L usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé

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L’usage de la calculatrice scientifique non programmable est autorisé

Le sujet comporte 5 exercices

On donnera les expressions littérales avant de passer aux applications numériques

Exercice I (7 points) :

- Partie 1 : Étude du dosage de l’acide lactique.

- Partie 2 : Étude conductimétrique d’une solution aqueuse d’acide lactique.

- Partie 3 : l’électrolyse d’une solution aqueuse de nitrate de chrome III.

Exercice II (3,5 points) :

- Partie 1 : Étude d’une onde mécanique le long d’une corde.

- Partie 2 : Diffraction d’une onde lumineuse.

Exercice III (2,5 points) :

- Datation d’une roche volcanique.

Exercice IV (4,5 points) :

- Partie 1 : Étude de dipôle RL.

- Partie 2 : Étude des oscillations électriques dans le circuit RLC libre.

Exercice V (2,5 points) :

-

Étude de mouvement d’une balle dans un champ de pesanteur uniforme.

Réalisé par :

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Barème

0,25 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt

0,5 pt

0,75 pt

Exercice I (7 points)

Les principaux ennemis des chauffe-eaux et des cafetières sont les dépôts calcaires, produits lors d’usage quotidien de ces appareils cela peut perturber leur fonctionnement, pour entretenir ces appareils, il est

nécessaire d’enlever régulièrement ces dépôts.

Plusieurs fabricants d'appareils recommandent d'utiliser un détartrant à base d'acide lactique de formule 𝑪_𝟑𝑯_𝟔𝑶_𝟑 (ou d'acide acétique), cet acide n'est pas corrosif par rapport aux pièces métalliques contenues ces

appareils.

Cet exercice se propose de vérifier la 𝒑𝑲_𝑨 du couple 𝑪_𝟑𝑯_𝟔𝑶_{𝟑(𝒂𝒒)}⁄𝑪_𝟑𝑯_𝟓𝑶_{𝟑(𝒂𝒒)}⁻ par deux méthodes.

I.

L’étiquette d’un détartrant commercial, on trouve les informations suivantes :

 La masse molaire de l’acide lactique : 𝑴 = 𝟗𝟎 𝒈. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏

 La masse volumique du détartrant commercial : 𝝆 = 𝟏, 𝟏𝟑 𝒌𝒈. 𝑳^−𝟏

 Le pourcentage massique : 𝒑 = 𝟒𝟕, 𝟖 % Données : Toutes les mesures sont effectuées à 𝟐𝟓°𝑪,

− Le produit ionique de l’eau : 𝑲_𝒆=𝟏𝟎^−𝟏𝟒

− La constante d’acidité du couple 𝑪_𝟑𝑯_𝟔𝑶_{𝟑(𝒂𝒒)}⁄𝑪_𝟑𝑯_𝟓𝑶_{𝟑(𝒂𝒒)}⁻ : 𝑲_𝑨 =𝟏𝟎^−𝟑,𝟗

− Zone de virage de quelques indicateurs colorés :

Afin de déterminer la concentration molaire 𝑪_𝟎 de la solution (𝑺_𝟎) du détartrant commercial, on réalise un dosage acido-basique.

On dilue 20 fois un volume 𝑽 de la solution (𝑺_𝟎) on obtient une solution aqueuse (𝑺𝑨) d’acide lactique de concentration molaire 𝑪_𝑨 .

On prélève un volume 𝑽_𝑨 = 𝟏𝟎 𝒎𝑳 de la solution (𝑺_𝑨) et on dose par une solution aqueuse (𝑺_𝑩) d’hydroxyde de sodium (𝑵𝒂(𝒂𝒒)+ + 𝑯𝑶(𝒂𝒒)− ) de concentration 𝑪𝑩= 𝟐. 𝟏𝟎^−𝟏 𝒎𝒐𝒍. 𝑳^−𝟏.

En suivant l’évolution du 𝒑𝑯 en fonction du volume 𝑽_𝑩 d’hydroxyde de sodium versé, Les résultats obtenus permettent de tracer la courbe de dosage 𝒑𝑯 = 𝒇( 𝑽_𝑩). (Page suivante)

1. Écrire l’équation chimique modélisant la réaction du dosage.

2. Monter que la réaction du dosage est totale.

3. Calculer la concentration 𝑪𝑨.

4. Calculer la masse 𝒎 de l’acide lactique dans un 1L de la solution commerciale, et vérifier le pourcentage massique l’acide lactique indiqué sur l’étiquette.

