Khôlles MPSI (Lycée Pasteur)

(1)

Khôlles MPSI (Lycée Pasteur)

POULLOT Germain Septembre 2019 - 25 juin 2021

Résumé

Attention !Les exercices présentés ici n’ont bien évidement pas vo- cation à remplacer les excellents exercices vus en cours. Si vous avez du temps et cherchez des exercices en plus, alors vous pouvez lire ces sujets.

Les corrections sont disponibles directement à la suite des sujets. Parfois, un exercice est entièrement corrigé, parfois partiellement, et parfois encore, vous serez juste redirigés vers le cours, une vidéo ou un site. Certains exercices sont longs, d’autres très courts ; certains faciles, d’autres parti- culièrement ardus : apprendre à détecter ce que vous savez faire et ce qui est difficile est aussi un bon exercice !

Si vous avez une question quelconque ou une remarque (par exemple la correction d’une des nombreuses erreurs de ce pdf), vous pouvez me contacter : [email protected] (n’oubliez pas de signer votre mail, s’il-vous-plaît).

Les khôlles des autres classes et des autres années sont disponibles sur ma page web :https://webusers.imj-prg.fr/germain.poullot/Kholles

Bonne chance !

Table des matières

1 Algèbre générale 12

1.1 Algèbre générale . . . 12

1.5 Algèbre générale, Espaces vectoriels . . . 13

1.6 Algèbre générale, Séries . . . 13

2 Applications ensemblistes 14 2.1 Applications ensemblistes . . . 14

2.2 Applications ensemblistes . . . 14

(2)

2.13 Applications ensemblistes, Relations binaires . . . 21

3 Arithmétique 22 3.1 Arithmétique . . . 22

3.2 Arithmétique . . . 22

3.12 Arithmétique, Algèbre générale . . . 30

3.13 Arithmétique, Algèbre générale . . . 30

3.14 Arithmétique, Théorie des groupes . . . 32

4 Complexes 32 4.1 Complexes. . . 32

4.2 Complexes. . . 33

(3)

5 Dénombrement 49 5.1 Dénombrement . . . 49

5.2 Dénombrement . . . 49

5.10 Dénombrement, Arithmétique . . . 56

5.11 Dénombrement, Coefficients binomiaux. . . 57

5.12 Dénombrement, Ensembles dénombrables . . . 57

6 Dérivation 57 6.1 Dérivation . . . 57

6.2 Dérivation . . . 58

7 Développement de Taylor 68 7.1 Développement de Taylor . . . 68

7.2 Développement de Taylor . . . 68

(4)

8 Ensembles ordonnés et relations d’équivalence 84 8.1 Ensembles ordonnés et relations d’équivalence . . . 84

8.2 Ensembles ordonnés et relations d’équivalence . . . 84

9 Équations différentielles 87 9.1 Équations différentielles . . . 87

9.2 Équations différentielles . . . 88

10 Espaces euclidiens 94 10.1 Espaces euclidiens . . . 94

10.2 Espaces euclidiens . . . 95

10.10Espaces euclidiens, Cauchy-Schwartz . . . 102

10.15Espaces euclidiens, Matrices . . . 104

(5)

11 Espaces vectoriels 108 11.1 Espaces vectoriels. . . 108

11.2 Espaces vectoriels. . . 109

11.10Espaces vectoriels. . . 112

11.25Espaces vectoriels (affines voire euclidiens). . . 122

11.26Espaces vectoriels (affines) . . . 122

11.27Espaces vectoriels, Déterminant . . . 123

11.28Espaces vectoriels, Déterminant . . . 123

12 Espaces vectoriels de dimension finie 124 12.1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . 124

12.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . 124

12.7 Espaces vectoriels de dimension finie, VanderMonde . . . 127

12.8 Espaces vectoriels de dimension finie, Polynômes . . . 127

(6)

13 Fonctions continues 128

13.1 Fonctions continues. . . 128

13.10Fonctions continues. . . 133

13.17Fonctions continues, Dénombrement . . . 137

14 Fonctions usuelles 137 14.1 Fonctions usuelles, Étude de fonction . . . 137

14.2 Fonctions usuelles, Étude de fonction . . . 138

14.6 Fonctions usuelles, Logarithmes et puissances . . . 140

14.7 Fonctions usuelles, Logarihtmes et puissances . . . 141

14.10Fonctions usuelles, Logarihtmes et puissances . . . 142

14.13Fonctions usuelles, Polynômes . . . 143

14.14Fonctions usuelles, Trigonométrie . . . 144

14.15Fonctions usuelles, Trigonométrie . . . 144

14.16Fonctions usuelles, Trigonométrie hyperbolique . . . 144

15 Fractions rationnelles 145 15.1 Fractions rationnelles. . . 145

15.2 Fractions rationnelles. . . 146

(7)

16 Groupe symétrique 149

16.1 Groupe symétrique . . . 149

16.10Groupe symétrique . . . 153

16.11Groupe symétrique . . . 154

17 Intégration (Calcul d’intégrales et primitives) 154 17.1 Intégration . . . 154

17.2 Intégration . . . 155

17.10Intégration . . . 160

18 Intégration (Généralité, Riemann) 162 18.1 Intégration . . . 162

18.13Intégration, Cauchy-Schwarz . . . 170

18.14Intégration, Cauchy-Schwarz . . . 171

18.15Intégration, Sommes de Riemann . . . 172

18.18Intégration, Polynômes. . . 174

(8)

