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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
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Faculté des Sciences
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DERIVATION FONCTIONNELLE DES MESURES
Dissertation
Dirigée sous l’autorité de P. GILLiS par
A. DUCAMP J. GAPAILLARD
Université Libre de Bruxelles Université de Nantes
Présentée en vue de l’obtention du grade légal de nnrteiirpn Mathématioues
La représentation d'un graphe non orienté dans un cube pose des problèmes d'une difficulté algorithmique comparable à celle de la représentation d'un ordre partiel dans une algèbre de Boole.
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Faculté des Sciences
BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉ/-AATIQUES ET DE PHYSIQUE
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DERIVATION FONCTIONNELLE DES MESUrMs'
Dissertation
Dirigée sous l’autorité de P. GILLIS par
A. DUCAMP J. GAPAILLARD
Université Libre de Bruxelles Université de Nantes
Présentée en vue de l’obtention du grade légal de Docteur en Sciences Mathématiques
par
OKITO LOMAMI
Année AcadéO^i^ue 1979-1980
Avant ds prêsentev mon travail3 3e voudrais remeroier toutes tes personnes qui m'ont aidé à le réaliser. Leur liste est longue^ je ne pourrais les aiter toutes.
Je tiens tout d'abord à remercier Monsieur le Professeur P. GILLIS de la confiance et de l'intérêt qu'il m'a témoignés en autorisant mon inscription au doctorat. Je lui suis très reconnaissant pour tous ses conseils judi
cieux et ses encouragements que j'ai reçus en maintes occasions.
Je connais Monsieur le Professeur A. DUCAMP depuis ma dernière année de licence, au cours de laquelle il a commencé à m'initier à la théorie due la mesure. Ayant accepté de diriger mes traoaux de doctorat, il a continué cette initiation qui m'a permis d'acquérir de bonnes connaissances en cette matière, et il a suscité mon intérêt pour la théorie de la dériva
tion. Malgré de nombreuses occupations qui l'ont éloigné de l'analyse mathématique (*), Monsieur A. DUCAMP est resté attentif à l'évolution de mes recherches. Enfin, il m'a proposé un sujet de thèse annexe qui m'a permis d'acquérir des connaissances nouvelles. Je lui adresse mes plus sincères remerciements pour son aide apportée tant sur le plan scientifique que sur le plan moral.
Monsieur J. GAPAILLARD, Maître de Conférences à l'Université de Nantes, a été étroitement associé à la direction de ma thèse. Il m'a assuré une bonne formation en théorie de la dérivation, et m'a guidé dans l'étude des questions originales avec un dévouement et une pédagogie remarquables.
Je me réjouis d'avoir été son élève. Il y aurait une grave lacune dans mon propos si je ne parlais pas de l'hospitalité de Monsieur J. GAPAILLARD. J'ai répondu à plusieurs invitations (très cordiales)
(*) Monsieur A. DUCAMP a conçu et réalisé un enseignement original destiné aux étudiants en psychologie et en pédagogie intitulé "Méthodes
Mathématiques en Psychologie".
Je ne puis oublié Monsieur le Professeur C.Y. PAUC de l'Université de Nantes (aujourd'hui retraité), qui m'a témoigné de la sympathie et m'a vivement encouragé dans mon projet de recherches. Qu'il veuille trouver ici l'expression de ma profonde et respectueuse gratitude.
Mes remerciements vont aussi à l'Administration Générale de la Coopéra
tion au Développement pour son soutien financier et, au sein de cette administration, à Mademoiselle A. HENRY pour son dévouement.
Enfin, mes pensées vont à ma famille à qui j'ai demandé beaucoup de sacrifices, et plus particulièrement à ma femme, MFONU EDUMBE, qui m'a assuré une aide morale précieuse.
Introduction ... 1
§ 1. Notations et définitions générales ... 8
§ 2. Dérivées des mesures ... 15
§ 3. Dérivée d'une fonction et dérivée d'une mesure ... 23
§ 4. Mesures cp-localement o-finies... 2 6 § 5. Mesures à caractère lipschitzien ... 32
§ 6. Théorèmes de dérivation ... 37
§ 7. Théorème individuel de dérivation ... 48
§ 8. Opérations sur les mesures dérivables et bases de dérivation ... 54
§ 9. Exemples de bases de dérivation fonctionnelle de VITALI dans IR^ ... 58
1. Définitions ... 58
2. Base de dérivation fonctionnelle trivialement as sociée à une base de dérivation ensembliste... 59
3. Approximation de l'identité ... 63
4. Base de convolutions associée à une base de dérivation fonctionnelle ... 64
5. Base de convolutions associée à une base de dé rivation ensembliste ... 66
Appendice ... 67
Bibliographie 71
INTRODUCTION
La théorie de la dérivation étudie les relations qui existent entre les opérations de dérivation et d'intégration. Elle se propose de préciser dans quelle mesure la dérivation et l'in
tégration sont deux processus inverses l'un de l'autre.
Dans le cas de l'intégrale de LEBESQUE dans ]R on a les théorèmes classiques suivants, obtenus au début du siècle :
1. Toute fonction à variation bornée est dérivalbe presque partout.
2. Toute intégrale indéfinie est dérivable presque partout.
3. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale presque partout à l'intégrand.
4. Toute fonction absolument continue est l'intégrale indé
finie de sa dérivée.
En 1935, R. de POSSEL fonda une théorie générale à partir du théorème de RADON-NIKODYM, dont nous nous permettons de rap
peler l'énoncé. Soit (E,»t, cp) un espace mesuré où E est un ensemble non vide, yyi une tribu de parties de E, cp une mesure positive o-finie, et soit ijj une mesure réelle sur >72 cp-absolu- ment continue.
