Étude théorique du déplacement des raies de résonance magnétique causé par la diffusion multiple cohérente de la lumière de résonance

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Étude théorique du déplacement des raies de résonance magnétique causé par la diffusion multiple cohérente de

la lumière de résonance

Alain Omont

To cite this version:

Alain Omont. Étude théorique du déplacement des raies de résonance magnétique causé par la diffu- sion multiple cohérente de la lumière de résonance. Journal de Physique, 1965, 26 (10), pp.576-586.

�10.1051/jphys:019650026010057600�. �jpa-00206034�

576.

ÉTUDE THÉORIQUE ^DU DÉPLACEMENT DES RAIES DE RÉSONANCE MAGNÉTIQUE

CAUSÉ PAR LA DIFFUSION MULTIPLE COHÉRENTE DE LA LUMIÈRE DE RÉSONANCE

Par ALAIN OMONT,

Laboratoire de Physique ^de l’E. N, S., ^Paris

Résumé. - On étend la théorie de la diffusion multiple de J. P. Barrat [5]

^tenant compte ^de

certains effets liés

temps ^de propagation ^du photon ^{et à la} dispersion anormale de la vapeur.

Le premier effet tend à ralentir la précession ^de Larmor de l’aimantation de la _{vapeur ;} le deu- xième, ^{calculé à} partir ^{des formules} semi-classiques ^{de la} dispersion anormale, peut, ^{dans certains}

cas, accélérer cette précession. ^{Ceci entraîne}

déplacement ^{de la} fréquence ^{de résonance} magné- tique ^{du niveau} excité. Des effets des deux types ^{ont été observés récemment dans des} expé-

riences de double résonance [7, 8] ; leur ordre de grandeur (10-4 - 10-6) ^{et leur} signe ^sont

accord avec les prévisions ^{de la} présente ^théorie.

Abstract. 2014 Barrat’s theory ^of multiple scattering ^{of resonance radiation} [5] is extended

by taking into account certain effects related to the time of propagation ^{of the} photon, ^{and the}

anomalous dispersion of the vapour. ^The Larmor precession ^{of the} magnetization of the vapour is slowed down by ^{the first} effect ;

the other hand it can be increased in

cases by ^the

second effect. This can be

using ^the semi-classical treatment of anomalous dispersion. ^In

both cases

shift of the frequency ^{of the} magnetic ^resonance of the excited state results. Shifts of both kinds have been observed recently [7, 8] ^{in double resonance} experiments. ^{Orders of} magnitude ^and signs ^{are in} good agreement with the above theory.

PHYSIQUE 26, 1965,

Introduction.

L’6tude systématique du rayon- nement de resonance optique s’est révélée la m6- thode la plus fructueuse d’investigation des pro-

pri6t6s des niveaux excites des atomes. On obtient

en particulier des resultats extramement precis ^sur

la structure interne des niveaux par des m6thodes utilisant les propri6t6s ^de polarisation ^{de ce} rayon- nement : double resonance [1], dépolarisation ^ma- gn6tique, croisement de niveaux [2], ^etc...

Pour interpreter ^les ph6nom6nes ^ainsi observes,

dans ^une premiere approximation, ^{on raisonne sur}

le comportement d’un seul atome en interaction

avec le rayonnement ; ^{il reste ensuite a effectuer}

une moyenne statistique des effets a attendre sur

tous les atomes de la vapeur.

On n6glige ^{ainsi les} interactions directes entre atomes (collisions) ainsi que la possibilit6 pour les

photons de fluorescence d’être r6absorb6s avant de sortir de la vapeur. Ce dernier phénomène, ^{la dif-}

fusion multiple, ^{est bien connu} [3] depuis long- temps par ^son influence sur le temps d’emprison-

nement du rayonnement ^{de resonance dans la}

vapeur. La diffusion multiple ^est 6galement ^res- ponsable de I’affinement des courbes de resonance

magnetique ^{de 1’6tat} excit6, ^{et de} dépolarisation magnétique, observe pour de fortes densites des atomes dans la vapeur [4, B, 6] : ^la largeur ^{de ces}

courbes est d6termin6e par la

duree de cohe-

rence

des atomes, qu’on peut ^{assimiler a un} temps ^de « relaxation » des elements non diagonaux

de la matrice densite de 1’6tat excite : on a pu dire ainsi que la diffusion multiple ^etait

^coh6rente

en ce sens qu’un photon ^6mis par ^{un atome se}

trouvant dans une superposition coh6rente de sous-

niveaux Zeeman excite I’atome qui ^le réabsorbe,

dans une superposition coh6rente li6e a celle du

premier ^{atome : il en} r6sulte que la duree de cohe-

rence peut ^{avoir des valeurs} sup6rieures ^{a la duree}

de vie d’un atome isol6.

