La structure par terme
des taux d'intérêt
« FINANCE » COLLECTION DIRIGÉE PAR BERTRAND JACQUILLAT
ET MICHEL LEVASSEUR
La structure par terme des taux d'intérêt
C H R I S T O P H E B I S I È R E
GREMAQJ Université de Toulouse I
P R E S S E S U N I V E R S I T A I R E S DE F R A N C E
A Élisabeth
ISBN 2 13 048646 0 ISSN 0982-3344
Dépôt légal — 1re édition : 1997, juin
@ Presses Universitaires de France, 1997 108, boulevard Saint-Germain, 75006 Paris
Sommaire
PRÉFACE I X
P R E M I È R E P A R T I E
P R I N C I P E S D E M O D É L I S A T I O N
C H A P I T R E P R E M I E R . — L e m a r c h é o b l i g a t a i r e 3
1. D é f i n i t i o n d e l ' a c t i f 3
2. S t r u c t u r e des p r i x 4
3. S t r u c t u r e des t a u x 6
4. T a u x c o u r t 8
5. T a u x à t e r m e 10
6. F o n c t i o n n e m e n t d u m a r c h é 12
7. T e m p s c o n t i n u 15
8. S t r u c t u r e des t a u x en u n i v e r s c e r t a i n 15
N o t e s 19
C H A P I T R E 2. — L ' i n c e r t i t u d e 21
1. P r o c e s s u s a l é a t o i r e 21
2. S t r u c t u r e d ' i n f o r m a t i o n 22
3. M o u v e m e n t b r o w n i e n 24
4. P r o c e s s u s d ' I t ô 29
5. I n t e r p r é t a t i o n é c o n o m i q u e 32
N o t e s 40
D E U X I È M E P A R T I E
S T R U C T U R E D E S T A U X E T A R B I T R A G E
C H A P I T R E 3. — L e m o d è l e f a c t o r i e l 45
1. M é t h o d e g é n é r a l e 45
2. H y p o t h è s e s 46
3. P r o c e s s u s des p r i x 51
4. P o r t e f e u i l l e l o c a l e m e n t n o n r i s q u é . . . 53
5. P r i m e d e t e r m e 55
6. É q u a t i o n d e s t r u c t u r e p a r t e r m e . . . 58
7. P r o c e s s u s des t a u x à t e r m e 59
8. Q u e l q u e s e n s e i g n e m e n t s . . . 61
9. Une théorie des taux? 65
Annexes 66
Notes 72
CHAPITRE 4. — Q u e l q u e s m o d è l e s explicites 75
1. Modélisation avec un seul facteur 75
2. Modèle de Merton 80
3. Modèle de Vasicek 83
4. Modèle de Cox, Ingersoll et Ross 87
5. Modélisation avec deux facteurs 89
6. Modèle de Richard 90
7. Modèle de Brennan et Schwartz 94
8. Combien de facteurs? 94
Annexes 95
Notes 104
CHAPITRE 5. — L ' é v a l u a t i o n r i s q u e - n e u t r e 107
1. Principe 107
2. Propriétés des prix 110
3. Application aux modèles de taux court 112
4. Typologie des modèles de taux court 115
5. Ajustement à la courbe des taux 119
6. Approche de Heath, Jarrow et Morton 124
Annexe 128
Notes 129
CHAPITRE 6. — Actifs dérivés 131
1. Principe 131
2. Probabilité forward-neutre 133
3. Évaluation d'une option européenne 135
4. Application 138
5. Valorisation d'un cap 139
Notes 141
TROISIÈME PARTIE
S T R U C T U R E D E S T A U X E T É Q U I L I B R E
CHAPITRE 7. — Le m o d è l e d ' é q u i l i b r e 147
1. Hypothèses relatives à la production 147
2. Hypothèses relatives aux comportements 152
3. Hypothèses relatives aux marchés financiers . . . 154
4. Optimum individuel 157
5. Interprétation des équations d'optimalité . . . 163 6. Conditions de l'optimum collectif . . . 166
7. Résultats à l'équilibre 167
8. Structure des taux à l'équilibre 172
Annexes 176
Notes 182
CHAPITRE 8. — U n m o d è l e d'équilibre à u n f a c t e u r . . . 185
1. Utilité indépendante des états 186
2. Taux d'impatience constant 187
3. Utilité isoélastique 188
4. Utilité logarithmique 189
5. Hypothèses relatives à la technologie 191
6. Analyse de la solution explicite 194
Annexes 196
Notes 198
CHAPITRE 9. — Les théories t r a d i t i o n n e l l e s 201 1. Hypothèse Locale et neutralité vis-à-vis du risque 201 2. Conditions de validité de l'Hypothèse Locale . . . 205
3. Comportement d'habitat 206
4. Habitat et risque intertemporel 207
Notes 210
ANNEXES 213
A. Quelques notions et théorèmes utiles 213
B. Probabilité 213
C. Variable aléatoire 219
D. Calcul Stochastique 224
GLOSSAIRE DES SYMBOLES 231
BIBLIOGRAPHIE 235
INDEX DES AUTEURS 257
INDEX DES MATIÈRES . . . 261
Préface
Ce livre est consacré à la structure par terme des taux d'intérêt, dans l'optique de la théorie de l'évaluation des actifs financiers.
Il ne s'agit pas d'une monographie de recherche, mais d'un ouvrage destiné à présenter la théorie financière des taux d'intérêt. Son ambition est de permettre au plus grand nombre - professionnels, étudiants et cher- cheurs - de comprendre une théorie qui a profondément évolué depuis trois décennies.
Ses évolutions les plus significatives sont de nature conceptuelle. La théorie des taux a naturellement profité des avancées de la théorie fi- nancière, comme par exemple la modélisation du comportement d'opti- misation intertemporelle en incertitude ou l'évaluation risque-neutre. En outre, des progrès conceptuels spécifiques ont été récemment réalisés. Ces progrès concernent notamment les méthodes d'ajustement des modèles de structure des taux aux données empiriques, la modélisation par les taux à terme, ainsi que l'évaluation des actifs dérivés sous probabilité forward-neutre.
Dès la fin des années soixante, ces évolutions conceptuelles se sont accompagnées d'un changement important au niveau des techniques de modélisation. Le Calcul Stochastique a progressivement remplacé les ma- thématiques discrètes utilisées jusqu'alors. Aujourd'hui, la majeure partie des modèles de structure des taux - en fait, la quasi-totalité - fait appel à cet outil, qui s'avère effectivement très bien adapté à la modélisation dynamique en incertitude. Toutefois, si sa présence dans les programmes d'enseignement est appelée à croître, le Calcul Stochastique reste un outil difficile d'accès et encore assez peu connu.
