Aide mémoire sur les nombres complexes
l’essentiel des formules à connaître
jp SPRIET
2012-2013
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Plan
Voici résumé l’essentiel des formules sur les nombres complexes.
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie
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Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe Forme algébrique d’un nombre complexe
Partie réelle et imaginaire d’un complexe
Interprétation géométrique de la forme algébrique
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Module et argument d’un nombre complexe
Interprétation géométrique de la forme trigonométrique
Forme exponentielle d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe 3 / 47
L’écriturez =a+ibest appeléeforme algébrique du nombre complexe z.
4 / 47
L’écriture z=a+ib est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
Dans cette écriture,aest lapartie réellede z
4 / 47
L’écriture z=a+ibest appelée forme algébrique du nombre complexe z.
Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis queb est la partie imaginaire de z.
4 / 47
L’écriture z=a+ib est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
Dans cette écriture, a est lapartie réellede z tandis que b est la partie imaginaire de z.
On note
a=ℛe(z)et b=ℐm(z)
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L’écriture z=a+ibest appelée forme algébrique du nombre complexe z.
Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que b est la partie imaginairede z.
On note
a=ℛe(z)etb=ℐm(z)
Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :
z =z′ ⇐⇒
{ℛe(z) =ℛe(z′) ℐm(z) =ℐm(z′)
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Étant donné un repère orthonormé direct(O;−→u,−→v)du plan,
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Étant donné un repère orthonormé direct(O;−→u,−→v)du plan, À tout nombre complexe z=a+ib on associe un unique point Mde coordonnées cartésiennes(a,b)qu’on appelleimagedu complexe z. On le note souvent M(z)ouM(z).
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Étant donné un repère orthonormé direct(O;−→u,−→v)du plan, À tout nombre complexe z=a+ib on associe un unique point Mde coordonnées cartésiennes(a,b)qu’on appelleimagedu complexe z. On le note souvent M(z)ouM(z).
Réciproquement, à tout point M du plan de coordonnées cartésiennes(a,b), on associe un unique complexe z =a+ib qu’on note souventzM, est appelé l’affixedu point M.
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Étant donné un repère orthonormé direct(O;−→u,−→v)du plan,
x y
O
M(z)
ℛe(z) ℐm(z)
⊕
tout complexe z possède un unique couple
partie réelle / partie imaginaire ℛe(z) /ℐm(z)
tel que
z =ℛe(z) +iℐm(z) =a+ib
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x Axe réel Axe imaginairey
O
M(z)
ℛe(z) ℐm(z)
⊕
z=ℛe(z)+iℐm(z)
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Pour tout complexe z=a+ib associé au point M(z), on appelle
8 / 47
Pour tout complexe z=a+ib associé au point M(z), on appelle modulede z la longueurOM(z)
8 / 47
Pour tout complexe z=a+ib associé au point M(z), on appelle modulede z la longueurOM(z), et on note
∣z∣=OM(z)=√
a2+b2
8 / 47
Pour tout complexe z=a+ib associé au point M(z), on appelle modulede z la longueurOM(z), et on note
∣z∣=OM(z)=√
a2+b2
argumentde z l’angle(−→u;−−→OM)
8 / 47
Pour tout complexe z=a+ib associé au point M(z), on appelle modulede z la longueurOM(z), et on note
∣z∣=OM(z)=√
a2+b2
argumentde z l’angle(−→u;−−→OM)
, et on note arg(z) =𝜃=(−→u;−−→OM)
[2𝜋], si z∕=0.
8 / 47
Pour tout complexe z=a+ib associé au point M(z), on appelle modulede z la longueurOM(z), et on note
∣z∣=OM(z)=√
a2+b2
argumentde z l’angle(−→u;−−→OM)
, et on note arg(z) =𝜃=(−→u;−−→OM)
[2𝜋], si z∕=0.
{∣z∣=OM(z)
arg(z) =(−→u;−−→OM) [2𝜋]
8 / 47
On a {
ℛe(z) =a=r cos(𝜃) ℐm(z) =b=r sin(𝜃)
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On a {
ℛe(z) =a=r cos(𝜃) ℐm(z) =b=r sin(𝜃)
et on a
z =∣z∣(cos(𝜃) +i sin(𝜃))
9 / 47
On a {
ℛe(z) =a=r cos(𝜃) ℐm(z) =b=r sin(𝜃)
et on a
z =∣z∣(cos(𝜃) +i sin(𝜃))
cette écriture s’appelle laforme trigonométrique du complexe z.
