Leçon 26

Leçon 26

z

Parabole

Définition

1.

Coniques

définies par

foyer

et directrice

Soit

_{1r1 la} parabole de foyer

F

et de directrice associée

D

^: (P)=

{r.r,Ul-=t\. _IMH)

L'axe

focal A _, passant par F et orthogonal à D ^{est un axe de} symétrie de

(P)

_;

il

^{coupe D en}

^K.

Il

existe un unique point de

(P)

appartenant à

l'axe

 : le

milieu A

de

[rr],

appelé sommet de

1r;

Plus général, sur toute droite

Âr,

orthogonale à

D

en H,

il

existe un point de la parabole (P) et un

seul

: le point d'intersection,

M, de

Â,, et de la médiatrice du segment

lral.

_r

2.

Equation

réduite

d'une

parabole a.

Parabole de sommet A(O;O)

Rapportons le plan P à un repère orthogonat (,q;i

,j)

^ayantpour

origine le sommet

A

de (P) et

tel

que

, =J-offi,'

AF

:

AK ₌ c, (c e

fr)

^{appelée paramètre de la} parabole.

Dans le repère

(nt, ,i),ona A(o,o),r(c,0),K(-c,0),

et la condition FM2 = FHz d'appartenance

d'un point M(r,y)

à la parabole

(P)

se traduit par

l'équation

^:

MF2

--MH'o(*-r)2 +Q-o)': (r+c)2 *(y-y)' ë x'

_-2cx +

rt

⁺

y'

=

x'

+2cx+ c2

I

l.

Sections coniques _| 274

soit lfÂ

l'équation réduite de la parabole de :

t'l

-

sommet

l(0,0) -

axe focal

I

^I

y:0

-

foyer F(c,0)

-

directrice

D:

x

:-c.

Cas c > 0, la parabole Cas c < 0, la parabole

(P) est tournée vers la droite.

(P) est tournée vers la gauche.

a o

c>0

c<0

lftiI\ T

Ki_

Réciproquement, on verifie que

la

courbe d'équation

y'

=4c* ^dans un repère orthonorm

at

^(,e;î

,j)

^{est la parabole de}

^foyer

^{,F (c,0) et de}

la directrice la droite

D

d'équation

x:-c

^.

Construction

de

la

parabole

Il

résulte de

l'équation

y2 =4cx eue la parable (P) est la réunion des représentations graphiques respectives ^{(^B)} et (Pr), dans le repère

(,1t,

,j),des ^fonctions :

^:

.f, : xr> Jqae

et f,

^:

r,- _-Jqo

^.

Comme (P,) est symétrique de _1^q; par rapport à

l'axe

des abscisses,

il

suffit

d'étudier I

^.

I l. Sections coniques ₁₂₇₅

>

^{Si D} est horizontale et  est verticale, la parabole (P) se traduit par

1",

I'équation lx' ^=4q, I

^de

-

^sornmet

l(0,0)

-

^axe

focal Â:x:0

- ^foyer

^F(O,c)

directrice D:

Cas c >

o,

la parabole Cas c <

0,

la parabole

c>0 c<0

iri

II

II

I t:

i

iF(0,c)

o a

!: _-c

(P)

est toumée vers le haut.

(P)

est tournée vers le bas.

II

Kl {- AlI

Réciproquement, on

verifie

què la courbe d'équation

f ^:4cx

^dans

un repère orthonormal

(l;l _,j)

^{est la} parabole de foyer

F(o,c)

et de la directrice la droite

D d'équationy:-c.

Construction

de (P)

Il

résulte de l'équation y2

:4cx

que la parable.

(P)

est la réunion des représentations graphiques respectives

(4) et

^(Pr), dans le repère

(ur,

,j),des

^{fonctions :}

7, ^y

^r->

,t4ry

^et

fr:

^{y t+}

-"[@

^.

Comme (Pr) est symétrique de

({)

par rapport à l'axe des abscisses,

il suffit d'étudier l.

I

l.

Sections coniques ₁₂₇₆

,*.*,. I

^{: Dans un repère} orthonormé (o ;I,t=), on considère un

point

M

(",y)

^de la parabole de directrice D: x

=-3

^{et de}

foyer

r(3;0).

Déterminer

l'équation

^{de cefie parabole.}

Solution

- Soit

^M

(*,y) un point

^{de la} parabole (P),H est le projeté de M sur

D, donc n (-l,y). ^D'après

^la

définition,

on a :

MF2

-

^tutH2

e (*-3)' *(y-0)'=(x+ 3)'*(y-y)'

ë x'-6x+9*y'=x2 +6x+9<> /'=l2x

Exemple 2 :

Soit

la parabole (p) :

x' : _-r2y

.

Déterminer les coordonnées du

foyer

F et l'équation dç la diectrice D.

Solution

x'

= ^4cy

4c = _-12

+

^c

- -3 d'où F(o;-3) et

D:

!

⁼³

I

a.

^{Parabole de}

sommet (h;k)

Remplacer

x ^pàr x-h

^et

^y

^par

y-h

^dans l'équation

y''=4or,,oî obtient:

(y-k)'=4c(x-h)

c'est l'équation

de

^{la parabole de :}

-

sornmet

ln;r),

- axe

focal

L, :

y:k

-

foyer

F(c+h, k),

-

directrice D: x=-c

⁺ h

F(c +

h,k)

I

l.