5. Parmi les indicateurs colorés indiqués dans le tableau ci-dessus, choisir celui qui conviendra le mieux à ce dosage. Justifier votre réponse.

6. Lorsqu’on ajoute un volume 𝑽_𝑩= 𝟏𝟐 𝒎𝑳 de la solution (𝑺_𝑩), monter que la constante 𝒑𝑲_𝑨

vérifier la relation suivante :

𝒑𝑲𝑨= 𝒑𝑯 + 𝒍𝒐𝒈 (𝑽_𝑩𝑬 𝑽𝑩

− 𝟏) Vérifier sa valeur.

L’indicateur coloré Jaune de méthyle Hélianthine Rouge de crésol

Zone de virage 𝟐, 𝟗 − 𝟒 𝟑, 𝟏 − 𝟒, 𝟒 𝟕, 𝟐 − 𝟗

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Barème

0,25 pt 0,5 pt 0,75 pt

0,5 pt

II.

− Les conductivités molaires ioniques :

𝝀_𝟏= 𝝀_𝑯𝟑𝑶⁺ = 𝟑𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑 𝑺. 𝒎^𝟐. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏 ; 𝝀_𝟐= 𝝀_{𝑪𝟑𝑯𝟓𝑶𝟑}⁻= 𝟒. 𝟏𝟎^−𝟑 𝑺. 𝒎^𝟐. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏

La mesure de la conductivité du volume 𝑽 de la solution précédente (𝑺_𝑨) d’acide lactique de concentration molaire 𝑪_𝐀 à donner la valeur 𝝈 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟒 𝑺. 𝒎^−𝟏.

En négligeant la participation des ions hydroxyde 𝑯𝑶⁻ à la conductivité de la solution.

1. Écrire l’équation chimique modélisant la réaction de l’acide lactique avec l’eau.

2. Exprimer le taux d’avancement final 𝝉 de la réaction en fonction de 𝝈, 𝑪_𝐀 , 𝝀_𝟏 et 𝝀_𝟐. 3. Trouver l’expression de la constante 𝒑𝑲_𝑨 en fonction de 𝑪𝐀 et de 𝝉. Vérifier sa valeur.

4. Déterminer, parmi les deux espèces 𝑪_𝟑𝑯_𝟔𝑶_{𝟑(𝒂𝒒)} et 𝑪_𝟑𝑯_𝟓𝑶_{𝟑(𝒂𝒒)}⁻ , l’espèce chimique prédominante dans la solution (𝑺𝑨).

III.

On réalise l’électrolyse d’une solution aqueuse de nitrate de chrome III (𝑪𝒓_(𝒂𝒒)^𝟑+ + 𝟑 𝑵𝑶_{𝟑(𝒂𝒒)}⁻ ), en mettant cette solution dans un électrolyseur et en faisant circuler un courant continu d’intensité 𝑰 = 𝟓𝟎 𝒎𝑨 entre les deux électrodes (𝑨) et (𝑩) de l’électrolyseur pendant la durée ∆𝒕 = 𝟏𝒉 𝟑𝟎𝒎𝒊𝒏 .

On observe pendant l’électrolyse la formation d’un dépôt métallique de chrome sur l’électrode (𝑨) et un dégagement gazeux au niveau de l’électrode (𝑩).

Données :

− Les couples Ox/Red : 𝑪𝒓(𝒂𝒒)𝟑+ ⁄𝑪𝒓(𝒔) et 𝑶𝟐(𝒈)⁄𝑯𝟐𝑶(𝒍) et 𝑯𝟐𝑶(𝒍)⁄𝑯𝟐(𝒈)

− La constante de Faraday : 𝟏 𝓕 = 𝟗, 𝟔𝟓 . 𝟏𝟎^𝟒 𝑪. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏

− La masse molaire atomique du chrome : 𝑴 = 𝟓𝟐 𝒈. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏

− Le volume molaire du gaz dans les conditions de l’expérience : 𝑽_𝒎= 𝟐𝟓 𝑳. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏

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Barème

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,25 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt

Recopier, sur la feuille de rédaction, le numéro de la question et écrire à coté, parmi les réponses proposées, la réponse juste sans aucune explication ni justification

1. Pendant cette électrolyse :

 L’électrode (A) constitue la cathode et à son voisinage les ions chrome III se réduisent.

 L’électrode (A) constitue l’anode et à son voisinage le chrome s’oxyde.

 L’électrode (B) constitue la cathode et à son voisinage l’eau se réduit.

 L’électrode (B) constitue l’anode et à son voisinage se produit une réduction.