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Étant donné un repère orthonormé direct(O;u, v)du plan,
x y
O
M
|z|
⊕
𝜃
tout complexe z ∕= 0 possède un unique couple
module / argument
∣z∣/ arg(z) tel que
z =∣z∣(cos(𝜃) +i sin(𝜃)) avec
{∣z∣=OM(z)
𝜃=arg(z) =(−→u;−−→
OM) [2𝜋]
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x y
O
M
|z|=OM
⊕
𝜃=arg(z)
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On définitei𝜃 =cos(𝜃) +i sin(𝜃)
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On définitei𝜃 =cos(𝜃) +i sin(𝜃)
On peut alors écrire un nombre complexe, mis sous forme trigonométrique, commez =∣z∣ei𝜃. C’est ce qu’on appelle la forme exponentielled’un nombre complexe.
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On a les valeurs remarquables suivantes : e2i𝜋 =1 ei𝜋2 =i
ei𝜋 =e−i𝜋 =−1 e−i𝜋2 =ei32𝜋 =−i et
ei𝜋6 =
√3 2 +1
2i ei𝜋4 =
√2 2 +
√2
2 i ei𝜋3 = 1 2 +
√3 2 i
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x y
O e2i𝜋 =1
ei𝜋2 =i
−1=ei𝜋
e−i𝜋2 =−i ei𝜋3
ei𝜋4 ei𝜋6
⊕
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Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique Passer de la forme exponentielle à la forme à trigonométrique
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie
15 / 47
Il suffit de calculer les valeurs de cos(𝜃)et sin(𝜃)
16 / 47
Il suffit de calculer les valeurs de cos(𝜃)et sin(𝜃) puis de remplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calcul par un développement.
16 / 47
Il suffit de calculer les valeurs de cos(𝜃)et sin(𝜃) puis de remplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calcul par un développement.
Par exemple : si∣z∣=3 et arg(z) = 7𝜋 6 alors
16 / 47
Il suffit de calculer les valeurs de cos(𝜃)et sin(𝜃) puis de remplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calcul par un développement.
Par exemple : si∣z∣=3 et arg(z) = 7𝜋 6 alors
cos (7𝜋
6 )
=cos( 𝜋+𝜋
6
)=−cos(𝜋 6
)=−
√3 2 sin
(7𝜋 6
)
=sin( 𝜋+𝜋
6 )
=−sin(𝜋 6 )
=−1 2
16 / 47
Il suffit de calculer les valeurs de cos(𝜃)et sin(𝜃)puis de remplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calcul par un développement.
Par exemple : si∣z∣=3 et arg(z) = 7𝜋 6 alors
cos (7𝜋
6 )
=cos( 𝜋+𝜋
6
)=−cos(𝜋 6
)=−
√3 2 sin
(7𝜋 6
)
=sin( 𝜋+𝜋
6 )
=−sin(𝜋 6 )
=−1 2 de sorte que
z=3 (
cos (7𝜋
6 )
+i sin (7𝜋
6 ))
=3 (
−
√3 2 −1
2i )
16 / 47
Il suffit de calculer les valeurs de cos(𝜃)et sin(𝜃)puis de remplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calcul par un développement.
Par exemple : si∣z∣=3 et arg(z) = 7𝜋 6 alors
cos (7𝜋
6 )
=cos( 𝜋+𝜋
6
)=−cos(𝜋 6
)=−
√3 2 sin
(7𝜋 6
)
=sin( 𝜋+𝜋
6 )
=−sin(𝜋 6 )
=−1 2 de sorte que
z=3 (
cos (7𝜋
6 )
+i sin (7𝜋
6 ))
=3 (
−
√3 2 −1
2i )
=
−3√ 3 2 −3
2i.