18.21Intégration, Probabilité . . . 176

18.22Intégration, Taylor-Lagrange . . . 177

18.23Intégration, Taylor-Lagrange . . . 177

19 Matrices 178 19.1 Matrices . . . 178

19.2 Matrices . . . 179

19.3 Matrices . . . 179

19.4 Matrices . . . 180

19.5 Matrices . . . 181

19.6 Matrices . . . 182

19.7 Matrices . . . 183

19.8 Matrices . . . 183

19.9 Matrices . . . 183

19.10Matrices . . . 185

19.11Matrices . . . 186

19.12Matrices . . . 186

19.13Matrices . . . 186

19.14Matrices . . . 187

19.15Matrices . . . 188

19.16Matrices . . . 189

19.17Matrices . . . 190

19.18Matrices . . . 190

19.19Matrices, Déterminants . . . 192

19.25Matrices, Théorie des groupes . . . 199

20 Polynômes 200 20.1 Polynômes. . . 200

20.2 Polynômes. . . 201

20.3 Polynômes. . . 202

20.4 Polynômes. . . 202

20.5 Polynômes. . . 202

20.6 Polynômes. . . 203

20.7 Polynômes. . . 204

20.8 Polynômes. . . 204

20.9 Polynômes. . . 205

20.10Polynômes. . . 205

20.11Polynômes. . . 206

20.12Polynômes. . . 208

20.13Polynômes. . . 208

(9)

20.14Polynômes. . . 209

20.15Polynômes. . . 211

20.16Polynômes. . . 211

20.17Polynômes. . . 212

20.18Polynômes. . . 213

21 Probabilité 214 21.1 Probabilité, Loi de Bayes . . . 214

21.2 Probabilité, Loi de Bayes . . . 214

21.6 Probabilité, Modélisation . . . 217

21.10Probabilité, Variables aléatoires . . . 220

21.21Probabilité, Variables aléatoires (Tchebychev) . . . 229

21.22Probabilité, Variables aléatoires (Tchebychev) . . . 230

22 Raisonnements logiques 231 22.1 Raisonnements logiques . . . 231

22.2 Raisonnements logiques . . . 232

23 Séries 234 23.1 Séries . . . 234

23.2 Séries . . . 235

23.3 Séries . . . 236

23.4 Séries . . . 237

23.5 Séries, Dénombrabilité . . . 238

23.6 Séries, Intégration . . . 239

(10)

24 Sommes algébriques 241

24.1 Sommes algébriques . . . 241

24.2 Sommes algébriques . . . 242

24.3 Sommes algébriques, Binôme de Newton . . . 243

24.4 Sommes algébriques, Coefficients binomiaux . . . 244

24.5 Sommes algébriques, Coefficients binomiaux . . . 244

24.6 Sommes algébriques, Dérivation . . . 245

24.7 Sommes algébriques, Étude de fonction. . . 246

24.8 Sommes algébriques, Polynômes. . . 246

24.9 Sommes algébriques, Produits . . . 247

24.10Sommes algébriques, Trigonométrie . . . 247

24.11Sommes algébriques, Trigonométrie . . . 247

24.12Sommes algébriques, Trigonométrie hyperbolique . . . 248

25 Suites 248 25.1 Suites . . . 248

25.2 Suites . . . 248

25.3 Suites . . . 249

25.4 Suites . . . 249

25.5 Suites . . . 250

25.6 Suites . . . 250

25.7 Suites . . . 251

25.8 Suites . . . 251

25.9 Suites . . . 252

25.10Suites . . . 252

25.11Suites . . . 253

25.12Suites . . . 253

25.13Suites . . . 254

25.14Suites . . . 255

25.15Suites . . . 255

25.16Suites . . . 256

25.17Suites . . . 257

25.18Suites, Coefficients binomiaux . . . 257

26 Théorie des ensembles 259 26.1 Théorie des ensembles . . . 259

26.2 Théorie des ensembles . . . 259

26.3 Théorie des ensembles . . . 260

27 Théorie des groupes 261 27.1 Théorie des groupes . . . 261

27.2 Théorie des groupes . . . 261

(11)

27.10Théorie des groupes . . . 266

27.11Théorie des groupes . . . 267

27.12Théorie des groupes, Espaces vectoriels. . . 269

28 Topologie générale et réelle 269 28.1 Topologie générale . . . 269

28.2 Topologie générale . . . 270

28.3 Topologie réelle . . . 270

29 Trigonométrie 273 29.1 Trigonométrie . . . 273

29.2 Trigonométrie . . . 274

30 Trigonométrie réciproque 278 30.1 Trigonométrie réciproque . . . 278

30.2 Trigonométrie réciproque . . . 278

31 ? ? ? 280 31.1 ? ? ? . . . 280

31.2 ? ? ? . . . 280

31.3 ? ? ? . . . 280

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1 Algèbre générale

1.1 Algèbre générale

Exercise 1.1. Montrez que le noyau d’un morphisme d’anneau est un idéal (I ⊂ k est un idéal si et seulement si (I,+) est un groupe et ∀α ∈ k,∀x ∈ I, αx∈I).

Montrez que les seuls idéaux d’un corps sont l’idéal nul et le corps lui-même.

En déduire qu’un morphisme de corps (non nul) est injectif, puis que si σ:k→Kest un tel morphisme, alorsk est isomorphe à un sous-corps deK. Exercise 1.2(Solution). Le noyau d’un morphisme de corpsσ:k→K est un groupe car un morphisme de corps est en particulier un morphisme de groupes (additifs). En outre, soitα∈ket x∈Kerσ, alorsσ(αx) =σ(α)σ(x) = 0K car σest multiplicative sur le corpsk. Donc Ker σest un idéal dek.

SoitI ⊂kun idéal. Si 1k ∈I, alors I=k carα×1k ∈I pour toutα∈k. Mais six6= 0k ∈I, alors x⁻¹ ∈k car k est un corps, donc x⁻¹×x= 1∈I, puisI=kcomme on vient de le montrer. Ainsi si I6=k, alors I⊂ {0k}, donc I={0k}carI est non vide.

Si σ est un morphisme de corps non-nul, alors Kerσ 6= k est un idéal de k, c’est donc l’idéal nul par le raisonnement précédent. Dès lors,σest (en particulier) un morphisme de groupe de noyau nul : σ est injectif. En outre, son image σ(k) ⊂ K est un corps, donc un sous-corps de K. Ainsi, σ définit un isomorphisme de corps dekvers un sous-corps deK.

1.2 Algèbre générale

Exercise 1.3. Montrez que a+b√

2;a, b∈Q est un corps commutatif.