La theorie de la diffusion multiple coh6rente de J. P. Barrat [5] permet de rendre compte ^avec precision ^{de la} largeur ^{et de la forme de ces courbes}

de resonance magnetique ^{et de} d6polarisation ^ma- gn6tique observ6es dans diverses circonstances.

Nous nous proposons ici de montrer comment on

peut introduire dans le calcul de Barrat certains effets dus au temps ^de propagation ^du photon

entre les deux atomes et a la dispersion ^anormale

de la vapeur : ^{on montrera} que ^ces effets conduisent a prevoir ^{l’un et 1’autre un} 16ger diplacement ^{de ]a}

raie de resonance magnetique ; ^{de tels} d6place-

ments ont ete observes recemment [7 ^et 8].

11 est possible ^de d6velopper ^{une theorie com-} pl6te calqu6e ^{sur celle de} Barrat, ^tenant compte ^de

ces effets li6s au temps ^de propagation ^du photon

et a la dispersion anormale ; ^les resultats obtenus

s’interprètent ^aussi simplement ^{en termes semi-} classiques que ^ceux de Barrat ; ^{il nous a semble}

fastidieux de reprendre ^{ici les} parties ^{du calcul} qui

se trouvent deja dans le travail de Barrat : seuls les points originaux ^sont esquiss6s ^en appendice ;

pour le reste, ^{on donne une theorie} semi-classique

des effets dus au temps ^de propagation ^du photon (troisi6me partie) ^{et a la} dispersion anormale de la vapeur (quatri6me partie), ^{en utilisant} systema- tiquement les resultats de Barrat (rappel6s ^{dans la}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019650026010057600

deuxi6me partie) ^{et ceux} de la theorie semi-clas-

sique ^{de la} dispersion ^anormale (rappel6s ^{dans la} premiere partie).

1. Dispersion anormale d’une vapeur.

Une theorie quantique ^{de la} dispersion anormale utili- sant le formalisme de la diffusion multiple ^est d6velopp6e ^dans l’appendice; ^{ses resultats sont} identiques ^{a ceux d’une theorie} semi-classique qui

sont resumes ci-dessous.

On suppose que la _vapeur ^est form6e d’atomes

identiques ^de spin nucl6aire I poss6dant unique-

ment :

-

lIn 6tat fondamental de moment ein6tique 6lectronique ^J

^{0 avec gf}

²¹ +1, ^sous-

niveaux _li. Dans un but de simplification, ^on

admet qu’ils ^{ont tous la meme} energie (qu’on prendra pour origine de 1’echelle des energies) ^et

que les ^{atomes sont} toujours compl6tement ^d6so-

rientes dans 1’6tat fondamental (la matrice densite de 1’etat fondamental est proportionnelle ^{a la}

matrice unite).

- Un 6tat excite de moment cin6tique ^électro- nique ^J

^{1 avec} ge

3(21 +1) sous-niveaux m

d’6nergie ^k, (1), ^et de dur6e de vie r

1 /r. ^On appellera ko la moyenne des k.m : Ik1ll - kol ^« ko.

En ce qui ^{concerne le} champ ^de rayonnement,

on suppose, ^{comme il est} d’usage dans la theorie de la resonance optique, qu’un ^seul photon ^est present ^et que, de plus, ^sa direction de propagation

est bien d6termin6e ; ^{nous nous} limiterons provi-

soirement au cas ou l’on peut repr6senter ^{1’6tat de}

ce photon par ^une onde ( f ) qu’on d6veloppe ^en

ondes planes (kX) ^{de vecteur d’onde k et de} polari-

sation ex determines

Dans le cas general ^{il faudrait} consid6rer un

m6lange statistique de telles ondes ^et la matrice densite correspondante.