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Il faut calculer∣z∣
17 / 47
Il faut calculer∣z∣ puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z
17 / 47
Il faut calculer∣z∣ puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
17 / 47
Il faut calculer∣z∣ puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
Par exemple si z =1−i√
3, alors on calcule
17 / 47
Il faut calculer∣z∣ puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
Par exemple si z =1−i√
3, alors on calcule
∣z∣=
√ 12+(
−√ 3)2
=√ 4=2
17 / 47
Il faut calculer∣z∣puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
Par exemple si z =1−i√
3, alors on calcule
∣z∣=
√ 12+(
−√ 3)2
=√
4=2 donc on peut écrire z=1−i√
3=2 (1
2−i
√3 2
)
17 / 47
Il faut calculer∣z∣puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
Par exemple si z =1−i√
3, alors on calcule
∣z∣=
√ 12+(
−√ 3)2
=√
4=2 donc on peut écrire z=1−i√
3=2 (1
2−i
√3 2
)
Et on reconnaît les valeurs
cos(𝜋 3
)
= 1 2 sin(𝜋
3 )
=
√3 2
17 / 47
Il faut calculer∣z∣puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
Par exemple si z =1−i√
3, alors on calcule
∣z∣=
√ 12+(
−√ 3)2
=√
4=2 donc on peut écrire z=1−i√
3=2 (1
2−i
√3 2
)
Et on reconnaît les valeurs
cos(𝜋 3
)
= 1 2 sin(𝜋
3 )
=
√3 2
donc
cos (−𝜋
3 )
= 1 2 sin
(−𝜋 3
)
=−
√3 2
17 / 47
Il faut calculer∣z∣puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
Par exemple si z =1−i√
3, alors on calcule
∣z∣=
√ 12+(
−√ 3)2
=√
4=2 donc on peut écrire z=1−i√
3=2 (1
2−i
√3 2
)
Et on reconnaît les valeurs
cos(𝜋 3
)
= 1 2 sin(𝜋
3 )
=
√3 2
donc
cos (−𝜋
3 )
= 1 2 sin
(−𝜋 3
)
=−
√3 2 Donc z=2
( cos
(−𝜋 3
) +i sin
(−𝜋 3
)) .
17 / 47
Il faut calculer∣z∣puis mettre arbitrairement∣z∣en facteur dans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’un angle "connu".
Par exemple si z =1−i√
3, alors on calcule
∣z∣=
√ 12+(
−√ 3)2
=√
4=2 donc on peut écrire z=1−i√
3=2 (1
2−i
√3 2
)
Et on reconnaît les valeurs
cos(𝜋 3
)
= 1 2 sin(𝜋
3 )
=
√3 2
donc
cos (−𝜋
3 )
= 1 2 sin
(−𝜋 3
)
=−
√3 2 Donc z=2
( cos
(−𝜋 3
) +i sin
(−𝜋 3
)) . Et par conséquent∣z∣=2 et arg(z) = −𝜋
3 [2𝜋]. 17 / 47
Attention ! Un module est toujours un nombre positif.
Un argument est un angle qui n’est connu qu’à 2𝜋 près, et on donne en général sa mesure principale, c’est à dire celle qui est comprise dans l’intervalle]−𝜋;𝜋].