En fin de compte, celui qui souhaite aujourd'hui connaître l'état actuel de la théorie financière de la structure par terme des taux d'intérêt se heurte souvent à une double difficulté : maîtriser les concepts et maîtriser les outils.
Dans ce contexte, cet ouvrage cherche à présenter de manière acces- sible la théorie des taux. Il ne s'agit en aucune façon d'éviter les diffi- cultés : les concepts les plus importants sont tous abordés. Mais, même si les développements mathématiques ne sont pas occultés, les intuitions et les explications sont toujours privilégiées. De plus, un chapitre de cet ouvrage - associé à des annexes complémentaires - présente les bases du Calcul Stochastique et met en avant les hypothèses qui sous-tendent son utilisation dans le domaine de la finance.
En dehors de ce parti pris pédagogique, d'autres choix ont guidé la
rédaction de ce livre. En premier lieu, seule l'approche financière des taux a été retenue. L'approche macroéconomique de la structure par terme, beaucoup moins développée et très différente dans ses principes, n'est pas abordée. En deuxième lieu, ce livre ne propose pas d'étude statistique.
Cependant, l'aptitude des divers modèles à représenter la courbe des taux effective, ainsi que les problèmes méthodologiques associés à leur confron- tation à la réalité, sont étudiés avec soin. En troisième lieu, les modèles sont systématiquement présentés en temps continu. Cela permet une pré- sentation homogène, qui facilite la comparaison entre les divers modèles.
Enfin, en dernier lieu, des références bibliographiques sont systématique- ment données dans les Notes de fin de chapitre, afin de guider le lecteur souhaitant approfondir les sujets examinés ou aborder les points occultés.
Cet ouvrage est organisé en trois parties.
La première partie, composée de deux chapitres, est introductive. Elle présente les principes de modélisation utilisés par la suite. Le Chapitre 1 définit le concept de structure des taux, et montre comment cette structure peut être modélisée en temps continu sur la base du prix des obligations sans coupon. Le Chapitre 2 présente le Calcul Stochastique, dans l'optique de la modélisation en finance.
La deuxième partie, composée de quatre chapitres, est consacrée aux modèles d'arbitrage de la structure des taux. Dans cette partie, le seul principe utilisé pour valoriser les actifs supports de la structure des taux est celui de l'absence d'opportunité d'arbitrage à l'équilibre. Le Chapitre 3 expose le modèle d'arbitrage le plus général. Le Chapitre 4 particularise ce modèle sous forme de modèles explicites de structure des taux. Le Chapitre 5 présente la méthode de l'évaluation risque-neutre, ainsi que ses applications. En particulier, le problème de l'ajustement d'un modèle théorique à la courbe des taux empirique contemporaine est examiné. Le Chapitre 6 s'intéresse aux actifs dérivés de la structure des taux, et en particulier aux options sur obligations.
La troisième et dernière partie, composée de trois chapitres, traite des fondements économiques de la structure des taux. Dans cette partie, le concept d'équilibre invoqué est celui de l'égalité entre offre et demande.
Le Chapitre 7 présente un modèle très général, permettant de relier la courbe des taux aux fondamentaux de l'économie. Le Chapitre 8 s'inté- resse à un cas particulier de ce modèle général. Enfin, le Chapitre 9 montre que le modèle d'équilibre peut être utilisé pour réexaminer les théories tra- ditionnelles de la structure par terme des taux d'intérêt.
En annexe de l'ouvrage sont ensuite proposés des rappels de probabilité (dans l'optique de la modélisation financière), ainsi qu'une présentation des principaux concepts associés au Calcul Stochastique. Un glossaire des symboles, ainsi que deux index, peuvent être consultés pour naviguer plus aisément dans l'ouvrage. Suit une bibliographie, qui, bien que conséquente, n'est évidemment pas exhaustive.
Je ne saurais terminer cette préface sans exprimer ma profonde grati- tude à tous ceux qui ont permis à ce livre de voir le jour. Le Professeur Bertrand Jacquillat m'a témoigné sa confiance en me permettant d'appor- ter cette contribution à la Collection « Finance » des Presses Universitaires de France.
Mon intérêt pour la structure des taux remonte à l'année 1989. J'ai assisté cette année-là à un séminaire passionnant, animé par Patrick Artus, Directeur des Études Economiques et Financières à la Caisse des Dépôts et Consignations. Son enthousiasme a été réellement communicatif ! Qu'il soit remercié de cette contribution indirecte, mais aussi d'avoir trouvé le temps de me consacrer quelques moments par la suite.
Le Professeur Jean-Louis Reiffers, qui a dirigé ma thèse de doctorat, m'a constamment soutenu. La confiance qu'il m'a témoignée a été très importante pour moi.
Je tiens naturellement à remercier tous les membres du GREMAQ, qui m'ont constamment encouragé. En particulier, les Professeurs Bruno Biais, Eric Renault et Jean-Charles Rochet, ainsi que Jean-Paul Décamps et Emmanuelle Gabillon - bien que courant comme moi après le temps ! - m'ont fait profité de leurs commentaires éclairés. J'ai une dette importante envers Ali Lazrak, qui a consacré beaucoup d'énergie à relire dans le détail la troisième partie de cet ouvrage. Ses nombreuses remarques, toujours pertinentes, ont été fort utiles. Enfin, je remercie Eve Leconte, qui s'est courageusement portée volontaire pour relire le manuscrit final. Elle m'a permis d'éviter de trop maltraiter la langue française.
Bien entendu, je suis entièrement responsable des erreurs et imperfec- tions qui subsistent dans cet ouvrage. Puisse le lecteur avoir la gentillesse de me faire part de ses critiques et commentaires.
PREMIÈRE PARTIE
PRINCIPES
DE MODÉLISATION
L'objectif ultime de la théorie de la structure des taux est de com- prendre la relation entre la valeur présente d'un paiement à recevoir et la date à laquelle ce paiement sera reçu. Conformément à la démarche usuelle des théories financières, l'analyse s'appuie sur un modèle de valorisation.
Un modèle de valorisation met en scène des agents économiques, sus- ceptibles d'acheter et de vendre des actifs sur un marché soumis à des incer- titudes. Les caractéristiques précises des actifs, des agents, du marché et de l'incertitude sont spécifiées en fonction de l'objectif de la théorie. Compte tenu de ces caractéristiques, il s'agit alors d'exhiber des contraintes por- tant sur le prix des actifs.