Soit (df) la variation de ( f ) apr6s la travers6e d’une 6paisseur dR de vapeur, ^on definit ^un « opéra-

teur de dispersion» U par

Si l’on consid6re une 6paisseur ^{finie R} de vapeur, la nouvelle onde est repr6sent6e ^par

L’introduction de l’op6rateur ^U permet simple-

ment d’exprimer ^de fagon plus compacte ^{les r6sul-}

tats bien connus de la théorie classique ([3] par

exemple) ^{de la} dispersion ^anormale. On voit ais6- ment que ^ses elements de matrice valent

(1) ^{Dans un} syst6me ^{d’unit6s où A}

^1.

ou D est un op6rateur ^vectoriel hermitique ^sans

dimensions et norm6, proportionnel ^{au moment} dipolaire 6]ectrique de l’atome [5, § I-2.a] ^et Dx(X = ± 1) ^sa composante ^{standard d’ordre X} [14] ^{dans un} référentieI ou l’axe Oz est port6 par

k ; ^{si Fon} adopte la convention de phase ^habituelle [5], ^l’element de matrice r6duit de D, IUDHF >, est 6gal ^a

v’2F + 1. ^{On a} ]a relation

n(k

k.) ^{est donc l’indice de} refraction qu’aurait

la vapeur pour ^une onde monochromatique ^de

vecteur d’onde k, ^{si tous les} sous-niveaux excites avaient la meme energie ^krn.

La valeur de cet indice est classique [3]

N est le nombre d’atomes par unite de volume ;

on a tenu compte ^des hypotheses

et on a suppose n6gligeable ^la contribution a la

dispersion ^{des atomes} qui pourraient 6tre excites.

On a n6glig6 jusqu’ici l’influence de 1’effet

Doppler ; pour ^en tenir compte, il suffit de rem-

placer ^km par km + ko. vi.- ^{ou vk est la} projection

sur k de la vitesse d’un atome, ^et d’effectuer la moyenne ^sur la distribution de Maxwell-Boltzmann de ces vitesses.

L’indice moyen ^vaut done

a partir ^{de n on} definit par ^une relation analogue

a la relation (4) ^un

op6rateur moyen de disper-

sion

U.

Il est commode d’exprimer n(k

km) ^a partir

de « la fonction de dispersion ^des plasmas » ^{Z bien}

connue et tabul6e [9] : explicitement

Plutot _{que U} on utilisera par la suite l’op6ra-

teur f/ _{defini par}

II. Diffusion multiple: rappels et formules géné-

rales.

1. POSITION DU PROBLEME. - Toutes les

grandeurs physiques observables relatives a 1’etat excite des atomes peuvent ^gtre d6duites de la connaissance de la matrice densite de 1’6tat excite ;

on la definit de la façon ^suivante.

Raisonnant sur le modèle ou un seul atome de la vapeur ^est excite a la fois, ^on d6veloppe ^{la fonc-}

tion d’onde du systeme ^{sur les 6tats du type} 11(.1.1

^nmn

^X(.1.X > qui represente ^{1’6tat ou}

l’atonxe n est excite dans le sous-niveau _mr,, les autres atomes, ^non excites, ^6tant respectivement

dans les sous-niveaux _{[J.i :}

Si l’on appelle IA(ltl,

^ne,

^{XVx; t) >}

le vecteur dont les ge composantes ^{sont les} a(iyi,

nmn,

X[J.x ; t), la matrice densité ^est par définition [5, 6q. (11-3)]

En l’ absence de diffusion multiple, ^on peut ^rai-

sonner sur un atome isol6, ^{et la matrice densite}

vaut

ou J6 est le hamiltonien d’un atome (on suppose

provisoirement que J6 ^est independant ^du temps ;

on reviendra sur le cas d’un champ de radiofr6- quence dans les troisi6me ^et quatri6me parties) ;

po represente 1’6tat de l’atome a l’instant 0 lors de

son excitation.

Le probl6me ^de la diffusion multiple ^{est de cal-}

culer le terme qui, dans la d6riv6e de _p, rend

compte de 1’excitation des atomes par les photons

6mis spontanement par d’autres ^atomes de la vapeur.

2. COUPLAGE ENTRE DEUX ATOMES ISOLES.

Barrat calcule d’abord le couplage introduit par ^le

champ ^de rayonnement ^{entre deux atomes} isol6s,

de vitesse et de position determinees ; ^{on trouve}

ou R1S ^{est le vecteur} joignant ^la position ^{des deux}

atomes, ^{et C est une matrice} qui ^a pour expression

vi 6tant la vitesse de l’ atome i.