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La forme exponentielle est totalement équivalente à la forme trigonométrique, c’est juste un changement de notation :
19 / 47
La forme exponentielle est totalement équivalente à la forme trigonométrique, c’est juste un changement de notation :
à la place de
z =∣z∣(cos(𝜃) +i sin(𝜃)) on écrit
z =∣z∣ei𝜃
19 / 47
Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes Additionner et soustraire
Multiplier
Calculer un inverse Diviser
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie 20 / 47
Si z1=a+ib et z2=a′+ib′ sont deux complexes alors
z1+z2= (a+a′) +i(b+b′)
21 / 47
Exemple de calcul de somme : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
22 / 47
Exemple de calcul de somme : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors z1+z2= (2+5) +i(3+7) =
22 / 47
Exemple de calcul de somme : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors z1+z2= (2+5) +i(3+7) =7+10i Si z1=−2+5i et z2=3−6i alors
22 / 47
Exemple de calcul de somme : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors z1+z2= (2+5) +i(3+7) =7+10i Si z1=−2+5i et z2=3−6i alors z1+z2= (−2+3) +i(5−6) =
22 / 47
Exemple de calcul de somme : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors z1+z2= (2+5) +i(3+7) =7+10i Si z1=−2+5i et z2=3−6i alors z1+z2= (−2+3) +i(5−6) =1−i
22 / 47
Si z1=a+ib et z2=a′+ib′ sont deux complexes alors
z1×z2= (aa′−bb′) +i(ab′+ba′)
23 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
=
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
= (2×5
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
= (2×5−3×7)
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
= (2×5−3×7) +i(2×7
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
= (2×5−3×7) +i(2×7+3×5)
=
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
= (2×5−3×7)+i(3×5+2×7)
= (10−21)+i(15+14)
=
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
= (2×5−3×7)+i(3×5+2×7)
= (10−21)+i(15+14)
=
24 / 47
Exemple de calcul de produit : Si z1=2+3i et z2=5+7i alors
z1×z2 = (2+3i)×(5+7i)
= (2×5 −3×7) +i(3×5+2×7)
= (10−21)+i(15+14)
= −11+29i
24 / 47
Remarque : si z1et z2sont mis sous forme trigonométrique, alors le calcul d’un produit encore plus simple; en effet,
Si z1=r1ei𝜃1 et z2=r2ei𝜃2 alors z1×z2= (r1×r2)ei(𝜃1+𝜃2)
25 / 47
Si z =a+ib est non nul alors 1
z = 1
a2+b2(a−ib) = a
a2+b2 +i −b a2+b2
plutôt que d’apprendre cette formule par coeur, il suffit d’utiliser la forme conjuguée : on multiplie au numérateur et au
dénominateur par le conjugué du complexe.
26 / 47
Exemple de calcul d’inverse :
Si z =2+3i alors
1
z = 1
2+3i
27 / 47
Exemple de calcul d’inverse :
Si z =2+3i alors
on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du complexe
1
z = 1
2+3i = 2−3i (2+3i)(2−3i)
27 / 47
Exemple de calcul d’inverse :
Si z =2+3i alors
on simplifie le dénominateur par l’utilisation de l’identité remarquable
1
z = 1
2+3i = 2−3i
(2+3i)(2−3i) = 2−3i 22+32
27 / 47
Exemple de calcul d’inverse :
Si z =2+3i alors
on calcule le dénominateur
1
z = 1
2+3i = 2−3i
(2+3i)(2−3i) = 2−3i
22+32 = 2−3i 13
27 / 47
Exemple de calcul d’inverse :
Si z =2+3i alors
on écrit la forme algébrique
1
z = 1
2+3i = 2−3i
(2+3i)(2−3i) = 2−3i
22+32 = 2−3i 13 = 2
13 − 3 13i
27 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =2−i alors
1 z = 1
2−i
28 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =2−i alors
1 z = 1
2−i = 2+i (2−i)(2+i)
28 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =2−i alors
1 z = 1
2−i = 2+i
(2−i)(2+i) = 2+i 22+12
28 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =2−i alors
1 z = 1
2−i = 2+i
(2−i)(2+i) = 2+i
22+12 = 2+i 5 = 2
5+1 5i.
28 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−5+i alors
1
z = 1
−5+i
29 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−5+i alors
1
z = 1
−5+i = −5−i (−5+i)(−5−i)
29 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−5+i alors
1
z = 1
−5+i = −5−i
(−5+i)(−5−i) = −5−i (−5)2+12
29 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−5+i alors
1
z = 1
−5+i = −5−i
(−5+i)(−5−i) = −5−i
(−5)2+12 = −5−i
26 =
−5 26 − 1
26i.
29 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−3−2i alors
1
z = 1
−3−2i
30 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−3−2i alors
1
z = 1
−3−2i = −3+2i (−3−2i)(−3+2i)
30 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−3−2i alors
1
z = 1
−3−2i = −3+2i
(−3−2i)(−3+2i) = −3+2i (−3)2+ (−2)2
30 / 47
Exemple de calcul d’inverse : Si z =−3−2i alors
1
z = 1
−3−2i = −3+2i
(−3−2i)(−3+2i) = −3+2i (−3)2+ (−2)2 = (−3+2i)
13 = −3 13 + 2
13i.
