E304 – Le petit classique des problèmes impossibles Solution
On détermine pas à pas en fonction des déclarations de Sébastien et de Pierre tous les couples d’entiers susceptibles d’être retenus jusqu’à n’en retenir plus qu’un.
Soit S la somme des deux nombres et P leur produit.
1-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
Cette déclaration laisse un éventail encore large de couples (S,P) possibles. Seules sont éliminées les valeurs de S=4, 5, 41 et 42. En effet pour chacune d’elles, Sébastien est en mesure d’annoncer les couples (2,2), (2,3), (20,21) et (21,21).
2-Pierre : Je ne sais pas répondre.
Il en résulte que Pierre n’a aucun produit P qui se décompose de manière unique sous la forme P = a*b. Les valeurs qu’on peut éliminer sont alors :
- les produits de deux nombres premiers (par exemple 14 = 2*7, 15 = 3*5, 33 = 3*11,…)
- les cubes de nombres premiers (par exemple 27 = 3*9)
La liste des décompositions possibles de P est a priori importante. On se limite aux valeurs de P les plus faibles et les plus élevées possibles pour lesquelles il existe au moins deux couples (a,b) aboutissant à des sommes S distinctes. D’où le tableau établi par Pierre et qui explique pourquoi il ne peut pas répondre. Son produit fait partie de la liste : 12, 16, 18, 20, 24,28, 32, 36,….,168, 180, 210, 240 et 252 qui est la valeur ambiguë la plus élevée possible.
Il est intéressant d’établir le même tableau du point de vue de Sébastien. Il se présente comme suit :
P Valeurs possibles de S e t des couples (a,b)
12 7 (3,4) 8 (2,6)
16 8 (4,4) 10 (2,8)
18 9 (3,6) 11 (2,9)
20 9 (4,5) 12 (2,10)
24 10 (4,6) 11 (3,8) 12 (2,10)
etc..
168 26 (12,14) 29 (8,21)
180 27 (12,15) 28 (10,18) 29 (9,20)
210 29 (10,21) 31 (10,21)
240 31 (15,16) 32 (12,20)
252 32 (14,18) 33 (12,21)
On a colorié avec la même couleur les cases où le produit P est le même : par exemple les cases P=12 coloriées en vert correspondent à S = 7 = 3+4 ou S = 8 = 2+6
3-Sébastien : Alors je connais les deux nombres.
Il en découle que Sébastien détient une somme S pour laquelle il y a une seule valeur possible de P. Comme le montre le dernier tableau, il y a deux réponses possibles S=7 qui correspond au couple (3,4) ou bien S=33 qui correspond au couple (12,21).
4- Pierre : Maintenant, moi aussi.
L’affirmation précédente de Sébastien permet à Pierre de donner le couple (3,4) si son produit est 12 et le couple (12,21) si son produit est 252.
Conclusion : il y a deux solutions possibles (3,4) et (12,21).
S Valeurs possibles de P e t des couples (a,b)
7 12 (3,4)
8 12 (2,6) 16 (4,4)
9 18 (3,6) 20 (4,5)
10 16 (2,8) 24 (4,6)
11 18 (2,9) 24 (3,8) 28 (4,7) 30 (5,6)
12 20 (2,10) 18 (3,6) 32 (4,8) 36 (6,6)
etc..
26 120 (6,20) 144 (12,12) 160 (10,16)
27 126 (6,21) 140 (7,20) 180 (12,15)
28 160 (8,20) 180 (10,18)
29 168 (8,21) 180 (9,20) 210 (14,15)
31 210 (10,21) 240 (15,16)
32 240 (12,20) 252 (14,18)
33 252 (12,21)