Sections coniques _| 271

. De même l'équation on

obtient:

manière, on remplace

x pzr x-h ^{et y}

^par

y-lr

dans

x'=4cy,

(*-k)':4c(y-h)

équation d'une parabole de ^: - sornmet

- axe focal - foyer

- directrice

D

,{tt;t),

A,:

x:

^h

F(h , c+k)

I Y=-c+h

Exemple

I

^: Déterminer le sommet, le foyer et la directrice associée de la parabole d'équation y2

-6y

^{+4x+ I = 0.}

Solution

y2

-6y

^{+ 4x+ I}

:0 (y-3)'-9+4x+l=0

(y

-3)' :8 _- 4x

^{-'i'' -}

soit _1y

-3)' :4(x-2) _d'où

. le sommet

fz;l),

. Ie

foyer

F(l;3)

. la

directrice

D; x

:3

.

Exemple

2

: Dans un repère orthonormé (o _;1

,j) ,

^M

(r,y)

est un

point

de la parabole de directrice

D;

y ₌

-4et

^{de foyer}

rqz ;

_-2).

Déterminer l'équation de cette parabole.

c<0

F(h,c + k

I

l.

Sections coniques _| 218

a

Solution

Soit

lz

(r,y)

est point de la parabole, H est le projeté orthogonal de

M

sur D, on a

tI

(",

+)

^.

D'après la

définition,

on

a:

MF2 =MH2

e (x-2)'*(y*2)' =(r-t\2 ^+(y++)2

e

^(x _-2)2 = (y + 4)2

--(y

+2)2

e

^(x _-2)2 = (y + a

- ^y

^{-2) (y + 4+ y + 2)}

e

^(x _-2\2 =

2(2/+

6) = a(Y +3) Soit 1x-

2)' :4(y

^{+3) est}

l'équation

cherchée.

Généralement

L'équation d'une parabole est de la forme ^:

l.

^{Ay' +By + Cx + D} =

0,la

parabole est tournée vers la droite ou

vers la

gauche.

^I

2. lh'

^{+ Bx + Cy + D = 0, la parabole est tournée vers le haut ou vers}

^le

bas.

'

_Remarque

L'équation

Ay'+By+C;+D:0 ou

Axz

+Bx+Cy+D:0

^n'estpas

toujours

l'équation

de la parabole.

Exemple :

L'équat

ion

y'

_-2y

:

O ^-

A:1, B=4, C:D=0

^et

y'-2y:y(y-2)=0

SOit

!=0

^OU.y-2

^qui

sont l'équation de deux droites parallèles.

I

l.

Sections coniques _| 279

Exercices

1.

Dans un repère orthonormé

(o,1,j),

^{on consière}

^P(x,y)

^un

^point

^de

la parabole de directrice

D

et de foyer

F

. Dans chacun des cas suivants déterminer

l'équation

de parabole.

a. D I x:-z; n(2,0) b. D:y--r; r(o,r)

c.

D:x:4; F(4,0) d. D: ;=t; F(-5,2)

e.Dty:+;f(2,-Z).

2.

Déterminer le foyer F et la directrice de chacune des paraboles suivantes.

a. x2

:-l}y

_b.

x2:l}y

C. y2

:8,

_{d. x2}

=-8y

e.

y2:-6x ,.*:-r.

^I

3.

Déterminer la directrice et l'équation de la ^parabole de sommet

O(0,0)

dans chacun des cas suivants.

a.

r(r,o)

^b.

(+,0) ..

_[0,

\'2) 1)

a. 1,0,

\'3) -

^{1') .}

4.

Déterminer lé sommet, le foyer et la directrice puis tracer la courbe représentative dans un repéère

orthonormé (o,î,j)de

^{chacune des}

paraboles suivantes.

a. ^y2

-6y+4x+l=0 ^b.

^y2

^+4y-x+5=0

c.

x2+3y-8x+l=0 d.3x2-72x-y+72:0

e. 2y2

+4y-x-4=0.

5.

Un téléscope a une lunette de forme parabolique dont la largeur est de 12 cm et dont la profondeur est de 6 cm.

Si

on

souhaite que la

lumière

soit placée sur le foyer de la lunette afin que son reflet soit parallèle à l'axe de la lunette, quelle est la distance de la lumière au solnmet de la parabole ?

I

l.

Sections coniques _| 280

6. Passant

par

le point (-2,1), on trace la droite perpendiculaire à

I'axe

(Ox) en

A. B

est le point d'intersection de

I'axe

(Oy) et de la parabole d'équation

y:2x2 _{-5x -3.}

Déterminer l'équation de

la

droite

(zn).

Déterminer le point d'intersection de la parabole et la droite d'équation respectives x2

:4y

et

x+y-3:o.

Déterminer le point d'intersection de la parabole et la droite d'équation respectiv€s y2

:-9x et 3x+4y-72:O.-

_.

9.

Déterminer l'équation de la tangente à la parabole d'équation

!'

^{= 8x,} ét parallèle à la

droite

d'équation 2x + 2y

-

^{3 = 0.}

10. Déterminer l'équation de la tangente à la parabole d'équation

xz

=16y,

et perpendiculaire à la droitb

d'équation

2x+4y+7

=o.

I

l.

Déterminer l'équation de

la

tangente à la parabole d'équation

!2

=36x,

^{et passant par le}

point

,l(z,s).

l2.Lvtrajet

d'une planète est une ^parabole de

foyer

le soleil. La

distance de cette planète et le soleil forme

un

angle 60"avec

I'axe

de cette parabole. _Quelle est la distance

minimale

entre cette planète et le soleil sachant que la distance de cette planète et le soleil est 40

million miles

^?

7.

8.

I

l.

Sections coniques _| 281