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9.16 1) Puisque toute fonction polynomiale et que la fonction exponentielle sont définies sur l’ensemble des nombres réels, on conclut que Df

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Academic year: 2022

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(1)

9.16 1) Puisque toute fonction polynomiale et que la fonction exponentielle sont définies sur l’ensemble des nombres réels, on conclut queDf =R. 2) f(1) = 12·e2·1 =e2 = e12 ≈0,135

f(−1) = (−1)2 ·e2·(1) =e2 ≈7,389

Comme f(−1)6=f(1), la fonction f n’est pas paire.

Puisque f(−1)6=−f(1), la fonction f n’est pas impaire.

3)

0

e2x + +

x2 + +

f + +

0 0

4) Vu que Df =R, il n’y a pas d’asymptote verticale.

x→−∞lim

x2e2x = (−∞)2e2(−∞)= (+∞)e+= (+∞)·(+∞) = +∞

Il n’y a donc pas d’asymptote horizontale à gauche.

x→−∞lim

x2e2x

x = lim

x→−∞

x e2x = (−∞)e2(−∞) = (−∞)e+

(−∞)·(+∞) =−∞

Ainsi, il n’y a pas d’asymptote oblique à gauche.

xlim+x2e2x = (+∞)2e2(+) = (+∞)e−∞= (+∞)·(0+): indéterminé

xlim+

x2e2x = lim

x+

x2

e2x = lim

x+

(x2)

(e2x) = lim

x+

2x

e2x(2x) = lim

x+

2x 2e2x

= lim

x+

x

e2x = +∞

e2(+) = +∞

e+ = +∞

+∞ : indéterminé

xlim+x2e2x = lim

x+

(x)

(e2x) = lim

x+

1

e2x(2x) = lim

x+

1

2e2x = 1 2e2(+)

= 1

2e+ = 1

2·(+∞) = 1 +∞ = 0

Ce calcul montre quey= 0 est une asymptote horizontale à droite.

5) f(x) = (x2e2x)

= (x2)e2x+x2(e2x)

= 2x e2x+x2e2x(−2x)

= 2x e2x−2x2e2x

= 2x e2x(1−x)

= 2x(1−x)e2x

Analyse : fonctions exponentielles et logarithmiques Corrigé 9.16

(2)

0 1

2x − + +

1−x + + −

e2x + + +

f − + −

f ց ր ց

0 0

0 0

min max

f(0) = 02·e2·0 = 0·e0 = 0·1 = 0 Le point(0 ; 0) est un minimum global.

f(1) = 12·e2·1 = 1·e2 =e2 = e12

Le point(1 ;e12) est un maximum local.

6)

Analyse : fonctions exponentielles et logarithmiques Corrigé 9.16

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