Ce théorème affirme l'existence, et l'unicité presque partout d'une fonction 7TZ.-mesurable f telle que pour tout M e >72 on ait
(1) 4j(M) = fdcp.
La fonction f s'appelle dérivée de RADON-NIKODYM de la mesure
Cependant, le théorème de RADON-NIKODYM ne fournit pas un procédé de construction de la fonction f, comme dans le cas des fonctions sur la droite II où la recherche de la dérivée consiste en un calcul de limite. En introduisant la notion de base de dérivation, R. de POSSEL montra que la dérivée de RADON-NIKODYM se définissait aussi comme une limite.
Par base de dérivation (ou système dérivant, d'après la ter
minologie de R. de POSSEL) dans un espace mesuré (E,>7l ,cp) il faut entendre un système d'ensembles mesurables de me
sure finie muni d'une notion de convergence vers les points X G E. On dit que ce système dérive une mesure i|j sur cp- absolument continue lorsqu'on a presque partout
(2) lim
i cp(M^) f (x) ,
f étant une dérivée de RADON-NIKODYM de ijj, à condition que la limite existe.
En utilisant la notion fondamentale de base de dérivation, R. de POSSEL démontra des théorèmes qui, dans 3R ^muni de la mesure de LEBESGUE, se réduisaient en général à des théorèmes de dérivation ou de densité.
En remarquant, avec les notations précédentes (Xj^ désignant la fonction caractéristique de M^), que ^
(3) cp(M^)
on conçoit qu'il apparût naturel d'envisager la dérivation non plus seulement par rapport aux ensembles mesurables, mais aussi par rapport aux fonctions mesurables. La théorie déve
loppée dans le premier cas est appelée dérivation ensembliste, dans le deuxième cas dérivation fonctionnelle.
Les propriétés de recouvrement du type de VITALI jouent un rôle fondamental dans les deux théories. Leur signification intuitive est sans doute plus perceptible dans le cas ensem
bliste, mais elle n'est pas perdue dans la transposition
fonctionnelle proposée par J. GAPAILLARD dans [6] , qui s'avère heureuse.
Ce sont les résultats obtenus en tentant de prolonger et de compléter les travaux de R. de POSSEL et de J. GAPAILLARD sur la dérivation fonctionnelle que nous présentons dans ce mémoire.
L'exposé comprend neuf paragraphes. Dans le premier, nous pré
sentons les notations et les définitions générales. Dans le deuxième, nous discutons les notions de dérivée forte et de dérivée faible d'une mesure. La première est classique, c'est la dérivée de RADON-NIKODYM; la deuxième est une notion plus large, et plus adaptée au cadre général de notre travail.
Il convient alors de montrer que ces notions se relient facile
ment à celle plus habituelle de dérivée d'une fonction. C'est ce que nous faisons au paragraphe trois. Bien que notre propos soit la dérivation fonctionnelle, c'est l'utilisation des
bases de dérivation ensembliste qui nous a paru plus naturelle et plus commode pour développer ce point. Du reste, nous re
marquerons que toute base de dérivation ensembliste peut être considérée comme un cas particulier de base de dérivation fonctionnelle où les constituants sont des fonctions caracté
ristiques.
Nous ne prétendons pas ici à beaucoup d'originalité, mais à plus de simplicité et de clarté que dans la plupart des tra
vaux qui ont traité de ce sujet.
Etant donné un espace mesure (E,>^ ,cp) nous introduisons les mesures sur Tri cp-dérivables et cp-localement o-finies, ainsi que des mesures sur yxi cp-dérivables et à caractère cp-lipschitzien.
Ces mesures, qui jouent un rôle fondamental dans notre travail, sont plus générales que celles qui ont été dérivées par R. de POSSEL et par J. GAPAILLARD.(*) Leur étude fait l'objet des paragraphes 4 et 5.
Les résultats exposés dans ces deux paragraphes ainsi que dans le suivant ont été résumés dans une note adressée au Bulletin de l'Académie Royale des Sciences de Belgique. [18]
Les bases de dérivation étaient spécifiées autrefois par leurs performances. Ainsi, une base de dérivation (système
dérivant)(**) était une base de dérivation faible (sytème fai
blement dérivant)(**) (resp. forte) (système fortement déri
vant) (**) si elle dérivait toute mesure lipschitzienne (resp.
absolument continue).
(* ) Notons que oet auteur à dérivé les mesures cp-derivables au moyen d'une hase de dérivation fonctionnelle de VITALI très forte, qui peut cependant être considérée comme
exceptionnelle.
{**) Terminologie de R. de ROSSEL [20].
Aujourd'hui, il s'agit des systèmes dérivants vérifiant des propriétés de recouvrement de VITALI faible ou fort. Dans le premier cas on a une base de dérivation de VITALI faible;
dans le deuxième cas une base de dérivation de VITALI forte.
Les théorèmes de dérivation expriment les performances des systèmes dérivants.
Le sixième paragraphe est consacré à l'étude d'un théorème de dérivation pour les bases fortes dû à R. de POSSEL (dont, du reste, aucune démonstration n'a été publiée). Cet auteur a étudié les bases de dérivation dans un espace mesuré ab
strait où la mesure de base était supposée complète et a- finie. Les pseudo-dérlvées (*) (les dérivées de RADON-
NIKODYM) des mesures qu'il dérivait étaient bornées ou inté
grables.
J. GAPAILLARD a généralisé ses travaux dans un espace mesuré {Y,,yri ,cp) où la mesure (p n'est ni complète ni a-finie. De plus, ici, les pseudo-dérivées (les cp-dérivées) (* ** ) ne sont pas nécessairement intégrables.
