On onsidère la signature S formée des symboles de prédiat binaires

Masterd'Informatique 1,2010/2011

LOGIQUE, INF 462

Examen du 20/12/2010

SujetdeM. Sénizergues;tousdouments autorisés;durée onseillée:1h 30.

Lesexeriessont indépendants.La noteobtenue àettemoitié del'examenseramin{exo1 + exo2 +exo3,10}^.

Exerie 4 (3 pts/10)

Parmi les quatrerèglessuivantes, lesquelles sontdes règlesdérivéesdu systèmeLK^?: Γ⊢A→B Γ⊢B →C

Γ⊢A→C ^R

1 Γ⊢B B ⊢∆

Γ⊢∆ ^R2

Γ⊢B, C B, C ⊢∆

Γ⊢∆ ^R3

Γ⊢(A→B)∨(A→C) Γ⊢A→(B∨C) ^R

4

(onjustiera préisément haqueréponse).

Exerie 5 (3 pts/10)

Pour haun desséquentsSi ^suivants( 1≤i≤2^{), déterminer si}Si ^{estprouvabledans}LJ^. S1 : A→B ⊢ (¬A)∨B S2 : (¬A)∨B ⊢ A→B

Aide :pour traiter S1 ^{on pourra onstruire une struture de Kripke possédant deux noeuds}

0≤1^ettelleque ||−−0 ={(1, A),(1, B)}^.

Exerie 6 (6 pts/10)

Soit X ^{un alphabet ni possédant au moins 2 éléments distints. On onsidère la signature} S ^{formée des symboles de prédiat binaires} ≈,=, ^{et des symboles de fontions unaires} sx

(pour x∈X^{). Ononsidèrela struturesurla signature}S ^: M:=hX^∗;≈^M,=^M,^M; (s^M_x )x∈Xi

déniepar :pour tous mots u, v∈X^∗

u≈^Mv ^{si etseulement si} u^etv ^{ont lamême longueur}

u=^Mv ^{si etseulement si} u^etv ^{sont égaux}

u^Mv ^{si etseulement si} u^{est unpréxe de} v

sx(u) ^{est lemot}u·x ^i.e. sx(u) ^{estlesuesseur àdroite par} x^,de u^.

Pour tousmots u, v ∈X^{∗ ,onnote}S(u, v) ^{lasuperposition de}u ^etde v ^{:ils'agit dumot} S(u, v) := (x⁰, y0)· · ·(xi, y_i)· · ·(xℓ−1, y_ℓ−1)

surl'alphabet(X∪ {#})×(X∪ {#})^{, delongueur} ℓ= max{|u|,|v|}^{, telque}

∀i∈[0,|u|−1], xi =u[i]^,∀i∈[|u|, ℓ−1], xi = #,∀j∈[0,|v|−1], yj =v[j]^,∀j ∈[|v|, ℓ−1], yj =

#^.

Par exemple :siu=abb, v=baaba, w=abab ^alors

S(u, v) = (a, b)(b, a)(b, a)(#, b)(#, a), S(v, u) = (b, a)(a, b)(a, b)(b,#)(a,#)

1-Pour les mots u, v, w ^{del'exemple i-dessus, quevalent} S(u, w), S(v, w)^?

2-Montrer queles langages

L≈:={S(u, v)|u, v ∈X^∗,|u|=|v|}, L⁼:={S(u, v)|u, v∈X^∗, u=v}, L:={S(u, v)|u, v ∈X^∗,∃w∈X^∗, u·w=v}

sontrationnels.

3-Soit x∈X^{.Montrerque lelangage}

L_x:={S(u, v)|u, v∈X^∗, u·x=v}

estrationnel.

4- Montrer que, pour tout n ∈ N et toute formule du premier ordre Φ(z¹, z2, . . . , z_n) ^{sur la}

signatureS^{,à variablesdans}{z1, z2, . . . , z_n}^,lelangage

L(Φ) :={S(u¹, u2, . . . , u_n)|u1, u2, . . . , u_n∈X^∗,M |== Φ(u¹, u2, . . . , u_n)}

estrationnel.

5-Soit x∈X^{.Le langage}

{S(u, v)|u, v∈X^∗, x·u=v}

quidéritlafontion suesseur à gauhe par x^{,est-il rationnel?}

6- Existe-t-il une formule du premier ordre Φ(z1, z2) ^{sur la signature} S^{, telle que, pour tous}

motsu, v ∈X^∗

M |== Φ(u, v) ^{sietseulement si}x·u=v ?