En physique, on utilise principalement 3 systèmes de coordonnées (ou repère). On choisit le système de coordonnées en fonction de la géométrie du problème.
1 Coordonnées cartésiennes
1.1 Repère cartésien Repère cartésien
Lerepère cartésienest un repère orthonormé défini par un point origineO et une base orthonormée directe(−u→x;−→uy;−→uz) : c’est le repère (O;−u→x;−→uy;−→uz).
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Systèmes de coordonnées et bases.
On considère un point M étudié dans un référentiel . Le repère d’espace lié au solide de référence est d'origine O et d'axes orthogonaux Ox, Oy, Oz.
Base cartésienne.
Les coordonnées de M sont x, y, z dans la base cartésienne u u u
x,
y,
z .Les vecteurs de cette base sont fixes par rapport au référentiel . Le vecteur position s’écrit :
x y z
OM xu yu zu
Un déplacement élémentaire du point M s’écrit dM ou dOM : d OM dxu
xdyu
ydzu
zSurfaces élémentaires : d S d d , d x y S d d x z , d S d d y z Volume élémentaire : d d d d x y z
Base cylindrique.
Cette base est obtenue par rotation de la base cartésienne u u u
x,
y,
zd’un angle autour de l’axe Oz :
Les coordonnées de M sont , , r z dans la base cylindrique u u u
r, ,
z.
Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :
r z
OM ru zu
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L’axe (droite orientée) défini par :
• le pointO et le vecteur unitaire−u→x est noté axe Oxet appelé axe des abscisses.
• le pointO et le vecteur unitaire−u→y est noté axeOy et appelé axe desordonnées.
• le pointO et le vecteur unitaire−u→z est noté axe Oz et appelé axe descotes.
En projetant la position du point M sur chaque axe, on détermine les coordonnées carté- siennes de M :(x;y;z) avec x∈R,y ∈Ret z∈R.
Projection sur le plan0xz Projection sur le plan0xy
1.2 Position, vitesse et accélération
•Vecteur position: les coordonnées deM définissent de façon unique la position de l’extrémité du vecteur position :
−−→OM =x−→ux+y−u→y+z−→uz
•Vecteur vitesse: levecteur vitesseest défini à partir de la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
−
→v = ˙x−u→x+ ˙y−u→y+ ˙z−u→z
• Vecteur accélération: le vecteur accélérationest défini à partir de la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :
−
→a = ¨x−u→x+ ¨y−u→y+ ¨z−u→z
Lavoisier - PC 1
Systèmes de coordonnées
1.3 Déplacement, surface et volume élémentaires
• Déplacement élémentaire : la position du point M dépend de plusieurs paramètres (les 3 coordonnées). Si on fait varier chaque paramètre de manière infinitésimale (toute petite variation), alors le point M de déplace un tout petit peu : c’est ce qu’on appelle le déplacement élémentaire d−−→
OM.
En coordonnées cartésienne, on fait varierx,y etzd’une quantité infinitésimale dx, dy et dz. Cela signifie que les nouvelle coordonnées de M sont (x+dx;y+dy;z+dz).
Dans ce cas, le déplacement élémentaire est : d−−→
OM =dx−→ux+dy−→uy+dz−→uz
dy dx dz
dOM
O
• Surface élémentaire: le déplacement du point M engendre dans chaque plan une surface élémentaire dS. La surface est orientée par un vecteur unitaire orthogonal à la surface. En coordonnées cartésiennes, on a 3 surfaces élémentaires :
d−→
Sz =dxdy−→uz d−→
Sy =dxdz−u→y d−→
Sx =dydz−u→x
• Volume élémentaire : de la même manière que pour la surface élémentaire, on définit un volume élémentaire dτ :
dτ =dxdydz
Remarque : le volume élémentaire est délimité par une surface. Cette surface est orientée par un vecteur orthogonal à la surface : ce vecteur sera toujoursorienté vers l’extérieur du volume.
Systèmes de coordonnées
2 Coordonnées cylindriques
2.1 Repère cylindrique Repère cylindrique
Lerepère cylindrique est un repère orthonormé défini par un point origine O et une base orthonormée directe(−→ur;−→uθ;−→uz): c’est le repère (O;−→ur;−→uθ;−→uz).
Systèmes de coordonnées et bases.
On considère un point M étudié dans un référentiel . Le repère d’espace lié au solide de référence est d'origine O et d'axes orthogonaux Ox, Oy, Oz.
Base cartésienne.
Les coordonnées de M sont x, y, z dans la base cartésienne u u u
x,
y,
z .Les vecteurs de cette base sont fixes par rapport au référentiel . Le vecteur position s’écrit :
x y z
OM xu yu zu
Un déplacement élémentaire du point M s’écrit dM ou dOM : d OM dxu
xdyu
ydzu
zSurfaces élémentaires : d S d d , d x y S d d x z , d S d d y z Volume élémentaire : d d d d x y z
Base cylindrique.
Cette base est obtenue par rotation de la base cartésienne u u u
x,
y,
zd’un angle autour de l’axe Oz :
Les coordonnées de M sont , , r z dans la base cylindrique u u u
r, ,
z.
Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :
r z
OM ru zu
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H
Les vecteurs de la base sont définis par :
• le vecteur −→uz est le même vecteur que la base cartésienne
• les vecteurs−→ur et−→uθ dans le planOxy et sont définis par la position du pointH qui est le projeté orthogonal de M dans le plan cartésien Oxy :−→ur est dans la direction de −−→
OH et
−
→uθ dans une direction orthogonal pour que la base(−→ur;−→uθ;−→uz)soit une base orthonormée directe.