C'est dans le cadre général adopté par J. GAPAILLARD que nous nous plaçons. Aussi les notations et les définitions générales
seront-elles empruntées à cet auteur. Certaines d'entre elles seront modifiées pour être adaptées à notre exposé, et accom
pagnées de diverses remarques destinées à en préciser le sens.
La définition de base de VITALI forte que nous utiliserons est en réalité une adaptation des conditions suffisantes indiquées par R. de POSSEL pour qu'une base de dérivation fonctionnelle
(* ) Term-ùnologie de R. de POSSEL [19] . (**) Terminologie de J. GAPAILLARD [6] .
soit une base de dérivation fonctionnelle de VITALI forte.
Il en est de même de celle de base de VITALI faible. Ajou
tons que cette base de VITALI forte était destinée à dériver des mesures vectorielles, alors que dans notre étude, nous dérivons des mesures réelles positives. Enfin, signalons que le théorème de dérivation obtenu est une conséquence de deux résultats établis pour les dérivées inférieures et supérieures des mesures à dériver.
Une définition différente de base de dérivation fonctionnelle de VITALI forte a été proposée par J. GAPAILLARD dans [6].
Cependant, on n'y trouve pas de théorème de dérivation corres
pondant.
En exploitant la démonstration qui y est faite pour établir un théorème de dérivation relatif aux bases de dérivation fonctionnelle de VITALI très fortes, nous avons obtenu un ré
sultat analogue à celui que C.A. HAYES et C.Y. PAUC ont appelé
"The individual full dérivation theorem" dans [ 10] . C'est l'ob jet du paragraphe sept.
Au paragraphe suivant, après avoir défini la somme de deux mesures et le produit d'une mesure par un nombre positif, nous montrons que l'ensemble des mesures dérivables forment un
cône convexe, et qu'une base de dérivation a un comportement simple vis-à-vis des opérations considérées.
Ici on peut se poser le problème suivant, difficile à résoudre Soit^î une base de dérivation fonctionnelle dans un espace mesuré (E, 7Tl ,cp) et ^ ^ suite croissante de mesures
sur ?7Z cp-dérivables. Supposons que éi dérive chaque mesure ijj^. Sous quelles conditions la base ^ dérive-t-elle aussi la mesure Sup
Nous n'avons pas obtenu de réponse satisfaisante à cette question que nous nous sommes posée. Toutefois, dans le cas où ^ est une base de dérivation fonctionnelle de VITALI très forte nous avons une réponse très simple.
Dans le dernier paragraphe nous nous plaçons dans 3R^, et nous proposons un procédé simple permettant de construire des bases de dérivation fonctionnelle de VITALI à partir des bases de dérivation ensembliste de VITALI.
Enfin, nous joignons un appendice à notre exposé afin de
présenter un type de base de dérivation fonctionnelle contenu implicitement dans certains énoncés classiques d'analyse
harmonique notamment. Pour avoir plus de détails on peut consulter [6]et [4].
Soit E un ensemble non vide. Nous considérons un espace mesuré (E,>71 ,cp) où -yyL est une tribu de parties de E et (p une mesure positive sur yTZ qui, en général, ne sera supposée ni complète, ni o-finie. En désignant par cp la mesure extérieure associée a (p nous posons :
; S e >n,(p (S) < +~ },
; S ,(p (S) > 0 },
n = {N ; N G >72,, cp(N) = 0 },
= {N ; N G77L,V S , NnSG^}
n★ {N ; N CE , cp* (N) = 0 } ,
{N
/l/L désignera l'ensemble des fonctions positives >7^-mesurables définies sur E, et ct^ le sous-ensemble des fonctions positives sommables d'intégrale strictement positive.
De façon générale pour tout ACE, \ désignera la fonction caractéristique de A dans E.
ùloc
+
; N C E , V S G , NCiSGri* }
REMARQUE 1.- Rappelons que pour tout C C e, il existe un en
semble C G 772, (non unique) tel que cp (C) = cp(C), et contenu dans tout ensemble mesurable contenant C.
Nous dirons qu'une propriété P est vraie localement presque partout (loc. pp. en abrégé) s'il existe un ensemble N S ou un ensemble N e hors duquel P est vérifiée. Nous indiquerons ce fait aussi par la notation suivante utilisée dans [10] ; P (mod 0*^^) sur E ou P (mod rin__) sur E.
loc
REMARQUE 2.- L'adoption d'un cadre aussi général suppose que la mesure cp n'est pas essentielle, et ne présente d'intérêt que dans ce cas (voir -Remarque 12 et Proposition 3 ci-dessous).
DEFINITI0N_1. - Soit (E,>?^,cp) un espace mesuré et soit xSE.
On appelle base de dérivation fonctionnelle de x tout ensemble non vide ^(x) de familles filtrantes (I ®st un en
semble ordonné filtrant supérieurement) d'éléments de ' tel que toute sous-famille cofinale d'un élément de
*i2)(x) appartienne encore à ^(x) . Les termes f^ des familles (fj^)^çj G tZ)(x) sont appelés constituants de ^(x) •
On appelle base de dérivation fonctionnelle dans (E, >72. /^) toute famille = ( *^(x))^gj^, oîX D est une partie de E
telle que E \ D s et où ^ (x) est une base de dérivation fonctionnelle de x.
REMARQUE 3.- On montre aisément qu'une partie cofinale d'un ensemble ordonné filtrant supérieurement est filtrante supé
rieurement pour l'ordre induit.
