ASPECTS SPÉCIFIQUES DE LA TURBULENCE HOMOGÈNE MHD AUX FAIBLES NOMBRES DE REYNOLDS MAGNÉTIQUES

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Submitted on 1 Jan 1976

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ASPECTS SPÉCIFIQUES DE LA TURBULENCE HOMOGÈNE MHD AUX FAIBLES NOMBRES DE

REYNOLDS MAGNÉTIQUES

R. Moreau, A. Alemany

To cite this version:

R. Moreau, A. Alemany. ASPECTS SPÉCIFIQUES DE LA TURBULENCE HOMOGÈNE MHD

AUX FAIBLES NOMBRES DE REYNOLDS MAGNÉTIQUES. Journal de Physique Colloques, 1976,

37 (C1), pp.C1-101-C1-103. �10.1051/jphyscol:1976113�. �jpa-00216440�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque Cl, supplément au n° 1, Tome 37, Janvier 1976, page Cl-101

ASPECTS SPÉCIFIQUES DE LA TURBULENCE HOMOGÈNE MHD AUX FAIBLES NOMBRES DE REYNOLDS MAGNÉTIQUES

R. MOREAU et A. ALEMANY Institut de Mécanique de Grenoble

BP 53, Centre de Tri, 38041 Grenoble-Cedex, France

Résumé. — Dans la région de l'espace de Fourier où agit ia dissipation par effet Joule, l'analyse conduit à une loi en k~

pour le spectre d'énergie tridimensionnel. La direction privilégiée du champ magnétique impose une tendance à la bidimensionnalité caractérisée par un spectre angulaire décrois- sant en fonction de l'angle (B, k) et singulier dans les directions perpendiculaires au champ.

Abstract. — In the region of the Fourier space where the Joule dissipation takes place, the ana- lysis suggests a k~

law for the threedimensionnal energy spectrum. The privileged direction of the magnetic field forces a tendancy to twodimensionnality characterised by an angular energy spec- trum decreasing in function of the angle (B, k) and singular in the direction perpendicular to the field.

1. Idées directrices. — Les études de turbulence homogène, limitées en général à des conditions iso- tropes ou quasi-isotropes, ont jusqu'à présent esca- moté complètement l'analyse des transferts d'énergie entre vecteurs d'ondes de même module et d'orienta- tions différentes. Ici la présence d'un champ magnétique uniforme donne au contraire à cette question une importance centrale.

En chaque point de l'espace de Fourier, le temps caractéristique de la dissipation par effet Joule s'écrit :

P oB

cos

0 '

où p désigne la masse volumique du fluide, a sa conduc- tivité, B l'induction magnétique, et 9 l'angle entre B et le vecteur d'onde k. Nous considérons le cas de champs magnétiques assez forts pour que p/oB

soit petit par rapport au temps caractéristique des grosses structures l/Eo

(l désigne l'échelle intégrale et E

l'énergie cinétique par unité de masse). 11 est clair alors que seuls les vecteurs d'ondes perpendiculaires à B peuvent être pourvus d'énergie et que les grandes échelles doivent être marquées par une forte aniso- tropie.

Décrire cette anisotropie conduit à préciser deux scalaires (Moreau [1]) tous les deux fonctions des deux variables k et 0, ce qui constitue un objectif très ambi- tieux. Nous nous proposons de consentir d'emblée à d'importantes simplifications de façon à pouvoir dégager quelques caractères essentiels de cette turbu- lence MHD, quitte à ce qu'ils demeurent imprécis.

Nos simplifications consistent à ne retenir qu'un seul scalaire, la densité spectrale d'énergie cinétique

K(k, 0), et à séparer les variables en introduisant les quantités :

E

= j ! j K sin 6 dO J 4 np

dp J

°° [ (1)

E

= { X 4 Ttfe dfc } sin a da j

J o v J o I i

respectivement, l'énergie contenue dans la sphère de rayon k et dans le cône de demi-angle 6. Leurs déri- vées :

ne sont autres que le spectre d'énergie tridimensionnel F(k) et un nouveau spectre angulaire F(0) (énergie par unité d'angle solide).