Les coordonnées cylindriques(r, θ, z) du pointM sont alors définies par : r= ∥−−→OH∥=OH >0 variant de 0 à +∞
θ= (−→uxd,−−→
OH) variant de 0 à 2π
z comme en cartésien variant de − ∞ à +∞ 2.2 Relations entre les vecteurs de base
−
→ur= cosθ−u→x+ sinθ−→uy et −→uθ =−sinθ−u→x+ cosθ−→uy On en déduit :
d−→ur
dt = ˙θ−→uθ et d−→uθ
dt =−θ˙−→ur
2.3 Position, vitesse et accélération
•Vecteur position: les coordonnées deM définissent de façon unique la position de l’extrémité du vecteur position :
−−→OM =r−→ur+z−→uz
Lavoisier - PC 3
Systèmes de coordonnées
•Vecteur vitesse : levecteur vitesseest défini à partir de la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
−
→v = ˙r−→ur+rθ˙−→uθ+ ˙z−→uz
•Vecteur accélération : levecteur accélérationest défini à partir de la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :
−
→a =
¨ r−rθ˙2
−→ur+
rθ¨+ 2 ˙rθ˙
−→uθ+ ¨z−→uz
2.4 Déplacement, surface et volume élémentaires
•Déplacement élémentaire : on fait varier r, θ et z d’une quantité infinitésimaledr,dθetdz. Cela signifie que les nouvelle coordonnées deM sont(r+dr;θ+dθ;z+dz).
Dans ce cas, le déplacement élémentaire est : d−−→
OM =dr−→ur+rdθ−→uθ+dz−→uz
•Surface élémentaire : on a 3 surfaces élémentaires en- gendrées par les variations dr,dθ etdz :
d−→
Sz =rdrdθ−→uz d−→
Sθ =drdz−u→θ d−→
Sr =rdθdz−→ur
Un déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru
rr d u d zu
zSurfaces élémentaires : d S r r d d , d S r d d z , d S d d r z Volume élémentaire : d rdrd dz
Base sphérique.
Les coordonnées de M sont , , r dans la base sphérique u u u
r, , .
Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :
OM ru
rUn déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru
rr d u r sin d u
Surfaces élémentaires : d S r
2sin d d , d S r d d r , d S r r d sin d
Volume élémentaire : www.kholaweb.com d r r
2d sin d d
H
dr dz
rdθ dOM
•Volume élémentaire : de la même manière que pour la surface élémentaire, on définit un volume élémentaire dτ :
dτ =rdrdθdz
Lavoisier - PC 4
3 Coordonnées sphériques
3.1 Repère sphérique Repère sphérique
Lerepère sphériqueest un repère orthonormé défini par un point origineO et une base orthonormée directe(−→ur;−→uθ;−u→φ) : c’est le repère(O;−→ur;−→uθ;−u→φ).
H O
Les vecteurs de la base sont définis par :
• le vecteur −→ur est dans la direction de−−→
OM
• le vecteurs −→uθ se déduit du vecteur −→ur par une rotation d’angle π/2 dans le sens des θ croissants dans le plan φ=cste
• le vecteurs −u→φ est un vecteur unitaire dont le sens et la direction sont déduit de −−→
OH (H est le projeté orthogonal deM sur le planOxy) par une rotation d’angleπ/2dans le sens des φcroissant dans le plan z= 0
Les coordonnées sphériques(r, θ, φ) du point M sont alors définies par : r =∥−−→
OM∥=OM >0 variant de 0 à +∞ θ= (−u→zd,−−→
OM) variant de 0 àπ φ= (−u→xd,−−→
OH) variant de 0 à 2π
3.2 Position, vitesse et accélération
•Vecteur position: les coordonnées deM définissent de façon unique la position de l’extrémité du vecteur position :
−−→OM =r−→ur
•Vecteur vitesse : levecteur vitesseest défini à partir de la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
−
→v = ˙r−→ur+rθ˙−→uθ+rsin(θ) ˙φ−u→φ
•Vecteur accélération : levecteur accélérationest défini à partir de la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :
−
→a =
¨
r−rθ˙2−rsin2(θ) ˙φ2
−→ ur+
2 ˙rθ˙+rθ¨−rsin(θ) cos(θ) ˙φ2
−→ uθ+
2rcos(θ) ˙θφ˙+ 2 ˙rsin(θ) ˙φ+rsin(θ) ¨φ
−→uφ
Lavoisier - PC 5
Systèmes de coordonnées
3.3 Déplacement, surface et volume élémentaires
•Déplacement élémentaire : on fait varier r, θ et φ d’une quantité infinitésimaledr,dθetdφ. Cela signifie que les nouvelle coordonnées deM sont(r+dr;θ+dθ;φ+dφ).
Dans ce cas, le déplacement élémentaire est : d−−→
OM =dr−→ur+rdθ−→uθ+rsin(θ)dφ−u→φ
•Surface élémentaire : on a 3 surfaces élémentaires en- gendrées par les variations dr,dθ etdφ :
Un déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru
rr d u d zu
zSurfaces élémentaires : d S r r d d , d S r d d z , d S d d r z Volume élémentaire : d rdrd dz
Base sphérique.
Les coordonnées de M sont , , r dans la base sphérique u u u
r, , .
Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :
OM ru
rUn déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru
rr d u r sin d u
Surfaces élémentaires : d S r
2sin d d , d S r d d r , d S r r d sin d
Volume élémentaire : www.kholaweb.com d r r
2d sin d d
dr
d𝜑 dθ
rdθ
rsinθd𝜑 dOM
d−→
Sφ =rdrdθ−u→φ d−→
Sθ =rsin(θ)drdφ−→uθ d−→
Sr=r2sin(θ)dθdφ−→ur
•Volume élémentaire : de la même manière que pour la surface élémentaire, on définit un volume élémentaire dτ :
dτ =r2sin(θ)drdθdφ