DEFINITI0N_2. - ^ ^ (x) ) étant une base de dérivation fonctionnelle dans un espace mesuré (E,P7L f<P) et ip une mesure positive sur 77^ r on appellle
(a) ^ -dérivée supérieure ^ 4; ^ x e d (par. rapport à cp) l'élément de H
D(4^,g^) (x) = sup lim —?--- ; (f.)e (0(x) iei Jf.dcp
^i€i
(b) igb -dérivée inférieure de i|j en x e D (par rapport à cp) l'élément de K
/f .dcjj D(iiJ,fi)) (x) = inf lim —?---
(f.)e^(x) jf.dcp
^iGI X X y X
Lorsqu'aucune confusion n'est à craindre, nous écrirons simplement D4j(x) et Dc1j(x).
DEFINITION_3. - Soit (E,7?2.,cp) un espace mesuré. Une mesure 4i sur est dite fortement cp-dérivable s'il existe une fonc
tion f ^telle que, pour tout M G yn ,
ili (M) =
J
fdcp 'La fonction f est appelée cp-dérivée forte de cp.
REMARQUE 4.- Cette notion est contenue dans l'énoncé classique du théorème de RADON-NIKODYM tel qu'on le trouve, par exemple, dans [ 9 ] .
REMARQUE 5. - Rappelons que deux cp-dêrivées fortes d'une même mesure li/ sont égales cp-presque partout.
DEFINITI0N_4. - Soit (E,?7Z.,cp) un espace mesuré. Une mesure ijj sur 77^ est dite faiblement cp-dérivable s ' il existe une fonc-
La fonction f est appelée cp-dérivée faible de <1.
REMARQUE 6.- Cette notion est plus large que la précédente.
On la trouve dans les travaux de D. KOLZOW et J. GAPAILLARD (voir [16] et [6]). Adoptant le même cadre général que ce der
nier, nous dirons souvent comme lui "(p-dérivée" au lieu de cp- dérivée faible, si aucune confusion n'est à craindre.
REMARQUE 7. - Signalons que deux cp-dérivées faibles d'une même mesure lii sont égales cp-localement presque partout [5] .
REMARQUE 8. - Soient (E,3^ ,cp) un espace mesuré, ci; une mesure sur yyi^ cp-dérivable, et f une cp-dérivée de 1». Soit une fonction g s ^ (cp) . Alors
tion f e telle que, pour tout S ,
et on a
Ceci est faux en général si g ^ (cp) .
DEFINITI0N_5. - Soient (E,?^,(p) un espace mesuré, ^ une base de dérivation fonctionnelle dans (E,>^,(p) et lii une mesure sur
>72, cp-dérivable. On dit que la base dérive la mesure s'il existe une cp-dérivée f de ijj et un ensemble N e en dehors duquel les Û) -dérivées supérieure et inférieure de i|»
sont définies et vérifient
D(0j, €2) ) (X) = D(ijj, $!> ) (x) = f (x)
pour tout X e e\ N •
REMARQUE 9.- La relation précédente peut s'écrire
Inf (f .)€^(x)
i£I
Sup Inf j€I i>j
/f^fdcp
= Sup Inf Sup —7---
^iGI
f (X)
cp-localement presque partout.
Il est facile de voir alors que, pour toute famille (f. ) G ^ (x) , on a
iGi
/f.fdcp Jf.fdcp jf.fdcp
Sup Inf —7--- = Inf Sup —?--- = lim —?---------- jGi i>j jfj^dcp jGi i>j j f I jf.dcp
D'où
Inf
(f .)e H)U) iei
Sup (f.)e^ (x)
lim I
jf^fdcp ff.d„
f (X)
cp-localement presque partout.
Finalement, dire que la base ^ dérive la mesure li» équi
valent à dire que l'on a, pour (p-localement presque tout X e E, pour toute famille (f.)eC2*(x)
iei
En fait, il suffit que cette égalité soit réalisée pour un ensemble 5C de familleyqui "engendrent" CZ) (x) , c'est-à-dire, tel que tout élément de Ü (x) soit une famille cofinale ap
partenant à K.
DEFINITI0N_6. - Soient (E,?7Z.,cp) un espace mesuré,
^ (x))_^ une base de dérivation fonctionnelle dans (E,772 ,cp) et g e ]R .On dit qu'une partie^ de yH est un recouvrement 0 -fin de g s'il existe un N e ^xoc
(supp g) \ N C D (supp g = {x G E, g(x) 7^ 0})
et tel que, pour tout x G (supp g)\ N, il existe une famille (f .) G^(x) dont tous les termes appartiennent à jS -
iGi
REMARQUE 10.- La notion de support utilisée ici est diffé
rente de celle que l'on définit habituellement dans le cas d'un espace topologique. L'ensemble {x ; x e E, g(x) 0}
considéré ci-dessus est appelé support strict de g.
REMARQUE 11.- La définition 6 n'exige pas que les éléments de soint tous des constituants de ^ . Toutefois il est toujours possible d'obtenir cette situation particulière. De façon précise, à tout recouvrement 0 -fin de g on peut
En effet, pour tout x s (supp g)\ N, il suffit de choisir toujours associer un recouvrement
chaque élément est un constituant de la base fZ) .
(fet de poser
{f^ ; i e I , X e (supp g) \ N}.
X ^
§ 2. DERIVEES DES MESURES
DEFINITI0N_7. - Soit cp) un espace mesuré. Nous dirons que <p vérifie la propriété (*) si pour toute mesure ijj sur 772 toute cp-dérivée faible de ip est une cp-dérivée forte de ijj.
Exemple d'une mesure cp ne vérifiant pas la propriété (♦ )
Considérons l'ensemble IR des réels et désignons par U l'en
semble des entiers naturels. Il est facile de vérifier que le sous-ensemble
yYL = {M; MC]R , card (M) < card (n ) ou card (1R\M)< card (U^}
de ^ (IR) est une tribu. Posons alors pour tout
Il est clair que les fonctions d'ensembles et cp sont des mesures définies sur Y/t . Notons que dans cet exemple, ^ est l'ensemble des parties finies de 3R .