Exercise 1.4(Solution). On noteK={a+b√

2;a, b∈Q}.

• K est un sous-groupe de (R,+) car K est stable par addition, contient 0(= 0 + 0√

2) et contient les opposés :−(a+b√

2) = (−a) + (−b)√ 2.

• K est stable par multiplication : (a+b√

2)×(c+d√

2) = (ac+ 2bd) + (bc+ad)√

2.

• Si a+b√

2 = 0, alors a= 0 et b= 0, sans quoi on pourrait écrire √ 2 =

−a/b∈Q.

• K contient 1 = 1 + 0√ 2.

• K contient ses inverses : poura, b∈Q, on posec= _a2−2b^a ² et d= _a⁻^−b_2b2, puis on vérifie que (a+b√

2)×(c+d√ 2) = 1.

Il s’agit en réalité d’un fait bien plus général, fondement de la théorie des nombres : siP est un polynôme à coefficients dansZde coefficient dominant 1 et irréductible dans Q(voir le cours de polynômes), etα∈Cun racine deP, alorsQ(α) ={Q(α);Q∈Q(X)} est un sous-corps deC.

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1.3 Algèbre générale

Exercise 1.5. Montrez que√ 2 +√

3 +√ 5∈/Q.

Exercise 1.6 (Solution). On sais que √ 2, √

3 et √

5 sont irrationnels et on note α = √

2 +√ 3 +√

5. On a α−√

2² = √ 3 +√

5² = 8 + 2√

15, puis α²−2√

2α−6²= 60 et enfin :

α⁴−4α²−24 = 4√

2α(α²−6)

Dès lors, si α∈Q, alorsα = 0 ouα= 6, sans quoi on pourrait écrire √ comme une fraction rationnelle deα, donc √ 2

2 ∈ Q, ce qui n’est pas. Comme α²>2 + 3 + 5 = 10>6>0, on obtient donc queα /∈Q.

1.4 Algèbre générale

Exercise 1.7. Soit K un corps infini. Montrez qu’il existe un morphisme de corps injectif deQversK. Regardez la réciproque.

1.5 Algèbre générale, Espaces vectoriels

Exercise 1.8. Produit extérieur.

1.6 Algèbre générale, Séries

Exercise 1.9. Montrez que l’ensemble des séries formelles muni de l’addition (terme à terme) et du produit (de Cauchy) est un anneau.

Exercise 1.10(Solution). On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries est l’opération qui a une série de terme généralan et une de terme généralbn

associe la série de terme généralcn =P

i+j=naibj. L’addition est quand à elle définie terme à terme.

On note S l’ensemble des séries à coefficients dans un anneau sous-jacent (pas forcément convergentes, juste formelles), alors (S,+) est clairement un groupe, l’élément neutre en est la série de terme général nul, les opposés sont les séries de terme général opposé. Le produit de Cauchy est interne, d’élément neutre la série de terme général 1, associative (le produit de Cauchy de trois série pouvant s’écrire avec le terme général P

i+j+k=na_ib_jc_k), et distributive sur l’addition carP

i+j=n(a_i+b_i)c_j= P

i+j=na_ic_j +

P

i+j=nb_ic_j . Ainsi, on obtient bien un anneau. Il est intéressant de regarder les éléments inversibles de cet anneau, et la conservation de la convergence par ce produit.

On notera que le produit de la série de terme général a_n = ⁽⁻¹⁾^√_nⁿ n’est pas convergent alors que sa série l’est.

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2 Applications ensemblistes

2.1 Applications ensemblistes

Exercise 2.1. Soient X, E, F trois ensembles. Soitf :E→F. Montrez quef est injective si et seulement si :∀g, h:X →E, f◦g=f◦h⇒g=h. Énoncer une propriété équivalente pour la surjectivité.

Exercise 2.2(Solution). Supposonsf injective et soientg, h:X →Etels que f◦g=f◦h, alors soitx∈X. On af(g(x)) =f(h(x)), donc, par injectivité de f,g(x) =h(x). Ainsi,g=h.

Réciproquement, supposons quef ne soit pas injective. Soit alors a, b∈E tel que f(a) = f(b). Soit X = {0} et g : X → E, g(0) = a et h : X → E, h(0) =b. On af◦g=f◦hmaisg6=h.

Pour la surjectivité, on peut énoncer la propriété suivante :f est surjective si et seulement si∀g, h:F →X, g◦f =h◦f ⇒g=h.

Démontrons cela. Tout d’abord sif est surjective, alors soientg, h:F →X tels queg◦f =h◦f. Soity∈F et soit, par surjectivité,x∈Etel quef(x) =y. On a alorsg(y) =g(f(x)) =h(f(x)) =h(y), doncg=h.

Réciproquement, sifn’est pas surjective, soitz∈Fqui n’a pas d’antécédent dansEparf. SoitX ={0,1}etg:F →X défini parg(z) = 1 etg(y) = 0 pour y6=z. Soit h:F →X défini parh(y) = 0 (tout le temps). On a g◦f =h◦f maisg6=h.

2.2 Applications ensemblistes

Exercise 2.3. Soitf :E →F. Montrez quef est bijective si et seulement si

∀A∈ P(E), f(A) =f(A).

Exercise 2.4(Solution). Supposonsf bijective. SoitA∈ P(E). Soity∈f(A), alors soit x∈ A tel que f(x) = y. Siy ∈f(A), alors il existe x⁰ ∈ A tel que f(x⁰) = y = f(x), donc par injectivité x⁰ = x, ce qui n’est pas possible car x⁰ ∈Aetx /∈A. de fait,y /∈f(A), d’oùy∈f(A) puisf(A)⊆f(A).

Inversement, soity∈f(A). Par surjectivité def, soitx∈Etel quef(x) =y. Six∈A, alorsy =f(x)∈f(A), ce qui n’est pas. Doncx /∈A, puisy ∈f(A).

On a prouvé l’autre inclusion et ainsi :f A=f(A).

