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Cas d’existence de solutions d’EDP.
Samy Skander Bahoura
To cite this version:
CAS D’EXISTENCE DE SOLUTIONS D’EDP.
SAMY SKANDER BAHOURA
1. CAS D’EXISTENCE DE SOLUTIONS D’EDP
R ´ESUME´. Estimations uniformes pour l’equation de Yamabe, l’equation du type Yamabe, l’equa-tion de la courbure scalaire prescrite, l’equal’equa-tion du type courbure scalaire prescrite, l’equal’equa-tion de Gauss, l’equation de type Gauss. On se pose la question de savoir s’il y a des solutions.
En dimension 2 :
1) Les solutions de Liouville en fonction des fonctions holomorphes dont les d´erivees ne s’an-nulent pas, voir le livre de C. Bandle.
2) Sur la boule unite, il y a des solutions radiales, nulle au bord, cela revient a resoudre une equation differentielle.
3) Si le domaine n’est plus une boule, par la methode des sur et sous solutions, il y a des solutions au probleme de Gelfand,u = 0 est sous solution et la fonction distance est une sur solution.(Voir Dupaigne).
4) Par la methode variationelle, il y a toujours des solutions, c’est li´e `a la compacit´e de l’in-jection de Moser-Trudinger dansL1.
Pour la dimension 2, sur des surfaces compactes sans bord, il y a des resultats d’existence dans le livre d’Aubin, par la methode variationelle si la courbure scalaireS = −1 on peut minorer les solutions, lorsqueS = 0 il se peut qu’on ne puisse pas minorer les solutions.
Pour une courbure scalaire negative, on peut resoudre le probleme de la courbure scalaire prescrite avec une courbure prescritef ≤ 0 par la methode des sur et sous solutions, puis on rajoute une constante ou fonction petitef + c ou f + g, c, g > 0. Dans ce cas, il se peut qu’on puisse minorer les solutions. C’est fait dans le livre d’Aubin.
Dans le cas nul (courbure scalaire nulle, par la methode variationelle), on peut resoudre le probleme de la courbure prescrite, pour une courbure prescritef changeant de signe etR f < 0.Dans ce cas il se peut que les solutions ne soient pas minorables. C’est le probleme de Kazdan-Warner. C’est fait dans le livre d’Aubin.
En ce qui nous concerne, on se placera sur la partie positive def +c = c > 0 et f +g = g > 0. On peut resoudre le Probleme de la courbure scalaire sur une surface compacte non orientable, c’est fait dans le livre d’Aubin pour le Projectif r´eel de dimension 2, P2.
En dimension≥ 3.
1) Pour l’´equation de Yamabe (5 et 6) et l’´equation de la courbure prescrite en dimension 4 : Quand la vari´et´e est compacte sans bord, les r´esultats existent par Aubin-Schoen en dimension 5 et 6.
Si on considere une fonctionf changeant de signe et que la courbure scalaire Sg = 0 ( et de metriqueg), par la methode variationelle f est courbure scalaire d’une metrique conforme, voir le livre de Hebey (pour les dimensions 3, 4, le theoreme d’Escobar Schoen) et le livre d’Aubin (le Theoreme d’Escobar-Schoen dans le cas conformement plat et le Theoreme de Bismuth). Voir aussi dans le livre d’Aubin d’autres conditions surf pour qu’elle soit courbure scalaire d’une metrique conforme. Dans le cas, changeant de signe on se placera sur l’ensemble{f > 0}. Ceci est valable en toute dimension≥ 3 (conformement plat, Escobar-Schoen et Aubin et invariant de Yamabe positif).
Pour la dimension 6, on r´esout le probl`eme de la courbure scalaire prescrite sur une vari´et´e de courbure scalaireSg= −1 (de metrique g), pour une courbure prescrite f ≤ 0, par exemple une cutoff avecf = 0 une boule, puis par un th´eor`eme dans le livre d’Aubin, il existe un voisinage def dans Cα, dans lequel on peut r´esoudre le probl`eme de la courbure prescrite.
Voir dans le livre d’Aubin la condition de Rauzy, Ouyang, Tang, Vazquez-Veron, la valeur propre du Laplacien doit etre plus grande que la courbure scalaire pour resoudre dans le cas n´egatif le probleme de la courbure scalaire prescrite avec une courbure prescritef cutoff. Or en prenant des petites boules, on a grace au Theoreme de Levy-Brhul, le comportement asymp-totique des valeurs propres du Laplacien des petites boules geodesiques (elle le prouve dans le cas de varietes Riemanniennes analytiques), voir l’article et le monograph de Leon Karp-Mark Pinsky (ils le prouvent dans le cas de vari´et´es RiemanniennesC∞).( C’est la condition de Rellich sur les valeurs propres, developement asymptotique).
On r´esout le probleme de la coubrure prescrite pour des fonctions cutofff ≤ 0, par exemple (de boules petites), puis on ajoute une constante positive petite pour avoirf +c courbure prescrite d’une m´etrique conforme telle quef + c = c > 0 = boule et f + c est n´egative dans un autre ensemble. Alors on remarque que la ou la solution est minimum, alors elle est minor´ee par une constante strictement positive. On vient de construire un exemple de solutions minor´ees par une constante positive, qui est un exemple de solutions en dimension 6 pour la quelle le minimum est minor´e par une constante positive et est solution de Yamabe dans la boule ouf + c = c > 0. (le minorant estm = 1/(1 − c), si on suppose, 0 ≥ f ≥ −1, par exemple,( on peut remplacer −1 par − ¯M < 0 quelconque dans 0 ≥ f ≥ − ¯M ), utiliser l’´equation et le fait qu’en P point minimum de la solutionu, ∆u(P ) ≤ 0).(Journal of Functional Analysis).
Pour la dimension 4 et l’´equation de la courbure prescrite, il suffit de suivre le meme chemin que pour la dimension 6, en remplacantc > 0 par une fonction positive voisine de c, c > 0 petite, alors les solutions sont minor´ees par une constantem > 0. (Voir Travail de These dans le cas plat (JMPA) et Journal of Mathematical Analysis and Applications).
Quand la vari´et´e a un bord :
En dimension 5, il y a des solutions voir l’article de Z-C. Han et YY.Li, l’operateur doit etre de type positif, ce qui est possible si on consid`ere des boules g´eodesiques, la courbure moyenne est alors presque constante et positive (proche de de la sph`ere), on choisit la courbure scalaire et de Ricci non constantes pour avoir un point non ombilique.(Journal of Functional Analysis).
2) Pour l’´equation du type Yamabe : siR = (n − 2)
4(n − 1)SgavecSgest la courbure scalaire etg la metrique.
Quand la vari´et´e est compacte sans bord, `a partir de la dimension 4, il y a les r´esultats d’Aubin pour un op´erateur du type (∆ + a, avec a < R en un point).(Bulletin des Sciences Math´ematiques).
Quand la vari´et´e a un bord, `a partir de la dimension 5, il y a les r´esultats de Holcman pour un op´erateur du type (∆+a, avec a < R en un point interieur).(Bulletin des Sciences Math´ematiques).
Il y a l’article de Hebey-Vaugon (nodales solutions, 1994). (Bulletin des Sciences Mathema-tiques et Mathematica Aeterna).
3) Pour l’´equation du type courbure scalaire prescrite :
Dans le cas sous-critique tendant vers le critique, il y a des solutions par la m´ethode variation-nelle car l’injection de Sobolev est compacte dans ce cas.(Travail de Th`ese).
4) Dans le cas radial, il y a des exemples dans l’article de C.C.Chen- C.S. Lin, propositions 4.2 et 4.3 (de : Comm. Pure. Applied. Math. 1997). avec des courbures prescrites de la forme V = 1 − Krρ,1 < ρ < n − 2. (Voir travail de These, pour les fonctions radiales).
Il y a les r´esultats de Brezis-Nirenberg dans le cas d’un ouvert de l’espace euclidien en dimen-sion≥ 4, pour une perturbation non lin´eaire sous critique de l’´equation de Yamabe dans le cas d’un ouvert plat. (Voir travail de Th`ese).
Pour l’equation de la courbure scalaire prescrite en dimension 4, on en a parl´e ci-dessus, il suffit de considerer une courbure prescrite changeant de signe de telle mani`ere que les solutions soient positives et minor´ees et se placer sur la partie positive de la courbure prescrite. (Voir Travail de These dans le cas plat (JMPA) et Journal of Mathematical Analysis and Applications). Pour la dimension 2, les estimations a priori ont pour but de prouver l’existence de solutions par la m´ethode du degr´e topologique de Leray-Schauder, comme dans De Figueiredo-Lions-Nussbaum, une des conditions est que l’operateur compactM est nulle en 0, ici cette condition n’est pas satisfaite car il y a une exponentielle. Cette m´ethode peut s’appliquer `a l’exponentielle, et aux problemes des valeurs propres non-lineaires.(Crandall-Rabinowitz prouvent l’existence d’une solutionuλstable et la condition de stabilit´e implique que(uλ) est born´ee dans C0. De Figueiredo-Lions-Nussbaum prouvent en utilisant le degr´e topologique qu’il y a une deuxieme
solutionvλen utilisant le fait que(uλ) est born´ee dans C0, l’estimation a priori etait deja donn´e dans la condition de stablit´e de Crandall-Rabinowitz, par contre on ne sait pas si(vλ) est born´ee dansC0, c’est en partie l’objet de ce qu’on fait ici, borner les solutions et en particulier(v
λ)). D’autre part ce cas particulier (l’exponentielle) peut induire l’existence de solutions par la m´ethode des sur et sous solutions (voir Dupaigne), en fait ici on s’interesse aux estimations a priori des solutions d’´equations du type Gauss. On a une compacit´e `a la Gromov des suites de m´etriques ou bien un theoreme de compacit´e de fonctions (Ascoli ou d’autres theoremes, voir les livres de Brezis et Aubin, dansLp, fonctions born´ees dans une certaine topologie,Lp, H1par exemple et donc compacit´e faible) ou si on revient aux EDP, des estimations a priori elliptiques. Pour les dimensions≥ 3, on a des in´egalit´es du type Harnack, une particularit´e de ces ´equations `a exposant critique de Sobolev comme pour les fonctions harmoniques. C’est justifi´e par l’ab-sence de conditions au bord.
