A2834 - Une limite singuli`ere Dans un rep`ere Oxy orthonorm´e, on trace sur l’axe des abscisses positives les points A

A2834 - Une limite singuli`ere

Dans un rep`ere Oxy orthonorm´e, on trace sur l’axe des abscisses positives les points A<sub>0</sub>,A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,A<sub>3</sub>,...,A<sub>n</sub> les uns `a la suite des autres et sur l’axe des ordonn´ees positives les pointsB₀,B₁,B₂,B₃,...,B_n les uns `a la suite des autres de sorte que la ligne bris´ee B₀A₀B₁A₁B₂A₂B₃A₃...B_nA_n d´elimite les 2n + 1 triangles OA₀B₀, B₀A₀B₁,A₀B₁A₁, B₁A₁B₂,. . . ., An−1B_nA_n qui ont tous la mˆeme aire (voir figure ci-dessus pour n = 5)

D´eterminer la limite deOB_n/OA_n quand n tend vers l’infini.

Solution proppos´ee par O. Housseine

Pourn∈Non d´efinita_n=OA_netb_n =OB_n. S_ABC est utilis´e pour d´esigner l’air du triangle ABC.

On a par construction:

SOA0B0 =SB0A0B1 =SA0B1A1 =SB1A1B2 =...=SBn−1An−1Bn =SAn−1BnAn =s= a₀b₀ 2

Ainsi:

S_OA0B0 =s S_OA0B1 = 2s SOA1B1 = 3s SOA1B2 = 4s S_OA2B2 = 5s

...

S_OAnBn = (2n+ 1)s S_OAnBn+1 = (2n+ 2)s

S_OAnBn et S_OAnBn+1 ´etant des triangles rectangles, donc:

a_nb_n

2 = (2n+ 1)s a_nb_n+1

2 = (2n+ 2)s Par la suite:

b_n+1

b_n = 2n+ 2 2n+ 1 Apr`es calcul (produit t´elescopique):

a_n = (2n+ 1)!

4ⁿ(n!)² a₀ b_n= 4ⁿ(n!)² (2n)! b₀ b_n/a_n est donn´e par:

bn

a_n = 16ⁿ(n!)⁴ (2n+ 1)((2n)!)²

b0

a₀

Afin d’´evaluer la limite de l’expression `a droite, on utilise la formule de Stirling qui donne un ´equivalent den! quand n→+∞:

n!∼√ 2πn

n

e

n

Ainsi:

b_n

a_n ∼ 16ⁿ 2n+ 1

4π²n²ⁿ_e⁴ⁿ 4πn²ⁿ_e ⁴ⁿ

b₀ a₀

∼ π 2

b₀ a₀ Finalement:

n→+∞lim OB_n OAn

= π 2

OB₀ OA0