Professeur F. Pelgrin EDHEC Business School Données, Analyse, Décisions
Séance 13 : Exercices
Intervalles de confiance (Partie 3)
Exercice 1 : QCM
Q1. Lorsque l’on veut comparer les moyennes d’une même population avant et après l’ap- plication d’un traitement
A. Il faut travailler sur la différence des moyennes entre avant et après le traitement pour un échantillon donné.
B. Il faut travailler sur la moyenne des différences entre avant et après le traitement pour un échantillon donné.
C. Il faut calculer la variance de la différence comme la somme des variances avant et après.
D. Il faut calculer la variance de la différence du fait que c’est le même échantillon qui est utilisé.
Q2. Si les populations comparées sont normales et indépendantes
A. La construction d’un intervalle de confiance de la différence des moyennes nécessite toujours l’usage d’un quantile de loi de Student.
B. La construction d’un intervalle de confiance de la différence des moyennes nécessite l’usage d’un quantile de loi de Student lorsque les variances sont connues.
C. La différence des moyennes empiriques est normalement distribuée.
D. Aucune de ces réponses n’est correcte.
Q3. Lorsque l’on souhaite construire un intervalle de confiance d’une différence de moyennes, la différence entre la situation d’échantillons indépendants et celle d’échantillons dépen- dants
A. Porte sur le calcul des moyennes et des variances.
B. Porte sur le calcul des moyennes.
C. Porte sur le calcul des variances.
D. Ne porte pas les formules de calcul, mais sur l’interprétation des résultats.
Q4. Lorsque l’on compare la moyenne de deux populations à partir de deux échantillons de grande taille
A. Si les échantillons sont de même taille, supposer que les variances dans les deux popu- lations sont égales ne réduit pas strictement l’étendue de l’intervalle de confiance.
B. Si les échantillons sont de même taille, supposer que les variances dans les deux popu- lations sont égales augmente strictement l’étendue de l’intervalle de confiance.
C. Supposer que les variances de chaque population sont différentes correspond à un ajout d’information, ce qui induit toujours un intervalle de confiance moins étendu.
D. Aucune de ces réponses n’est correcte.
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Exercice 2 : Calcul de la variance empirique
On s’intéresse à la différence de moyennes dans le cadre d’un modèle d’échantillonnage Gaus- sien. Pour ce faire, on dispose de deux échantillons indépendants de taille respective 43 et 61 et de variance (pour l’objet d’étude) 43.234 et 49.612. On suppose que l’on peut considérer que les variances des deux sous-populations d’où sont tirés ces échantillons sont égales.
1. Donner l’estimation ponctuelle de l’écart-type de ces populations obtenu en utilisant toute l’information disponible.
2. Donner l’estimation ponctuelle de l’estimateur de la variance des différences.
Exercice 3 : Calcul de l’estimation ponctuelle de l’estimateur de la variance et intervalles de confiance
Soient deux échantillons indépendants de taille respective 35 et 51 observations, de moyennes 2.435 et 7.487 et variances 8.321 et 5.319. On souhaite construire un intervalle de confiance de la différence des moyennes (dans un modèle d’échantillonnage Gaussien). Déterminer l’es- timation ponctuelle de l’estimateur de la variance de la différence des moyennes empiriques lorsque les paramètres de variance sont supposés égaux, puis inégaux. Quels seraient les intervalles de confiance (à 95%) sachant que la statistique d’intérêt est une différence de paramètres de moyenne et que les tailles d’échantillon sont supposées suffisamment grandes.
Exercice 4 : Efficacité d’une méthode pédagogique
Une classe fait l’objet d’une expérimentation pédagogique. Dans le fichier "exercice_4_seance_13.xlsx"
se trouvent les notes des élèves d’une petite école avant et après qu’une nouvelle méthode pédagogique ait été mise en oeuvre.
1. Décrire le modèle d’échantillonnage.
2. Construire un intervalle de confiance à 95% de la différence de notes avant et après la mise en oeuvre de la nouvelle pédagogie.
3. Faut-il selon vous mettre en oeuvre cette méthode pédagogique ? Pourquoi ?
Exercice 5: On souhaite construire un intervalle de confiance de la différence de fréquence d’avoir les yeux verts dans deux populations d’un pays donné. Dans les populations du nord et du sud d’un pays, on procède à la constitution de deux échantillons distincts de 500 personnes. On observe que 56 personnes au nord et 37 au sud ont les yeux verts.
1. Construire un intervalle de confiance à 99% de la différence de fréquence entre la popu- lation du nord et la population du sud. Selon vous, peut-on dire que la fréquence d’avoir les yeux verts est semblable au nord et au sud ?
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