Dans le cas d’une vari´et´e compacte sans bord, un des but des estimations du typesup × inf est de prouver qu’il n’y a que des blow-up isol´es simples pour les solutions de ces ´equations et donc elles convergent vers uns fonction semblable `a la fonction de Green, le Th´eor`eme de la masse positive s’il est vrai tout le temps, permet de dire que le terme constant est positif, alors que par l’identit´e de Pohozaev l’integrale d’une certaine quantit´e serait `a la fois positive ou nulle (blow-up isol´es simples) et strictement n´egative (masse positive), ce qui n’est pas possible. Donc il n’y a pas de blow-up, c’est-`a-dire que les solutions sont born´ees dansC2 et par un argument d’homotopie et degr´e topologique le degr´e serait non nul ce qui veut dire qu’il y a des solutions.(Un r´esultat d’existence par le degr´e topologique et par consequent l’estimation a priori).
L’existence de solutions peut etre connu par la m´ethode variationnelle, on se borne `a consid´erer que ce travail `a pour but de chercher des estimations a priori et en particulier des inegalit´es du type Harnack, propri´et´es de ces solutions `a exposant critique de Sobolev.
On suppose que les solutions existent, ce qui est possible dans les diff´erents cas consid´er´es et on prouve certaines propri´et´es qualitatives de ces ´equations. (Convergence de m´etriques, `a la Cheeger-Gromov, estimations a priori, compacit´e de solutions, in´egalit´es du type Harnack, r´esultat d’unicit´e, equilibre et stabilit´e d’un systeme). Du point de vue de la physique, de la chimie, de l’astronomie, de la biologie, amplitude de ”fonction d’onde” et des emissions, non-agr´egation de cellules (non-concentration de cellules) (amibes). Ondes, gazs, combustion, equi-libre gravitationnel d’´etoiles, non-concentration d’amibes. Voir les articles de Crandall et Rabi-nowitz, De Figueiredo-Lions-Nussbaum, Chen-Li, Lin-Ni-Takagi.
Concernant les vari´et´es qu’on considere, elles peuvent etre non conform´ement plates, il y a quelques exemples de ces vari´et´es.
1) Les vari´et´es de dimension 1 et 2 sont localement conform´ement plates.
2) Les sph`eres, sommes connexes de sph`eres, produit de sph`eres et d’un cerle, l’espace hyper-bolique et le produit d’une variete de courbure sectionelle constante par un cercle, sont confor-mement plates.
Par le revetement, les projectifs r´eels sont conformement plats car de courbure sectionelle constante egale a 1 (Voir le livre d’Hebey, ´egalit´e des courbures sectionnelles, quand on a un revetement riemannien). Les projectifs de dimension paire sont non orientables, les projectifs de dimension impaire sont orientables (voir le livre de Lafontaine).
3) Il existe une vari´et´e compacte de dimension 3, non conform´ement plate, plus precisement, elle ne possede pas de structure localement conformement plate. (William Goldman).
Si on considere une variete de courbure sectionelle non constante et son produit par un cercle, alors la variete obtenue est non localement conformement plate.
4) Le projectif complexe de dimension 2 complexe donc de dimension 4 r´eelle est non confor-mement plat (m´etrique de Fubini-Study), il est d’Einstein et de courbure scalaire constante posi-tive.
5) Les surfaces K3, non conform´ement plat de dimension 4 r´eelle. Il est d’Einstein de constante 0.
6) Le produitS2 × S2 est de dimension 4 r´eelle et non conformement plat, d’Einstein, de courbure scalaire constante positive.
7) Les projectifs complexes de dimensions> 2, non conform´ement plat.(M´etrique de Fubini-Study).
8) Maintenant, si on veut que la courbure scalaire soit, -1, 0, 1, on utilise les proc´ed´es suivant : 3
-On construit des vari´et´es produit `a partir des vari´et´es pr´ec´edentes, elles sont alors soit plates soit non plate (il suffit qu’une ne soit pas plate, voir le Hebey).
-On utilise les sommes connexes, en se r´ef´erant `a un article de Dominic Joyce, sur les diff´erentes combinaisons possibles des sommes connexes donnant des vari´et´es de courbures scalaire -1, 0, 1. On construit de telles vari´et´es et elles peuvent etre plates ou non plates.
Exemple en dimension 4, cas non plat :
SoitS2 la sphere de dimension 2. On consid`ere une surface de genre grand, 2, la somme connexe de deux ToresT2♯T2, on r´esout l’equation de la courbure prescrite constantek = −1, c’est fait dans le livre d’Aubin. On peut supposer qu’il existe une surfaceS de courbure scalaire constante (et donc sectionelle constante−3/2) ´egale `a -3 par exemple. On consid`ere le produit S2× S, il est non conform´ement plat par le th´eor`eme dans le livre d’Hebey (courbures sectio-nelles constantes non oppos´ees) et de courbure scalaire -1. On peut alors appliquer le proc´ed´e d’existence de solutions pour l’´equation de la courbure prescrite en dimension 4 minor´ees par m > 0 (pour la fonction cutoff nulle au voisinage du point P ou W eyl(P ) 6= 0, est non nul). On obtient alors des solutions de l’´equation de la courbure prescrite en dimension 4 minor´ees par une constante positive et sur une vari´et´e non localement plate.
Exemples en dimensions 5 et 6, cas non plat :
On peut faire la meme chose pour l’´equation de Yamabe en dimension 5 et 6. On considere S1× S2× S et S1× S1× S2× S qui sont non plate et de courbure scalaire -1, ici, S1 est le cercle unit´e.
Un autre exemple en dimension 5, cas non plat :
SoitS3 la sphere de dimension 3 (courbure scalaire 6 et courbure sectionelle 1) et S une surface compacte de courbure scalaire -6 (donc sectionelle -3). Alors le produitS3× S est non localement plat (voir theoreme du livre d’Hebey, courbures sectionelles constantes non opposees) et de courbure scalaireR = 0. En considerant une fonction changeant de signe et cutoff f = ǫ > 0 dans une petite boule centree en P tel que W eyl(P ) 6= 0 et f < 0 ailleurs telle queR f < 0 (ǫ petit). On peut appliquer le theoreme de Bismuth en dimension 5 d’existence de solutions de l’equation de la coubure prescritef changeant de signe (avec une courbure scalaire nulle sur une variete compacte). Ici on n’a pas forcement un minorant du minimum des solutions.
On a un exemple de solutions de l’equation de Yamabe sur{f = ǫ > 0}, sur une variete non conformement plate de dimension 5 ou on n’a pas forcement un minorant des solutions.
Un autre exemple en dimension 5 :
Un theoreme dans le livre d’Aubin dit que si on considere une vari´et´eM de dimension n ≥ 3 non conformement diffeomorphe a la sphere (en particulier non localment conformement plate), alors il existek > 1, ne dependant que de la vari´et´e M , tel que toute fonction f > 0 verifiant :
sup
M f ≤ k infM f,
est courbure scalaire d’une metrique conforme. On applique cela `aM = S1× P2(C) (le cercle fois le projectif complexe de dimension 2,M est non localement conformement plate par le theoreme dans le livre d’Hebey, de courbure scalaire constanteR > 0, dim(M ) = 5), et, f une fonction cutoff telle que1 + 2ǫ
k ≤ f ≤ 1 + ǫ et f ≡ 1 + ǫ dans une boule centree en P telle queW eyl(P ) 6= 0, ici, S1est le cercle unit´e.
Ici, on ne sait pas minorer les solutions.
Un autre exemple en dimension 6, cas non plat :
SoitS1le cercle unit´e etS3la sphere de dimension 3 (courbure scalaire 6 et courbure sectio-nelle 1) etS une surface compacte de courbure scalaire -6 (donc sectionelle -3). Alors le produit S3×S est non localement conform´ement plat (voir le livre d’Hebey). On prend alors S1×S3×S qui est une vari´et´e de dimension 6 non localement conform´ement plate (voir le livre d’Hebey, dans un produit, des qu’une des vari´et´es est non plate, la vari´et´e produit est non plate) et de cour-bure scalaire 0. On applique le r´esultat d’Aubin-Hebey et Bismuth, pour les vari´et´es compactes non localement conform´ement plate de dimension 6 ayant une courbure scalaire nulle. Comme l’exemple en dimension 5. En considerant une fonction changeant de signe et cutofff = ǫ > 0 dans une petite boule centree enP tel que W eyl(P ) 6= 0 et f < 0 ailleurs telle queR f < 0 (ǫ petit). On peut appliquer le theoreme d’Aubin-Hebey et Bismuth en dimension 6 d’existence
de solutions de l’equation de la coubure prescritef changeant de signe (avec une courbure sca-laire nulleSg = 0 sur une variete compacte (M, g)). Ici on n’a pas forcement un minorant du minimum des solutions. Ici, on ne peut pas forc´ement minorer le minimum et sur une vari´et´e non-localement conform´ement plate. (voir le livre d’Aubin).