Montrons maintenant la réciproque. Supposons que pour toutA∈ P(E), on ait f(A) = f(A). Supposons qu’on aitx6=y et f(x) = f(y), posons A={x}, alors y ∈ A, donc f(y) inf(A) = f(A) = F\{f(x)}, or f(y) = f(x). Cette contradiction montre quef est injective.

Inversement, appliquons la propriété avecA=∅ :f(∅) =f(∅). Le membre de gauche est f(E), et comme f(∅) = ∅, le membre de droite et F. Ainsi, f(E) =F :f est surjective.

(15)

2.3 Applications ensemblistes

Exercise 2.5. Soitf une fonction deE(6=∅) dans lui-même tel quef◦f =f. Montrez quef est injective si et seuelement si f est surjective.

Donnez un exemple de telf qui ne soit ni injectif (ni surjectif).

Que se passe-t-il si on suppose à la placef◦f◦...◦f =f?

Exercise 2.6 (Solution). Supposons f injective. Soit x ∈ E, alors écrivons y=f(x), on af(y) =f(f(x)) =f(x) par définition def. Or par injectivité, on obtienty=x, c’est-à-diref(x) =x, doncf = IdE etf est bien surjective.

Inversement, supposonsf surjective, alors prenonsx, y∈E tels quef(x) = f(y). Par surjectivité def, on peut posera, b∈Etels quef(a) =xetf(b) =y. Dès lors :

x=f(a) =f(f(a)) =f(x) =f(y) =f(f(b)) =f(b) =y On en déduit quef est injective (donc quef = IdE).

La fonction f : x 7→ |x| définie sur R respecte bien f ◦f = f mais n’est ni injective, ni surjective. Dans les espaces vectoriels, les projections fournissent aussi un tel exemple (sauf la projection triviale sur l’espace entier).

Notonsfⁿ=f◦f◦...◦f sif apparaîtnfois. On suppose donc quefⁿ(x) = f(x) dans la suite, avecn≥2. Remarquons quefⁿ⁻¹◦f =fⁿ=f◦fⁿ⁻¹.

Si f est injective, alors commefⁿ(x) =f(x), les élémentsxet fⁿ⁻¹(x) ont la même image parf :fⁿ⁻¹(x) =x. Il s’ensuit quefⁿ⁻¹= IdE. En particulier, commefⁿ⁻¹ est surjective,f est surjective.

Si f est surjective, alors soient x, y∈E tels quef(x) =f(y). Dans ce cas,

∀k≥1, f^k(x) =f^k(y). Par surjectivité, prenons a, b∈E tels quef(a) =xet f(b) =y. Dès lors :

x=f(a) =fⁿ(a) =fⁿ⁻¹(f(a)) =fⁿ⁻¹(x) =fⁿ⁻¹(y) =fⁿ(b) =f(b) =y Ainsi,f est injective.

Cependant, il n’est pas obligatoire que f = IdE quand f est bijective et fⁿ=f. Par exemple, pourn= 3, on peut penser à la fonctionf :x7→ −xsur R, ou pourn= 5, àf :z7→izsurC. Plus généralement, pour toutn, siλn est une racinen-ième de 1, alorsf :z7→λnz vérifie fⁿ⁺¹ =f et est bijective sur C.

2.4 Applications ensemblistes

Exercise 2.7. SoitE un ensemble doté d’un sous-ensembleA. SoitϕA:X 7→

X∩AetψA:X 7→X∪A. Montrez que :

• ϕA est injective ssiϕA est surjective ssiA=E.

• ψ_Aest injective ssiψ_A est surjective ssiA=∅.

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Exercise 2.8(Solution). Étude de ϕA

Si A = E, alors ∀X, ϕA(X) = X ∩E = X, donc ϕA = IdP(E) : ϕA est bijective (injective et surjective).

Réciproquement, siA6=E, alors soit x0∈E\A. On a : ϕ_A(∅) =A∩ ∅=∅=A∩ {x₀}=ϕ_A({x₀})

Ainsi,ϕA n’est pas injective. Par contraposée, siϕA est injective, alorsA=E. Enfin, si A 6= E, alors pour tout X ⊆ E, ϕA = X∩A ⊆ A, donc E n’a pas d’antécédant parϕAcarE6⊂A. Par contraposée, siϕAest surjective, alors A=E.

En résumé, soitA=Eet ϕA est à la fois injective et surjective ; soitA6=E etϕA n’est ni injective, ni surjective.

Étude de ψA

Il y a deux possibilités. On peut adapter le raisonnement précédent, ou bien on peut utiliser l’application f : X 7→ X (le complémentaire de X). Cette application est clairement une bijection des parties deE, même une involution (i.e.f◦f = IdP(E)). Or, par le théorème de De Morgan :

f(ψ_A(X)) =A∪X =A∩X =ϕ_A(f(X))

Dès lors, si A = E (ce qui revient à A = ∅), ϕ_A est bijective, donc par compositionψA=f⁻¹◦ϕ_A◦f est bijective aussi.

Inversement, siA6=E (ce qui revient àA6=∅), alorsϕ_A n’est ni injective, ni surjective, et par composition, il en va de même pourψ_A.

En résumé,ψ_Aest bijective quandA=∅et ni injective, ni surjective sinon.

2.5 Applications ensemblistes

Exercise 2.9. Soitf :E→E.

Montrez quef est injective si et seulement si ˆf ◦f =Id_P(E). Montrez quef est surjective si et seulement sif◦fˆ=Id_P_(E).

Montrez quef est injective si et seulement si∀X, Y, f(X∩Y) =f(X)∩f(Y).

Exercise 2.10(Solution). C’est un exercice assez long, on ne s’attend pas à ce qu’il soit traité en entier !

f injective⇔fˆ◦f =Id_P(E) :

Tout d’abord, on peut montrer que, pour n’importe quelle fonctionf,∀X ⊂ E, X⊂fˆ(f(X)).

⇐ Attention, même si on connaît le théorème "g◦f injective⇒f injective", cela permet seulement de déduire que ˆf ◦f =P(E) induitf injective de P(E) dans P(E)! La question est de prouver que f est injective deE dansE.