Cette première partie définit le cadre d'analyse de cet ouvrage, en dé- crivant les éléments constitutifs des modèles de taux d'intérêt. Le premier chapitre est consacré au marché obligataire. Il définit l'actif obligataire support de la structure des taux, et pose les hypothèses relatives au fonc- tionnement du marché. Le deuxième chapitre montre comment l'incerti- tude peut être prise en compte dans ces modèles. En même temps, ce chapitre peut être utilisé par le lecteur comme une première introduction aux concepts de base du Calcul Stochastique.
CHAPITRE PREMIER
Le marché obligataire
Ce chapitre présente les caractéristiques essentielles du marché finan- cier qui est considéré par la suite. Bien entendu, ce marché (fictif) ne capte pas toute la complexité des marchés existant dans la réalité. Mais c'est là tout l'intérêt d'un modèle. Sous des hypothèses simplificatrices qui, pense-t-on, ne sont pas trop «héroïques», on peut espérer dire des choses intéressantes sur les taux d'intérêt.
Dans ce modèle, l'élément le plus spécifique à la théorie des taux est certainement l'actif financier qui est échangé sur le marché. Cet actif est donc présenté en premier lieu, avec les diverses notions qui lui sont as- sociées. En particulier, la structure des taux est définie. Les hypothèses relatives au fonctionnement du marché sont ensuite discutées. Il apparaît qu'il est en fait difficile de séparer complètement la définition des concepts relatifs à l'actif des hypothèses relatives au marché. Enfin, afin d'établir un point de référence utile, les principaux résultats du modèle en univers certain sont exposés.
1. Définition de l'actif
S'il fallait écrire le « cahier des charges » de l'actif à considérer, celui-ci énoncerait 1/ que ses caractéristiques doivent évidemment correspondre au problème de la relation temps-intérêt, 2/ qu'il doit être suffisamment simple pour permettre de construire un modèle manipulable, 3/ qu'il ne doit cependant pas être trop éloigné d'un actif existant réellement, de façon à autoriser les tests empiriques.
Le candidat habituellement retenu par la théorie est un titre financier dont les caractéristiques sont les suivantes : ce titre donne droit à son détenteur de recevoir de la part de l'émetteur une unité de compte (disons un franc) à une date future fixée. L'acheteur du titre est prêteur, et le vendeur (ou l'émetteur) du titre est emprunteur.
Par nature, un tel actif peut être classé dans la catégorie des titres obli- gataires. Il est donc possible d'employer la terminologie financière usuelle en la matière. Le montant qui devra être versé au porteur de l'obligation, au titre du remboursement du principal, est la valeur faciale de l'obli- gation. Ici, elle est de un franc. La date à laquelle s'effectue le dernier paiement lié au contrat est la date d'échéance. Ici, le principal est rem-
FiG. 1 : Représentation schématique d'un bon zéro-coupon.
boursé en une seule fois, à l'échéance : l'obligation est remboursée in fine.
La durée de vie restante avant l'échéance d'une obligation est sa maturité.
Les obligations classiques (c'est-à-dire à revenu fixe) donnent souvent lieu à des paiements d'intérêts (des coupons) intervenant à intervalles ré- guliers tout au long de la vie du contrat. Dans le cas du titre considéré dans cet ouvrage, aucun paiement n'est effectué avant l'échéance. Un titre de la sorte est appelé une obligation sans coupon, ou un bon zéro-coupon.
Dans la mesure où une obligation délivrant des coupons peut être considé- rée comme un portefeuille de bons zéro-coupon (leur échéance coïncidant avec les dates de détachement des coupons), les résultats du modèle pour- ront facilement être étendus à l'ensemble des obligations classiques.
Ainsi, en résumé, est considérée comme admise l'hypothèse selon la- quelle les titres échangés sur le marché sont des bons zéro-coupon, de valeur faciale unitaire, et remboursés in fine.
A tout instant, ce marché affiche un prix pour chacun de ces bons. Le prix à l'instant t d'un bon d'échéance T, avec t <Z. T, est noté P(t, T). La maturité de ce bon est T — t. La Figure 1 présente un résumé visuel de ces notions. Compte tenu des caractéristiques de ce type de titre, il est possible de fournir dès maintenant une condition essentielle devant être respectée par le prix d'un bon : à la date de son échéance, le prix d'un bon ne peut évidemment pas être différent de un franc. Cette condition peut s'exprimer par l'équation
(1)
2. Structure des prix
Le prix P(t, T) indique quelle est la valeur présente (à l'instant t) d'un paiement à recevoir à une date future (l'instant T). L'étude de P ( t , T ) , en tant que fonction de T, correspond bien à l'objectif de la théorie de la structure des taux : l'étude de la relation entre le temps et le phénomène de l'intérêt. La fonction P : T ↦ P(t, T) pour t donné décrit la structure par terme des prix à l'instant t.
On suppose par la suite que la fonction P(t, T) est définie sur l'en- semble {(t, T) E : T ^ à valeurs dans M, et est dérivable en cha- cun de ses arguments. La dérivée de la fonction de prix par rapport au temps est notée Pt, et sa dérivée par rapport à l'échéance PT.
L'hypothèse relative au domaine de définition de la fonction de prix facilite grandement les calculs formels, mais n'est pas neutre du point de vue théorique. En particulier, pour que P(t, T) soit définie pour tout t ^ 0, il faut que le marché puisse afficher des prix à chaque instant, c'est-à-dire qu'il soit ouvert en permanence. On se situe donc d'emblée dans un modèle en temps continu. Pour que P(t, T) soit définie pour tout T ^ t, il faut admettre qu'il existe à chaque instant sur le marché un continuum de titres de maturités différentes. Ainsi, sur le marché obligataire considéré dans cet ouvrage, une infinité de prix - correspondant à une infinité d'actifs différents - sont affichés à tout moment.
Quelle est la forme générale de la structure des prix ? Quelques re- marques très simples permettent de répondre à cette question.
En premier lieu, on peut dire que les prix P(t, T) sont par nature strictement positifs.
En second lieu, on peut raisonnablement s'attendre à ce que P(t,T) soit strictement inférieur à l'unité pour T > t. Dans un monde où les individus manifestent une certaine préférence pour le présent, la valeur courante d'un franc à recevoir dans le futur doit être inférieure à un franc.
E x e m p l e 1. A un moment donné, on donnera par exemple 95 centimes contre la promesse d'un franc à recevoir dans six mois. Les intérêts versés par l'emprunteur se montent donc à 1—0,95 francs, soit 5 centimes.