Exemple en dimension 4, cas plat et equation de la courbure scalaire prescrite :
SoitS4la sphere de dimension 4. On considere une variete de courbure scalaire -1 si elle est conformement plat, c’est fini, on utilise le meme procede que precedement dans le cas non plat. Si cette variete est non plate, par exempleS2× S du cas non plat, on utilise la somme connexe avec la sphereS4de Dominic Joyce ; on obtient une variete de courbure scalaire -1 dans le quelle (la partie deS4 est plate, car on a soit la metrique deS4soit une fonction fois la metrique de S4 et le tenseur de Weyl reste nul car on a un invariant conforme). On resout le probleme de la courbure prescrite pour une fonction cutoff nulle au voisinage du pointP ou la metrique est plate et negative ailleurs puis on rajoute une fonctionC0,1. Alors on a des solutions minorees et comme la metrique est plate au voisinage deP et que c’est l’equation de la courbure prescrite, en faisant un changement de metrique conforme, on obtient l’equation sur un ouvert de R4avec des solutions minorees.
Davis, M, W, (1985),(Closed orientable hyperbolic 4-manifold), montre l’existence d’une vari´et´e compacte sans bord orientable hyperbolique de dimension 4, c’est-a-dire de courbure sectionelle constante -1, (en fait, comme pour le Tore, ces varietes sont obtenues par un revete-ment riemannien du au quotient de l’espace hyperbolique par un groupe discret d’isometries). Donc elle est localement conformement plate et de courbure scalaire constante strictement ne-gative. On peut utiliser le meme procede d’existence de solutions minor´ees par une constante positivem > 0 et solutions de l’equation de la courbure prescrite. Par un changement de me-trique conforme on se ramene a un ouvert de l’espace R4.
D’autres exemples en dimension 4 : (voir la section 5 pour la formulation en dimension 4)
Ici on regroupe les deux exemples ”plat” et ”non plat” pr´ec´edents en un seul exemple. La vari´et´e (par exemple)M = S × S2de metriqueg et courbure scalaire Sg= −6 dans le cas non-plat. (P tel que W eyl(P ) 6= 0).
La vari´et´e (par exemple)M = (S × S2)♯S4ouM = Davis M anif old, dans le cas plat.(de metriqueg et courbure scalaire Sg= −6 (on multiplie la metrique par un scalaire adequat)). (P tel queW eyl(Q) ≡ 0 dans une boule Br(P )).
a) Pour unm > 0 il existe dans le livre d’Aubin des exemples de (u, V ) solutions de l’´equation de la courbure scalaire prescrite en dimension 4 pour unV (Lipschitzien) verifiant : ||∇V ||∞= o(1) × mc( ¯M )pc( ¯M )
32e2√2 ≤ o(1) ×
c( ¯M )pc( ¯M )
32e2√2 (infMu). (On suppose ici minMu ≥ m > 0 etM devient la boule Br(P )). (la fonction cutoff − ¯M ≤ f ≤ 0 devient − ¯M < − ¯M + c ≤ f + c ≤ c, c = c( ¯M ) > 0 assez petit (c < 1 et ¯M → +∞)). (On aura c( ¯M )/2 ≤ V ≤ c( ¯M ) et inf u ≥ 1/√M ). ( si c( ¯¯ M ) → 0, on remplace V par W = V/c( ¯M ) et u par v =pc( ¯M )u) .
b) En faisant varierm, qui devient mi → 0 (mi > 0, on peut prendre mi =pc( ¯M )/ √ ¯
M avec ¯M → +∞), on exhibe deux suites (ui, Vi) (qui deviennent (vi, Wi) si c( ¯M ) → 0) solutions de l’equation de la courbure scalaire prescrite avec||∇Vi||∞= o(1) × mi≤ o(1) × (infMui). Sauf qu’ici on ne sait pas siminMui→ 0 ou minMui≥ m′ > 0.
c) Le point b) pr´ec´edent dit qu’on a deux suites(ui, Vi) v´erifiant les deux contraintes sur u et V avec le fait qu’on ne sait pas minorer le minimum des solutions par une constante m′ > 0. C’est l’exemple voulu pour cette formulation en dimension 4 avec deux contraintes suru et V . (les deux contraintes sont : 1) l’equation de la courbure scalaire prescrite en dimenson 4, verif´ee paru > 0 relativement a un V Lipschitzien et entre deux constantes positives uniform´ement, 2) la deuxieme contrainte est entre||∇V ||∞ etinfMu ; ||∇V ||∞ ≤ 3a
√ a
32e2√2infMu). (Un point essentiel est d’exhiber un exemple de fonctions(ui, Vi) verifiant les deux contraintes sans rien savoir sur le minimum des solutionsui, c’est ce qu’on a fait jusqu’ici).
Le termeo(1) sert a attenuer l’effet de la presence des constantes universelles et du change-ment de metrique conforme dans le cas plat quand on se ramene `a un ouvert de R4.
Exemples en dimension 3, cas non plat et plat
SoitMϕle Torus bundle de William Goldman. Cette variete compacte connexe orientable ne possede pas de structure localement plate. C’est `a dire que toute metriqueg sur cette vari´et´e est non localement plate. D’apres Aubin, il existe une metriqueg1de courbure sclaireSg1 = −1 et
a partir de cette metrique, pour toute fonctionf strictement negative quelque part, il existe une metriqueg2telle queSg2 = f . Il suffit de prendre f changeant de signe.
Comme on peut resoudre le probleme de la courbure prescrite avecH une courbure prescrite cutoff (autour deP tel que Cg2(P ) 6= 0, en dimension 3, le tenseur de Weyl est nul, on prend le
tenseur de Cotton,Cg2 caracterise la courbure et c’est un invariant conforme), etH ≤ 0, pour
une courbure scalaire de depart egale af relativement a la metrique g2, puis on rajoute aH une constantec > 0 ou une fonction k > 0, dans ce cas il se peut qu’on ne puisse pas minorer les solutions, car le pointQ ou le minimum est atteint peut etre tel que f (Q) ≥ 0.
Remarque : Pour trouver des solutions de l’equation de la courbure prescrite, on considere, f ≤ 0 cutoff alors ∃ g2telle queSg2 = f , puis on resout le probleme de la courbure prescrite
avecF ≡ −1, c’est fait dans le livre d’Aubin, de plus la solution u1est unique. On considere la metriqueg3= u4/(n−2)1 g2, sa courbure scalaire est−1. On resout le Probleme de la courbure prescrite (par les sous et sur solutions, c’est fait dans le livre d’Aubin), pour une courbure pres-criteH cutoff, comme on l’a dit precedemment, puis on rajoute une constante positive c ou une fonction positivek. Dans ce cas les solutions ucsont minor´ees parm > 0. Donc les solutions au final sont du typeu1ucsont minor´ees. Ce qu’on vient de voir c’est qu’il existe des solutions et elles sont minor´ees parm > 0 de :
−∆u + fu = (H + c)uN −1, u > 0, (E c)
Par contre ce qu’on ne sait pas est que si toutes les solutions sont minorables parm > 0. Soit,u une solution de (Ec) alors elle n’est pas forcement minorable, car le point Q ou le minimum est attient peut etre tel quef (Q) = 0.
Dans le cas plat, il suffit de considererS1× S1× S1qui est plat de courbure scalaire nulle (produit d’un Tore de courbure sectionelle nulle et d’un cercle, avec la metrique produit) et utiliser le theoreme du livre de Hebey, comme ce qu’on a fait pour la dimension 5. (Theoreme de Schoen-Escobar d’existence de solutions changant de signe).
Un exemple en dimension 3 :
On resout le probleme de la courbure prescrite sur la sphereS2de dimension 2 avec la courbure prescriteR = 1+(< x|e >)2, R(−x) = R(x), (c’est un resultat de Moser, voir le livre d’Aubin), R est non constante et donc la courbure sectionelle associ´ee est non constante.
On considere le produitM3= S1× S2avec la metrique precedente surS2de courbure sectio-nelle non constante. DoncM3 est non localement conformement plate par un resultat d’Hebey (courbure sectionelle deS2non constante).
On utilise le theoreme dans le livre d’Aubin, comme dans l’exemple 3 en dimension 5. (sup f ≤ k inf f , k > 1). On choisit f > 0 telle ∇f non born´e, tendant vers une fonction Heavside, car un theoreme de YY.Li-M.Zhu dit que tout est born´e, sif est C2et en particulier les solutions sont minor´ees).
Dans ce cas on n’a pas forcement un minorant des solutions de l’equation de Yamabe dans la boule ouCg(P ) 6= 0, (tenseur de Cotton), sur une variete non conforment plate.
On utilise le resultat d’Escobar-Schoen en dimension 3, pour une fonctionf = ǫ > 0 cuttof changeant de signe ou bien unef une fonction changeant de signe ayant un point critique en P point maximum def tel que Cg(P ) 6= 0. (voir le livre d’Hebey).
Dans ce cas aussi, on ne peut pas minorer les solutions sur une variete compacte non locale-ment conformelocale-ment plate de dimension 3.
Ici aussi, on ne sait pas minorer les solutions.