Pour ce faire, on regardef(x) =f(y), on a alors f({x}) =f({y}), puis x⊂fˆ(f({x})) = ˆf(f({y})) =Id_P(E)({y}) ={y}, donc x=y.f est bien injective.

(17)

⇒ Soit X ⊂ E. Supposons (par l’absurde) qu’il existe y /∈ X tel que y ∈ fˆ(f(X)), alors f(y) ∈ f(X), donc ∃x ∈ X, f(y) = f(x). Or y 6= x par hypothèse (y /∈X etx∈X), ce qui contredit l’injectivité def.

Finalement, grâce à la remarque du début :∀X ⊂E,fˆ(f(X)) =X. f surjective⇔f◦fˆ=Id_E :

Tout d’abord, on peut montrer que, pour n’importe quelle fonctionf,∀X ⊂ E, X⊃f( ˆf(X)).

⇐ Le théorème "g◦f surjective ⇒ g surjective" ne s’applique toujours pas car on obtientf :P(E)→ P(E) surjective (et nonf :E→Esurjective).

Soity∈E, on sait quef ◦fˆ({y}) ={y}, puisy⊂f( ˆf({y})), c’est-à-dire que∃x∈fˆ({y})⊂E, f(x) =y :f est bien surjective.

⇒ Soity∈X. Commef est surjective, soitxun antécédant dey parf. Par définition,y ∈ X induit x∈ fˆ(X). Dès lors, y = f(x)∈ f( ˆf(X)), donc X ⊂f( ˆf(X)).

Avec la remarque de début de paragraphe, on obtient∀X⊂E, f( ˆf(X)) = X.

f injective⇔ ∀X, Y, f(X∩Y) =f(X)∩f(Y) :

Tout d’abord, on peut montrer que, pour n’importe quelle fonctionf,∀X, Y ⊂ E, f(X∩Y)⊂(f(X)∩f(Y)).

⇐ Soientx, y∈E tels que f(x) =f(y) =:z. On poseX ={x}et Y ={y}. On af(X∩Y) =f(X)∩f(Y) ={z} 6=∅, doncX∩Y 6=∅, et ainsix=y. f est injective.

⇒ Soity∈f(X)∩f(Y). Soient x∈X et x⁰∈Y tels quef(x) =y=f(x⁰).

Commef est injective, on ax=x⁰, puisx∈X∩Y et ainsiy∈f(X∩Y).

Avec la remarque de début de paragraphe, on a montré que ∀X, Y ⊂ E, f(X∩Y) =f(X)∩f(Y).

2.6 Applications ensemblistes

Exercise 2.11.On définit l’applicationf :N→N²parf(x, y) =y+(x+y)(x+y+1)

2 .

Montrez quef est bien définie et que c’est une bijection.

En déduire queN^kest dénombrable pour toutk, puis queQest dénombrable.

Exercise 2.12(Solution). On af(x−1, y+1) =f(x, y)+1,f(0, y) =¹₂y(y+3) etf(x,0) = ¹₂x(x+ 1), doncf(y+ 1,0) =f(0, y) + 1 doncf est surjective (par récurrence). Elle est aussi strictement croissante en suivant les diagonales de vecteur directeur (−1,+1) dans N² (on passe d’une diagonale à la suivante en passant de (0, y) à (y+ 1,0)) : faire un dessin !

Calculer l’antécédant de n ∈ Ndemande de résoudre d’abord ^a(a+1)₂ =n, on identifie ainsi sur quelle diagonale estn, puis on calcule le nombre de pas restants à l’aide de la fonction partie entière. La réciproque explicite est, avec p=E(⁻¹⁺^√₂⁸ⁿ⁺¹) :

(18)

n7→

p(p+ 3)

2 ;n−p(p+ 1) 2

On a donc une bijectionN²'N, or on sait que la relation d’être en bijection est une relation d’équivalence (réflexivité : triviale ; symétrie : existence de la bijection réciproque ; transitivité : la composée de deux bijections est une bijection), donc par récurrence,∀k∈N,N^k 'N. PourQ, il suffit d’utiliser la forme réduite des fractions pour avoirQ'N×Z^∗. Ensuite,Z^∗'Npeut être montré en regardant l’application :

n7→

2n−2 si n >0

−2n−1 si n <0

2.7 Applications ensemblistes

Exercise 2.13. Soit f : E → E. On note fⁿ = f ◦f ◦...◦f (n fois), avec f⁰=IdE. PourA⊂E, on poseAn=fⁿ(A) et B=S

nAn.

Montrez que f(B) ⊂ B, puis que B est la plus petite partie de E (pour l’inclusion) stable parf et contenantA.

Exercise 2.14(Solution). On a :f(B)⊂S

nf(An)⊂S

nAn+1⊂B.

On a évidemment A ⊂ B, et on a vu que f(B) ⊂ B. Reste à montrer que si A ⊂ C et f(C) ⊂ C, alors B ⊂ C. Or si A ⊂ C et f(C) ⊂ C, alors A₁=f(A)⊂C, et par récurrence immédiate,∀n∈N, A_n⊂C, doncB ⊂C.

2.8 Applications ensemblistes

Exercise 2.15. Soient trois applicationsf, g et htelles que les compositions f◦g◦h,g◦h◦f eth◦f◦gsoient définies, que 2 d’entre elles soient injectives et la troisième surjective. Montrez quef,get hsont bijectives.

Exercise 2.16(Solution). Quitte à permuterf,g et h, on peut supposer que f◦g◦hetg◦h◦f sont injectives et h◦f◦g est surjective. Alors, comme on sait que sia◦b injective⇒b injective eta◦b surjective⇒asurjective, on en déduit tout d’abord quehest bijective,h◦f aussi. Doncf =h⁻¹◦(h◦f) est bijective par composition. Enfin,g =h⁻¹◦(h◦g◦f)◦f⁻¹ est surjective par composition etg=f⁻¹◦(f◦g◦h)◦h⁻¹ est injective par composition.