Ces quantités intégrales doivent vérifier des équations globales exprimant le bilan d'énergie d'une sphère ou d'un cône :

T

= 2 v(£>

- D

) + 2 ~ (J

- J

) J

•

T

+ 2 vD

+ 2 — J

= 0 \

Les symboles T

et T

désignent les transferts d'énergie à travers la sphère et le cône ;DetJ désignent la contri- bution à l'enstrophie et à la dissipation par effet Joule :

D = p

K(p, a) sin a da 4 np

dp j

• (4) J = cos

<xK(p, a) sin a da 4 np

dp \

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1976113

Cl-102 R. MOREAU ET A. ALEMANY

Toute analyse basée sur ces éq. (3) exige en outre des hypothèses de fermeture sur les termes de transfert.

Dans les régions où I'anisotropie est forte ces transferts alimentent les structures dissipatives à partir du plan O = n / 2 , et ce sont eux qui fixent les taux de dissipation.

I

Il est tentant de généraliser l'argument bien connu en turbulence isotrope : le seul temps que l'on peut cons- truire avec les échelles cinématiques 1 et E, est IEo- I l 2 ,

et le seul taux de transfert d'énergie possible est

E : ~ ~ 1

Ce raisonnement suggérerait que les deux

dissipations

et

devraient demeurer du même ordre, '.

quels que soient v et B, ces paramètres fixant seulement

la taille (pour v ) et I'oricntation (pour B) des structures A opt.

capables de dissiper. Mais on peut craindre qu'un tel raisonnement dimensionnel ne devienne erroné en ce

qui concerne les transferts angulaires, car multiplier ^{Frc;. 1. -Les} X et p privilégiés.

ou diviser par cos O, sans rien changer aux dimensions, peut bouleverser les ordres de grandeur.

II est possible de préciser ce point dans le cas des angulaires. 11 montre aussi que l'ordre de grandeur de fortes anisotropies, en évaluant le taux de croissance ces transferts angulaires coïncide avec celui des trans- d'une petite perturbation tridimensionnelle superposée ferts dans le plan (1.2), ce qui confirme l'idée d'une à des structures bidimensionnelles. Soit un champ de sorte d'équipartition des deux dissipations.

vitesse de la forme :

uj = U V .

2. Spectre d'énergie tridimensionnel. - Si un équi-

/ ,

Y j = 1

( 5 ) libre local analogue à celui de Kolmogoroff [2]

k ⁼ ( k cos 9, k sin qn, 0) demeure justifié, il doit lier les quatre grandeurs F, k ,

et o B 2 / p et l'analyse dimensionnelle lui impose et une perturbation tridimensionnelle petite ^(U < ^{U )} _{1, forme :}

caractérisée par un vecteur d'onde p tel que 1 p 1 = k :

2

- ~ k ~ ~ ~ OB^

u . = ~ A . e ' * . ' , A j = l 3

, ,,;] = 0 .

EV

p&:'3 k ⁽⁸⁾

p = (k sin a cos p, k sin a sin k cos a )

Si Le taux d'amplification de la perturbation donné par la théorie linéaire s'écrit :

. .

au. ^'k

T = 2 u u, = i ~ u : ( ~ -1) (- ^{. 1)}

axm k (7) (B

O ou k

co), on retrouve la loi asymptotique en k - ' I 3 . L'autre limite asymptotique

où 52 désigne le tourbillon du mouvement bidimeii- sionnel.

L'influence des orientations des divers vecteurs est traduite par les produits scalaires des vecteurs uni- taires. Poui un couple donné de vecteurs k et y (ortho- gonaux en raison de l'incompressibilité), le vecteur qui maximise Test situé sur la bissectrice de l'angle (k, y), et les vecteurs p les mieux alimentés sont ceux situés dans le plan perpendiculaire à ce 1 optimum (Fig. 1).