Exemples en dimension 3 : equation du type courbure scalaire prescrite :
SoitM la vari´et´e de dimension 3 de William Goldman. Elle ne possede pas de structure lo-calement conform´ement plate. D’apres Kazdan-Warner, voir dans le livre d’Aubin, cette vari´et´e possede une metriqueg de courbure scalaire Sg= −1 et elle est non localement conform´ement
plate. On prend− ¯M ≤ f0 ≤ 0 une fonction cutoff nulle autour de P un voisinage non lo-calment conform´ement plat (tenseur de Cotton non nul). On r´esout le probleme de la cour-bure scalaire prescrite avecf0courbure prescrite. Apres, on sait qu’il existe une voisinage dans Cα, α ∈]0, 1[ dans lequel on peut resoudre le probleme de la courbure prescrite. On prend par exemple c( ¯M )2 ≤ f ≤ c( ¯M ) et ||∇f||∞ ≤ kc( ¯M ), k ≥ 0, 0 < c( ¯M ) < 1, et dans Br(P ). Apres, voir dans le livre d’Aubin, un theoreme de Kazdan-Warner ( par sur et sous solutions), l’equation∆u + au = hu5 possede une solution avec 1
8Sg = −1/8 ≤ a < 0 et h ≤ f, (∆ = −∇i∇
i). On prend alors−1/8 ≤ a ≤ −1/16 et h = f − ηc( ¯M )/4 ≤ f, avec η une fonc-tion cutoff dansBr(P ), positive ou nulle, egale a 1 dans Br/2(P ) et nulle en dehors de Br(P ). On obtient alors,c( ¯M )/4 ≤ h ≤ 3c( ¯M )/4 et ||∇h||∞ ≤ kc( ¯M ). Si c( ¯M ) → 0, on remplace h par W = h/c( ¯M ) et u = uM¯ parvM¯ = [c( ¯M )]1/4uM¯. La solutionv = vM¯ est minor´ee par k0[c( ¯M )]1/4/(1 + ¯M )
1/4
→ 0 si ¯M → +∞ (k0 > 0). Tout cela dans une boule Br/2(P ) avec Cg(P ) 6= 0, Cgtenseur de Cotton.
a) On pouvait prendreM = M3♯(S × S1) la somme connexe de Dominic Joyce (au final on obtient une vari´et´e de courbure scalaire −1 avec une partie non plate), de la vari´et´e non localment conform´ement plateM3= S2× S1de l’exemple precedent et de la vari´et´e localement confrom´ement plateS × S1avecS une surface de courbure −1.
b) On pouvait prendreM = S × S1avecS une surface de courbure scalaire non constante et < 0 (on resout l’equation de la courbure prescrite sur une surface de courbure −1 et la courbure prescrite une cutoff (et< 0) par exemple, la nouvelle metrique conforme est de courbure la fonction cutoff non constante). D’apres le livre de Hebey, elle est non conform´ement plate.
c) Dans le cas plat, on prendM = S × S1,S une surface de coubure scalaire −1.
Exemples en dimensionn ≥ 4 et n = 4 : equation du type Yamabe :
On s’inspire de l’exemple precedent. On a de la meme maniere des exemples en dimensions n ≥ 4 (n > 3) pour des equations du type Yamabe. En dimension 4, du type ∆u + au = u3, u > 0 et 1
6Sg = −1/6 ≤ a < 0 qui peuveut etre minorables et non necessairement minorables. La vari´et´e estM = S × S2 comme dans le premier exemple en dimension 4, non localement conformement plate ou,M = (S × S2)♯S4(de Dominic Joyce) ouM = DavisM anif old dans le cas plat.
Exemples en dimensionsn ≥ 3, n = 3 : equation de courbure scalaire prescrite et du type courbure scalaire prescrite
On peut prendre l’exemple de Hebey-Vaugon (nodales solutions, 1994), pour les equations : ∆guǫ+ a(x)uǫ = f uǫN −2uǫ,f > 0, avec la condition au bord uǫ = λǫh, h 6≡ 0 et λǫ > 0. On peut prendreuǫ≥ 0 dans la preuve de Hebey-Vaugon, si h ≥ 0 (h une fonction cuttof autour dex0 ∈ ∂Ω, par exemple). Par le principe du maximum uǫ> 0 (∆g = −∇i(∇i), N = n−22n et ∆g+ a coercif, si n = 3, on peut prendre par exemple, Sg≡ 1 et a ≤ 18Sg=18).
(En ecrivant dans la fonctionnelle de Hebey-Vaugon,J(u) = G(u + ˜h) −R
Ω|∇gh|˜2dVg, cela revient `a prendre l’inf suru ∈ W01,2(Ω) avec u + ˜h ≥ 0. On a si uα,qest un minimiseur alors vα,q= |uα,q+ ˜h| − ˜h est aussi un minimiseur avec vα,q+ ˜h ≥ 0.).
On peut considerer sur une vari´et´e compacte sans bordM , un point P tel que, Cg(P ) 6= 0 (n = 3), W eyl(P ) 6= 0(n ≥ 4), cas non plat, ou Cg(Q) ≡ 0 (n = 3), W eyl(Q) ≡ 0(n ≥ 4), Q ∈ Br(P ) avec r ≤ injg2(M), cas plat, avec∆ + 4(n−1)n−2 Sg coercif et puis prendre, Ω = expP−1(Br/2(P )) et ˜g = exp∗P(g) et a ≤ 4(n−1)n−2 Sg˜. Par exemple pourn = 3, M = S2× S1 dans le cas plat etM = S2×S1avec une metrique de courbure sectionnelle> 0 et non constante surS2pour le cas non plat.
Il y a aussi l’exemple de YY.Li et M.Zhu en dimension 3 pour l’equation du type courbure scalaire prescrite sur une variet´e compacte sans bord de dimension 3 non conf.diffeom. `a la 3-sphere.
Exemples en dimension 4, cas plat et non plat
On prend une surface de RiemannS de courbure scalaire R = −2 (donc sectionnelle −1) et la sphereS2de courbure scalaire 2 (donc sectionelle 1). Le produitS2× S est conformement plat et de coubure scalaire nulle, par le theoreme du livre d’Hebey (courbure sectionnelles constantes oppos´ees). On peut appliquer le Theoreme d’existence de solutions pour des courbures prescrites
changeant de signe en dimension 4, sur une variete compacte de courbure scalaire nulle (Resultat d’Escobar-Schoen). On pouvait prendre aussi, le produit de 2 Tores, muni de la metrique produit (courbures sectionelles nulles donc oppos´ees), T2× T2de coubures scalaire nulle. Ici, on ne sait pas minorer les solutions.
Dans le cas non plat, il suffit de considerer la surfaceK3 munie d’une metrique non localement conformement plate, de courbure scalaire nulle. On fait la meme chose que dans le cas plat. Ici, on ne sait pas minorer les solutions.
On peut prendreP2(C) de dimension reelle 4 non localement conformemnt plat et de courbure scalaire constante positive, on applique le theoreme d’Aubin comme en dimension 5, dans le cas d’invariant de Yamabe positif. Ici aussi, on ne sait pas minorer les solutions.
Exemples en dimensionn ≥ 3, cas plat
Sur le Tore Tn, n ≥ 3, il existe une metrique plate (voir, Gallot-Hulin-Lafontaine) et donc de courbure scalaireR = 0. Le theoreme dans le livre d’Hebey d’existence de solutions pour des courbures scalaires prescrite changeant de signe et d’integrales negative, sur une vari´et´e com-pacte de courbure scalaire nulle, n’est pas forccement vrai, sauf en dimensions 3 et 4 (Escobar-Schoen) et en dimension 5 par Bismuth avec des conditions supplementairers, dans le cas non conformement plat.
Par contre dans le cas conformement plat (ce qui nous interesse ici), ce theoreme est vrai en prenant des fonctions cutoff changeant de signe, c’est un theoreme d’Escobar-Schoen.
On pouvait resoudre une equation differentielle sur une boule de l’espace euclidien avec ou sans condition au bord (attention a la formule de Pohozaev).
Par exemple, dans des couronnes, Kazdan-Warner montrent l’existence de solutions avec conditions de Dirichlet.
Il y a aussi le resultat de Coron dans des domaines `a trous, on peut modifier un peu le domaine pour avoir une infinit´e de solutions pour une infinit´e de domaines `a trous, par exemple on enleve des disques.
On a aussi les solutions de Caffarelli-Gidas-Spruck. Ici, on ne sait pas minorer les solutions.
Exemple en dimension 2 pour l’equation avec singularit´e au bord : sur la boule unit´e.
Ici,∆ = −(∂11+ ∂22). Soitµ ≥ 0 tel que :
µ = inf{ Z Ω|∇u| 2dx, Z Ω V eu |x − x0|2αdx = 1, u ∈ H 1 0(Ω)} Ici,Ω = B1(0), la boule unit´e.
1) On prouve que cet ensemble est non vide :
On considere,uβ(r) = β(1 − r2) et 0 < ǫ ≤ V ≤ 2ǫ. On prend d’abord la fonction nulle u ≡ 0. Alors, on choisit ǫ > 0 petit tel que :
Z Ω V eu/|x − x0|2αdx ≤ 2ǫ Z Ω1/|x − x 0|2αdx < 1. On utiliseuβ, on utilise les coordonnes polaires :
Z Ω V eu/|x − x 0|2αdx ≥ Z B1(0) V euβ/|x − x 0|2αdx ≥ 2πǫ 22α Z 1 0 reβ(1−r2 )dr
Donc en prenantβ grand, on a : Z Ω V eu/|x − x0|2αdx ≥ 2πǫ 22α+1βe β (1 − e−β) → +∞. Donc, il exsiteβ0≤ βmax= βmax(ǫ, α) tel que :
Z
Ω
V euβ0/|x − x
0|2αdx = 1. Doncµ est bien definit.