On a pour tout SS
O si M est dénombrable
.+“ si ]R\ M est dénombrable;
'card (M) si M est fini cp(M)= 1
si M est infini.
+ ^ = (M) > r odcp = 0 M
On voit ainsi que la fonction 0 est une cp-dérivée faible et non une cp-dérivée forte de Par conséquent cp ne vérifie pas la propriété (*).
Etant donné un espace mesuré (E,>72, cp) , il y a des situations où la mesure cp vérifie la propriété (*) .
PROPOSITION 1 . Soit (E,?72, <p ) un espace mesuré. Si la mesure cp est o-finie, alors elle vérifie la propriété (* ) .
DEMONSTRATION. Soit cji une mesure sur 77Z faiblement cp-dérivable, et soit f une cp-dérivée faible de li. Pour tout M€>7Z, il existe une suite croissante (S ) ^, de telle que M = u , car cp
n n=^l ^ n—1 ^
est a-finie. D'où ~
Donc f est une cp-dérivée forte de Cela achève la démonstra
tion.
a^(M) = ii)( Û n=l
= Sup n
Pour indiquer une autre situation où la propriété (*) est vérifiée nous avons besoin de la définition suivante.
DEFINITI0N_8. - Soient (E,>7t, cp) un espace mesuré et une mesure sur yvL • Nous dirons que la mesure iJj est cp-essentielle
(resp. (P est ji-es sentie lie) si pour tout K^YA. ,
Oj(A) = Sup {i|j(S) ; SCA, Se*^f }
(resp. cp(A) = Sup {cp(R); RBY/L , RCA, 4j(R) < + °° } ) •
REMARQUE 12. - La notion ci-dessus généralise la notion clas
sique de mesure essentielle qui s'obtient pour ijj = cp. Elle sera analysée plus en détail au paragraphe quatre.
PROPOSITION 2. - Soit (E,>yZ , cp) un espace mesuré. Si toute me
sure ijj sur 77t faiblement <p-dérivable est cp-essentielle et si cp est cp-finie (c'est-à-dire, pour tout k^Y/L , cp(A) est fini si cij (A) est fini), alors cp vérifie la propriété (* ) .
DEMONSTRATION. - Soient lij une mesure sur YÏL faiblement cp- dérivable et cp-essentielle, et f une cp-dérivée faible de ii.
La mesure il; étant cp-essentielle, on a pour tout MC KYL
ilj(M) = Sup {iMS) ; SCM, se cf } •
Il existe alors une suite croissante de ÿ telle que
dj(M) = Sup Oj (S^) n
avec S^CM pour tout n > 1. On a
Sup cl; (S )
n ^
(M) < j fdcp pour tout
Si ijj (M) = + « , alors on a ijj (M) = I fdcp .
Supposons (M) < + ”. Comme cp est li^-finie on ne peut avoir
i|j (M) < [ fdcp . 'm
Donc, dans les deux cas on a
(M) = j fdcp pour tout
La caractérisation suivante des mesures essentielles sera utile,
PROPOSITION 3.- Soit {E,y7Z, cp) un espace mesuré. Alors la mesure cp est essentielle si et seulement si ri =
DEMONSTRATION. - Supposons que que
ri = D . Soit MS 77Z et supposons loc
(1) cp(M) > Sup cp(S) • ,SCM
Il existe une suite croissante (S ) de telle que
n n^l ^
(2) Sup (pis) = Sup cp(S ) = cp( U s ) .
SGcf,SCM n " n=l "
On a alors
n=l
En effet, supposons qu'il existe un ensemble S s 'T tel que
V ^ \ ^ ^n • n=l
Comme on a nécessairement Sup < + “, il vient à partir
de (2), ^
(3) Sup cp(S) se ,SCM
Sup cp(S ) < Sup cp (S ) + cp(S )
n n
= Sup cp(S^ U Sq) n
< Sup cp(S) seîJ,SCM D'où une contradiction. Par conséquent
M \ U s„e n n=l n 'loc
Mais comme ri = ri , on ne peut avoir la relation (1). D'où finalement loc
(4) cp(M) = Sup cp(S) seïf, SCM
Supposons que la mesure cp soit essentielle. L'inclusion r|Cn^^^ étant triviale, il suffit de démontrer que ri e n.
Soit NSri^^^. La mesure cp étant essentielle, on a loc
Se'ÿ ,SCN
Or, il résulte de la définition d'un ensemble localement de mesure nulle que cp(S) = 0. Donc cp(N) = 0, et par suite NSri.
REMARQUE 13.- Dans l'exemple considéré ci-dessus on a
= T\ = {0}. Il résulte alors de la proposition 3 que la mesure cp définie dans cet exemple est essentielle. Par con
séquent la condition "cp essentielle" n'est pas suffisante pour que cp vérifie la propriété (* ) .
La proposition 1 admet une réciproque partielle. D'une façon précise nous avons le résultat suivant.
THEOREME 1. - Soit {E,yri., cp) un espace mesuré. Si la mesure cp est essentielle et vérifie la propriété (.*) , alors elle est a-finie.
DEMONSTRATION.- Supposons que cp soit essentielle, vérifie la propriété (*), et ne soit pas a-finie.
Posons
Il est évident que E ^ Considérons la fonction d'ensembles i]j : yyi—>■ ]r'*’ définie comme suit
a
si M0'iS O Oj(m)
4-00
iii(0) = 0. Soit suite disjointe de 17Z . Si U M 0 , alors il existe un n >1 tel que M 0 J
n=l O
D ' où
= + <»
n=l n et 2 (m^)
n=l
•f oo •
Si U ' alors
n=l k=l
Il est clair qu'on a ainsi pour tout n > 1,
«n = <«n " Sk> • k=l
D'où pour tout n > 1. Ainsi, on a n ^ O
il^(Mn) = 0 pour tout n > 1.
