Feuille d’Exercices 6

Universit´e de Paris XI Math 111 - ´Equations diff´erentielles

Math´ematiques 1er semestre 2012-13

Feuille d’Exercices 6

Equations diff´´ erentielles lin´eaires d’ordre 2

Exercice 6.1.—On consid`ere une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 sans second membre : (E) ay⁰⁰+by⁰+cy= 0

aveca, b, c∈R,a6= 0. On note ∆ =b²−4ac.

1. Montrer que, sif₁etf₂sont des solutions de (E) alors, pour tousα, β∈R,αf₁+βf₂est aussi une solution de (E).

2. Trouver toutes les solutions de (E) de la forme x7→e^λx.

3. On se place dans le cas ∆ = 0. Soitλ0 l’unique racine du polynˆomeaX²+bX+c. Montrer que la fonction x7→xe^λ0xest une solution de (E).

4. On se place dans le cas ∆<0. Soitλ+iω et λ−iω les deux racines complexes du polynˆome aX²+bX+c.

a. Calculer les parties relle et imaginaire deaz²+bz+cquand z=x+iy (x, y∈R).

b. Montrer que les fonctionsf1:x7→cos(ωx)e^λxetf2:x7→sin(ωx)e^λxsont solutions de (E).

Exercice 6.2.—On consid`ere une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 sans second membre : (E) y⁰⁰+by⁰+cy= 0

avecb, c∈R(a= 1). On note ∆ =b²−4c.

1. On se place dans le cas ∆>0. On noteλ1, λ2les racines du polynˆomeX²+bX+c.

a. Exprimerλ1+λ2 en fonction deb etc.

b. Soit f1 : x 7→ e^λ1x et f2 : x 7→ e^λ2x. On consid`ere une fonction f de la forme f(x) = A(x)f1(x). Quelle ´equation diff´erentielle doit satisfaireApour quef soit solution de (E) ? R´esoudre cette ´equation. En d´eduire que toutes les solutions de (E) sont de la formeαf1+βf2avecα, β∈R. 2. On se place dans le cas ∆ = 0. On note λ0l’unique racine du polynˆomeX²+bX+c.

a. Exprimerλ0en fonction debet c.

b. Soit f0 : x 7→ e^λ0x. On consid`ere une fonction f de la forme f(x) = A(x)f0(x). Quelle

´

equation diff´erentielle doit satisfaireA pour quef soit solution de (E) ? R´esoudre cette ´equation.

En d´eduire que toutes les solutions de (E) sont de la forme (α+βx)f0avecα, β∈R. Exercice 6.3.—R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :

1. y⁰⁰−3y⁰+ 2y= 0.

2. y⁰⁰−3y⁰+ 2y=e^3x(on pourra chercher une solution particuli`ere sous la formef0(x) =Ae^3x).

3. y⁰⁰−3y⁰+2y=e^2x(on pourra chercher une solution particuli`ere sous la formef0(x) =Axe^2x).

4. y⁰⁰−6y⁰+ 9y= 0.

5. 2y⁰⁰+ 2y⁰ +y =xe^−x (on pourra chercher une solution particuli`ere sous la forme f₀(x) = (Ax+B)e^−x).

Exercice 6.4.— ´Equations du second ordre et conditions initialesOn consid`ere l’´equation diff´erentielle

(E) y⁰⁰+y⁰+y= 0

1. Trouver toutes les solutions de (E) qui v´erifient la condition initialey(0) = 1.

2. Trouver toutes les solutions de (E) qui v´erifient la condition initialey⁰(0) = 1.

3. Trouver toutes les solutions de (E) qui v´erifient la condition initialey(0) = 1 ety⁰(0) = 1.