2) En utilisant une suite minimisante et l’injection compacte de Moser-Trudinger dansL1.µ est atteint et par les multiplicateurs de Lagrange on a l’existence deu et λ tels que :
∆u = λV eu/|x − x 0|2α, u ∈ H01, Z Ω V eu/|x − x 0|2αdx = 1. u est reguliere. Si λ ≤ 0 par le principe du maximum u ≤ 0 et donc :
Z
Ω
V eu/|x − x0|2αdx < 1. Ce n’est pas possible.
Doncλ > 0 et u > 0. En utilisant la premiere fonction propre du Laplacien ϕ1 (dans le probleme variationel) etuβ0on aµ ≤ C(βmax) et λ ≤ C(βmax, ǫ, ϕ1) = C(α, ǫ, ϕ1). Puisque
βmax est uniformement born´e, par l’injection compacte de Moser Trudinger,R eui converge et donc les solutions sont uniformement born´ees (ici on fait varierV ).
On vient de construire une solution du probleme variationel avec singualrit´e au bord et ces so-lutions( puisqueλ est uniform´ement born´e) verifient des conditions du probleme du type Brezis-Merle avec bornes uniformes. Ceci dans le cas d’unǫ > 0 fix´e et petit.
Dans le cas o`u on fait tendreǫ > 0 vers 0. on a
Le termeλ × ǫ et donc λV sont unifrom´ement born´es et positifs (il suffit d’utiliser la premiere fonction propre du laplacienϕ1pour eliminer le termeRΩeu/|x − x0|2αϕ1dx) et en utilisant la contrainteR
Ωe
u/|x − x
0|2αdx ≥ 1/2ǫ → +∞ quand ǫ → 0.
Finalement, on a deux exemples, un avec volumes born´es (energies born´ees) et un avec vo-lumes tendant vers l’infini (energies tendant vers l’infini) etλV uniformement born´e. Il est clair que quand le volume tend vers l’infini (l’energie tend vers l’infini) lesupΩu tend vers l’infini. Il suffit de supposer les volumes born´es (energies born´ees).
Pour construire un exemple avec volume born´es et courbures positives et uniform´ement born´ees avec singularit´e au bord mais avecsup divergeant, on part du contre exemple de Brezis-Merle (la singularit´e estx0= 0 et Ω la boule unit´e centr´ee en (1, 0)) :
∆uǫ= fǫ, avec condition de Dirichlet. (∆ = −(∂11+ ∂22)). On pose alors,Vǫ= |x|2αfǫe−uǫ. Alors on a :
∆uǫ= Vǫ e uǫ
|x|2α, avec condition de Dirichlet.
On remarque que quandx ∈ Bǫ(aǫ), |x| est de l’ordre de dǫ= |aǫ|, car dǫ= ǫβavecβ < 1. Puis le support defǫest dansBǫ(aǫ), donc :
||Vǫ||∞≤ Cd2αǫ 1 ǫ2 ǫ dǫ 2A
Ceci est la premiere condition.
Pour la deuxieme condition on a aussi un facteurd−2α
ǫ , danswǫquandx ∈ Bǫ(aǫ) et aussi, en distinguant le cas{x, |x − aǫ| ≥ dǫ/2}, dans ce cas,
dǫ
|x − aǫ| ≤ 2 et le cas, {x, ǫ ≤ |x − aǫ| ≤ dǫ/2}, dans ce cas, |x| ≥ dǫ/2 par l’inegalit´e triangulaire, car |aǫ| = dǫ. On obtient alors, la condition de borne uniforme deR
Ω euǫ |x|2αdx, d−2αǫ ǫ2 dǫ ǫ 2A ,
Qui doit etre constant. Ce qui veut dire que l’exposant deǫ, dans cette quantit´e doit etre nul. Etdǫ= ǫβavecβ = A − 1
A − αconvient carα ∈ (0, 1).
Dans le cas regulier (α = 0), si on suppose 0 < a ≤ V ≤ b, la premiere condition (sur la fonction nulle) estb < 1/π. Par les memes arguments que precedemment on a λ × a ≤ λ1≤ 6, (pour voir queλ1≤ 6, on utilise la definition de λ1comme minimum d’un probleme variationel calculant le quotient pour la fonction expliciteu = 1 − r ∈ H1
0). 9
CommeR ΩV e
u = 1, on aR ΩλV e
u
= λ ≤ a6 et commea peut etre choisit arbitrairement inferieur `ab < 1/π, on peut choisit a tel queR
ΩλV e
udx < 24π. Ainsi, on a exhib´e dans le cas regulier des suites de volumes born´es et tel queλV born´e et positif etR
ΩλV e
u< 24π. Comme βmaxdepend dea qui est fixe, βmaxest fixe et donc par l’injection compacte de Moser-Trudinger, la suite dessupΩu est born´ee.
On pouvait prendre les fonctions radiales de la formeui(r) = log 8c2 i (1 + c2 ir2)2 −log 8c 2 i (1 + c2 i)2 , ((ci) born´ee), nulles au bord et de volume fini et de masse ≤ 8π.
De plus, Brezis et Merle donnent un exemple de suites de volumes born´es et de courbure prescrite positives et born´ees et de masses egales a4πA avec A > 1 quelconque (la masse est definit commem = R
ΩW e
udx, avec W la courbure prescrite et u la solution). Donc on peut choisirA de sorte que la masse, m soit m < 24π, mais supΩu → +∞.
On voit que la condition de borne uniforme sur le volume est vrai dans les deux cas et est necessaire et que pour le deuxieme cas lesupΩu diverge.
De meme que precedemment, commeb peut etre choisit petit, on peut exhiber une suite de volume divergeant dont on connait pas la masse. Par contre en utilisant la suite de fonctions radiales(ui) ci-dessus avec ci → +∞ on a exemple avec volume divergeant et masse ≤ 8π.
Exemple en dimension 2 pour l’equation avec operateur different du Laplacien : sur une boule unit´e.
On part de :
−∆u − ǫ((x1− x01)∂1u + (x2− x02)∂2u) = V eu, −∆u − ǫ(x − x0) · ∇u = V eu,
Avec condition de Dirichlet. Ici,∆ = ∂11+ ∂22.
On utilise les notations du contre exemple de Brezis et Merle. Le domaineΩ est la boule de rayon 1 et de centre x0= (1, 0). On considerezi(par la methode variationnelle), tel que :
−∆zi− ǫi(x − x0) · ∇zi= −Lǫi(zi) = fǫi.
Avec condition de Dirichlet. Par les theroemes de regularite et les injections de Sobolevzi ∈ C1( ¯Ω).
On a :
||fǫi||1= 4πA.
Par un theoreme de dualite de Stampacchia ou Brezis-Strauss, on a : ||∇zi||q ≤ Cq, 1 ≤ q < 2.
On resout :
−∆wi= ǫi(x − x0) · ∇zi, Avec condition de Dirichlet.
Par les estimations elliptiques,wi∈ C1( ¯Ω) et wi∈ C0( ¯Ω) uniformement. Par le principe du maximum :
zi− wi≡ ui. avecuila fonction du contre exemple de Brezis et Merle. On ecrit : −∆zi− ǫi(x − x0) · ∇zi= fǫi = Vie zi. Donc, on a : Z Ω ezi≤ C 1, 10
Et,
0 ≤ Vi ≤ C2, Et,
zi(ai) ≥ ui(ai) − C3→ +∞, ai→ O.
Pour avoir un contre-exemple sur le disk unit´e, on fait une translation dex → x − x0dans le contre-exemple pr´ec´edent.
Remarques sur ce type d’equations :
1-Comme dans le cas du Laplacien, on peut avoir un exemple avec solutions uniformement bornees, par la methode variationnelle (comme dans le cas avec singularite au bord).
2-On peut ecrire ce probleme dans la boule de rayon 1 ou une ellipse et les deux problemes sont differents. Car si on passe de l’ellipse au cercle par une transformation lineaire(y1, y2) = (x1/a, x2/b), le laplacien ne se conserve pas. Si on utilise une tranformation conforme par le theoreme de Riemann, le termex · ∇u ne se conserve pas. Il y a un probleme dans la formule de Pohozaev quand on cherche a savoir si les solutions sont compactes.
Exemple en dimension 2 pour l’equation avec singularit´e d’exposant positif : sur une boule unit´e.
Pour construire un exemple avec volume born´es et courbures positives et uniform´ement born´ees avec singularit´e au bord d’exposant positif, mais avecsup divergeant, on part du contre exemple de Brezis-Merle (la singularit´e estx0= 0 et Ω la boule unit´e centr´ee en (1, 0)) :
∆uǫ= fǫ, avec condition de Dirichlet. (∆ = −(∂11+ ∂22)). On pose alors,Vǫ= |x|−2βfǫe−uǫ,β ≥ 0. Alors on a :
∆uǫ= |x|2βVǫeuǫ avec condition de Dirichlet.
On remarque que quandx ∈ Bǫ(aǫ), |x| est de l’ordre de dǫ= |aǫ|, car dǫ= ǫsavecs < 1. Puis le support defǫest dansBǫ(aǫ), donc :
||Vǫ||∞≤ Cd−2βǫ 1 ǫ2 ǫ dǫ 2A
Ceci est la premiere condition.
Pour la deuxieme condition on a aussi un facteurd2β
ǫ , danswǫquandx ∈ Bǫ(aǫ) et aussi, en distinguant le cas{x, ǫ ≤ |x − aǫ| ≤ dǫ} du cas {x, |x − aǫ| ≥ dǫ}. Pour bornerRΩ|x|2βeuǫdx, il revient de borner : d2βǫ ǫ2 dǫ ǫ 2A ,
Qui doit etre constant. Ce qui veut dire que l’exposant deǫ, dans cette quantit´e doit etre nul. Etdǫ= ǫsavecs = A − 1
A + β convient.