Ainsi,f,g ethsont bijectives.

2.9 Applications ensemblistes

Exercise 2.17(Théorème de Cantor-Berstein). . SoientEetF deux ensembles munies d’injectionsf :E→F et g:F →E. On veut montrez qu’il existe une bijection entreE et F. Démontrez le théorème pour E ou F fini(s). On note g⁻¹(x) l’antécédant de x par g (idem pour f⁻¹(y)). On regarde : x, g⁻¹(x), f⁻¹(g⁻¹(x)),g⁻¹(f⁻¹(g⁻¹(x))),... On noteAla partie deE contenant tous les

(19)

xpour lesquels cette suite est finie et a son dernier élément dans E. On pose h:E→F, montrez que c’est une bijection :

h(x) =

f(x)si x∈A g⁻¹(x)si x /∈A

Exercise 2.18 (Solution). Si E ouF est fini, alors l’autre l’est aussi car siE s’injecte dansF fini, alorsEa moins d’éléments queF(cela se montre grâce à la partitionE=S

y∈Ffˆ(y) où ˆf(y) contient au plus 1 élément carf est injective).

Ensuite, siE ,→F et F ,→E, on en déduit que E et F ont le même nombre d’éléments, disonsn. Quitte à numéroter les éléments deE = (e1, e2, ..., en) et de F = (f1, f2, ..., fn), on peut introduire la bijection ei 7→ fi de réciproque fi7→ei.

Passons à la partie plus corsée... Il faut tout d’abord remarquer qu’avec les définitions de l’énoncé,f⁻¹etg⁻¹sont bien définies et vérifientf(f⁻¹(y)) =y, f⁻¹(f(x)) =x(idem pour g). Par contre, la première égalité n’est définie que pour certainsy∈F, pas pour tous :f⁻¹:f(E)→E.

La notion de "la suite est finie" signifie qu’à un certain rang, il n’est pas possible de définir le rang suivant (i.e.f⁻¹ oug⁻¹ du terme courant n’est pas défini).

hinjective : Supposons queh(x) =h(y).

• Si x, y ∈ A, alors h(x) = f(x) = f(y) = h(y), donc x = y par injectivité def.

• Si x, y /∈A, alors h(x) = g⁻¹(x) =g⁻¹(y) =h(y), donc x=y par injectivité deg⁻¹(car sizavait 2 antécédants parg⁻¹, alors il aurait aurait 2 images parg, ce qui n’est pas possible).

• Si x ∈ A et y /∈ A, alors h(x) = f(x) = g⁻¹(y) = h(y), donc x=f⁻¹(g⁻¹(y)), et on peut itérer avecg⁻¹etf⁻¹pour reconstruire la suite qui part dexet celle (décalée de deux rangs) qui par dey. Or la première est finie et la seconde non. Cette contradiction montre que le casx∈Aet y /∈Aest en réalité impossible.

hsurjective : Soit y∈F. On veut construirez∈Etel que h(z) =y. Posonsx=g(y).

• Six /∈A, alorsh(x) =g⁻¹(x) =g−1(g(y)) =y, et on a trouvé notre antécédant :z=x.

• Sinon, x ∈ A, et donc z = f⁻¹(g⁻¹(x)) aussi. De fait, h(z) = f(f⁻¹(g⁻¹(x))) =g⁻¹(x) =y, et là encore on a un antécédant.

Finalement,hest bien une bijection deE dansF.

On pourra essayer de voir qui est hlorsque f =g = N→N

n7→2n , ou bien f = [0, π]→[−1,1]

x7−→cosx etg= [−1,1]→[0, π] x7−→ ^x+1_2π .

(20)

2.10 Applications ensemblistes

Exercise 2.19. Montrez que l’applicationA7→1Ainduit une bijection deP(E) sur{0,1}^E.

Exercise 2.20(Solution). Il s’agit ici de montrer que :

• Si1A=1B, alorsA=B.

• Sif ∈ {0,1}^E, on peut construire une partie deE telle que1A=f. Pour le premier point, il suffit de voir que six∈A, alors1B(x) =1A(x) = 1, doncx∈B. Ainsi,A⊂B, et par symétrie :A=B.

Pour la seconde assertion, on construit l’applicationA7→ {x∈E, f(x) = 1}. On peut facilement vérifier que cette dernière constitue la bijection réciproque de l’applicationA7→1A.

2.11 Applications ensemblistes

Exercise 2.21. Soit (E,≤) un ensemble totalement ordonné dans lequel toute partie admet une borne inférieure et une borne supérieure. Soit f : E → E croissante. On poseX ={x∈E, x≤f(x)}. Montrez que X 6=∅. Montrez que X est stable parf. Soit a= supX. Montrez que a∈X et queaest un point fixe def. Donnez un exemple de situation.

Exercise 2.22 (Solution). On sait queEadmet une borne inférieur. Une telle borne est un minimum (car elle appartient à E qui est l’ensemble considéré), nommons-lam. On af(m)∈E, doncf(m)≥infE=m, d’oùm∈X etX 6=∅. Si x∈ X, alors x≤ f(x). Comme f est croissante, on peut l’appliquer à cette inégalité et on obtientf(x)≤f(f(x)), donc f(x)∈X.

CommeX 6=∅et queEest muni de bornes supérieures,aexiste. Supposons a /∈ X. Alors f(a) < a, et comme f est croissante, f(f(a)) < f(a), donc f(a)∈/X, orf(a)< a, doncan’est pas la borne supérieur deX. Ainsi,a∈X. On sait queXest stable parf, donc en particulierf(a)∈X, d’où d’une part a≤f(a). Or d’autre part,a majoreX, donc f(a)≤a. Finalement,f(a) =a, etaest un point fixe.

On pourra prendre par exemple une application croissante dans un intervalle IdeR, à valeur dans celui-ci.

2.12 Applications ensemblistes

Exercise 2.23. Soit E un ensemble. Montrez qu’il existe une injection de E dansP(E). En regardant{x∈E;x /∈f(x)}, montrez qu’une telle injection ne saurait être une bijection. En déduire queP(N) n’est pas dénombrable.

