E207 – Deux familles de séquences « autoréférentes » [*** à la main]
Solution
Séquences de 2008 termes avec n = 2007 1ère famille
Comme pour tout i >9, a = 0, il y a au moins 2008 – 10 = 1998 fois le chiffre « 0 ».D’où i 1998
a0 .
Si dans la suite des termes a1àa9, il y a k > 0 termes non nuls et 9 – k termes nuls, il en résulte a0 2007-k. Quelle est la valeur la plus probable de k ?
Pour en avoir une idée, résolvons le problème pour n = 9.On obtient aisément la solution suivante
Dans la séquence (6,2,1,0,0,0,1,0,0,0), on vérifie qu’il y a bien 6 fois « 0 », 2 fois « 1 », 1 fois
« 2 » et 1 fois « 6 ». Le nombre de termes a1àa9non nuls est de 3 seulement.
Avec n = 2007, essayons k = 3 puis k=4, etc…
k = 3 entraîne a = 2007 – 3 + 2 = 2006 (sans oublier les deux « 0 » contenus dans 2006). 0 Cela aboutit à une impasse car 1 fois « 2 » + 1 fois « 6 » entraîne 2 fois « 1 » mais alors il y a 2 fois « 2 »…
k = 4 entraîne a = 2005. Une solution apparaît très vite avec 1 fois « 2 » + 1 fois « 5 » + 1 0 fois « 3 » entraîne 3 fois « 1 ».
k=5 entraîne a = 2004. Il n’y a pas de solution car il faudrait que les cinq termes 0 a1à a5 soient non nuls, ce qui est impossible. A fortiori pour k>5 il n’y a pas de solution.
Conclusion : il y a une séquence et une seule définie par (2005,3,1,1,0,1,0…..0)
2ème famille
Dans ce cas la résolution pour les petites valeurs de n permet de trouver rapidement une formule de récurrence pour n quelconque.
Le tableau ci-après donne les séquences obtenues :
Pour n>5, on obtient la séquence dont 4 termes seulement sont non nuls : (n-3, 2, 1, 0,……,1[(n-3)ième terme], 0, ….,0).
D’où pour n = 2007, la séquence (2004, 2, 1,0,…..,1(2004ième terme),0, 0, 0).
Généralisation (analyse très succincte)
1ère famille :pas de solution pour n= 1 et 2. Si des solutions simples existent pour les petites valeurs de n >2, on bute sur les valeurs n = 5, 14, 23, 25, 26, 27,etc… pour lesquelles il n’y a pas de solution . Aucune formule générale n’apparaît de façon évidente.
2ème famille : pas de solution pour n = 1,2 et 5 seulement. Il existe une solution pour tout autre valeur de n (voir supra)..