Exemple en dimension 2 pour l’equation avec singularit´e logarithmique : sur une boule unit´e.
La construction de l’exemple est similaire au cas avec singularit´es negatives et positives. Le point essentiel est de borner la quantit´e :
− log(dǫ/2d) × ǫ2× (dǫ/ǫ)2A. Ceci revient a resoudre :
− log(dǫ/2d) × d2Aǫ = ǫ2(A−1).
Et de verifier qu’il est plus grand queǫ. Ici, d = diam(Ω). On considere alors la fonction f (r) = − log(r/2d) × r2A.
Exemple en dimension 2 pour l’equation avec singularit´e logarithmique interieure et poids continu : sur une boule unit´e.
On reprend les notations du premier exemple en dimension 2 avecx0 = 0 ∈ Ω = B1(0), d = dimaetre(B1(0)) = 2. Pour chaque ǫ > 0, il existe λǫ> 0 tel que :
∆uǫ= λǫVǫ 1 − log|x|2d
euǫ.
∆ = −(∂11+ ∂22). On choisit VǫLipschitzien tel que :
0 < ǫ ≤ Vǫ≤ 2ǫ, ||∇Vǫ||∞≤ kǫ, k > 0,
Par exemple,Vǫ= ǫ(1 + r2) ou Vǫ= ǫ(1 + x21) (pour avoir une solution non-radiale). En utilisant la premiere valeur propre et la premiere fonction propre et une integration par parties, on a :0 < λǫ× ǫ ≤ Cλ1,C > 0 independante de ǫ.
Siλǫ× ǫ → k0> 0 si ǫ → 0, en ecrivant Wǫ = λǫVǫ, alorsuǫserait solution d’un probleme variationnel en dimension 2 avec condition de Dirichlet ralativement a0 < a ≤ Wǫ≤ b < +∞ et||∇Wǫ||∞ ≤ A, on aurait la compacit´e de uǫ dansC0 ce qui contredit la condition1 = R
Ω 1 − log|x|2d
Vǫeuǫdx → 0 quand ǫ → 0, car 0 < ǫ ≤ Vǫ ≤ 2ǫ. (On peut utiliser la formule de Pohozaev-Rellich pour borner l’integrale de 1
− log|x|2d
Wǫeuǫet aboutir a une contradiction).
Donc,λǫ× ǫ → 0. On pose alors, ¯Wǫ= λλǫǫ×ǫVǫ.vǫ= uǫ+ log(λǫ× ǫ). On obtient : ∆vǫ= 1 − log|x|2d ¯ Wǫevǫ, 0 < 1 = a1≤ ¯Wǫ≤ b1= 2 < +∞ inf Ω vǫ> −∞, et, inf Ω vǫ= log(λǫ× ǫ) → −∞, avec ǫ → 0,
Pour avoir une infinit´e de solutions, on prend par exemple,Vǫ = ǫ(1 + sr2) avec s ∈ [0, 1] ouVǫ = ǫ(1 + sx21), s ∈ [0, 1]. Les fonctions Vǫ sont Lipschitziennes, les solutionsuǫ sont C2( ¯B
1(0)). La fonction uǫblow-up a l’interieur deB1(0) en au moins un point x0(sinon, elle serait born´ee et convergerait vers0 dans C2( ¯B
1(0)), par les memes arguments que ci-dessus (formule de Pohozaev-Rellich et le fait que||∇uǫ||q ≤ Cq), ce qui contrediraitRΩeuǫ → +∞). Finalement, on a pourR, β0 > 0, maxBR(x0)vǫ ≥ β0 > 0 avec BR(x0) ⊂⊂ Ω. On a aussi par
la formule de Pohozaev-Rellich,R Ω evǫ − log|x|2d dx ≤ C. R ´EFERENCES´
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2. OPERATEURS D’ORDRE2.
1) In´galit´es de Harnack pour les solutions, les sur-solutions, les sous-solutions : ces estimations se font ´a l’aide du proc´ed´e d’it´eration de De Giorgi-Nash-Moser.
2) Existence de solutions : formulation variationelle et th´eor`emes du type Lax-Milgram dans les Hilberts.
3) Existence des solutions pour des EDP elliptiques avec operateur Laplacien : Potentiel New-tonien, regualrit´e en se ramenant ( par soustraction du postentiel Newtonien) aux fonctions har-moniques qu’on sait regulieres par le Theoreme de Weyl (conditions minimalesL1, mais la for-mulation variationelle on sait qu’on a mieux). pour la regularite au bord, on suppose la condition de Dirichlet, alors les fonctions harmoniques (on se ramene a ce cas par soustraction du potentiel Newtonnien) sont prolongebles grace `a la formule de la moyenne qu’on etend `a travers le demi-espace par symetrisation). La regularit´eC2 se fait grace a la regularit´e du noyau Newtionnien (se fait par calcul explicite de derivees sous le signe somme), puis par soustraction, on se ramene aux fonctions harmoniques).
4) On dispose des theoremes d’existence et regularite pour le probleme de Dirichlet pour le Laplacien. Pour le cas d’un operateur elliptique d’ordre 2, on utilise la methode de continuit´e pour prouver l’existence de solutions avec regularite de Schauder. Puis on compare par le prin-cipe du maximum dansW01,2ces solutions regulieres aux solutions obtenues par la formulation variationelle. Si le coefficient devant le terme lineairec ≤ 0, alors le principe du maximum donne l’unicit´e des solutions, d’ou la regularit´e de Schauder, inetreures et sur le bord. Par une alternative de Fredholm on etend au cas ouc non necessairement negatif ou nul.
5) R´egualrit´eW2,pd’Agmon, elles sont font par la methode des quotients differentiels, elles sont interieures et au bord pour des fonctions testsC2
c(Ω) pour la regularit´e interieures (au sens des distributions) et pour des fonctionsC2
0(Ω) ( C2 et nulles au bord) pour la regularit´e au bord. En plus de la methode des quotients differentiels, Agmon utilise l’estimation a priori de fonctions regulieres dansLp, p > 1 (approximations) d’Agmon-Douglis-Nirenberg (obtenue par les noyaux).
Les estimations uniformesW2,ppeuvent etre obtenues (en plus de ce que dit Agmon) par le procede de Calderon-Zygmund, qui consiste a obtenir une estim´eeLppour les derivees secondes a partir de celle du noyau Newtonien. C’est une decompostion en n-cubes de Calderon-Zygmund et l’utilisation du theoreme d’interpolation(L1, L2) → Lp(1 < p < 2) (et par dualit´e Lp, p > 2) de Marcienewicz-Thorin. Puis on ramene l’estimation pour l’operateurL `a une estimation pour un operateur `a coefficient constant comme le Laplacien par exemple.
Les theoremes d’Agmon et de regularite sont utilises dans la construction des fonctions de Green.
3. FONCTIONS DEGREEN.
Le monograph de Druet-Hebey-Robert est assez clair et precis. On donne quelques explica-tions sur les foncexplica-tions de Green et sur le fait que le dernier terme dans la decomposition de cette
fonction est de classeC1. C’est essentielement du au fait que le premier terme est donn´e explici-tement et on utilise une recurrence pour prouver que les termes dela decompostion sont Sobolev et continues en dehors de la digaonale. (Ou bien comme dans le monograph de Druet-Hebey-Robert, on fait la difference des fonctions en deux points et on remarque qu’on a des fonctions Lipschitziennes, Notons comme c’est ecrit dans Ambrosio-Fusco-Pallara,pour pouvoir savoir si une fonction est Sobolev, il suffit qu’on ait des derivees directionelles).
Soit( ¯W , g) une vari´et´e Riemannienne compacte avec ou sans bord. Dans le cas sans bord, on la note(M, g).
SoitH la fonction definie comme dans le livre d’Aubin. Cette fonction ne depend pas de la fonction rayon d’injectiv´e dans le cas d’une vari´et´e compacte sans bord. Elle depend (`a gauche en P) du rayon d’injectiv´e dans le cas d’une vari´et´e `a bord. On sait que la fonction rayon d’injectivit´e est continue surW avec δ(P ) ≤ d(P, ∂W ), on peut alors la prolonger par 0 sur ∂W . Alors δ(P ) est continue sur ¯W .
Tout d’abord, remarquons que ces fonctions sont mesurables et integrables, car continues en dehors d’un ensemble de mesure nulle. (un point ou la diagonale).
On pose : Γ1(P, Q) = −∆QH(P, Q), Γi+1(P, Q) = Z W Γi(P, R)Γ1(R, Q)dR. Alors, |Γ1| ≤ C[d(P, Q)]2−n.
Explicitement et par recurrence lesΓi sont continues en dehors de la diagonale et pourP ou Q proche du bord, elles sont nulles (conditions au bord). On les prolonge par 0 au bord. Par le theoreme de la convergence dominee de Lebesgue, on prouve qu’elles sontW1,∞en dehors de la diagonale enQ car elles sont Sobolev est leur derivees bornees. La fonction d(P, Q) = dP(Q) est reguliere enQ en dehors de P et en fixant Q elle est Lipschitzienne en P , on alors le fait que(R, Q) → ∂QdR(Q) est continue en dehors de la diagonale et L∞loc. Donc, par le theo-reme de convergence dominee (enlever de petites boules)Γi∗ ∂QΓ1 etΓi∗ ∂QH sont C0 en dehors de la diagonale. Donc, les Γi et Γi ∗ H sont C1 en dehors de la diagonale.(Le point essentiel est la fonction distance).(Concernant la fonction distance,(Ri, Q) → d(Ri, Q) = d(Ri, expRi(rθ)), Q = expRi(rθ), ǫ0/2 ≤ r ≤ δ(Ri)/3, θ ∈ Sn−1et la carte de reference est
[B(R0, δ(R0)/3), expR0] avec Ri → R0. On voit alors qu’en coordonnes geodesiques polaires
centrees enRiun calcul de∆g,Qd(Ri, Q) ∈ L∞etd(Ri, .) → d(R0, .) et par les estimations elliptiques on a∂Qd(Ri, Q) → ∂Qd(R0, Q) pour d(Ri, Q) ≥ ǫ0> 0.)
