Solution d'une question de licence (faculté de Lille. Novembre 1878)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. F AUQUEMBERGUE

Solution d’une question de licence (faculté de Lille. Novembre 1878)

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 20 (1881), p. 55-57

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SOLUTION D I N E QUESTION DE LICENCE

(FACULTÉ DE LILLE. — NOVEMBRE 1878 ) ;

PAR M. E. FAUQUEMBERGUE, Maître répétiteur au lycée de Saint-Quentin.

Une surface de révolution autour de l'axe des z, en coordonnées rectangulaires, est définie par Véquation z =ƒ(/*), r étant la distance d'un point de la surface à l'axe de rotation : trouver l'équation différentielle en coordonnées polaires des projections sur le plan xy des courbes tracées, sur cette surface, et qui jouissent de la propriété que le plan osculateur en chacun des points de l'une d'elles comprenne la normale à la sur- face au même point; prendre r pour variable indé-

pendante.

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Le plan osculateur en un point (.r, y, z) d'une courbe a pour équation

A(X — ^) + B(Y — vj4-C(Z — s) = o, en posant

A — dy d2z — dz d2y, B — dzd*x —dxdïz,

Les équations de la normale à la surface au même point sont

ï - r ⁺ ( Z - ⁵ ) = o.

La normale sera dans le plan osculateur si l'on a

A

£ _ B £ - C = O .

dx dy Or,

oc — r cos 6, y — /'sinô,

dx A . A dSs d2x . db dV . r/-0 - r - cosO — /'sinO- 5 -— r= — 2sinO-, — r c o s ô — /%sin6-=—>

dr dr dr1 dr dr1 dr2

dy . A A<^e < i r „ ^ o . de A^ / e - 7 - — s i n ô - h r c o s O . ? T'o —- 2 cos 6— — r s i n 6 — — H - r c o s 6 -y-r-?

^/* Ö(/' a /2 öT/' öfr2 dr2

- , sin6 -h r cos6 — r1 \ ddr

— ,- ( 2 cosÔ ^ — / s i n 6 ^ - -+- r c o s ô ",-

B — T-^- ( cos 6 — /• si

dr* \

dz I . . dû dü2 . d2ü

— -— 'Ï sin Ô - — h /* cos 6 -r- -\- r sin Ô -—

dr \ dr dr2 dr2

C —_ ( cos 6 — /' sin 6 — ) ( 2 cos 6 — /• sin 6 -— -+- /• cos Ô -—- dr ! \ dr ' *"" dr2 ^ ' wav dr 4- ( sinô -f- rcosö -,- ) ( 2 sinô -— + r cos6 -r— -h r sinô -r-r

dr I \ d§ dr* dr2

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D'ailleurs,

dz^_dz dr dz dx dr dx dr dz dz dr dz . dy dr dy dr Donc

A ^ - H - B ^ — C = ~(Acos6-hBsin6) —C.

dx dy dr J

Mais

A cosO + B sin6 ^f(r)r^ +ƒ'(/•) ^2 ~r + r

L'équation différentielle des courbes est donc

— // 2 ( r ) 2 — -f- r -.— — 2 -^ r2 -y-- — r — - = o

\ dr drl I dr dr° dr*

ou

-r- | *[i+f\r)]-rf(r)f(r) ( ^ + r» g* -o.