30 / 47
Remarque : si z est mis sous forme trigonométrique alors le calcul d’un inverse est encore plus simple; en effet,
Si z =rei𝜃est non nul alors 1
z = 1 re−i𝜃
31 / 47
Si z =a+ib est non nul alors 1
z = 1
a2+b2(a−ib)
32 / 47
Si z =a+ib est non nul alors 1
z = 1
a2+b2(a−ib) On peut alors définir une division "÷" comme étant la multiplication par l’inverse : z1÷z2=z1× 1
z2 et se note aussi z1
z2.
32 / 47
Si z =a+ib est non nul alors 1
z = 1
a2+b2(a−ib) On peut alors définir une division "÷" comme étant la multiplication par l’inverse : z1÷z2=z1× 1
z2 et se note aussi z1
z2.
La division "÷" a aussi les mêmes propriétés que celle sur les réels; par exemple(z1+z2)÷z3=z1÷z3+z2÷z3, de sorte que l’on peut écrire en "fractions" : z1+z2
z3 = z1 z3 +z2
z3.
32 / 47
Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie
33 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
34 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
34 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=
34 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=1+i=1−i.
34 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=1+i=1−i.
Si z =2i alors z=
34 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=1+i=1−i.
Si z =2i alors z=2i=−2i.
34 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=1+i=1−i.
Si z =2i alors z=2i=−2i.
Si z =5−3i alors z=
34 / 47
Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=1+i=1−i.
Si z =2i alors z=2i=−2i.
Si z =5−3i alors z=5−3i=5+3i.
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Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=1+i=1−i.
Si z =2i alors z=2i=−2i.
Si z =5−3i alors z=5−3i=5+3i.
Si z =−5+i alors z=
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Conjugué d’un nombre complexe :
Si z =a+ib est un nombre complexe, on définit le conjugué de z comme étant le nombre complexe, notéz, tel que
z =a−ib
Exemples :
Si z =1+i alors z=1+i=1−i.
Si z =2i alors z=2i=−2i.
Si z =5−3i alors z=5−3i=5+3i.
Si z =−5+i alors z=−5+i =−5−i.
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Pour tous complexes z1et z2on a
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Pour tous complexes z1et z2on a z1+z2=z1+z2
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Pour tous complexes z1et z2on a z1+z2=z1+z2
z1×z2=z1×z2
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Pour tous complexes z1et z2on a z1+z2=z1+z2
z1×z2=z1×z2 1
z2 = 1 z2
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Pour tous complexes z1et z2on a z1+z2=z1+z2
z1×z2=z1×z2 1
z2 = 1 z2 z1 z2 = z1
z2
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Pour tous complexes z1et z2on a z1+z2=z1+z2
z1×z2=z1×z2 1
z2 = 1 z2 z1 z2 = z1
z2
Si z =a+ib est un complexe, alors on a z z =a2+b2. Donc pour les calculs d’inverse, si z=a+ib est non nul, on a 1
z = 1
a2+b2z.
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Exemples :
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors z=
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors
z= (1+i)(3−i) = (1+i)×(3−i) = (1−i)(3+i).
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors
z= (1+i)(3−i) = (1+i)×(3−i) = (1−i)(3+i).
Si z =2(3+4i)alors z =
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors
z= (1+i)(3−i) = (1+i)×(3−i) = (1−i)(3+i).
Si z =2(3+4i)alors z =2(3+4i) =2×(3+4i) =2(3−4i).
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors
z= (1+i)(3−i) = (1+i)×(3−i) = (1−i)(3+i).
Si z =2(3+4i)alors z =2(3+4i) =2×(3+4i) =2(3−4i).
Si z =3i(1+2i)alors z=
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors
z= (1+i)(3−i) = (1+i)×(3−i) = (1−i)(3+i).
Si z =2(3+4i)alors z =2(3+4i) =2×(3+4i) =2(3−4i).
Si z =3i(1+2i)alors
z=3i(1+2i) =3i×(1+2i) =−3i(1−2i).
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors
z= (1+i)(3−i) = (1+i)×(3−i) = (1−i)(3+i).
Si z =2(3+4i)alors z =2(3+4i) =2×(3+4i) =2(3−4i).
Si z =3i(1+2i)alors
z=3i(1+2i) =3i×(1+2i) =−3i(1−2i).