Exercise 2.24(Solution).Pour injecterE ,→ P(E) on peut par exemple définir x7→ {x}.

Supposons que f soit surjective. Alors il existe un élément y tel quef(y) = {x∈E;x /∈f(x)}.

(21)

• Est-ce quey∈f(y) ? Dans ce cas, par définition def(y),y /∈f(y), ce qui contredit notre supposition.

• Est-ce quey /∈f(y) ? Dans ce cas, par définition def(y),y∈f(y), ce qui contredit notre supposition.

Finalement, par l’absurde, {x∈E;x /∈f(x)} ne peut pas posséder d’anté- cédant parf :f n’est pas surjective.

Pour montrer queP(N) est indénombrable, il suffit d’appliquer le théorème qu’on vient de prouver avecE=N.

2.13 Applications ensemblistes, Relations binaires

Exercise 2.25. Soit E un ensemble et "filtre" α ⊆ P(E) tel que ∀X, Y ∈ α, ∃Z ∈ α, Z ⊆ (X∩Y). On définit sur P(E) la relation A ∼α B ⇔ ∃X ∈ α, A∩X =B∩X. Montrez que c’est une relation d’équivalence. Donnez les classes de ∅ et de E. Est-ce queα 7→∼α est surjective ? Que se passe-t-il si α possède 2 éléments disjoints ? Montrez queα7→∼αn’est pas injective ?

Exercise 2.26(Solution). La relation est évidemment réflexive et symétrique.

Montrons la transitivité. Soient A, B, C ∈ P(E) tels que A∼α B et B ∼αC. Soient alorsX ∈αtel queA∩X =B∩X et Y ∈αtel queY ∩B =Y ∩C. PrenonsZ ∈αtel que Z⊆(X∩Y). Alors :

Z∩A=Z∩X∩A=Z∩X∩B =Z∩B =Z∩Y ∩B=Z∩Y ∩C=Z∩C On obtient queA∼_αC. Il s’ensuit que ∼_α est transitive : c’est un relation d’équivalence.

La classe d’équivalence de∅est composée des parties qui sont disjointes d’au moins un élément du filtreα:

A∼α∅ ⇐⇒ ∃X ∈α, A∩X =∅ ∩X=∅

La classe d’équivalence de E est composée des parties qui contiennent au moins un élément du filtreα:

A∼αE⇐⇒ ∃X ∈α, A∩X =E∩X =X

Dès lors, α7→∼α n’est pas surjective car il n’est pas possible de trouver α tel queE∼α∅ et{x} 6∼α∅ pourx∈E quelconque.

S’il existe deux éléments disjoints X et Y dans le filtre α, alors le filtre contient∅ car il faut qu’il existe Z ∈α, Z ⊆(X∩Y) =∅. Or siαcontient ∅, alors n’importe quelA∈ P(E) vérifieA∼αE, donc∼αn’a qu’une seule classe d’équivalence. Ainsi, tous les αqui contiennent ∅ donnent la même relation : α7→∼αn’est pas injective.

(22)

3 Arithmétique

3.1 Arithmétique

Exercise 3.1. Utilisez l’arithmétique pour déterminer les couples (a, b)∈ N^∗ vérifianta^b=b^a.

Exercise 3.2 (Solution). On remarque déjà que si a = b, alors on a bien a^b=bâ. Supposons dans la suitea < b. On utilise les valuationsp-adiques. Soit ppremier fixé. Si a^b =bâ, alors b×νp(a) = a×νp(b). Comme on a supposé a < b, on obtient νp(a)< νp(b). Cette propriété étant vérifiée pour tout p, on obtient quea|b. Soitktel queb=ka. On peut remplacer dans l’équation initiale et on a : (aâ)^k =kâaâ; d’où : (aâ)^k−1=a^k; puisaâ(k−1)=a^k; et enfin l’égalité des exposants (cara 6= 1) : a(k−1) = k. Cela mène à (k−1)|k, ce qui n’est possible que sik= 2 (sinon, k∧(k−1) = 1 par l’algorithme d’Euclide). Dans ce cas, on trouvea= 2 et finalement b=ka= 4.

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation a^b =b^a est (attention à l’asy- métriea < bqu’on a supposée et qu’il faut lever maintenant) :

{(x, x);x∈N^∗} ∪ {(2,4); (4,2)}

3.2 Arithmétique

Exercise 3.3. Complétez pour avoir les chiffres de 1 à 9 : 42×___ = ____.

Exercise 3.4 (Solution). On va montrer que la seule solution est 42×138 = 5796. On notera dans la suite l’équation 42×xyz=abcd.

On commence par regarder l’égalité modulo 10 : 2x =d [10]. Donc on en déduit en explorant les possibilité quez= 3,8,9 correspondant réciproquement àd= 6,6,8 ? Ensuite, d’après le nombre de chiffre, on en déduit immédiatement quex≤10/4, doncx= 1. On teste alors le plus petit nombre possible pourxyz afin d’obtenir une borne sura: 42×138 = 5796. On vient de trouver une solution, néanmoins, on va aller plus loin en prouvant que c’est la seule. D’après le calcul précédent, on sait quea≥5. Le plus efficace est de compter les possibilités pour yz: on a vu qu’il y a 3 possibilités pourz, et on peut voir rapidement quey= 7 est impossible (car alorsa= 7). On a donc 2 + 3 + 3 + 2 + 2 = 12 possibilités à tester :

• 42×138 = 5796

• 42×139 = 5838

• 42×153 = 6426 On savait qu’on aurait deux fois 6.

• 42×169 = 7098

(23)

• 42×183 = 7686

• 42×193 = 8106

On a donc bien une unique solution à l’équation.

3.3 Arithmétique

Exercise 3.5. Montrer que siαest racine du polynômeaX²+bX+caveca, betc impairs, alorsαest irrationnel.