Enfin, en dernier lieu, si les prix sont effectivement toujours inférieurs à l'unité, alors la structure des prix doit être décroissante avec la maturité.
Pour deux échéances Tl et T2 telles que Tl < T2, on doit s'attendre à constater que P(t, TI) > P(t, T2), c'est-à-dire à ce que les intérêts totaux sur le prêt le plus court soient inférieurs aux intérêts totaux sur le prêt le plus long. Dans le cas contraire, les prix annoncés ne sont pas viables.
E x e m p l e 2. Considérons une situation dans laquelle la structure des prix est croissante : le prix d'un bon à six mois est de 90 centimes, alors que le prix d'un bon à un an est de 95 centimes.
Imaginons une opération consistant à vendre aujourd'hui un bon à un an et à acheter au même moment un bon à six mois. En termes nets, cette opération rapporte 5 centimes aujourd'hui et ne nécessite donc aucune mise de fonds. Six mois plus tard, le titre qui arrive à échéance verse un franc. Ce franc, placé à six mois, permettra de toucher une somme stric- tement supérieure à un franc au moment même où il faudra rembourser un franc sur le bon à un an vendu au début de l'opération.
Au total, cette opération permet de gagner 5 centimes dès aujourd'hui, plus une somme encore inconnue mais certainement positive dans un an.
FIG. 2 : Forme générale de la structure des prix.
Le marché offre donc une possibilité de gagner de l'argent sans immobi- liser de fonds et sans prendre aucun risque. On peut douter qu'une telle situation persiste.
Compte tenu de ces remarques ainsi que de la condition P(T, T) = 1, la Figure 2 donne la forme générale d'une structure des prix, représentée graphiquement dans un repère maturité-prix. Il est important de noter que cette structure est donnée pour un instant t particulier : un instant après, la forme de la courbe n'a aucune raison d'être identique.
Du fait même de cette forme générale imposée, la structure des prix s'avère un concept peu commode. Considérant une structure des prix à un instant t quelconque, on ne peut tirer aucune conclusion véritablement intéressante d'une comparaison directe entre le prix de deux bons de ma- turités différentes. Pour pouvoir utilement comparer deux échéances, il faut utiliser un concept relatif à une même unité temporelle. Ce concept, le taux de rendement, permet de définir une structure des taux.
3. Structure des taux
Le taux de rendement (appelé aussi taux de rendement actuariel) d'un bon de prix P(t, T), noté R(t, T), est défini comme le taux d'intérêt qui, appliqué continûment à un investissement de montant P(t, T) en t, permet d'obtenir une unité monétaire à l'instant T. Littéralement, on écrit donc
Sous cette forme, R(t, T) s'interprète comme le taux d'une opération d'investissement renouvelé (un roll over) sur une période de temps de
longueur T—t. Le terme R(t, T) représente le taux d'intérêt correspondant à la maturité T — t.
La formule d'actualisation équivalente est
(2) Sous cette forme, R(t, T) s'exprime comme le taux d'actualisation qui permet d'égaliser la valeur actuelle du flux financier généré (1 franc à l'instant T) et le cours du titre. Cette formule est cohérente avec la condi- tion P(T, T) = 1, et implique en outre P(t, T) > 0. De plus, comme par définition t <C T, le taux de rendement d'un bon d'échéance T en t est positif (ce qui est vraisemblable) si et seulement si son prix est inférieur à l'unité.
Résolvant (2) en R( t, T), il vient
(3) En tant que fonction de T, R( t, T) définit la structure par terme des taux d'intérêt à l'instant t. Sa forme est totalement déterminée par la structure des prix P(t,T), et vice versa. Pour passer d'une structure à l'autre, il suffit d'utiliser les définitions (2) et (3) ci-dessus.
E x e m p l e 3. Supposons que le prix des bons à trois mois soit aujourd'hui de 99 centimes. Si les taux sont exprimés sur une base annuelle, la maturité T — t vaut 0,25. D'après la formule (3), le taux d'intérêt à trois mois est alors égal à — ln(0, 99) /0, 25, soit environ 4%.
La façon dont la structure des prix réagit à une déformation de la structure des taux peut être appréhendée en utilisant le concept de sensi- bilité. La sensibilité d'un bon est le taux de variation (en valeur positive) du prix de ce bon consécutif à une variation infinitésimale de son taux de rendement. Si PR(t, T) désigne la dérivée du prix P(t, T) par rapport au taux R(t, T), on voit que
La sensibilité d'un bon zéro-coupon est égale à sa maturité. Bien sûr, ne disposant pour l'instant d'aucune théorie permettant de relier les divers taux, il n'est pas possible d'utiliser cette définition pour comparer les différents bons.
La structure des taux peut prendre des formes beaucoup plus variées que la structure des prix. Dans la réalité, on constate souvent l'une des quatre formes présentées dans la Figure 3.
Comme cela a été signalé, il faut s'attendre à ce que la courbe des taux se situe au-dessus de l'axe des abscisses. Toutefois, il ne suffit pas que les
FIG. 3 : Formes usuelles d'une structure des taux.
taux soient positifs pour que la courbe des prix ait une allure satisfaisante.
En particulier, une courbe des taux trop vite décroissante peut conduire à une structure des prix croissante. En dérivant (2) par rapport à l'échéance T, on obtient une condition nécessaire et suffisante pour que la structure des prix soit décroissante :
(4) où RT désigne la dérivée de la structure des taux par rapport à l'échéance.
La fonction R : T ■—> R( t, T), pour t fixé, donne la valeur des taux d'intérêt à l'instant t, pour toute maturité T — t. A l'instar de la structure des prix, la structure des taux est représentée habituellement dans un graphique dont l'abscisse est la maturité. Le point de départ de la courbe correspond au taux d'intérêt ayant la plus petite maturité possible. Ce taux est appelé le taux court.
4. Taux court
Le taux court r(t) est le taux porté par un prêt devant être remboursé une « période » après. Il est admis dans ce modèle qu'il existe effective-
ment un compartiment du marché sur lequel se négocient les prêts et emprunts à une période. En temps continu, la durée de cette période est infiniment petite. Le taux court peut donc être défini comme la limite du taux d'intérêt R(t, T) porté par un bon dont la maturité T — t tend vers zéro.
