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1 Coordonnées cartésiennes

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

En physique, on utilise principalement 3 systèmes de coordonnées (ou repère). On choisit le système de coordonnées en fonction de la géométrie du problème.

1 Coordonnées cartésiennes

1.1 Repère cartésien Repère cartésien

Lerepère cartésienest un repère orthonormé défini par un point origineO et une base orthonormée directe(−u→x;−→uy;−→uz) : c’est le repère (O;−u→x;−→uy;−→uz).

www.kholaweb.com

Systèmes de coordonnées et bases.

On considère un point M étudié dans un référentiel . Le repère d’espace lié au solide de référence est d'origine O et d'axes orthogonaux Ox, Oy, Oz.

Base cartésienne.

Les coordonnées de M sont x, y, z dans la base cartésienne u u u

x

,

y

,

z .

Les vecteurs de cette base sont fixes par rapport au référentiel . Le vecteur position s’écrit :

x y z

OM xu yu zu

Un déplacement élémentaire du point M s’écrit dM ou dOM : d OM dxu

x

dyu

y

dzu

z

Surfaces élémentaires : d S d d , d x y S d d x z , d S d d y z Volume élémentaire : d d d d x y z

Base cylindrique.

Cette base est obtenue par rotation de la base cartésienne u u u

x

,

y

,

z

d’un angle autour de l’axe Oz :

Les coordonnées de M sont , , r z dans la base cylindrique u u u

r

, ,

z

.

Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :

r z

OM ru zu

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L’axe (droite orientée) défini par :

le pointO et le vecteur unitaire−u→x est noté axe Oxet appelé axe des abscisses.

le pointO et le vecteur unitaire−u→y est noté axeOy et appelé axe desordonnées.

le pointO et le vecteur unitaire−u→z est noté axe Oz et appelé axe descotes.

En projetant la position du point M sur chaque axe, on détermine les coordonnées carté- siennes de M :(x;y;z) avec x∈R,y Ret z∈R.

Projection sur le plan0xz Projection sur le plan0xy

1.2 Position, vitesse et accélération

Vecteur position: les coordonnées deM définissent de façon unique la position de l’extrémité du vecteur position :

−−→OM =x−→ux+y−u→y+z−→uz

Vecteur vitesse: levecteur vitesseest défini à partir de la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

→v = ˙x−u→x+ ˙y−u→y+ ˙z−u→z

Vecteur accélération: le vecteur accélérationest défini à partir de la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

→a = ¨x−u→x+ ¨y−u→y+ ¨z−u→z

Lavoisier - PC 1

(2)

Systèmes de coordonnées

1.3 Déplacement, surface et volume élémentaires

Déplacement élémentaire : la position du point M dépend de plusieurs paramètres (les 3 coordonnées). Si on fait varier chaque paramètre de manière infinitésimale (toute petite variation), alors le point M de déplace un tout petit peu : c’est ce qu’on appelle le déplacement élémentaire d−−→

OM.

En coordonnées cartésienne, on fait varierx,y etzd’une quantité infinitésimale dx, dy et dz. Cela signifie que les nouvelle coordonnées de M sont (x+dx;y+dy;z+dz).

Dans ce cas, le déplacement élémentaire est : d−−→

OM =dx−→ux+dy−→uy+dz−→uz

dy dx dz

dOM

O

Surface élémentaire: le déplacement du point M engendre dans chaque plan une surface élémentaire dS. La surface est orientée par un vecteur unitaire orthogonal à la surface. En coordonnées cartésiennes, on a 3 surfaces élémentaires :

d−→

Sz =dxdy−→uz d−→

Sy =dxdz−u→y d−→

Sx =dydz−u→x

Volume élémentaire : de la même manière que pour la surface élémentaire, on définit un volume élémentaire :

=dxdydz

Remarque : le volume élémentaire est délimité par une surface. Cette surface est orientée par un vecteur orthogonal à la surface : ce vecteur sera toujoursorienté vers l’extérieur du volume.