Dans le cas o`uW = M sans bord :
D’apres sa formule expliciteH est C1en dehors de la diagonale. Elle estW1,1+ǫde chaque variable pour unǫ > 0 assez petit, par recurrence et par Fubini, Fubini-Tonnelli :
∂PΓi+1(P, Q) = Z M ∂PΓi(P, R)Γ1(R, Q)dR, et, ∂QΓi+1(P, Q) = Z M Γi(P, R)∂QΓ1(R, Q)dR.
Pour une variet´e avec bord, on ne peut pas deriver par rapportP , car l’expression de Γiet en paticulier deΓ1contientδP qu’on sait seulement continue et pas forcement differentiable. Dans le cas avec bord, les fonctionsΓisont continues enP en dehors de la diagonales et L1+ǫ, ǫ > 0 seulement, mais ceci suffit pour prouver la symetrie par le theoreme d’Agmon)
On a aussi, les estimees de Giraud. Ainsi de proche en proche, lesΓi deviennent de plus en plus regulieres. on utilise le theoreme de Giraud pour prouver queΓk = rλ−n∗ r2−n avec λ + 2 > n (donc ≥ n + 1 car λ est entier puisqu’on derive les Γi). ( Siλ > n − 1 (λ ≥ n) c’est fini (on regardeΓk−1), siλ = n − 1 alors : Γk = r−1∗ r2−net∂PΓk = r−2 ∗ r2−net ∂QΓk = r−1∗ r1−nqui est enlog par Giraud et donc ∂PΓk+1et∂QΓk+1sontC0(M × M) par Giraud et doncΓk+1estC1(M × M). (Utiliser le produit de convolution, car Γk+1et sa deriv´ee Sobolev sont continues pour ecrire qu’elle estR ∂P, l’integrale d’une fonction continue donc
C1, il a convergence uniforme de la convolution, car la fonction et son Sobolev sont continues). Dans le cas avec bord,Γk continue implique queΓk+1estW1,∞ enQ.(On a mieux C1enQ car la fonction(R, Q) → ∂Qd(R, Q) est C0en dehors de la diagonale deW et H est a support compact (elle s’annule avant le bord) et donc (Γk∗ ∂QH est C0 en dehors de la diagonale de
¯ W )).
Dans le cas d’un operateur−L = −∆ + h, la regualrite de Γk+1depend de celle deh. Si par exempleh est C1alors comme precedemmentΓ
k+1estC1deP et Q. Bien sur le Γ1change : Γ1(P, Q) = −∆QH(P, Q) + h(Q)H(P, Q).
On peut faire plus, on remarque que par exemple que pour les varietes a bord, la parametrix est solution d’une EDP elliptique en dehors de la singularit´e, on utilise les theoremes d’Agmon et de regularit´e dans la construction complete de la fonction de Green dans le cas des varietes a bord, voir le monograph de F.Robert (que je n’ai pas cit´e ici).
4. PRINCIPE DU MAXIMUM.
4.1. La methode ”moving-plane” et ”moving-sphere”. La m´ethode ”moving-plane” consiste `a rechercher, si possible, les points de sym´etrie pour des E.D.P d´efinies sur des domaines ayant des axes de sym`etries, puis, de caract´eriser ces solutions. On part de ”l’infini”, un point tr´es loin, puis, on consid`ere la fonction et son sym´etris´ee par rapport au plan contenant ce point, puis on ram`ene, le plan jusqu’´a l’annulation de la diff´erence entre cette fonction et son sym´etris´ee, si c’est le cas, le plan limite est le plan de sym´etrie. En plus de la determination d’une barriere, cette technique utilise le principe du maximum et le lemme de Hopf. Ici, on suppose les solutions dansC2,α,α > 0.
Cette technique de symetrie a ´et´e introduite par A.D. Alexandrov.
Notons que certains des auteurs suivants, utilisent les proprietes du au principe du maximum. Dans les deux points particuliers suivants l’id´ee essentielle est qu’on doit utiliser les propri´et´es du principe du maximum :
1-Le principe du maximum lui meme et le lemme de Hopf.
a) Principe du maximum sur un domaineΩ ⊂⊂ Rn, n ≥ 2 et lemme de Hopf.
b) Principe du maximum pour une vari´et´e compacte `a bord,[λ, t] × Sn−1, n ≥ 2 et lemme de Hopf. L’operateur est global en la variable de la sph`ere, le principe du maximum s’applique localement dans des domaines de la forme]λ, t[×U avec U un ouvert de carte de la sphere(autour d’un point(t0, θ0) quelconque, on s’est ramen´e a un ouvert particulier de Rn, uncube ou n-parallelepipede par exemple pour appliquer le lemme de Hopf).
2-Le minimum est atteint sur le bord, (YY.Li-L-Zhang). Et principe du maximum de Hopf.
Exemple 1 : Gidas-Ni-Nirenberg.
Sur la boule unit´eB de Rn,n ≥ 3, on consid`ere le probl`eme suivant : −∆u = u(n+2)/(n−2)−ǫ dans B1(0) ⊂ Rn, u > 0 dans B1(0) u = 0 sur ∂B1(0).
O`uǫ > 0 est tr´es petit.
Gidas-Ni-Nirenberg : La solutionu du probl`eme pr´ec´edent est radiale et strictement d´ecroissante.
Exemple 2 : De Figueiredo-Lions-Nussbaum et Chen-Li, Ma-Wei.
Sur un ouvert regulier en dimension 2, on considere : ( −∆u = uq, 1 < q < +∞ dans Ω ⊂ R2, u = 0 dans ∂Ω, Et aussi, ( −∆u = V eu, dans Ω ⊂ R2, u = 0 dans ∂Ω, 15
avec,
0 ≤ V ≤ b, sur ¯Ω, et,
|∇V | ≤ A, sur ¯Ω. Pour l’equation avec l’exponentielle, on suppose de plus que :
Z
Ω
eudx ≤ C, Alors les solutions sont uniform´ement born´ees sur ¯Ω.
Un point essentiel est de borner les solutions au voisinage du bord. Cela se fait par la m´ethode ”moving-plane”.
Estimations de De Figueiredo-Lions-Nussbaum : ce sont des estimations uniformes au voisin-gage du bord, on les prouve grace a la m´ethode moving-plane. C’est essentiellement une trans-formationde Kelvin, pour rendre le voisinage du bord convexe, et une application du principe du maximum (suivant la direction normale).
Par la methode moving-plane on prouve que les points crititques sont loin du bord, en se placant suivant la normale, apres avoir utiliser la transformee de Kelvin. Voir les articles de Chen-Li et Ma-Wei.
En utilisant la transformee de Kelvin et le principe du maximum, on classifie les solutions de l’equation :
Exemple 3 : Caffarelli-Gidas-Spruck et Chen-Li.
Caffarelli-Gidas-Spruck. Les solutions de : (
−∆u = u(n+2)/(n−2), u > 0 dans Rn u(0) = 1, ∇u(0) = 0.
Sont :
u(x) = (1 + γ|x|2)(2−n)/2, γ > 0
La preuve de Chen-Li est plus courte et elle utilise les memes arguments que ceux de Caffarelli-Gidas-Spruck, c’est essentielement une transformation de Kelvin pour avoir un comportement asymptotique et aussi l’utilisation du principe du minimum pour des fonctions regulieres singu-lieres en un point puis l’argument moving-plane bas´e sur le principe du maximum.
On presente le resultat de Classification par la methode moving-plane des solutions d’une EDP elliptique nonlineaire en dimension 2 :
Chen-Li : pourK > 0, les solutions de : −∆u = Keu, dans R2 u(0) = 0, ∇u(0) = 0, R R2eu< +∞. Sont : u(x) = −2 log(1 + γ|x|2), γ =p(K/8)
Cette preuve utilise des estimees asymptotiques specifiques a la dimension 2 et le principe du maximum et lemme de Hopf.
Exemple 4 : Han.
Si on remplaceB par un ouvert r´egulier quelconque, not´e Ω, en maintenant la mˆeme ´equation, les solutions ne sont pas forc´ement radiales.
−∆u = u(n+2)/(n−2)−ǫ dans Ω ⊂ Rn, u > 0 dans Ω u = 0 sur ∂Ω.
O`uǫ > 0 est tr´es petit.
Han Il existe un voisinage du bordω ne d´ependant que de la g´eom`etrie du domaine Ω et de la dimensionn, ainsi qu’une constante c = c(Ω, n) > 0 telle que :
||u||L∞(ω)≤ c.
O`uu est la solution du probl`eme pr´ec´edent.
Exemple 5 : Chen-Lin.
En utilisant la m´ethode moving-plane, Chen et Lin ont prouv´e une estimation a priori sur un ouvertΩ de Rn,n ≥ 3 : Siu est solution de : −∆u = V u(n+2)/(n−2), avec, 0 < a ≤ V (x) ≤ b < +∞, ||∇V ||∞≤ A, ||∇αV || ≤ Cα||∇V ||β(α), avec α ≤ n − 2. alors, sup K u × infΩ u ≤ c = c(a, b, A, C α, n, K, Ω).