Que ce passe-t-il pour les racines rationnelles d’un polynôme de degré quelconque à coefficients rationnels ?

Exercise 3.6(Solution). Supposons queα= ^p_q écrit sous forme d’une fraction irréductible. Alors, en utilisant queαest racine du polynôme et en multipliant parq², on obtient :ap²+bpq+cq²= 0. De fait,ap²=q(bp+cq), donc q|ap². Commeq∧p= 1, on a : q|a. De fait, q est impair. De la même manière, p|c, doncpest impair. Cependant, on remarque queap²=−bpq−cq², on a à gauche un nombre impair et à droite la somme de deux nombres impair, c’est-à-dire un nombre pair. C’est un problème ! Finalement, il est impossible que α soit rationnel.

Dans un polynôme quelconque, une racine rationnelle ^p_q vérifie : q divise le coefficient dominant etp divise le coefficient constant. Cela donne énormé- ment d’informations : la résolution des racines rationnelles d’un polynôme à coefficients rationnels se ramène à un nombre fini de cas.

3.4 Arithmétique

Exercise 3.7. Montrez qu’il n’existe qu’un seul cube impair non nul qui est immédiatement suivi d’un carré (résoudrex²−y³= 1).

Exercise 3.8 (Solution). Écrivons plutôt l’équation de la forme x²−1 = y³, c’est-à-dire (x−1)(x+ 1) =y³. Dès lors, sip|yavecppremier etp6= 2, comme (x+ 1)∧(x−1) = 2, on ap|(x−1) oup|(x+ 1) mais pas les deux. Mais comme p³|y³ = (x+ 1)(x−1), si p|(x−1), alors p³|(x−1) (et respectivement pour x+ 1). Dès lors, il y a 3 possibilités :

• x+ 1 etx−1 sont des cubes impairs.

• x+ 1 = 2a³et x−1 = 4b³avecaet bimpairs.

• x+ 1 = 4a³et x−1 = 2b³avecaet bimpairs.

Commeyest impair,xest pair (sinonx²−1 est pair), donc seul le premier cas est possible. Or dans le premier cas, on a deux cubes qui diffèrent de 2, ce qui n’est pas possible : il n’y a pas de cube impair qui suive immédiatement un carré.

On peut se poser la question en toute généralité, c’est un peu plus difficile mais on obtient que la seule possibilité est 3²= 2³+ 1.

(24)

3.5 Arithmétique

Exercise 3.9. Pour un chiffreX, on noteXX le nombre 10X+X.

Soient 3 chiffres X,Y et Z vérifiantXX+Y Y +ZZ =XY Z. TrouvezZ. Exercise 3.10 (Solution). On remarque que XX = 11×X, donc XY Z = 11(X+Y+Z). Or on sait tester di un nombre est un multiple de 11, il faut que X−Y +Z = 0, ce qui revient àY =X+Z, on est donc ramené à 2 paramètre avec les conditions :











0≤X≤9 0≤Z≤9 0≤X+Z ≤9

11(10X+Z) =XY Z= 11(X+Y +Z) = 22(X+Z)

Ainsi, Z = 8X d’après la dernière ligne. Les conditions des deux première lignes donnent deux possibilités à tester :X = 0 etX = 1.

Finalement, on peut vérifier que cela donnes les deux exactes solutions du problème : 00 + 00 + 00 = 000 et 11 + 99 + 88 = 198.

3.6 Arithmétique

Exercise 3.11(Problème de Joséphus). npersonnes numérotées sont disposées en cercles. La première tue son voisin de gauche (le numéro 2, qui sort du cercle), son nouveau voisin de gauche (le numéro 3) tue son propre voisin gauche (le numéro 4), etc. Quand on a fait un tour du cercle, on recommence, jusqu’à ce qu’il n’y ait qu’un seul survivant. Si je veux survivre, à quelle place dois-je me mettre au début.

Exercise 3.12(Solution). Cette vidéo explique tout !

3.7 Arithmétique

Exercise 3.13. Trouvez les entiers m et n tels que Pm

k=1k! = n². Idem pour Pm

k=1(−1)^k+1k! = n², Pm

k=1(−1)^kk! = n², Pm

k=1(−1)^k+1k! = −n² et Pm

k=1(−1)^kk! =−n²

Exercise 3.14(Solution). On constate que :

1

X

k=1

k! = 1²

2

X

k=1

k! = 1 + 2 = 3

3

X

k=1

k! = 1 + 2 + 6 = 3²

4

X

k=1

k! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33

(25)

Donc (1,1) et (3,3) sont des solutions.

Supposons que m≥5, alors :

m

X

k=1

k!≡33≡3 [5]

Or on peut regarder les résidus des carrés modulo 5 : n n²

0 0

1 1

2 4

3 4

4 1

Donc il est impossible quePm

k=1k! soit un carré pourm≥5.

On constate que :

1

X

k=1

(−1)^k+1k! = 1²

2

X

k=1

(−1)^k+1k! = 1−2 =−1 Donc (1,1) est solution.

m

X

k=1

(−1)^k+1k!≡ −1≡2 [5]

0 0

1 1

2 1

k=1(−1)^k+1k! soit un carré pourm≥3.

(26)

On constate que :

1

X

k=1

(−1)^kk! =−1

2

X

k=1

(−1)^kk! =−1 + 2 = 1²

3

X

k=1

(−1)^kk! = 1−6 =−5

4

X

k=1

(−1)^kk! =−5 + 24 = 19

5

X

k=1

(−1)^kk! = 19−120 =−101

6

X

k=1

(−1)^kk! =−101 + 720 = 619 Donc (2,1) est solution.

m

X

k=1

(−1)^kk!≡619≡3 [5]

0 0

1 1

2 4

3 2

4 2

5 4

6 1

k=1(−1)^kk! soit un carré pourm≥7.

Enfin, on remarque Pm

k=1(−1)^k+1k! = −Pm

k=1(−1)^kk!, ce qui conclut les cas restants.

3.8 Arithmétique

Exercise 3.15. Les boeufs d’Hélios (en version simplifiée) ?