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Problèmes liés à l’utilisation d’une calculatrice

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Academic year: 2022

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Problèmes liés à l’utilisation d’une calculatrice

1 Qu’est-ce qu’un nombre pour une calculatrice?

Les calculatrices gardent en mémoire les nombres sous forme d’une mantisse composé denchiffres et d’un exposant qui précise l’endroit où se trouve la virgule. En généraln est compris entre 10 et 15 (par exemple sous la forme 12345678901234E1 pour 1,23...).

L’erreur relative commise lors de l’approximation est donc de l’ordre de10−n, suivant les calculatrices les méthodes d’arrondies diffèrent. Notons=c l’égalité pour la calculatrice, on a en général10n+ 1= 10c n, car10n−1s’écrit en base 10 à l’aide denchiffres.

1. Déterminer lende votre calculatrice en calculant10k+ 1−10kpour différentes valeurs dek.

On notenc la valeur trouvée. On doit avoir10nc−1 + 1−10nc−1 = 1c et10nc + 1−10nc = 0c 2. Représenter à l’écran entre 0 et 100 la fonction :

f(x) = 10nc+1+x−10nc+1

Le résultat vous semble-t-il prévisible? Essayez de voir comment la calculatrice effectue les arrondis?

3. Représenter à l’écran entre 0 et 100 la fonction :f(x) = (10nc+1 + 2∗x)−(10nc+1 +x), expliquez.

2 Comment une calculatrice trace-t-elle une courbe?

On rentre l’expression d’une fonctionf, on précise l’intervalle[xmin,xmax]où l’on veut que f soit tracée, la calculatrice détermine n points (subdivision régulière) dans l’intervalle, elle calcule les valeurs correspondantes de la fonction, lorsque c’est possible, puis elle place les points à l’écran et en général elle les relie par un trait. Le nombre n est en général le nombre de points horizontal de l’écran de la calculatrice (souvent de l’ordre de 150).

Soit

f(x) = ln(x) ln(x)−1

1. Représenterf dans la fenêtre[0; 1]×[−0,2; 1,2], puis[0; 0,2]×[0.5,1].

2. A la vue des dessins précédents, que peut-on conjecturer pour la limite de la fonctionf en 0?

3. Déterminer la limite def en 0.

4. En déterminant les premières valeurs calculées par la calculatrice, expliquer d’ou vient ce problème : d’ou vient le fait que le dessin de la calculatrice ne permet pas de conjecturer la limite ? En particulier le problème vient-il d’un manque de précision dans les calculs? (nc trop petit ? ).

(2)

3 Attention aux valeurs approchées de valeurs approchées

Aest une valeur approchée deB àα près si |A−B| ≤ α.A est une valeur approchée de B à α près par défaut si A ≤ B ≤ A + α. En général lorsque l’on cherche une valeur approchéev d’un nombre xà 10−n près, on essaie de trouver pourv un nombre décimal qui s’écrit en base 10 avec n décimales, il existe toujours 2 ou 3 réels qui ont cette propriété, mais ce ne sont pas les seules valeurs approchées dex.

1. SoitB une valeur approchée deAà10−2 près,C une valeur approchée deB à10−2 près. C est une valeur approchée deAà quelle précision?

2. Déterminer des valeurs approchées à10−2près des réels suivants : (2.1) 1,23565

(2.2) -2,123

(2.3) Atel que 1,542 est une valeur approchée deAà10−3près.

(2.4) Atel que 1,54246586 est une valeur approchée deAà10−2près par défaut.

(2.5) Atel que 1,54246586 est une valeur approchée deAà10−2près.

3. Déterminer unAtel que 1,54246586 est une valeur approchée deAà10−2près mais pas 1,54.

4 Un phénomène fréquent, source de beaucoup d’erreurs

On veut déterminer une valeur approchées de S = P k=1

sink

k2 à 10−3 près. On note Sn = Pn

k=1 sink

k2

1. Montrer que pourn >1:

|sinn|

n2 ≤ 1

n−1 − 1 n 2. En déduire que|P

k=N+1 sink

k2 | ≤ N1

3. DéterminerN tel queSN soit une valeur approchée deSà10−2 près,peut-on calculer numéri- quement la valeur exacte deSN? Une valeur approchée deSN à10−2 près est-elle une valeur approchée deSà10−2 près?