Si z = 3+i
−1+2i alors z =
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Exemples :
Si z = (1+i) + (3−2i)alors z = (1+i) + (3−2i) = (1+i) + (3−2i) = (1−i) + (3+2i) =4+i.
Si z = (1+i)(3−i)alors
z= (1+i)(3−i) = (1+i)×(3−i) = (1−i)(3+i).
Si z =2(3+4i)alors z =2(3+4i) =2×(3+4i) =2(3−4i).
Si z =3i(1+2i)alors
z=3i(1+2i) =3i×(1+2i) =−3i(1−2i).
Si z = 3+i
−1+2i alors z = 3+i
−1+2i = 3+i
−1+2i = 3−i
−1−2i.
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Pour tout complexe z, on a
z+z =2ℛe(z) et z−z =2iℐm(z) Soit encore
ℛe(z) = z+z
2 et ℐm(z) = z−z 2i
Remarque : attention de ne pas oublier le terme "i" dans l’expression z−z =2iℐm(z)
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Un nombre complexe z estréelssiℐm(z) =0ssiz =z.
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Un nombre complexe z estréelssiℐm(z) =0ssiz =z.
Un nombre complexe z estimaginaire purssiℛe(z) =0ssi z=−z.
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Un nombre complexe z estréelssiℐm(z) =0ssiz =z.
Un nombre complexe z estimaginaire purssiℛe(z) =0ssi z=−z.
Pour tout nombre complexe z on a z=z.
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Plan
1 Les différentes écritures d’un nombre complexe
2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
3 Calculs sur les nombres complexes
4 Conjugué d’un nombre complexe
5 Application des nombres complexes à la géométrie interprétation du module et d’un argument Transformations du plan
Translation Rotation
Homothétie 39 / 47
Si A, B, C et D sont quatre points distincts d’affixe respective a, b, c, d alors :
{∣zB−zA∣=AB
arg(zB−zA) =(−→u;−→AB)
⎧
⎨
⎩
zA−zB zC−zD
= BA DC arg
(zA−zB zC−zD
)
=(−→
DC;−→BA)
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Latranslationde vecteur⃗u correspond à l’additionde z⃗u :
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Latranslationde vecteur⃗u correspond à l’additionde z⃗u : T : 𝒫 → 𝒫
M 7→ T⃗u(M) =M′ correspond géométriquement à
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Latranslationde vecteur⃗u correspond à l’additionde z⃗u : T : 𝒫 → 𝒫
M 7→ T⃗u(M) =M′ correspond géométriquement à
T⃗u(M) =M′équivaut à−−→
MM′=−→u
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Latranslationde vecteur⃗u correspond à l’additionde z⃗u : T : 𝒫 → 𝒫
M 7→ T⃗u(M) =M′ correspond géométriquement à
T⃗u(M) =M′équivaut à−−→
MM′=−→u et correspond à la fonction
f : ℂ → ℂ
z 7→ z′ =z+z⃗u
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Larotationde centre O et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
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Larotationde centre O et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
R(O;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ R(O;𝛼)(M) =M′ correspond géométriquement à
42 / 47
Larotationde centre O et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
R(O;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ R(O;𝛼)(M) =M′ correspond géométriquement à
si M ∕=O,R(O;𝛼)(M) =M′équivaut à
{OM′=OM (−−→
OM;−−→
OM′)
=𝛼
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Larotationde centre O et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
R(O;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ R(O;𝛼)(M) =M′ correspond géométriquement à
si M ∕=O,R(O;𝛼)(M) =M′équivaut à
{OM′=OM (−−→
OM;−−→
OM′)
=𝛼
et correspond à la fonction
f : ℂ → ℂ
z 7→ z′ =ei𝛼z
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Larotationde centreΩd’affixe𝜔 et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
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Larotationde centreΩd’affixe𝜔 et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
R(Ω;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ R(Ω;𝛼)(M) =M′ correspond géométriquement à
43 / 47
Larotationde centreΩd’affixe𝜔 et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