Formellement, ce taux s'écrit
(5) A partir de cette définition, il est possible d'obtenir deux expressions intéressantes pour le taux court1. La première indique que le taux instan- tané est égal à la pente avec laquelle le prix d'un bon arrivant couramment à maturité s'approche de l'unité :
(6) et la seconde montre que r(<) est aussi l'opposé de la pente de la structure des prix au point de départ de la courbe2 :
(7) La signification de r(t), taux « infiniment court » , est plus difficile à sai- sir que dans le cas discret. Supposons qu'à l'instant t une somme W(t) soit placée sur un compte rémunéré à ce taux. Si les intérêts sont capitalisés, la valeur de ce compte augmentera d'un montant égal à
d W(t) = W(t)r(t) dl,
et ceci de façon certaine3. Le taux r(t) s'interprète bien comme le taux de rendement qu'un investisseur peut obtenir en t sur un intervalle de temps de longueur dt.
De plus, le produit du placement étant continûment réinvesti au taux court en vigueur, cet investisseur obtiendra à la période s > t
m o n t a n t a priori inconnu en t.
1 Pour ce faire, il faut remplacer dans cette équation R(t, T) par sa définition donnée en (3), puis appliquer la règle de l'Hôpital (voir Annexe A2) en dérivant par rapport aux deux paramètres de P(t, T). La condition (1) est également utilisée.
2 0 n rappelle que, d'après les notations adoptées,
3 P o u r c e t t e r a i s o n , r ( t ) est p a r f o i s a p p e l é le t a u x s a n s risque. A t t e n t i o n : u n inves- t i s s e m e n t à ce t a u x est e f f e c t i v e m e n t s a n s r i s q u e , m a i s u n i q u e m e n t p o u r u n h o r i z o n d e p l a c e m e n t i n f i n i m e n t c o u r t .
T A B . 1 : C o n s t r u c t i o n d ' u n t a u x à t e r m e .
5 . T a u x à t e r m e
C e t t e s e c t i o n p r é s e n t e l a n o t i o n d e t a u x à t e r m e 4 ( t a u x f o r w a r d ) . C e t t e n o t i o n e s t b a s é e s u r l ' i d é e q u ' i l e s t p o s s i b l e d e c o n s t r u i r e , à u n i n s t a n t d o n n é , u n p o r t e f e u i l l e d ' o b l i g a t i o n s p e r m e t t a n t d e d é t e r m i n e r à l ' a v a n c e l e t a u x d e r e n d e m e n t d ' u n p r ê t s u r u n e p é r i o d e f u t u r e q u e l c o n q u e .
C o n s i d é r o n s t r o i s d a t e s t , T l e t T 2 t e l l e s q u e t < T l < T 2 , e t c o n s t r u i - s o n s u n e o p é r a t i o n d ' a c h a t e t d e v e n t e f i x a n t à l ' i n s t a n t t l e t a u x d e r e n d e m e n t d ' u n p r ê t d e m a t u r i t é T 2 — T l e n T l . L a p r o c é d u r e e s t l a s u i - v a n t e : o n a c h è t e e n t u n b o n d ' é c h é a n c e T 2 , d e p r i x P ( t , T 2 ) , e t o n v e n d a u m ê m e m o m e n t P t , T 2 / P ( t , T 1 b o n s d ' é c h é a n c e T l , d e p r i x u n i t a i r e P ( t , T i ) . L e p r o d u i t d e c e t t e v e n t e c o m p e n s e e x a c t e m e n t l a d é p e n s e l i é e à l ' a c h a t d u b o n d e m a t u r i t é T 2 . L e s f l u x e n g e n d r é s p a r c e p o r t e f e u i l l e s e r o n t l e s s u i v a n t s : à l ' i n s t a n t T l , il f a u d r a r e m b o u r s e r P ( t , T 2 ) / P ( t , T I ) f r a n c s s u r l e s b o n s v e n d u s , e t o n r e c e v r a e n T 2 u n f r a n c d u b o n a c h e t é . A u t o t a l , o n a c o n s t r u i t à l ' i n s t a n t t u n b o n f i c t i f , d e m a t u r i t é T 2 - T l e n T i , e t d e p r i x P ( t , T 2 ) / P ( t , T l ) , c o n n u e n t . L e T a b l e a u 1 r é s u m e c e s c a l c u l s .
L e t a u x d e r e n d e m e n t f ( t , T l , T 2 ) d e c e t t e o b l i g a t i o n f u t u r e f i c t i v e , c a l c u l a b l e à p a r t i r d e l a s t r u c t u r e d e s t a u x e n t , e s t d o n n é p a r
(8) Cette définition confirme le caractère anormal d'une structure des prix croissante : si P (t, T2) > P(t,Ti), le taux d'intérêt f t T 1 T 2 est négatif.
Plus généralement, il apparaît que la condition (4) sur la pente de la structure des taux est également une condition nécessaire et suffisante pour que tous les taux à terme soient positifs.
E x e m p l e 4. Supposons comme précédemment que le prix d'un bon à trois mois est de 99 centimes, et ajoutons qu'au même moment le prix d'un bon à neuf mois est de 95 centimes. Utilisant ces bons, le taux d'un
4 L'expression taux à terme implicite est également utilisée.
p r ê t de six m o i s c o m m e n ç a n t d a n s t r o i s m o i s p e u t ê t r e d é t e r m i n é dès a u - j o u r d ' h u i . L a f o r m u l e (8) c i - d e s s u s d o n n e u n t a u x d e — l n ( 0 , 9 5 / 0 , 99) / 0 , 5, s o i t e n v i r o n 8, 2 5 % .
L o r s q u e T2 t e n d vers T l , le t a u x à t e r m e d e v i e n t celui d ' u n p r ê t d e p l u s en p l u s c o u r t . A la l i m i t e , u n t a u x à t e r m e i n s t a n t a n é est o b t e n u :
(9) On dit que f ( t , T ) est le taux à terme instantané en t pour l'instant futur T.
C o m m e cela a été fait pour le taux court, il est possible de calculer une expression pour f ( t , T ) dans laquelle intervient une dérivée de la fonction de prix :
(10)
soit encore
(11)
Le taux f(t,T), calculable en t, s'interprète donc comme le taux de rendement instantané marginal qu'un investisseur peut attendre en t, s'il décide d'accroître d'un instant la durée de son prêt au-delà de T. Cette dernière équation confirme également que f ( t , T ) est de même nature que le taux court : en posant t — T et en utilisant la relation r(t) = Pt(t,t), il apparaît que
(12) Pour préciser l'interprétation qu'il faut donner à f ( t , T ) , l'équation (2) peut être utilisée pour évaluer le membre droit de (10). Il vient
Cette relation entre le taux à terme instantané et le taux de rendement est analogue à la relation entre coût marginal et coût moyen. Ainsi, par exemple, si le taux de rendement croît avec la maturité (c'est-à-dire si la pente de la structure des taux est positive), le taux implicite est supérieur au taux de rendement.