2. La réaction qui se produit au niveau de l’électrode (B) est :

 𝑪𝒓(𝒂𝒒)𝟑+ + 𝟑𝒆⁻ ⇌ 𝑪𝒓(𝒔)  𝟐𝑯𝟐𝑶(𝒍)+ 𝟐𝒆⁻⇌ 𝑯𝟐(𝒈)+ 𝟐𝑯𝑶(𝒂𝒒)−

 𝟐𝑯𝟐𝑶(𝒍)⟶ 𝑶𝟐(𝒈)+ 𝟒𝑯(𝒂𝒒)+ + 𝟒𝒆⁻  𝟔𝑯𝟐𝑶(𝒍)⇌ 𝑶𝟐(𝒈)+ 𝟒𝑯𝟑𝑶(𝒂𝒒)+ + 𝟒𝒆⁻ 3. La masse 𝒎 du chrome déposé sur la cathode pendant la durée ∆𝒕 est :

 𝒎 ≈ 𝟎, 𝟖 𝒎𝒈  𝒎 ≈ 𝟏𝟐, 𝟏𝟐𝒎𝒈

 𝒎 ≈ 𝟒𝟖, 𝟓 𝒎𝒈  𝒎 ≈ 𝟑𝟔, 𝟒 𝒈

4. Le volume 𝑽 du gaz formé pendant la durée ∆𝒕 est :

 𝑽 ≈ 𝟏𝟔, 𝟖 𝒎𝑳  𝑽 ≈ 𝟏𝟕, 𝟓 𝒎𝑳

 𝑽 ≈ 𝟐𝟑, 𝟑 𝒎𝑳  𝑽 ≈ 𝟎, 𝟏𝟕𝟓 𝑳

Exercice II (3,5 points)

I.

Une corde élastique de longueur infinie, tendue horizontalement, est attachée par son extrémité 𝑺 à une lame vibrante qui lui communique, à partir de l'instant de date 𝒕_𝟎= 𝟎, des vibrations progressives sinusoïdales. On suppose qu'il n'y a aucun amortissement ni réflexion.

Une des courbes ci-dessous représente l’aspect de la corde à l’instant 𝒕_𝟏 tel que l’unité des abscisses en (𝒄𝒎) et l’autre courbe l’élongation du mouvement d’un point 𝑨 de la corde située à la distance 𝒅 de la source 𝑺 en fonction de temps (𝒎𝒔).

1. L’onde étudiée est transversale ou longitudinale ? Justifier la réponse.

2. Déterminer la valeur de la longueur d’onde 𝝀 et celle de la célérité 𝒗. 3. Déterminer la distance 𝒅, et déduire la valeur de l’instant 𝒕_𝟏.

4. Exprimer l’élongation 𝒚𝑨(𝒕) du point 𝑨 à l’instant 𝒕 en fonction de l’élongation 𝒚𝑺(𝒕) du point 𝑺 et la période 𝑻.

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Barème

0,25 pt 0,5 pt 0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

1. Partie 2 : Diffraction d’une onde lumineuse :

Lorsque la lumière rencontre une ouverture ou un obstacle de faible dimension, elle ne se propage pas en ligne droite, il se produit le phénomène de diffraction qui nous permet de déterminer l’indice de réfraction n d’un

milieu transparent par rapport à une lumière monochromatique.

Le fil de pèche est fabrique à partir du nylon qui supporte une grande résistance au poisson pèche, son diamètre est très petit que les poissons ne peuvent pas le voir.

Pour déterminer le diamètre 𝒂 d’un fil de pêche, l’éclaire à l’aide d’une source laser de lumière monochromatique rouge de longueur d’onde 𝝀_𝟎𝑹=𝟔𝟓𝟔 𝒏𝒎, sur un écran situe à une distance 𝑫 = 𝟑 𝒎 du fil on obtient des taches lumineuses, la largeur de la tache centrale est 𝑳_𝟎𝑹= 𝟕, 𝟐𝟓 𝒄𝒎 .

Données :

− La célérité de la lumière dans l’air est 𝒄 = 𝟑. 𝟏𝟎^𝟖 𝒎. 𝒔^−𝟏.

− Pour 𝜽 petit, on considère que 𝒕𝒂𝒏𝜽 ≈ 𝜽. 2. Définir une lumière monochromatique.