4. Peut-on déduire deSN une valeur approchée deS à10−2près?

5. Déterminer une valeur approchée deSà10−2 près.

5 Petites erreurs cumulées deviendront grande

L’erreur relative commise par la calculatrice à chaque étape est de l’ordre de10−nc mais si on réutilise cette valeur dans un nouveau calcul, l’erreur peut être multipliée par un facteur énorme et ceci dépend alors du problème mathématique plus que de la calculatrice.

1. Soit E l’espace vectoriel de dimension 3, des suites vérifiant pour tout entier n l’égalité:

un+3 =un+2+ 14un+1−24un.

(1.1) Déterminer une baseB deE de la forme{(rn1)n,(rn2)n,(r3n)n}où lesri sont des réels à déterminer.

(1.2) Pour une suite(un)nde(E)qui ne s’annule pas, on posevn = un+1u

n , étudier les limites possibles de la suite(vn)n.

(3)

(1.3) Déterminer les coordonnées dans la base B de l’unique suite de E vérifiant u0 = 2;

u1 = 5 et limn→∞ un+1

un = 3, on note dorénavant (un)n la suite ainsi définie, montrer qu’elle ne s’annule pas déterminer la limite de la suite(vn)nainsi définie?

(1.4) Montrer que la suite(vn)nest définie par (P)

∀n∈Nvn+2 = 1 +14vv n−24

nvn+1

v0 = 52 v1 = 135

(1.5) A l’aide de votre calculatrice calculer des valeurs approchée de v50 et de v150. Quelle limite la suite(vn)nsemble-t-elle avoir?

(1.6) Comparer le résultat précédent avec la limite de la suite(vn)n. Expliquer le phénomène en revenant à la question (1.2).

6 Valeur approchée d’une intégrale

1. Déterminer à l’aide d’un encadrement de la fonctionf(t) = ttpar deux fonctions en escalier une valeur approchée deI à10−1près avec :

I = Z 3

1

f(t)dt

2. Rappeler rapidement à l’aide d’un dessin pourquoi la méthode d’approximation deRb a g(t)dt suivante est appelée méthode des trapèzes :

Tn(g) = b−a n

1

2g(a) +

n−1

X

k=1

g(a+kb−a n ) + 1

2g(b)

!

3. On rappelle que sigest une fonction de classeC2 on a l’encadrement suivant :

Z b

a

g(t)dt−Tn(g)

≤ sup

x∈[a;b]

|g0(x)|(b−a)3 12n2 Donner une valeur approchée deI à10−1puis à10−3près.

(4)

Utilisation d’une calculatrice, programmation

On ne s’intéresse pas ici aux erreurs d’approximations dues à la calculatrice.

7 Quelques calculs élémentaires :

1. Rentrer la fonction f dans votre calculatrice et déterminer une valeur approchée de f(1) et f(3) à10−3 près :

f(x) = 1 xx+ 1+x11/3

2. un+1 = 2 cosunetu1 = 0, déterminer une valeur approchée deu50à10−4 près.

3. Même question pour la suite(vn)définie parv0 =√ 2et : vn+1 = 2 cos(vn) + 1

√n 4. Déterminer une valeur approchée deP100

k=1ln(1 + 2k)

5. On veut connaître l’ordre de grandeur de 500!, mais cet entier dépasse les capacités de nos calculatrices, en utilisant le logarithme décimal, déterminer une valeur approchée delog 500!, puis déterminer un entierntel que10n≤500!<10n+1.

8 Suite récurrente d’ordre 2

Soit la suite(un)définie par :

un+1 = unun−1

un+un−1

u0 = 2 u1 = 4 1. Si la suite(un)converge quelle est sa limite?

2. Calculer une valeur approchée deu100.

9 Valeur approchée de la solution d’une équation

Le but de cet exercice est de déterminer par différentes méthodes une valeur approchée des solutions de l’équation

(E) :x= 4 lnx

1. Préliminaire : Démontrer que(E)possède exactement deux solutionsm etM avecm < M, on pourra pour cela étudier une fonction.

2. A l’aide de dessins à l’écran et de zooms successifs, déterminer des valeurs approchées deM à10−3 près.

3. A l’aide du solveur de votre calculatrice, déterminer des valeurs approchées demetM à10−8 près.

4. Par dichotomie : On écrira un petit programme qui prendra deux valeurs, construira deux suites une croissante, une décroissante et qui s’arrêtera lorsque la différence entre les termes des deux suites sera inférieur à10−3. On partira des points 5 et 10.