(3)

Systèmes de coordonnées

2 Coordonnées cylindriques

2.1 Repère cylindrique Repère cylindrique

Lerepère cylindrique est un repère orthonormé défini par un point origine O et une base orthonormée directe(−→ur;−→uθ;−→uz): c’est le repère (O;−→ur;−→uθ;−→uz).

Systèmes de coordonnées et bases.

On considère un point M étudié dans un référentiel . Le repère d’espace lié au solide de référence est d'origine O et d'axes orthogonaux Ox, Oy, Oz.

Base cartésienne.

Les coordonnées de M sont x, y, z dans la base cartésienne u u u

x

,

y

,

z .

Les vecteurs de cette base sont fixes par rapport au référentiel . Le vecteur position s’écrit :

x y z

OM xu yu zu

Un déplacement élémentaire du point M s’écrit dM ou dOM : d OM dxu

x

dyu

y

dzu

z

Surfaces élémentaires : d S d d , d x y S d d x z , d S d d y z Volume élémentaire : d d d d x y z

Base cylindrique.

Cette base est obtenue par rotation de la base cartésienne u u u

x

,

y

,

z

d’un angle autour de l’axe Oz :

Les coordonnées de M sont , , r z dans la base cylindrique u u u

r

, ,

z

.

Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :

r z

OM ru zu

www.kholaweb.com

H

Les vecteurs de la base sont définis par :

le vecteur −→uz est le même vecteur que la base cartésienne

les vecteurs−→ur et−→uθ dans le planOxy et sont définis par la position du pointH qui est le projeté orthogonal de M dans le plan cartésien Oxy :−→ur est dans la direction de −−→

OH et

→uθ dans une direction orthogonal pour que la base(−→ur;−→uθ;−→uz)soit une base orthonormée directe.

Les coordonnées cylindriques(r, θ, z) du pointM sont alors définies par : r= ∥−−→OH∥=OH >0 variant de 0 à +

θ= (−→uxd,−−→

OH) variant de 0 à 2π

z comme en cartésien variant de − ∞ à + 2.2 Relations entre les vecteurs de base

→ur= cosθ−u→x+ sinθ−→uy et −→uθ =sinθ−u→x+ cosθ−→uy On en déduit :

d−→ur

dt = ˙θ−→uθ et d−→uθ

dt =−θ˙−→ur

2.3 Position, vitesse et accélération

Vecteur position: les coordonnées deM définissent de façon unique la position de l’extrémité du vecteur position :

−−→OM =r−→ur+z−→uz

Lavoisier - PC 3

(4)

Systèmes de coordonnées

Vecteur vitesse : levecteur vitesseest défini à partir de la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

→v = ˙r−→ur+˙−→uθ+ ˙z−→uz

Vecteur accélération : levecteur accélérationest défini à partir de la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

→a =

¨ r−rθ˙2

−→ur+

¨+ 2 ˙˙

−→uθ+ ¨z−→uz

2.4 Déplacement, surface et volume élémentaires

Déplacement élémentaire : on fait varier r, θ et z d’une quantité infinitésimaledr,dθetdz. Cela signifie que les nouvelle coordonnées deM sont(r+dr;θ+dθ;z+dz).

Dans ce cas, le déplacement élémentaire est : d−−→

OM =dr−→ur+rdθ−→uθ+dz−→uz

Surface élémentaire : on a 3 surfaces élémentaires en- gendrées par les variations dr,dθ etdz :

d−→

Sz =rdrdθ−→uz d−→

Sθ =drdz−u→θ d−→

Sr =rdθdz−→ur

Un déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru

r

r d u d zu

z

Surfaces élémentaires : d S r r d d , d S r d d z , d S d d r z Volume élémentaire : d rdrd dz

Base sphérique.

