D263. La chèvre de monsieur Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter. Prouver qu’avec 80 mètres de clôture, Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
Solution proposée par Paul Voyer:
La clôture est "presque" un arc de cercle (approximation par polygone inscrit).
Pour un angle au centre 2, la longueur de l'arc est 2R=80m, R=40/. L'aire comprise entre l'arc et la flèche est R²(sincos).
Le maximum de l'aire est obtenu pour
³ 2 sin 2
² 2 cos 1
=0
(1cos2 )2 sin2 =0, valeur obtenue pour = 2
(demi cercle).
Airemax = 3200/π > 1000 m². La construction est possible.
Soit a la longueur de chaque segment et n le nombre (pair) de côtés du polygone.
L'angle au centre pour chaque côté est n
2 =2. an= 2*80 m.
Le rayon du cercle circonscrit est R=
sin 2
a .
L'aire du demi-polygone est A=
2 cos sin
²
nR soit, en éliminant R et , A = 8
na²cot(
n
), qui doit être au moins égal à 1000 m²
La plus petite valeur acceptable pour n est 14, la surface est donc un demi-tétradécagone régulier.
A =
cot 14 7 *
* 80 8
14 2
1001.437 m²
Il faut 8 poteaux et 1000 m² sont réalisables avec 79.943 m de clôture.