3. Exprimer le diamètre 𝒂 en fonction de 𝑫, 𝑳𝟎𝑹 et 𝝀𝟎𝑹. Calculer sa valeur.

4. On garde le dispositif précèdent, on remplace la source laser rouge par une autre source laser violette de longueur d’onde 𝝀_𝟎𝑽 et on obtient une tache centrale de largeur 𝑳_𝟎𝑽= 𝟒, 𝟖 𝒄𝒎. Exprimer 𝝀𝟎𝑽 en fonction de 𝝀𝟎𝑹, 𝑳𝟎𝑹 et 𝑳𝟎𝑽, calculer 𝝀𝟎𝑽

5. La longueur d’onde d’une onde lumineuse dans un prisme de verre :

Radiation lumineuse Le violet Le rouge

L’indice de refraction 𝒏 d’un prisme de verre transparent pour une radiation monochromatique de longueur d’onde 𝝀𝟎 dans

l’air est définit par la loi de Cauchy:

𝒏 = 𝑨 + 𝑩 𝝀_𝟎^𝟐

Avec A et B des constantes qui dépend de verre du prisme.

𝒏_𝑽= 𝟏, 𝟓𝟐𝟖 𝒏_𝑹= 𝟏,𝟓𝟏𝟒

Trouver les valeurs des constantes 𝑨 et 𝑩.

Exercice III (2,5 points)

Les géologues et les astronomes utilisent la méthode de la datation d’uranium-thorium pour déterminer l'âge des roches anciennes et des météorites. Le but de cet exercice est l’étude du nucléide uranium ^𝟐𝟑𝟖_𝟗𝟐𝑼, et la

détermination approchée de l’âge d’une roche volcanique.

Données :

𝑬_𝒍(𝑿) = 𝟐𝟖, 𝟐𝟖 𝑴𝒆𝑽 ; 𝑬_𝒍(𝟐𝟑𝟖𝟗𝟐𝑼) = 𝟏𝟕𝟓𝟒, 𝟔𝟕 𝑴𝒆𝑽 𝑬𝒍(^𝟐𝟑𝟒_𝟗𝟎𝑻𝒉) = 𝟏𝟏𝟕𝟖, 𝟓𝟎 𝑴𝒆𝑽

1. Le nucléide d’uranium 𝟐𝟑𝟖𝟗𝟐𝑼 se transforme en nucléide de thorium ^𝟐𝟑𝟒_𝟗𝟎𝑻𝒉 , trouver la particule émise et définir ce type de radioactivité.

2. La figure ci-dessous représente les variations de 𝒍𝒏 (𝑵) en fonction du temps 𝒕, avec 𝑵 le nombre de noyaux d’uranium 238 restant dans un

échantillon à l’instant 𝒕.

Calculer l’activité de l’échantillon à l’instant 𝒕 = 𝟔. 𝟏𝟎^𝟗 𝒂𝒏𝒔.

x

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Barème

0,5 pt

0,5 pt 0,5 pt

3. Des analyses faites sur une roche ancienne montre qu’elle contient la masse 𝒎𝑼= 𝟏 𝒈 et la masse 𝒎_𝑻𝒉 = 𝟏𝟎 𝒎𝒈.

On suppose que le thorium dans cette roche provient uniquement de la désintégration de l’uranium 238 avec le temps.

3.1. Montrer que l’âge de la roche minérale est : 𝒕 =𝒕_{𝟏 𝟐}⁄

𝒍𝒏𝟐. 𝒍𝒏 (𝟏 +𝑵(^𝟐𝟑𝟒𝑻𝒉) 𝑵(^𝟐𝟑𝟖𝑼) )

3.2. Calculer 𝒕 en ans sachant que 𝑴(^𝟐𝟑𝟒𝑻𝒉) = 𝟐𝟑𝟒 𝒈. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏 et 𝑴(^𝟐𝟑𝟖𝑼) = 𝟐𝟑𝟖 𝒈. 𝒎𝒐𝒍^−𝟏. 3.3. Calculer l’énergie libérée 𝑬_𝒍𝒊𝒃 par la roche depuis sa formation jusqu’à l’instant 𝒕.

Exercice IV (4,5 points)

On utilise les condensateurs et les bobines dans un ensemble de montages électriques.

L’exercice vise à déterminer l’induction 𝑳 d’une bobine et à étudier un circuit oscillant libre pour déterminer la capacité 𝑪 d’un condensateur.

Le circuit électrique représenté sur la figure 1 est constitué de :

− Un générateur 𝑮 de tension idéal de force électromotrice 𝑬.

− Une bobine d’inductance 𝑳 et de résistance interne négligeable.

− Un condensateur de capacité 𝑪.

− Deux conducteurs ohmiques 𝑫_𝟏 et 𝑫_𝟐 de même résistance 𝑹 = 𝟐𝟎 𝛀.

− Trois interrupteurs 𝑲_𝟏, 𝑲_𝟐 et 𝑲_𝟑.