R(Ω;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ R(Ω;𝛼)(M) =M′ correspond géométriquement à
si M ∕= Ω,R(Ω;𝛼)(M) =M′ équivaut à
{ΩM′= ΩM (−−→
ΩM;−−→
ΩM′)
=𝛼
43 / 47
Larotationde centreΩd’affixe𝜔 et d’angle𝛼correspond à la multiplication parle complexeei𝛼:
R(Ω;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ R(Ω;𝛼)(M) =M′ correspond géométriquement à
si M ∕= Ω,R(Ω;𝛼)(M) =M′ équivaut à
{ΩM′= ΩM (−−→
ΩM;−−→
ΩM′)
=𝛼
et correspond à la fonction f : ℂ → ℂ
z 7→ z′ tel que z′−𝜔 =ei𝛼(z−𝜔)
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L’homothétiede centre O et de rapport k ∕=0 correspond à la multiplicationpar leréelk :
h(O;k) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ h(O;k)(M) =M′ correspond géométriquement à
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L’homothétiede centre O et de rapport k ∕=0 correspond à la multiplicationpar leréelk :
h(O;k) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ h(O;k)(M) =M′ correspond géométriquement à
h(O;k)(M) =M′équivaut à−−→
OM′ =k−−→
OM
44 / 47
L’homothétiede centre O et de rapport k ∕=0 correspond à la multiplicationpar leréelk :
h(O;k) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ h(O;k)(M) =M′ correspond géométriquement à
h(O;k)(M) =M′équivaut à−−→
OM′ =k−−→
OM et correspond à la fonction
f : ℂ → ℂ z 7→ z′=k z
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L’homothétiede centreΩet de rapport k ∕=0 correspond à une multiplicationpar leréelk :
h(Ω;k) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ h(Ω;k)(M) =M′ correspond géométriquement à
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L’homothétiede centreΩet de rapport k ∕=0 correspond à une multiplicationpar leréelk :
h(Ω;k) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ h(Ω;k)(M) =M′ correspond géométriquement à
h(Ω;k)(M) =M′ équivaut à−−→
ΩM′ =k−−→ΩM
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L’homothétiede centreΩet de rapport k ∕=0 correspond à une multiplicationpar leréelk :
h(Ω;k) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ h(Ω;k)(M) =M′ correspond géométriquement à
h(Ω;k)(M) =M′ équivaut à−−→
ΩM′ =k−−→ΩM et correspond à la fonction
f : ℂ → ℂ
z 7→ z′tel que z′−𝜔=k(z−𝜔)
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Lasimilitudede centre O de rapport k >0 et d’angle𝛼est la composée de la rotation de centre O et d’angle𝛼par
l’homothétie de centre O de rapport k >0.
Lasimilitudede centre O de rapport k >0 et d’angle𝛼 correspond à lamultiplicationpar le complexe k ei𝛼:
s(O;k;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ s(O;k;𝛼)(M) =M′
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Lasimilitudede centre O de rapport k >0 et d’angle𝛼est la composée de la rotation de centre O et d’angle𝛼par
l’homothétie de centre O de rapport k >0.
Lasimilitudede centre O de rapport k >0 et d’angle𝛼 correspond à lamultiplicationpar le complexe k ei𝛼:
s(O;k;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ s(O;k;𝛼)(M) =M′ et correspond à la fonction
f : ℂ → ℂ
z 7→ z′ =k ei𝛼z
46 / 47
Lasimilitudede centreΩde rapport k >0 et d’angle𝛼est la composée de la rotation de centreΩet d’angle𝛼par
l’homothétie de centreΩde rapport k >0.
Lasimilitudede centreΩde rapport k >0 et d’angle𝛼 correspond à unemultiplicationpar le complexe k ei𝛼 :
s(Ω;k;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ s(Ω;k;𝛼)(M) =M′
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Lasimilitudede centreΩde rapport k >0 et d’angle𝛼est la composée de la rotation de centreΩet d’angle𝛼par
l’homothétie de centreΩde rapport k >0.
Lasimilitudede centreΩde rapport k >0 et d’angle𝛼 correspond à unemultiplicationpar le complexe k ei𝛼 :
s(Ω;k;𝛼) : 𝒫 → 𝒫
M 7→ s(Ω;k;𝛼)(M) =M′ et correspond à la fonction
f : ℂ → ℂ
z 7→ z′−𝜔 =k ei𝛼(z−𝜔)
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