Admettons que l'on puisse considérer une sommation des effets de tous les vecteurs k de module fixé du d a n

est moins évidente. Une loi en k - 3 serait formellement possible, mais eV n'interviendrait plus, ce qui impli- querait un rapport

infini, en contradiction avec nos remarques antérieures. Si, au contraire, suivant ces remarques antérieures, nous imposons à ce rapport de demeurer fini lorsque B

co, alors la forme (8) se réduit à une loi en k - 2 :

O = n/2 (réservoir d'énergie). Nous devons imaginer

une rotation de la figure 1 par rapport à l'axe 3. Il est I ; = K & ; ~ ( ~ ) k - 2 . (9) clair qu'un seul vecteur p demeure optimum pour tous

les vecteurs k, celui situé sur l'axe 3. Une manière de fermer la première équation inté-

Ceci signifie que pour une turbulence quasi-bidi- grale (3) consiste à utiliser une hypothèse du type

mcnsionnelle, à structures colonnaires, la perturbation Oboukhoff [3], connue pour sa validité dans le domaine

tridimensionnelle la mieux alimentée est une ondulation inertiel. L'équation d70boukhoff, où l'on doit rajouter

le long de l'axe 3. Ce raisonnement met donc en évi- le terme supplémentaire d'effet Joule, conduit aux

dence un caractère tout à fait non local des transferts résultats de la figure 2. Elle confirme la loi en k-', et

TURBULENCE HOMOGÈNE M H D Cl-103

FIG. 2. - Solution

I'cquation d'oboukhoff avec effct Joule :

elle précise la transition k* entre les nombres d'ondes qui contribuent à

(k < k*) et ceux qui n'y contri- buent pas (k > k*). Cette valeur de k*, qui mesure la profondeur de pénétration de I'anisotropie dans le spectre, suit une loi du type :

dont la structure est imposée par l'analyse dimension- nelle ; l'hypothèse d'oboukhoff ne fait que fixer au voisinage de l'unité la valeur de la constance C .

3. Spectre d'énergie angulaire. - Toute hypothèse sur T, doit être compatible avec trois contraintes bien précises : les deux frontières 8 ⁼ O et 8 ⁼ n/2, et la limite isotrope lorsque B

O. La notation :

conduit à l'équation :

p(8). Io ^F sin a d r = F cos2 a sin a da . (I 1)

O

Si nous avions des indications expérimentales sur F(0) nous pourrions en déduire p(0) et T,. La seule chose possible dès à présent consiste à utiliser la forme de la fonction ~ ( 0 ) du cas particulier isotrope, d'y introduire des paramètres libres (a et E,, la partie tridimcnsionnelle de l'énergie), et de résoudre ensuite l'équation intégrale (1 1). Nous avons adopté la forme polynomiale :

qui se réduit à la loi isotrope si a ⁼ O et E , = E,,. La solution de l'éq. (1 1) est alors élémentaire et conduit au résultat illustré sur la figure 3. Toute valeur de a $ (0,l) conduirait à des énergies négatives.

FIG. 3. - Formes possibles du spectre d'énergie angulaire.

Parmi les vecteurs d'ondes situés hors du plan 8 = n/2 ce sont ceux qui dissipent le mieux (8 = 0) qui sont trouvés les mieux pourvus en énergie. Les remarques antérieures sur I'autoinstabilité de struc- tures colonnaires permettent d'accepter ce résultat apparemment paradoxal concernant la compétition entre le mécanisme d'alimentation des structures tri- dimensionnelles (non linéaire) et leur dissipation par effet Joule (linéaire). II apparaît que la valeur 8 = n/2 doit être singulière et qu'une fraction finie de l'énergie doit être concentrée dans ce plan 8 = n/2.

Bibliographie

111 MOREAU, R., Proc. Symp. Turbulence of Fluids and Plasmas, P. 1. B. series (1968) 359.

[2] KOLMOGOROFF, A. N., C. R. Acad. Sci. U . R. S. S. 30 (1941) 301.

131 OBOUKHOFF, A. M., C. R. Acad. Sci. U. R. S. S. 32 (1941) 19.