Par suite
4j( U M ) = 0 = 2 .
n=l n=l
En définitive on a dans les deux cas
4j( U M ) = 2 O^(M^) . n=l n=l
On voit donc que iJj est bien une mesure sur 'yYt .
La mesure est faiblement cp-dérivable et admet la fonction 0 comme cp-dérivée faible puisque, pour tout S g , on a
Comme cp vérifie la propriété (*), est fortement cp-dérivable.
Soit g une cp-dérivée forte de ijj. Toute cp- dérivée forte étant évidemment une cp-dérivée faible, on a g = 0 cp - localement presque partout. Mais, la mesure cp étant essentielle, on a
= r) en vertu de la proposition 3. D'où g = 0 cp-prescjue partout. Ainsi, pour tout MG , on a
4^(M)
Il en résulte une contradiction si . Cela achève la dé
monstration.
Comme toute mesure a-finie est essentielle nous obtenons une caractérisation pour les mesures o-finies, en tenant compte de la proposition 1.
THEOREME 2.- Soit (E,3^, cp) un espace mesuré. Alors la me
sure cp est a-finie si et seulement si elle est essentielle et vérifie la propriété (*).
§ 3. DERIVEE D'UNE FONCTION ET DERIVEE D'UNE MESURE
Rappelons que c'est à partir du théorème de RADON-NIKODYM que R. de POSSEL a obtenu une théorie générale de la dériva
tion. Ce théorème, rappelé dans l'introduction, est évi
demment une généralisation naturelle de celui de LEBESGUE qui affirme que toute fonction absolument continue est égale à l'intégrale de sa dérivée. Or, à toute fonction absolument continue dans ]R on peut associer une mesure absolument continue par rapport à la mesure de LEBESGUE. Il est donc pertinent de rechercher et de préciser le lien qui existe entre la dérivée d'une fonction absolument continue et celle de la mesure qui lui est associée.
Soit une fonction f : ]R -> ]R , avec désignons par X la mesure de LEBESGUE sur ]R . On sait que la fonction
est absolument continue, et que toute fonction absolument continue peut se mettre sous cette forme.
D'après un théorème de LEBESGUE elle admet presque partout une dérivée F'(x) et on a
(2) F ' (x) = f (x) PP • Il vient donc
(1) F(x)
x+h fdX (3) f (x) = F' (x) = lim
PP PP h->o
F(x+h)-F(x)
h lim
h^o h
Par suite
(4) f (x) = lim PP h->o
^x+h
h lim
h->o
U([ x,x+h] ) ^ X ([ x,x+h] )
Considérons une suite (h ) où h >0 quel que soit n > 0 n nas^u n
pour fixer les idées, telle que lim h =0. Il est clair que l'ensemble
^ (x) = { ([ x,x + h ] ) ; lim h = 0} n€ij n->+°°
est une base de dérivation ensembliste de x. Posons [ X, X + h^]= . Nous avons
(5) D(U;€2)) (x) = Sup lim --- (In)^2^(x) n
fdX
= Sup ITm ^ .--- (Ij^)^€b(x) n n
Or,
( 6) lim n^+«>
Donc,
(7) D (u,€2) ) (x) = f (x) PP .
On voit de même que
(8) D(u,^ ) (x) = f (x) PP •
Par conséquent la base fZ) dérive la mesure u, et toute À-dérivée de U est égale presque partout à la dérivée F'(x) de la fonc
tion F(x). On a donc le théorème suivant.
THEOREME 3.- La dérivée d'une fonction absolument continue coïncide presque partout avec toute dérivée de la mesure qui lui est associée.
REMARQUE 14.- Ce résultat se généralisé dans ]R en prenant une base de dérivation constituée de cubes. Une autre base possible est constituée d'ensembles mesurables T définis de la manière suivante. ^ (x) étant une base de dérivation de
jr ^
X e ]R constituée de cubes centres en x, il suffit que les ensembles T vérifient les conditions suivantes,
n
(1) lim 6(T ) = 0, n-v+oo
en désignant par ô(T^) le diamètre de T^;
(2) Il existe un nombre aG®* et une suite (^n^n>l^ (x)
tels que
A (C )
T^c et < a avec 0, pour tout n > 1,
en désignant par la mesure de LEBESGUE sur ]R
On dit que la suite "converge régulièrement vers x", le nombre a étant alors appelé "paramètre de régularité" de la suite [23] .
DEFINITIONS_9^- Soit cp) un espace mesuré. On dira qu' une mesure sur yyL , est cp-localement o-finie (resp.
(p-localement presque g-finie) si pour tout il existe une suite (S„) de telle que S c s et 4i(S„)< +~ pour tout n > 1, et telle que
S = ^ (resp. (p(S U s ) = 0) .
n=l n=l
REMARQUE 15.-
a) Si est une mesure a-finie, alors est cp-localement g-finie.
b) Si lij est une mesure <p-finie (c'est-à-dire ili(S) fini pour tout S s'zj’), alors trivialement ip est cp-localement
g-finie.
REMARQUE 16.- Il est immédiat qu'une formulation équivalente des définitions 9 s'obtient en exigeant que les S^ soient dans .
PROPOSITION 4. - Soit (E,>TI , <p) un espace mesuré. Alors, pour une mesure ijj sur Y/L, les conditions suivantes sont équivalentes :
(1) iIj est cp-localement g-finie;
(2) ijj est cp-localement presque g-finie et pour tout NSrif il existe une suite de 'd’ telle que ii/(Nj^)< +~ pour tout n > 1 et telle que N = o •
diate des définitions.