Enfin, intégrant (10) entre t et T, puis utilisant (1), on obtient une relation intéressante entre prix et taux à terme instantané :
(13)
Le prix en t d'un bon délivrant une unité monétaire en T est égal à la valeur de ce flux, actualisée aux taux à terme instantanés sur l'intervalle de temps considéré. En termes de taux, cette relation s'écrit
(14) Un taux de rendement est égal à la moyenne arithmétique des taux à terme sur la période de maturité du bon correspondant.
Cette dernière formule permet de retrouver la structure des taux à par- tir des taux à terme instantanés, et vice versa. Elle montre aussi que les taux à terme instantanés constituent une mesure très intéressante car très désagrégée du phénomène de l'intérêt. Le taux f(t,T) représente l'évalua- tion, réalisée par le marché à l'instant t, du taux d'intérêt applicable pour l'instant futur T.
On a vu que le taux court, les prix et les taux longs s'expriment de façon simple en fonction des taux à terme instantanés. En fait, c'est éga- lement le cas pour les taux à terme longs. On peut montrer en effet que
(15)
6. Fonctionnement du marché
La notion de structure des taux, telle qu'elle a été présentée, semble constituer un support idéal pour développer une théorie des taux d'intérêt.
Toutefois, sans hypothèse précise sur le fonctionnement du marché, il est impossible de garantir que P(t,T) soit une application. Ainsi, on ne peut exclure qu'à un même instant t soit constatée sur le marché une situation dans laquelle il existe deux prix différents pour deux obligations de même échéance T : le terme P (t, T) désigne dans ce cas un ensemble et non pas un réel. L'analyse devient alors inutilement complexe, compte tenu de l'objectif initial de la théorie.
Deux facteurs sont susceptibles d'expliquer une telle situation : le risque de défaut et les imperfections du marché.
Le risque de défaut est supporté par le détenteur du titre. Il corres- pond à l'éventualité que l'émetteur ne satisfasse pas à son engagement
c o n t r a c t u e l d e l u i v e r s e r u n f r a n c à l ' é c h é a n c e 5 .
C o n s i d é r o n s p a r e x e m p l e d e u x a g e n t s c h e r c h a n t à é m e t t r e a u m ê m e i n s t a n t t d e s t i t r e s d e m ê m e é c h é a n c e T , e t s u p p o s o n s q u e l e s a c h e t e u r s 5 Les raisons pour lesquelles un émetteur fait défaut peuvent être diverses. TI peut être tout simplement ruiné. Mais on p e u t également envisager la malhonnêteté, c'est-à-dire, en termes plus économiques, le défaut stratégique.
p o t e n t i e l s s o i e n t p e r s u a d é s ( à t o r t ou à r a i s o n ) q u e l ' u n des é m e t t e u r s r e p r é s e n t e u n r i s q u e d e d é f a u t p l u s i m p o r t a n t q u e l ' a u t r e . O n d o i t n a - t u r e l l e m e n t s ' a t t e n d r e à ce q u e le p r i x offert p a r ces a c h e t e u r s s o i t p l u s f a i b l e p o u r les b o n s é m i s p a r l ' é m e t t e u r d o n t le r i s q u e de s i g n a t u r e est c o n s i d é r é c o m m e p l u s i m p o r t a n t 6 . D a n s ces c o n d i t i o n s , l a q u a l i t é r e l a t i v e de l ' é m e t t e u r d e v i e n t u n p a r a m è t r e d e la f o n c t i o n d e p r i x , e t l ' a n a l y s e d e v i e n t b e a u c o u p p l u s c o m p l i q u é e .
P o u r a s s u r e r q u e la s i g n a t u r e n e p u i s s e ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e u n e c a r a c t é r i s t i q u e d i s c r i m i n a n t e des t i t r e s , l ' h y p o t h è s e s i m p l i f i c a t r i c e s e l o n l a q u e l l e c e u x - c i s o n t e x e m p t s d e t o u t r i s q u e d e d é f a u t d o i t ê t r e p o s é e . Le d é t e n t e u r d ' u n b o n est a l o r s a b s o l u m e n t c e r t a i n d ' ê t r e r e m b o u r s é d u p r ê t q u ' i l a a c c o r d é , quel q u e s o i t l ' é m e t t e u r d u t i t r e .
C e t t e h y p o t h è s e est b i e n s û r i r r é a l i s t e . P o u r l ' é t a y e r , on p e u t d i r e c t e - m e n t s u p p o s e r q u e les a g e n t s q u i p a r t i c i p e n t a u m a r c h é n e s o n t en a u c u n e m a n i è r e s u s c e p t i b l e s d e f a i r e d é f a u t , m a i s ceci e s t t r è s difficile à j u s t i f i e r . O n p o u r r a i t é g a l e m e n t s u p p o s e r q u e le r i s q u e d e d é f a u t est m u t u a l i s é g r â c e à u n e i n s t i t u t i o n a d hoc, d ' u n e f a ç o n telle q u e ce r i s q u e affecte c h a q u e a g e n t i n d é p e n d a m m e n t d u p o r t e f e u i l l e d e t i t r e q u ' i l d é t i e n t . M a i s , s a n s h y p o t h è s e s u r le c o m p o r t e m e n t des a g e n t s - et e n p a r t i c u l i e r d e l e u r a t t i t u d e v i s - à - v i s d u r i s q u e - c o m m e n t j u s t i f i e r l ' e x i s t e n c e d ' u n e t e l l e insti- t u t i o n ? O n v o i t q u e l ' a b s e n c e d e r i s q u e d e d é f a u t est u n e h y p o t h è s e p l u t ô t d é l i c a t e . Elle est c e p e n d a n t m a i n t e n u e t o u t a u l o n g d e cet o u v r a g e .