I.

On pose 𝑹_é𝒒 la résistance équivalente du conducteur ohmique équivalent aux 𝑫_𝟏 et 𝑫_𝟐..

On suit l’évolution de la tension 𝒖_𝑹é𝒒 aux bornes du conducteur ohmique équivalent et la tension 𝒖_𝑳 aux bornes de la bobine en fonction du temps. La figure 2 représente les courbes 𝒖_𝑹é𝒒 et 𝒖𝑳. La droite (T) représente la tangente à la courbe (2) à l’origine des temps.

Figure 2

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Barème 0,5 pt 0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt

0,5 pt

1. Identifier parmi les courbes (1) et (2) celle qui correspond à la tension 𝒖𝑳. Justifier la réponse.

2. Trouver, en fonction des paramètres du circuit, l’expression de l’intensité du courant 𝑰_𝐏 en régime permanant.

3. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension 𝒖_𝑹é𝒒. 4. La solution de l’équation différentielle est 𝒖_𝑹é𝒒= 𝑹é𝒒. 𝑰𝐏. (𝟏 − 𝒆−^𝒕

𝝉), déterminer l’expression de 𝝉. 5. En exploitant la figure 2 déterminer les valeurs de 𝑬 et 𝑳.

II.

On ouvre les interrupteurs puis on ferme 𝑲_𝟏 et 𝑲_𝟐 , le condensateur se charge totalement.

Ensuite, à l’instant 𝒕 = 𝟎 considérer comme nouvelle origine du temps, on ouvre l’interrupteur 𝑲_𝟏 et on ferme 𝑲_𝟑.

À l’aide d’un matériel informatique adéquat, on suit l’évolution de la charge 𝒒(𝒕) aux bornes du condensateur en fonction du temps, et on obtient la courbe représentée sur la figure 3.

1. Interpréter le phénomène traduit la courbe de la figure 3.

2. Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge 𝒒(𝒕).

3. Déterminer la capacité 𝑪 du condensateur sachant que la pseudo-période est égale à la période propre de l’oscillateur électrique 𝑳𝑪. (On prend 𝝅^𝟐= 𝟏𝟎)

4. Calculer l’énergie dissipée par effet de joule dans le circuit entre les instants 𝒕_𝟎= 𝟎 et 𝒕_𝟏=^{𝟓 𝑻}_𝟒

.

(La droite (T) représente la tangente à la courbe à l’instant 𝒕_𝟏).

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Barème

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

Exercice V (2,5 points)

À l’instant 𝒕 = 𝟎, la balle est envoyée du point 𝑨 avec une vitesse initiale 𝒗⃗⃗⃗⃗ _𝟎, forme l’angle 𝜷 avec le plan incliné (𝑨𝑩) , ce dernier est incliné d’un angle 𝜶 par rapport au plan horizontal (𝑨𝒙).

La balle retombe en une position où le point 𝑮 se confond avec le point 𝑩. (Figure 1) On suppose que la balle n'est soumise qu'à son poids au cours de son mouvement.

L’étude du mouvement est effectuée dans le repère orthonormé terrestre supposé galiléen 𝓡(𝑨, 𝒊 , 𝒋 ).

Données :

− L’angle 𝜶= 𝟑𝟎°;

− Intensité de la pesanteur : 𝒈 = 𝟏𝟎 𝒎. 𝒔^−𝟐;

À l’aide d’un logiciel adéquat, on obtient les deux courbes représentées sur la figure 2.

Les deux courbes 𝒗_𝒙(𝒕) et 𝒗_𝒚(𝒕) représentent les variations des coordonnées du vecteur vitesse de la balle dans le repère 𝓡(𝑨, 𝒊 , 𝒋 ).

1. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir les expressions des composantes 𝒗_𝒙(𝒕) et 𝒗_𝒚(𝒕) dans le repère 𝓡(𝑨, 𝒊 , 𝒋 ).

2. En exploitant les courbes, déterminer la valeur de l’angle 𝜷 et celle la vitesse initiale 𝒗_𝟎.

3. Monter que l’équation de la trajectoire de centre d’inertie de la balle 𝑮 dans le repère 𝓡(𝑨, 𝒊 , 𝒋 ) s’écrit sous la forme :

𝒚 = −𝟎, 𝟐 . 𝒙^𝟐+ √𝟑 . 𝒙

4. Trouver la valeur de la hauteur maximale atteint par la balle par rapport au sol.

5. Déterminer la distance 𝑨𝑩.

Figure 2 Sol

Figure 1

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