PROPOSITION 5.- Soit (E,7^,(p) un espace mesuré. Alors, pour une mesure i|j sur yTZ. > les conditions suivantes sont équiva
lentes :
(1) est cp-localement presque o-finie;
(2) Pour tout S , il existe un S'e-j^'*’ tel que S'C s et (S' ) < +«.
DEMONSTRATION. (1) => (2). Soit localement presque o-finie, il S telle que S^ c s et <
oo
que cp(S \ O Sj^) = 0. On a n=l
s = ( s s )0S oO s = s \ “ s„ •
n=l " ° ° n=l "
D 'où
0 < cp(S) < cp(S^) + 2 cp(S„) = 2 cp(S^) .
° n>l n>0
Il existe donc un n tel» que cp(S ) > 0 et )< +
^o “o
(2) => (1) . Soit se ~é .
Le cas cp(S) =0 étant trivial, supposons que seet con
sidérons une famille (S^)d'éléments de vérifiant
S^ c s pour tout iej et telle que S^^ n s^ =0. si i j. Comme
<p(Sj^) > 0 pour tout ieJ et cp(S) < +“ , la famille (cp(S^))j^gj est sommable et dénombrable.
se-^^. La mesure ijj étant cp- existe une suite de +“ pour tout n > 1, et telle
Désignons par ® un ensemble des parties de S constitué d'élé
ments de deux à deux disjoints tel que pour tout
ii)(T) < +°° . D'après ce qui précède, un tel ensemble est au plus dénombrable. D'autre part, l'ensemble des ® du type
précédent, ordonné par inclusion, est inductif. Par conséquent, en vertu du lemme de ZORN, il admet au moins un élément
maximal. Soit un tel élément. On a et Ud»^c s. De plus, en utilisant la propriété (2) on obtient immédiatement cp(S \ = O'Cela achève la démonstration.
Dans ce qui précède l'existence d'une cp-dérivée n'est pas re
quise. Supposons maintenant que la mesure ijj sur considérée soit cp-dérivable. Nous avons alors le résultat suivant.
PROPOSITION 6.- Soit (E, >72., cp) un espace mesuré. Alors, pour une mesure ili sur >9^ cp-dérivable, les conditions suivantes sont équivalentes :
(1) ijj est cp-localement a-finie ;
(2) c|j est cp-localement presque a-finie;
(3) Il existe une cp-dérivée de ijj finie partout.
DEMONSTRATION. L'implication (1) => (2) est triviale.
(2) =>• (3) . Soit f une cp-dérivée de Supposons que f ne soit pas finie localement presque partout. Il existe alors un
SE~c> tel que f | g = + «> . Soit une suite de telle que cp(S \ U s^) =0. Il existe alors un n > 1 tel que
n=l
(p(Sn) > 0. D'où “
Js
= + °° •Il en résulte que ne peut être cp-localement presque a- finie. Donc {f = +~} = N s Il suffit alors de prendre
^ •
(3) =* (1). Soit SS et posons
S = {f < n} n s •
n D'où
oo
s = n=l
puisque f peut être supposée finie partout.
On a
ilj(Sn) = J fdcp < n (p(Sj^) < n cp(S) < +'" •
Cela achève la démonstration.
REMARQUE 17.- L'équivalence des propriétés (1) et (2)
ci-dessus lorsque ijj est cp-dérivable était prévisible d'après la proposition 4 puisque la condition figurant en (2) dans la proposition 4 est trivialement réalisée.
PROPOSITION 7.- Soit (E,>^,cp) un espace mesuré. Alors, pour une mesure sur >72. chacune des propriétés ci-dessous im
plique la suivante.
(1) est a-finie;
(2) cp est ijj-essentielle;
(3) est cp-localement presque a-finie.
DEMONSTRATION. (1) =» (2). Soit AS >72.. La mesure étant a-finie, il existe une suite (R„) , R e 27Z, telle que
n n«^i n 4j(R^) < +°° pour tout n > 1 et
oo
Il vient donc
(P (A) = Sup cp(Rj^) n
< Sup {<p(R) ; Re35l, RCA, iJ;(R) +«}
< cp (A) *
D'où le résultat annoncé.
L'implication (2) =»• (3) résulte de la proposition 5.
On peut compléter la proposition 7 par le résultat suivant.
PROPOSITION 8.- Soit (E,3^ , cp) un espace mesuré. Alors, pour une mesure iIj sur ~yyL , les conditions suivantes sont équiva
lentes ;
(1) cp est lii-essentielle;
(2) est cp-localement presque a-finie, et de plus: pour tout Tl, il existe un R C n tel que cp(R) = +“ et
cIj (R) < +«> •
DEMONSTRATION. L'implication (1) ^ (2) résulte de la proposi
tion 7 et de la définition d'un ensemble localement de mesure nulle.
(2) =>• (1) . Supposons cp non lij-essentielle.
Il existe alors un AC ?7Z. et une suite croissante (R ) de n n^l telle que pour tout n > 1 on ait R^C A et ^ vérifiant
cp(A) > Sup {cp(R) ; RG 772-, rca, Oj(R) < + «}
= Sup (p(Rj^) = cp( U R^) .
n n=l
Alors A \ U ^ ’^loc * n=l ^
En effet, supposons qu'il existe un S c a \ u R avec Comme i|j est cp-localement presque a-f inie, il“ixiste un
C s c A \ avec cp(T^) > 0 et i|j(T^) < +«> , en vertu de n=l.
la proposition 5.