L’expression pr6c6dente ^est celle de Barrat

[5, 6q. ^I 48] ⁶ quelques differences de nota- tions pres ; ^{mais nous ne faisons} plus ^ici l’approximation consistant a remplacer A(t - R)

par eikeB A(t). ^Son interpretation ^est evidente : a l’instant t

R, I’atome 1 retombe dans le sous-

niveau _[1.1 en 6mettant un photon ^{avec un dia-}

gramme de rayonnement determine. L’atome 2 initialement dans le sous-niveau _{. U2 est} port6 ^dans

un 6tat excite dont les caractéristiques ^{sont li6es}

a la polarisation ^du rayonnement ; ^le photon ^{a mis}

le temps R pour ^se propager ^{dans le} vide, ^{il est}

absorbe par l’ atome 2 ^a l’instant t ; enfin, ^le

terme eiallt represente ^1’effet Doppler ^{lors de}

1’6mission et de la reabsorption ^du rayonnement.

3. CAS DE JW ATOMES.

On suppose qu’a ^l’ins-

tant t

0, seul l’atome 0 est excite ; ^a l’instant t,

la matrice densite du nième atome de la vapeur

(n =1= 0) ^a pour expression

Le raisonnement de Barrat revient a admettre que, par suite du facteur eikeB contenu dans

)A(t

R) >, ^on peut négliger ^{tous les termes de}

la somme pr6c6dente ^{sauf ceux} pour lesquels ^les atomes n, p ^et p’ ^sont alignes ; ^{il en d6duit} qu’il

est 16gitime ^{de conserver} uniquement ^{les termes ou}

p

p’, ^a condition de remplacer la matrice C _par

une matrice C’ qui ^tienne compte ^de l’influence de la _vapeur sur le photon, ^{lors de son} trajet ^de

l’atome _{p a} 1’atome n. En n6gligeant ^la dispersion

anormale de la vapeur, Barrat obtient ainsi [5, eq. ^II 12]

On peut 6tendre le calcul de Barrat au cas de la dipersion (appendice) ; le resultat est 6vident,

il revient a utiliser les formules semi-classiques ^de

la dispersion ^anormale (cf. ^ire partie), pour cal-

culer comment est modifi6 1’6tat du photon impli-

que ^dans 1’expression (16). ^La matrice de couplage

entre les atomes n et p ^vaut ainsi

ou l’on a posé ç

’VpRpn (projection ^de vp ^sur Rpn) ; JC ^est le hamiltonien atomique ^et l’op6rateur

F’(Je + x) ^est défini par

L’interprétation ^{de cette} expression ^{est claire} (fig, 1) : ^le photon ^de polarisation )/ 6mis par le sous-niveau _mp de l’atome p ^a pour 6nergie, ^1’6ner- gie ^{de ce niveau d6cal6e} par ^effet Doppler. ^Par

suite de la dispersion de la vapeur la polarisation ^)/

devient X, ^{et c’est un} photon ^X qui ^est absorbe par l’atome n.

Dans cette approximation, 1’expression (18) ^se

r66crit done

Dans le cas ou

le terme eiaP1l(t’-t’) a des variations beaucoup plus rapides ^en fonction de t’

t" que les autres facteurs de cette expression, ^comme par ailleurs

on peut remplacer 1’expression

Si la condition Ikm

km’l « ko ^u n’est pas r6a-

lis6e, ^le probl6me ^est plus complexe, ^on peut ^le

traiter compl6tement ^{dans le cas ou} pour ^tout

couple ^{m et} m’ l’une des conditions suivantes est r6alis6e :

On se trouve dans cette situation pour ^un isotope pair (I

0) ^ou impair ^{dans un} champ magnetique

élevé ([11] et § III) ^et pour ^un isotope impair ^en champ nul si 1’on s’intéresse aux transitions « haute

frequence

^{et si la structure} hyperfine ^est sup6-

rieure a la largeur Doppler (§ III). ^Il suffit, ^dans

ces cas, de considerer la diffusion multiple ^{a l’int6-}

rieur de chacun des groupes de sous-niveaux _pour

lesquels Ikm

km,/ ^« ko u ; la conservation de

1’6nergie interdit les transitions vers d’autres ni-

veaux m", ^et la contribution de ceux-ci a la dis-

persion anormale des photons du groupe consid6r6 est g6n6ralement n6gligeable (cf. § ^{III et} IV).