La preuve de Chen-Lin consiste a utiliser le principe du maximum et le lemme de Hopf pour prouver que la symetrisee d’une certaine fonction est positive et que la derivee de cette fonction est strictement positive alors que par le raisonnement par l’absurde (”blow-up”) cette fonction a maximum local (point critique), ce qui est absurde.
Exemple 6 : Brezis-Li-Shafrir.
En dimension 2, la methode ”moving-sphere” donne pour les solutions de : −∆u = V eu,
On suppose0 < a ≤ V (x) ≤ b < +∞ et que V est uniform´ement Lipschitzienne, sup
K
u + inf
Ω u ≤ c = c(a, b, ||∇V ||∞, K, Ω).
Exemple 7 : Korevaar-Mazzeo-Pacard-Schoen.
La methode ”moving-sphere” donne :
Sur un ouvertΩ de Rn,n ≥ 3, on consid`ere l’´equation de Yamabe : −∆u = u(n+2)/(n−2), u > 0. Alors : pour tout compactK de Ω, on a :
sup
K u × infΩ u ≤ c = c(K, n, Ω).
La preuve est basee sur le fait qu’on ne pas pas avoir une certaine condition au bord par le principe du maximum et le lemme de Hopf.
Exemple 8 : C.C.Chen-C.S.Lin.
En dimension 2, la technique ”blow-up” et une in´egalit´e g´eom´etrique sur les courbures int´egrales a permis a CC.Chen et CS.Lin de prouver pour l’equation :
−∆u = V eu,
avec,0 < a ≤ V (x) ≤ b < +∞ et que V est uniform´ement H¨olderienne (Cα, α ∈]0, 1]), que :
sup
K u + infΩ u ≤ c = c(a, b, α, ||V ||C
α, K, Ω).
Ce th´eor`eme peut etre prouv´e par la methode ”moving-sphere” de YY.Li-L.Zhang (point sui-vant).
Exemple 9 : Li-Zhang.
La methode ”moving-sphere” donne :
Sur une vari´et´e Riemannienne quelconque(M, g) (non n´c´essairement compacte), de dimen-sionn ≥ 3 et de courbure scalaire Sg, on consid`ere l’´equation de Yamabe :
−∆gu + n − 2
4(n − 1)Sgu = u
(n+2)/(n−2), u > 0.
Alors : en dimensions3, 4, pour tout compact K de M , on a : sup
K u × infM u ≤ c = c(K, M, g, n = 3 ou n = 4).
Apres avoir utiliser la transformation de Kelvin, Li-Zhang prouvent que la positivite de la fonction obtenue par symetrisation implique la positivite de la fonction limite (obtenue par syme-trisation) et dans ce cas elle serait constante, ce qui n’est pas possible par le resultat de Caffarelli-Gidas-Spruck. (La fonction limite est due au ”blow-up”).
La preuve de Li-Zhang s’adapte en dimension 3 sur un ouvertΩ quand on suppose les cour-bures prescrites uniform´ement entre deux constantes positibesa, b et s-h¨olderiennes, s ∈]1/2, 1], de constante de H¨olderA, on a une in´egalit´e du type :
(sup K
u)2s−1× inf
Ω u ≤ c = c(a, b, A, s, K, Ω) .
4.2. Principe du maximum dansW01,1(Ω). Le principe du maximum dans W01,1(Ω) est bas´e sur l’inegalite de Kato dont on peut trouver la preuve dans le livre d’Otared Kavian.
Kato : siu ∈ L1(Ω) et ∆u ∈ L1(Ω), alors on a au sens des distributions : ∆u+≥ χ{u≥0}∆u.
On remarquera qu’en utilisant la fonctionfǫ(t) =p(t2+ ǫ2), on prouve que T race(|u|) = |T race(u)| et T race(u+) = (T race(u))+et donc siu ∈ W1,1
0 alorsu+∈ W 1,1
0 et appliquer a u+ce qui est consider´e comme le principe de comparaison dans le monograph de Brezis-Marcus-Ponce. (il suffit de consider la fonction−∆ξ = 1 avec condition de Dirichlet).
Exemple 1 : Brezis-Merle.
On consid`ere deux suites de fonctions(ui, Vi) solutions (au sens des distributions) de : −∆ui= Vieui,
avec,
Vi ≥ 0, ||Vi||Lp(Ω)≤ C1, ||eui||Lp′(Ω)≤ C2, avec,1 < p ≤ +∞. Alors, on a, ou bien
∀ K ⊂⊂ Ω, sup K |u
i| ≤ c = c(K, C1, C2, Ω) ou bien,
ui→ −∞, sur tout compact de Ω, ou bien,
Il existe un ensemble fini de pointsS tel que ui → −∞ uniform´ement sur tout compact de Ω − S et ui→ +∞ sur S et, au sens faible, on a,
Vieui → X j αjδaj, avec αj ≥ 4π/p ′, et a j ∈ S. Comme corollaire de ce r´esultat, on a :
sup
K u ≤ c = c(infΩ V, ||V ||L
∞(Ω), inf
Ω u, K, Ω).
On a aussi la compacit´e globale de Chen-Li, cit´e dans la section 4.1. Le resultat de Chen-Li utilise le fait qu’on a compacit´e au voisinage du bord lorsque||∇ log V || ≤ A, puis il etend
ce resultat lorsque||∇V || ≤ A1, pour cela il utilise l’extension des resultats de Brezis-Merle (Theorem 1 de Brezis Merle), qui reste vrai dans des domaines Lipschitzien d`es qu’on a la regularit´e des solutions dansW01,2, car le principe du maximum est valable dans ce cas (on utilise l’integration par parties, qui est vrai des que la regularit´e du bord est Lipschitzien. Pour l’inegalit´e de Sobolev aussi et la resolution d’un probleme variationnel dansL2. Lipschitz suffit). Ceci pour la fonctionu2du debut de preuve de Chen-Li. (et aussi l’extension des fonctions harmoniques et la formule de Poisson, pouru1 qui necessite une application conforme). Voir la preuve du corollaire de l’article de Chen-Li.
(Voir l’article de Sweers-Nazarov. Journal.Diff.Equations. 2007. Pour les conditions de regu-larit´eW2,pdes problemes sur des ouverts Lipschitziens.)
Remarque sur la preuve de Chen-Li : pour etendre la partieu1harmonique, il faut supposer le domaine analytique, pour pouvoir utiliser une transformation conforme qui reste invariante par le Laplacien. Principe de symetrisation de Schwarz. Donc, le resultat de compacit´e reste vrai avec la regularit´e smooth lorsque on suppose||∇ log V || ≤ A. Mais la regularit´e du domaine doit etre suposs´ee analytique lorsqu’on passe a||∇V || ≤ A1.
Dans leur preuve Chen-Li, utilisent le fait que l’operateur est invariant par appplication de carte, ceci est possible si cette application est conforme, elle preserve le Laplacien. Puis, syme-trise la fonction en symetrisant un probleme de Dirichlet, puis soustrayent les valeurs aux bords et ils obtiennent l’image dev1. Alorsu1est l’image dev1par l’application de carte. Maintenant pour construirev1 ils utilisent une symetrisation d’un probleme de Dirichlet, qui requiert les solutions dansW2,p∩ C2(B
ǫ) ∩ C1( ¯Bǫ), p > 2 (la formule de representation de Green reste va-lable, dans ce cas, voir la preuve dans Gilbarg-Trudinger). Puis, ils utilisent la formule integrale de Poisson (qui necessite d’avoir l’operateur Laplacien).
a) Pour utiliser la formule de Poisson, on conserve le Laplacien : transformation conformeϕ. b) Ils symetrisentuoϕ ils obtiennet une fonction uv∈ C1( ¯Bǫ(0)) ∩ W2,p.
c) Ils resolvent :−∆v1= −∆uvavec condition de Dirichlet surBǫ(0).
d) Ils utilisent la formule integrale de Poisson pourv1−uv ∈ W2,p∩C2(Bǫ)∩C1( ¯Bǫ), p > 2. Sur le bord, il n’y a que les valaurs deu.
(Ce travail revient `a symetriser une fonction harmonique qui n´ecessite le theoreme de syme-trisation de Schwarz , qui necessite une application conforme, donc un domaine de departΩ analytique).
Exemple 2 : Equation avec poids continu :
Sur un domaine born´eΩ ⊂⊂ R2avecd = diametre(Ω) et 0 ∈ Ω, on consid`ere des fonctions (u, V ) solutions (au sens des distributions) de l’equation du type Liouville :
−∆u = 1
− log|x|2d
V eu dans Ω avec,
u ∈ L∞loc(Ω), 0 < a ≤ V ≤ b < +∞, 0 ∈ Ω. Alors on a l’in´egalit´e de Harnack implicite :
Pour tout compactK de Ω : sup K u ≤ c(a, b, K, Ω, infΩ u) et, inf Ω u ≥ m > −∞ ⇒ supK u ≤ c = c(a, b, K, Ω, m). R ´EFERENCES´
[1] A.D. Alexandrov. Uniqueness thoerems for surfaces in the large. V. Vestnik Leningrad Univ. Mat. Astronom 13, 5-8 (1958) ; Amer. Math. Soc. Transl. 21, 412-416 (1962).
[2] T. Aubin. Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry. Springer-Verlag, 1998.
[3] Ambrosio. L, Fusco. N, Pallara, D. Functions of Bounded variations and Free discontinuity Problems, Oxford Press. 2000.
