g⁰(x) = p

1 +x ⁰ = 1 2p

1 +x 2points Pourx <0 :g⁰(x) = (1)⁰= 0 2points

3. lim

x!0+

g(x) g(0)

x 0 = lim

x!0+

px+ 1 1

x = 1

2 donc g est dérivable à droite et g⁰(0⁺) = 1 2 2points

xlim!0

g(x) g(0) x 0 = lim

x!0

1 1

x = 0 doncg est dérivable à gauche et g⁰(0 ) = 0 2 points

…nalementg(x) n’est pas dérivable en x= 0;carg⁰(0⁺)6=g⁰(0⁺) 2 points

Exercice 4 (25 points) On rappelle que la notationu^vdésigne la fonctiony=e^vlnu Soit

f(x) = (cosx)^xsinx1

1. Donner le développement limité à l’ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions : sinx;cosx;ln (1 +x) ete^x:

2. Donner le développement limité à l’ordre 2de ln(cosx)

xsinx au voisinage de 0:

3. Donner le développement limité à l’ordre 2de f(x) au voisinage de0:

4. Montrer quef est prolongeable par continuité au point 0:soitg son prolongement.

5. Dé…nirg et déterminer g⁰(0):

6. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse x= 0 et préciser sa position par rapport à la courbe au voisinage dex= 0.

SOLUTION. 4

1. Au voisinage dex= 0 on a sinx=x 1

3!x³+x³"

cosx= 1 1

2x²+x⁴ 4! +x⁴"

ln (1 +x) =x 1 2x²+1

3x³+1

4x⁴+x⁴"

e^x= 1 +x+ x² 2 + x³

3! + x⁴ 4! +x⁴"

9>

>>

>>

>>

>=

>>

>>

>>

>>

;

4pointsoù "="(x) !

x!00

2. ln (cosx) = ln 1 1

2x²+x⁴

4! +x⁴"

= x² 2 +x⁴

24 1 2

x² 2 + x⁴

24

2

+x⁴" 2 points

= x² 2

x⁴

12 +x⁴" 1 point Par suite

ln(cosx) xsinx =

x² 2

x⁴ 12 x² x⁴

6

+x²"= 1 2

x² 12 1 x²

6

+x²" 2 points

= 1

2 x²

12 1 +x²

6 x²"= 1 2

1

6x²+x²"

= 1

2 1 +x²

3 +x²" 3points

3. Au voisinage dex= 0;jusqu’à l’ordre2 on a f(x) = (cosx)^xsinx1 = exp ln (cosx)

xsinx = exp 1

2 1 +x²

3 +x²"(x) 2points

=e ¹⁼²e ^x2=6+x²"(x) =e ¹⁼² 1 x²

6 +x²"(x) 2points 4. lim

x!0f(x) = 1

pe alorsf est prolongeable par continuité au point 0:2 points

5. g(x) = 8<

:

f(x) si x6= 0

p1e si x= 0 2 points

g⁰(0) = 0 1 point

6. L’équation de la tangente est y= 1

pe 2 points g(x) y' x²

6p

e <0 donc la tangente est au déssous de la courbe 2 points

Exercice 5 (15 points) Une lampe est suspendue à la distance x au-dessus du centre d’une table ronde de rayon R. Pour quelle valeur de x un objet M sur le bord de la table reçoit un éclairage maximal.

L’intensité d’illumination est donnée par la formule E=E0

cos

r² ; E0 est une constante.

On ne demande pas de faire le tableau de variation de la fonction E(x)

SOLUTION. 5

La géométrie de la …gure nous donne :r=p

x²+R²;cos = x r donc E= E0x

r³ = E0x

(x²+R²)³⁼² =E0x x²+R^{2 3=2} 5points dE

dx =E₀ x²+R^{2 3=2}+x 3

2 (2x) x²+R^{2 5=2}

=E0 x²+R^{2 3=2} 3x² x²+R^{2 5=2}

=E0

x²+R² 3x² (x²+R²)⁵⁼² =E0

R² 2x²

(x²+R²)⁵⁼² 5 points dE

dx = 0 =)R² 2x² = 0;

les valeurs dex sont positives (car c’est une distance) doncx= R

p2 5 points