Nous n’allons traiter en detail _{que le} cas ou la condition (23) ^{est r6alis6e.}

4. CALCUL DE dp/dt.

^{Pour calculer} p = £ pn, il faut multiplier le nombre total d’atomes par la valeur moyenne de pn par rapport ^{a la vitesse et à}

la position ^de 1’atome n ; ^a partir des expres- sions (22) ^et (24), ^on obtient done :

en supposant que p,(t) ^ne depend pas de Ry ^{et en}

utilisant I’hypoth6se ^{de la} complete desorientation des atomes dans 1’etat fondamental.

Comme Barrat, ^on remplace JY’ moyenne ^sur Rn

et B,, 1 ^par N r ^{d3 R,,,, ou le} volume d’int6- JSL

gration ^{SL est une} sphere ^{centr6e 4} l’origine ^dont

le rayon L ^est de l’ordre de grandeur ^{des dimen-}

sions de la cellule contenant la vapeur.

La moyenne ^{sur Vn} s’effectue sans difficulté ;

finalement

(on ^a abr6g6 ^{de façon 6vidente} la notation de C").

La matrice C" est g6n6ralement ^tres compliqu6e ;

mais dans la plupart ^des cas, ^on peut 16gitimement

introduire des simplifications qui permettent ^un calcul assez rapide ^des int6grales pr6c6dentes.

Ainsi, ^on n6gligera d’abord la dispersion ^anormale

(30 partie), puis ^{on calculera} explicitement ^ses

effets dans un certain nombre de cas simples (4e partie).

III. D6plaeement apparent des raies de r6so-

nance magndtique, ^{lié a la} propagation ^du photon

dans le vide.

1. SIMPLIFICATION DE L’EXPRES-

SION D E C".

Si l’on suppose suffisamment petites

les diff6rences d’énergie ^{entre les} sous-niveaux _m,

en premiere approximation, ^{le milieu est} isotrope,

et la matrice V(k) ^{se r6duit h :}

L’expression (20) devient dans ^cette hypothèse

La partie reelle de n disparalt 6videmment dans

1’expression (26). ^En supposant ^{r «} ko u, ^on peut

écrire 1’expression ^{(11) sous la forme}

. .

X doit etre interprete ^{comme un} coefficient

d’absorption moyen de la vapeur ; ^sa valeur est tres voisine de celle de la quantite ^{2KN de Barrat} [5, 6q. ^II (13)]. ^La grandeur lo définie par Dyakonov

et Perel [10, 6q. (36)] ^vaut lo = 1/x V2. ^Le

dernier terme de 1’6quation (26) ^{vaut donc}

Rappelons que ^cette formule ^est valable dans le

cas ou les f requences ^{Zeeman et} hyperfines ^sont beaucoup plus petites que la largeur Doppler. ^Dans

le cas ou ceci est encore vrai pour les frequences Zeeman, ^{mais ou les} frequences hyperfines ^sont beaucoup plus grandes que la largeur Doppler, par

un calcul analogue ^on obtiendrait pour les elements de la matrice _po correspondante :

dans 1’6tat Fm le moment ein6tique total de l’ atome

vaut F et sa projection sur oz, m. Xl est le coefficient

d’absorption correspondant ^{a la} composante hyper-

fine F :

On voit ais6ment comment on pourrait ^6tendre

ces formules au cas ou les frequences ^{Zeeman sont} sup6rieures ^{a la} largeur Doppler ; ^{dans ce} cas, le milieu n’est plus isotrope, ^{meme en ce} qui ^concerne I’absorption [11].