Les coordonnées de M sont , , r dans la base sphérique u u u

r

, , .

Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :

OM ru

r

Un déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru

r

r d u r sin d u

Surfaces élémentaires : d S r

2

sin d d , d S r d d r , d S r r d sin d

Volume élémentaire : www.kholaweb.com d r r

2

d sin d d

H

dr dz

rdθ dOM

Volume élémentaire : de la même manière que pour la surface élémentaire, on définit un volume élémentaire :

=rdrdθdz

Lavoisier - PC 4

(5)

3 Coordonnées sphériques

3.1 Repère sphérique Repère sphérique

Lerepère sphériqueest un repère orthonormé défini par un point origineO et une base orthonormée directe(−→ur;−→uθ;−u→φ) : c’est le repère(O;−→ur;−→uθ;−u→φ).

H O

Les vecteurs de la base sont définis par :

le vecteur −→ur est dans la direction de−−→

OM

le vecteurs −→uθ se déduit du vecteur −→ur par une rotation d’angle π/2 dans le sens des θ croissants dans le plan φ=cste

le vecteurs −u→φ est un vecteur unitaire dont le sens et la direction sont déduit de −−→

OH (H est le projeté orthogonal deM sur le planOxy) par une rotation d’angleπ/2dans le sens des φcroissant dans le plan z= 0

Les coordonnées sphériques(r, θ, φ) du point M sont alors définies par : r =∥−−→

OM∥=OM >0 variant de 0 à + θ= (−u→zd,−−→

OM) variant de 0 àπ φ= (−u→xd,−−→

OH) variant de 0 à 2π

3.2 Position, vitesse et accélération

•Vecteur position: les coordonnées deM définissent de façon unique la position de l’extrémité du vecteur position :

−−→OM =r−→ur

Vecteur vitesse : levecteur vitesseest défini à partir de la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

→v = ˙r−→ur+˙−→uθ+rsin(θ) ˙φ−u→φ

Vecteur accélération : levecteur accélérationest défini à partir de la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

a =

¨

r−rθ˙2−rsin2(θ) ˙φ2

ur+

2 ˙˙+¨−rsin(θ) cos(θ) ˙φ2

uθ+

2rcos(θ) ˙θφ˙+ 2 ˙rsin(θ) ˙φ+rsin(θ) ¨φ

−→uφ

Lavoisier - PC 5

(6)

Systèmes de coordonnées

3.3 Déplacement, surface et volume élémentaires

•Déplacement élémentaire : on fait varier r, θ et φ d’une quantité infinitésimaledr,dθetdφ. Cela signifie que les nouvelle coordonnées deM sont(r+dr;θ+dθ;φ+dφ).

Dans ce cas, le déplacement élémentaire est : d−−→

OM =dr−→ur+rdθ−→uθ+rsin(θ)dφ−u→φ

Surface élémentaire : on a 3 surfaces élémentaires en- gendrées par les variations dr,dθ et :

Un déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru

r

r d u d zu

z

Surfaces élémentaires : d S r r d d , d S r d d z , d S d d r z Volume élémentaire : d rdrd dz

Base sphérique.

Les coordonnées de M sont , , r dans la base sphérique u u u

r

, , .

Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étude . Le vecteur position s’écrit :

OM ru

r

Un déplacement élémentaire du point M s’écrit : d OM d ru

r

r d u r sin d u

Surfaces élémentaires : d S r

2

sin d d , d S r d d r , d S r r d sin d

Volume élémentaire : www.kholaweb.com d r r

2

d sin d d

dr

d𝜑

rdθ

rsinθd𝜑 dOM

d−→

Sφ =rdrdθ−u→φ d−→

Sθ =rsin(θ)drdφ−→uθ d−→

Sr=r2sin(θ)dθdφ−→ur

Volume élémentaire : de la même manière que pour la surface élémentaire, on définit un volume élémentaire :

=r2sin(θ)drdθdφ

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