P o u r n e u t r a l i s e r le s e c o n d f a c t e u r s u s c e p t i b l e d e c o m p l i q u e r l ' a n a l y s e , u n e d e u x i è m e h y p o t h è s e s i m p l i f i c a t r i c e d o i t ê t r e a d o p t é e : l ' h y p o t h è s e d u m a r c h é p a r f a i t . U n m a r c h é p a r f a i t est u n m a r c h é s a n s f r i c t i o n , f o n c t i o n - n a n t d e m a n i è r e c o n c u r r e n t i e l l e . S u r u n m a r c h é s a n s f r i c t i o n , il n ' e x i s t e a u c u n c o û t d e t r a n s a c t i o n , ni a u c u n i m p ô t , et l ' a c t i f é c h a n g é e s t p a r - f a i t e m e n t d i v i s i b l e . D e plus, a u c u n e c o n t r a i n t e i n s t i t u t i o n n e l l e n ' i n t e r d i t a u x a g e n t s d e p r a t i q u e r la v e n t e à d é c o u v e r t . S u r u n m a r c h é p a r f a i t e - m e n t c o n c u r r e n t i e l , c h a q u e p a r t i c i p a n t est p e r s u a d é q u ' i l p e u t a c h e t e r o u v e n d r e a u t a n t d ' a c t i f s q u ' i l le s o u h a i t e , a u p r i x d e m a r c h é : il c o n s i d è r e les p r i x c o m m e d o n n é s . D e p l u s , c h a q u e a g e n t a accès à t o u t e l ' i n f o r m a t i o n c o n c e r n a n t les p r i x et les c a r a c t é r i s t i q u e s des t i t r e s .
L ' h y p o t h è s e d u m a r c h é p a r f a i t p e r m e t d o n c d e r a i s o n n e r d a n s le c a d r e c l a s s i q u e d e l ' é q u i l i b r e w a l r a s s i e n . C e c i p e u t a p p a r a î t r e t r è s r e s t r i c t i f , c a r les a v a n c é e s t h é o r i q u e s r é c e n t e s d e la « n o u v e l l e m i c r o é c o n o m i e » s o n t ici négligées. E n p a r t i c u l i e r , il n ' y a a u c u n p r o b l è m e d ' a s y m é t r i e d ' i n f o r m a - t i o n e n c o n c u r r e n c e p a r f a i t e , e t les a g e n t s n e m a n i f e s t e n t a u c u n c o m p o r - t e m e n t s t r a t é g i q u e .
P o u r j u s t i f i e r c e p e n d a n t l ' u t i l i s a t i o n d ' u n c a d r e w a l r a s s i e n , d e u x ar- g u m e n t s ( d e n a t u r e s t r è s d i f f é r e n t e s ) p e u v e n t ê t r e a v a n c é s . E n p r e m i e r lieu, c o n s i d é r a n t l ' e n s e m b l e des m a r c h é s réels, o n p e u t a f f i r m e r q u e les 6Pour obtenir ce résultat, il suffit d'attribuer aux agents un comportement rationnel
« minimal », à savoir qu'ils préfèrent être riches plutôt que pauvres.
m a r c h é s f i n a n c i e r s f o n t c e r t a i n e m e n t p a r t i e d e c e u x q u i se r a p p r o c h e n t le p l u s d e la d é f i n i t i o n d ' u n m a r c h é p a r f a i t . L ' a p p r o x i m a t i o n e s t d o n c rela- t i v e m e n t s a t i s f a i s a n t e . E n s e c o n d lieu, il f a u t c o n s i d é r e r le c o û t e n t e r m e s d e c o m p l e x i t é q u ' i n d u i r a i t l ' a b a n d o n d ' u n e o u d e p l u s i e u r s d e s h y p o t h è s e s é n o n c é e s c i - d e s s u s .
A f i n d ' i l l u s t r e r les d i f f i c u l t é s q u i s u r g i s s e n t l o r s q u ' o n s o r t d e ce c a d r e
« i d é a l » , c o n s i d é r o n s l ' é v e n t u a l i t é d e c o û t s d e t r a n s a c t i o n s u r u n m a r c h é p a r a i l l e u r s p a r f a i t . Se p l a ç a n t à l ' i n s t a n t t, o n e x a m i n e d e u x b o n s d e m ê m e é c h é a n c e T , m a i s é m i s à des d a t e s d i f f é r e n t e s , t o u t e s d e u x a n t é - r i e u r e s à t. C e u x q u i d é t i e n n e n t ces b o n s p e u v e n t v o u l o i r les r e v e n d r e . U n p r i x se f o r m e a l o r s s u r le m a r c h é p o u r c h a c u n d e ces b o n s , e n f o n c t i o n d e l'offre et d e la d e m a n d e 7 .
E n l ' a b s e n c e d e c o û t d e t r a n s a c t i o n , o n m o n t r e f a c i l e m e n t q u e les d e u x p r i x n e p e u v e n t ê t r e d i f f é r e n t s . S u p p o s o n s a u c o n t r a i r e q u ' i l s le s o i e n t . D a n s ce cas, les d é t e n t e u r s des t i t r e s a y a n t le p r i x le p l u s é l e v é n ' o n t q u ' à r e v e n d r e ces t i t r e s p o u r a c q u é r i r i m m é d i a t e m e n t c e u x q u i o n t u n p r i x i n f é r i e u r ( e t q u i o f f r e n t d e s c a r a c t é r i s t i q u e s i d e n t i q u e s e n t e r m e s d e f l u x f i n a n c i e r ) . C e f a i s a n t , ils o b t i e n n e n t u n g a i n n e t s t r i c t e m e n t p o s i t i f , s a n s p r e n d r e a u c u n r i s q u e : ils o n t r é a l i s é u n a r b i t r a g e . Les a g e n t s é t a n t r a t i o n n e l s , u n e telle s i t u a t i o n n ' e s t p a s v i a b l e d a n s u n c o n t e x t e d e m a r c h é p a r f a i t . E n d ' a u t r e s t e r m e s , les d e u x p r i x affichés n e p e u v e n t c o r r e s p o n d r e à u n é q u i l i b r e d u m a r c h é . L a p r é s e n c e d ' o p p o r t u n i t é s d ' a r b i t r a g e c o n d u i t i n s t a n t a n é m e n t à u n a j u s t e m e n t d e l'offre e t d e la d e m a n d e q u i p r o v o q u e la d i s p a r i t i o n d e ces o p p o r t u n i t é s , c ' e s t - à - d i r e l ' é g a l i s a t i o n des d e u x p r i x . S'il e x i s t e des c o û t s d e t r a n s a c t i o n , l ' u n i c i t é d u p r i x des t i t r e s a y a n t des c a r a c t é r i s t i q u e s i d e n t i q u e s e n t e r m e s d e f l u x n ' e s t p l u s g a r a n t i e . Il d e v i e n t e n effet c o û t e u x d e m e t t r e e n œ u v r e l a s t r a t é g i e é v o q u é e p l u s h a u t , si b i e n q u ' e l l e n e c o n d u i t p a s n é c e s s a i r e m e n t à u n g a i n n e t .