En remarquant que nécessairement Sup cp(R )< +“, il vient n
Sup {cp(R) ; RETTi, RCA, Oj (R) < +“}
= Sup <P(R„) < Sup CP(R_) + cp(T )
n n
= Sup cp(R^ U T^) n
< Sup {(p(R); RS>^, RCA, Oi(R) < +“} '
D'où une contradiction.
Plus précisément on a
A \ U R Ê R \ n • n=l ^ loc
D'où par hypothèse, il existe
R^ c A \ Rj^ tel que cp(R ) = + “ et (R ) < +■» .
n=l °
Cela conduit à une contradiction comme plus haut avec T . Par conséquent cp est bien ijj-essentielle.
REMARQUE 18.- D'après la proposition 3, <p est essentielle si et seulement si = h- Il résulte alors de la proposition 8 que dans ce cas (p est ^^“essentielle si et seulement si iJj
est cp-localement presque a-finie.
§ 5. MESURES A CARACTERE LIPSCHITZIEN
DEFINITION_lO. - Soit (E,-}^,(p) un espace mesuré. Une mesure sur yyL est dite
a) faiblement cp-lipschitzienne sur un ensemble AS ?7Z
s'il existe tel que pour tout , avec S c a, ilj(S) < A.cp(S) ;
b) faiblement (p-lipschitzlenne si vi; est faiblement cp- lipschitzienne sur E;
c) partiellement faiblement cp-lipschitzienne s'il existe un ensemble AS??2tel que ci) (A) < +“ , et tel que ci) soit faible
ment cp-lipschitzienne sur E \ A;
d) quasi-faiblement cp-lipschitzienne si pour tout e > 0, il existe un ensemble AS ITZ. tel que ci (A) < e, et tel que soit faiblement cp-lipschitzienne sur E \ A.
Ces différentes notions ainsi que celles qui ont été intro
duites au paragraphe quatre (voir définition 9 er remarque 15) sont reliées entre elles d'une manière évidente.
D'une façon précise on a la proposition suivante.
PROPOSITION 9.- Soit cp) un espace mesuré. Alors, pour une mesure tji sur chacune des propriétés ci-dessous implique la suivante.
(1) cil est faiblement cp-lipschitzienne;
(2) cil est quasi-faiblement cp-lipschitzienne;
(3) ci) est partiellment faiblement fp-lipschitzienne;
(4) ijj est cp-finie;
(5) ijj est <p-localement a-finie.
Dans cette proposition on n'exige pas l'existence d'une <p- dérivée pour la mesure ip sur TTh considérée. Si cette dernière est <p-dérivable, alors on obtient les résultats suivants.
PROPOSITION 10.- Soit cp) un espace mesuré. Alors,
pour une mesure 4j sur YTZ cp-dérivable, les conditions suivantes sont équivalentes ;
(1) ij; est quasi-faiblement cp-lipschitzienne;
(2) est partiellement faiblement cp-lipschitzienne;
(3) Il existe une cp-dérivée f de iti, un ensemble
A€ yYL , et XenR* ‘tels que 0(A) < +«> et f ^ ^ *
DEMONSTRATION. - L'implication (1) =»• (2) étant évidente, il suffit d'établir que (2) =» (3) et (3) =»■ (1). D'après (2) il existe tel que ^(A^) < +” , et il existe A. > 0, tels que, pour tout se"^ avec SCe \ A^, ij^(S) <A,cp(S).
On sait qu'il existe alors un ensemble avec N c e \ A^, hors duquel on a f < À [5]. D'où, en modifiant f sur N, on obtient f < A. partout.
O
Par conséquent (2) =»• (3) .
D'autre part, il résulte immédiatement de (3) que est cp- finie, donc cp-localement a-finie. D'où, en vertu de la
proposition 6, il existe une cp-dérivée g de lii finie partout.
Alors f = g cp-loc. pp.
D ' où
f = inf(f,g) = f cp-loc. pp.
Par conséquent f est une cp-dérivée de lii finie partout et vérifie (3) . Ainsi, on peut toujours supposer que la cp - dérivée f de considérée dans (3) est finie partout. On peut donc écrire
E = U {f < n} • n=l
Soit e > 0. La suite décroissante d'ensembles de lij-mesure finie (A \ {f < n}) est d'intersection vide.D'où il existe
★ tel que pour tout n > on ait
(A\ {f < n} ) < e -
Soit n^ un entier vérifiant n^ > sup (N^, X), et soit
A =A \ {f<n}*
O O
On a ijj (A^) < e.
Enfin, on remarque que
E \ A^ = (E \ A) U (A n{f < }) c {f < X} ü (A n{f < }) c {f < ’
On voit donc que ijj est faiblement cp-lipschitzienne sur E \ A , ce qui achève d'établir l'implication (3) => (1). Cela termine la démonstration.
PROPOSITION 11.- Soient (E, yn, ,cp) un espace mesuré et une mesure sur cp-dérivable. S'il existe un ensemble
AS yri, et une cp-dérivée f de intégrable sur A et bornée sur E \ A, alors ip est partiellement faiblement cp-lipschitzienne.
DEMONSTRATION.- Par hypothèse il existe AS y/V et X > 0 tels que
(1) fdcp < +“> ,
et
(2) E \ AC {f ^ X} • D ' où
(3) A C {f > X} • Alors, on a
(4) ijj(A) < I fdcp < +<» •
>A
En effet, supposons (5) ilj(A) > f fdcp •
Ja
Si AS ^ , l'inégalité (5) est évidemment fausse.
Soit cp(A) = + «’. Alors, en vertu de (3) on a (6) + “ = Xcp(A) < I fdcp -
Ja
D ' où
(7) fdcp = + “,
Ja
et on contredit (5). Par conséquent, l'inégalité (4) est vraie.
