Chapitre 13 : Forces conservatives – Energie potentielle
I. Rappels
1. Travail élémentaire d’une force
Soit un point matériel M, soumis à l’action de 𝐹⃗, effectuant un déplacement élémentaire 𝑑ℓ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) = 𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗entre deux instants t et t+dt dans un référentiel auquel on associe un repère d’origine O : le travail élémentaire de cette force s’écrit :
𝛿𝑊 = 𝐹⃗. 𝑑ℓ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹⃗. 𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 2. Forces conservatives
• Définition : 𝐹⃗est une force conservative s’il existe une fonction EP, appelée énergie potentielle, telle que :
𝛿𝑊 = −𝑑𝐸𝑝.
• Propriété : le travail d’une force conservative est indépendant du chemin suivi : 𝑊 = ∫ 𝛿𝑊
𝐵
𝐴
= ∫ −𝑑𝐸𝑝
𝐵
𝐴
= − ∫ 𝑑𝐸𝑝
𝐵
𝐴
= − (𝐸𝑝(𝐵) − 𝐸𝑝(𝐴)) = 𝐸𝑝(𝐴) − 𝐸𝑝(𝐵)
3. Théorème de l’énergie mécanique
• Théorème : Soit un point matériel M subissant des actions mécaniques, dans le référentiel d’étude supposé galiléen : 𝒅𝑬𝒎= 𝜹𝑾𝒏𝒄⟹ ∆𝑬𝒎= 𝑾𝒏𝒄, où 𝑊𝑛𝑐 est la somme des travaux des forces non conservatives.
• Conséquences :
- en présence de forces conservatives 𝐹⃗⃗⃗⃗𝑐 et/ou à des forces ne travaillant pas 𝐹⃗⃗⃗⃗0, dEm=0Em=cste .
→ le système est alors dit conservatif
- sinon, Em ≠ cste. Exemple : si 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑛𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡, alors Wnc < 0 (force résistante), et 𝑑𝐸𝑚< 0 ⇒ 𝐸𝑚↘.
→ le système est dit dissipatif.
II. Force et Energie potentielle
1. Relation entre Ep et 𝑭⃗⃗⃗
En coordonnées cartésiennes : 𝑑𝐸𝑝= −𝛿𝑊 = −𝐹⃗. 𝑑ℓ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐹⃗. 𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. . . ..
Par ailleurs, on peut écrire : 𝑑𝐸𝑝=. . . ..
On en déduit : 𝐹𝑥=. . . 𝐹𝑦=. . . 𝐹𝑦=. . .
donc :
Généralisation : en coordonnées sphériques :
2/5
3. Application aux forces newtoniennes a. Force gravitationnelle 𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒈
• Expression : 𝐹⃗⃗⃗⃗ = −𝐺𝑔 𝑚1𝑚 𝑟2 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟
• Détermination de l’énergie potentielle associée :
b. Force électrostatique 𝑭⃗⃗⃗⃗⃗𝒆
• Expression : 𝐹⃗⃗⃗⃗ =𝑒 𝑞1𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟
• Détermination de l’énergie potentielle associée :
II. Champ et potentiel
1. Champ et potentiel électrostatique
a. Champ électrostatique 𝑬⃗⃗⃗ et Force électrostatique 𝑭⃗⃗⃗⃗⃗𝒆
Relation entre le champ 𝐸⃗⃗ crée en un point M par une charge q1, et la force électrostatique 𝐹⃗⃗⃗⃗𝑒:
b. Champ électrostatique 𝑬⃗⃗⃗ et Potentiel électrostatique Ve
Relation entre le champ 𝐸⃗⃗ et le potentiel électrostatique Ve :
Détermination de l’expression de Ve :
2. Champ et potentiel gravitationnel
a. Champ gravitationnel 𝑮⃗⃗⃗ et Force gravitationnelle 𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒈
Relation entre le champ 𝐺⃗ crée en un point M par une masse m1, et la force gravitationnelle :
b. Champ gravitationnel 𝑮⃗⃗⃗ et Potentiel gravitationnel Vg
Relation entre le champ 𝐺⃗ et le potentiel gravitationnel Vg :
Détermination de l’expression de Vg :
III. Application à l’étude de l’oscillateur harmonique amorti 1. Description du système d’étude
Schéma :
- Référentiel :
- Système :
- Forces :
2. Aspects énergétiques : prévision qualitative
• Rappel :𝒅𝑬𝒎= 𝜹𝑾𝒏𝒄
• Quelles sont les forces qui ne travaillent pas ?
• Quelles sont les forces conservatives ?
• Bilan : 𝒅𝑬𝒎=
4/5 3. Equation différentielle du mouvement
• Application du principe fondamental de la dynamique :
• En projetant sur l’axe (Ox) :
Avec : 𝝎𝟎=………….: ………
𝝀 = ………….: ………
4. Solutions de l’équation différentielle // circuit RLC série
Oscillateur non amorti Oscillateur amorti
𝝀
Régime
𝒙(𝒕) =
𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕) + 𝑩 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝟎𝒕) ou
𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕 + 𝝋)
𝑨𝒆𝒓𝟏𝒕+ 𝑩𝒆𝒓𝟐𝒕 avec:
𝒓𝒊= −𝝀 ±√𝜟 𝟐 𝜟 = 𝟒(𝝀𝟐− 𝝎𝟎𝟐)
𝒆−𝝀𝒕(𝑨 + 𝑩𝒕)
𝒆−𝝀𝒕(𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝜴𝒕) + 𝑩 𝒔𝒊𝒏(𝜴𝒕)) ou
𝑨𝒆−𝝀𝒕𝒄𝒐𝒔(𝜴𝒕 + 𝝋) avec:
𝜴 =√−𝜟
𝟐 = √𝝎𝟎𝟐− 𝝀𝟐
5. Cas d’oscillations forcées
A présent, l’extrémité du ressort est soumise, en plus des autres forces, à une force 𝐹⃗ = 𝐹𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑥 0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑥
• Application du principe fondamental de la dynamique :
• En projetant sur l’axe (Ox) :
• En utilisant les grandeurs complexes :
• En posant : 𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝋) ⇒ 𝒙 = 𝒙𝟎𝒆𝒋(𝝎𝒕+𝝋) et 𝑭 = 𝑭𝟎𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒕 ⇒ 𝑭 = 𝑭𝟎𝒆𝒋𝝎𝒕, l’équation devient :
• On obtient :
𝒙 =
Et donc : 𝒙𝟎 =
𝝋 =