P o u r é v i t e r q u e l a d a t e d ' é m i s s i o n d ' u n b o n - et p l u s g é n é r a l e m e n t t o u t e s les c a r a c t é r i s t i q u e s a u t r e s q u e s a d a t e d ' é c h é a n c e - n ' i n t e r v i e n n e n t c o m m e d é t e r m i n a n t d u p r i x c o u r a n t d e ce b o n , l ' h y p o t h è s e d e p e r f e c t i o n d u m a r c h é est a j o u t é e à celle d ' a b s e n c e d e d é f a u t .
D a n s ces c o n d i t i o n s , les d i v e r s b o n s p r é s e n t s s u r le m a r c h é à u n m o - m e n t d o n n é se d i f f é r e n c i e n t u n i q u e m e n t p a r l e u r m a t u r i t é r e s p e c t i v e , e t la s t r u c t u r e des t a u x R ( t , T ) est b i e n u n e a p p l i c a t i o n 8 .
7Dans la réalité, on distingue le marché primaire, sur lequel s'émettent les titres, et le marché secondaire, sur lequel ils sont revendus (ce dernier est, en quelque sorte, un marché « d'occasion »). Cependant, les hypothèses du modèle permettent d'ignorer cette distinction.
8De plus, considérant une obligation délivrant des coupons, il devient possible de construire un portefeuille parfaitement équivalent et uniquement composé de bons zéro-coupon.
7. T e m p s c o n t i n u
D a n s le c a d r e d ' u n m o d è l e en t e m p s c o n t i n u , les t r a n s a c t i o n s p e u v e n t a v o i r lieu à n ' i m p o r t e q u e l i n s t a n t . Bien e n t e n d u , ce n ' e s t p a s t o u t à f a i t le cas d a n s la r é a l i t é . C e p e n d a n t , le c h o i x d u t e m p s c o n t i n u p e u t ê t r e j u s t i f i é p a r l ' h y p o t h è s e d ' a b s e n c e d e f r i c t i o n s u r le m a r c h é .
S'il n ' e x i s t e en effet a u c u n c o û t d e t r a n s a c t i o n , a u c u n i m p ô t , et si les a c t i f s p e u v e n t ê t r e é c h a n g é s en n ' i m p o r t e q u e l l e q u a n t i t é , les i n v e s t i s s e u r s p r é f é r e r o n t r é v i s e r la c o m p o s i t i o n d e l e u r p o r t e f e u i l l e à t o u t i n s t a n t . E n d ' a u t r e s t e r m e s , c e l a signifie q u ' e n l ' a b s e n c e d e c o n t r a i n t e s e x t e r n e s , les i n v e s t i s s e u r s a u r o n t n a t u r e l l e m e n t t e n d a n c e à r a i s o n n e r e n t e m p s c o n t i n u , et c e l a i n d é p e n d a m m e n t d u f a i t q u ' i l s d é c i d e n t , o u n o n , d e r é a l i s e r effec- t i v e m e n t des t r a n s a c t i o n s . Le c h o i x d u t e m p s d i s c r e t s ' i n t e r p r è t e a l o r s c o m m e u n e r e c o n n a i s s a n c e i m p l i c i t e d e l ' e x i s t e n c e d e c o û t s d e t r a n s a c - t i o n , o u de p r o b l è m e s d ' i n d i v i s i b i l i t é .
D e plus, il c o n d u i t à a d m e t t r e q u e ces f r i c t i o n s a u t o r i s e n t l ' a d o p t i o n d ' u n h o r i z o n de t r a n s a c t i o n ( l ' i n t e r v a l l e d e t e m p s m i n i m u m e n t r e d e u x t r a n s a c t i o n s ) fixe et c o n s t a n t d a n s le t e m p s .
A c e t t e a s s e r t i o n difficile à j u s t i f i e r s ' a j o u t e u n a u t r e p r o b l è m e . O n d o i t , e n effet, s ' a t t e n d r e à ce q u e l ' é q u i l i b r e a t t e i n t s u r u n m a r c h é ou- v e r t p é r i o d i q u e m e n t d é p e n d e d e la l o n g u e u r d e l ' h o r i z o n d e t r a n s a c t i o n c o n s i d é r é , t o u t s i m p l e m e n t p a r c e q u ' u n i n v e s t i s s e u r p r e n a n t u n e d é c i s i o n i r r é v o c a b l e p o u r p l u s i e u r s a n n é e s n ' e f f e c t u e p a s ses c h o i x d e la m ê m e fa- çon q u e s'il p o u v a i t r é o r g a n i s e r la c o m p o s i t i o n d e s o n p o r t e f e u i l l e à t o u t i n s t a n t . V i r t u e l l e m e n t , et i n v o l o n t a i r e m e n t , u n m o d è l e e n t e m p s d i s c r e t t r a i t e d o n c des c o n s é q u e n c e s j o i n t e s d e l ' i m p e r f e c t i o n des m a r c h é s et d u c o m p o r t e m e n t des i n v e s t i s s e u r s . L a l i s i b i l i t é des r é s u l t a t s n e p e u t q u ' e n souffrir.
C e s r e m a r q u e s i n c i t e n t à s é l e c t i o n n e r c o m m e h o r i z o n d e t r a n s a c t i o n le
« p l u s p e t i t i n t e r v a l l e de t e m p s » , d e f a ç o n à é v i t e r t o u t e i n t r u s i o n i n t e m - p e s t i v e des p r é f é r e n c e s i n d i v i d u e l l e s des i n v e s t i s s e u r s . O n d o i t a d m e t t r e q u e le seul c h o i x n o n a m b i g u d e ce p o i n t d e v u e c o n d u i t à t r a v a i l l e r e n t e m p s c o n t i n u 9 .
8. S t r u c t u r e d e s t a u x e n u n i v e r s c e r t a i n
U n u n i v e r s p e u p l é d ' a g e n t s est q u a l i f i é d ' u n i v e r s c e r t a i n l o r s q u e c e u x - c i o n t u n e p a r f a i t e c o n n a i s s a n c e d u f u t u r . D a n s le c a d r e d ' u n m o d è l e f o r m a - lisé, c e t t e h y p o t h è s e signifie q u e les a g e n t s c o n n a i s s e n t e x a c t e m e n t les
9 A u - d e l à d e c e t t e m o t i v a t i o n « t h é o r i q u e », il f a u t t o u t s i m p l e m e n t r e c o n n a î t r e q u e , e n r è g l e g é n é r a l e , les m a n i p u l a t i o n s f o r m e l l e s n é c e s s i t é e s p a r u n m o d è l e s o n t b i e n p l u s s i m p l e s l o r s q u e celui-ci e s t e x p r i m é e n t e m p s c o n t i n u .