(5)

5. En utilisant une propriété de point fixe : on poseg(x) = 4 lnx

(5.1) En remarquant quegest croissante et en utilisant la calculatrice, montrer queg([5; 10])⊂ [5; 10]. On note˜gla restriction deg à l’intervalle[5; 10].

(5.2) Montrer que|˜g0| ≤ 45 <1.

(5.3) Justifier l’existence d’une unique suite(un)telle queu0 = 5et∀n ∈ Nun+1 = g(un), puis que|un−M| ≤5 45n

.

(5.4) Montrer que(un)converge versM. Déterminern0tel que|un0| ≤10−2. Déterminer une valeur approchée de M à 10−2prs, expliquer pourquoi le calcul de un0 ne permet pas de déterminer une valeur approchée deM à10−2 près qui s’écrive avec deux décimales, déterminer une telle valeur approchée en calculantun0+1.

(5.5) Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer la même méthode pour le point m, pour une méthode du même genre, on pourrait considérer la fonction définie parg(x) =x−

1

λ(x−4 lnx)pour unλbien choisi.

6. En utilisant la méthode de Newton : On remplace la courbe par sa tangente en un point (x0,f(x0)) puis on détermine le point d’intersection (x1,0)de cette tangente avec l’axe des abscisses, enfin on réitère le procédé en partant de(x1,f(x1)), on écrira l’équation de la tan- gente en(xn,f(xn)), puis on écrira une relation de récurrence entrexn+1 etxn. On partira du point 5, et on calculera le6emepoint de la suite.

10 Approximation de π par la méthode d’Archimède, accélération de conver- gence :

1. Montrer que le périmètre d’un polygone régulier à m cotés inscrit dans le cercle unité est 2msinmπ).

2. On note ln la longueur d’un des cotés d’un polygone régulier Cn à 2n cotés inscrit dans le cercle unité. Montrer que pour toutn >2on a :

ln+1 = q

2−p 4−ln2

(P1) en déduire que

ln+1 =

s ln2 2 +p

4−ln2

(P2)

3. Expliquer qualitativement pourquoi dans les calculs à la calculatrice la formule(P1)n’est pas

’efficace’.

4. On notevn le demi périmètre deCn. En utilisant la formule(P2), calculer une valeur appro- chée del10, puis dev10. En comparant cette dernière valeur et la valeur approchée deπdonnée par votre calculatrice, quelle est la précision de l’approximation ?

5. facultatif : Méthode d’accélération de Richardson : (5.1) Montrer que :

vn = 2nsin π 2n (5.2) En déduire que :vn−π=−6.4π3n +O(161n)

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(5.3) Dans cette partie(vn)est une suite telle quevn−l =λh1n+O(h2n)avec 0< h2 < h1 <1.

avech1connu mais nilniλconnu, montrer que la suite définie par wn= vn−h1vn−1

1−h1

converge verslplus vite que la suite(vn), on comparerawn−làvn−lau voisinage de l’infini.

(5.4) Appliquer ce qui précède à la suite(vn)des demi périmètres. Comparerw10etπ.

11 Un test d’arrêt classique

On veut évaluer la limite d’une suite(un)pour cela on décide de calculer les termes successifs jusqu’à ce que |un+1−un| < . Appliquer ceci avec la suite définie en (7.2), avec = 10−5. Que donnerez cette méthode pour la suiteun = ln(lnn)?

12 Un petit problème pour s’amuser un peu

Déterminer l’unique 4-uplet (D,d,q,r), où r est le reste de la division de D par d, et q son quotient, Det dsont des nombres qui s’écrivent avec trois chiffres dans leur écriture décimale, ils s’écrivent avec les même chiffres mais dans l’ordre inverse l’un de l’autre. D’autre part q = r ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Une micro bibliographie

– L’épreuve sur dossier à l’oral du CAPES de Mathématique. Analyse T. Lambre Ellipse Beaucoup de points très intéressants dans ce très bon livre d’un assez bon niveau.

– Mathématiques et calculatrices. Premiers cycles universitaires Y. Nouazé Ellipses Un livre d’un intérêt limité.

– Fascicules édités par T.I. en particulier Calculs approchés, calculs exacts et arithmétique.

D’un niveau élémentaire, des choses intéressantes.

– Agrégation interne de Mathématiques. Mathématiques générales A. Tissier Bréal

Sous forme d’exercices corrigés des résultats sur les différentes méthodes numériques classiques.

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