2. MOYENNES ANGULAIRES.

La relation qui

lie _PD (ou Po) ^a p(t

R) ^ne depend pas du choix des axes de reference, ^{il est donc} indique ^{de d6ve-} lopper p suivant la m6thode de Fano [10, 12, 13] :

Les FGT:> ^{sont des matrices} qui ^se transforment entre elles dans une rotation, ^{comme les} qemes composantes standard d’un op6rateur ^tensoriel

irr6ductible d’ordre k [14]. ^De plus -c-T(71) ^n’a

d’elements de matrice qu’entre ^{les 6tats} hyper-

fins F et G, ^{et ces matrices sont} orthonorm6es au sens de Fano [12, 13]

Dans le but de calculer 1’expression (32), ^{on defi-}

nit la transformation BpG par la relation

11 est clair [12, 13] que BI’G ^est invariant _par rotation et que par suite

les FG«k ^sont des coefficients independants de q ;

on peut ^les calculer soit directement a partir ^de

1’6quation (37) ^et des valeurs num6riques ^{des coef-}

581 ficients de Clebsch-Gordan, soit par des m6thodes

generales [5, 10, 13] ; ^{on trouve :}

Les quantités entre crochets sont des coeffi- cients 6j ^de Wigner. ^Barrat [5] appelle

la quan- tit6 que ^{nous notons} FFrx2, ^et Dyakonov ^{et Perel} [10, 6q. (30)] ^{Ak la} quantite FFrxk, l’expre’ssion (39)

n’est que 1’extension du resultat de ^{ces auteurs}

au cas F --?= ^G.

3. INTEGRATION SUR R et q.

Comme rR « 1,

on remplace p(t-R) par exp (iJeR) p(t) exp (- iJeR).

Si l’on d6finit 1’operateur ^X’ par la ^relation

en supposant )R’) R ¹ (40a), ^on peut ^{écrire en} premiere approximation

exp (iJeR) p(t) exp (- ijer)

P() ⁺ iR[Je’, P(t)] (40b) On pose

La quantjté ^{XI G est} identique ^{a la} quantité x ^de Dyakonov ^{et Perel} [10] (si ^F

G) ^et a la quan- tit6 x de Barrat [5] pour XFG ^L « 1. Les int6grales qui interviennent dans 1’expression ^{de x et de} y sont tabul6es [3].

A partir ^des equations (32), (37) ^et (38), ^on

trouve done finalement

ou l’on a suppose ^que [,X, -PG’T(("’ ] appartient

encore au sous espace des composantes ^{de FG T (k)t}

ce qui ^est g6n6ralement ^{le cas.}

On pourrait ^calculer (2) ^{de la meme} façon PD

(6q. 31), ^{on trouve}

4. INTERPRETATION DES RESULTATS.

Dans

1’expression (42). ^{il est} clair que les ^termes reels

correspondent ^a l’allongement ^des « temps ^{de rela-}

xation o [5, 6, 10, it] ^{-FGrk des} composantes "°pj de p :

Quant ^{aux termes} imaginaires, ^on peut ^{les inter-} pr6ter ^{comme un} hamiltonien fictif supplémentaire, responsable ^d’un changement ^{de 1’6cart} apparent

entre les différents niveaux d’energie :

Un raisonnement simple permet de saisir l’ori-

gine ^{de ce dernier} phenomene [7]. ^{Soit un atome A} poss6dant ^{un moment} magnetique qui ^{a une com-} posante transversale. Dans un champ Ho, ^ce

moment pr6cesse ^{autour de} Ho ^{avec la} frequence

de Larmor.

Consid6rons l’atome B excite par diffusion mul-

tiple ^a partir ^{de 1’atome A : soit MB le moment} magnetique ^{de B a} l’instant de son excitation, ^MA

celui de 1’atome A au meme instant s’il avait con-

serve son excitation. Si l’on n6glige ^{le terme} imagi-

naire de 1’expression (42), ^on peut ^en d6duire dans certains cas simples que le ^vecteur MB, obtenu en

faisant la moyenne de MB _par rapport ^{aux diffé-}

rentes positions possibles de I’atome B, ^est paial-

16le a MA : la disparition ^{de MA est} partiellement compens6e par 1’apparition ^{de MB’} qui ^{dans cette} approximation ^{lui est} parall6le.

En fait, ^en n6gligeant toujours ^la dispersion ^de

la vapeur, le photon ^{met un} temps bien d6fini non

nul RAB _pour ^se propager de A a B ; l’atome ^{B est}

donc excite a l’instant t avec un 6tat angulaire identique (en moyenne) a celui de 1’atome A au

temps ^t

RAB; ^la precession ^de l’aimantation

globale de la vapeur semble done plus lente que la

precession de Larmor d’un atome isole ; ^ce qui correspond ^{bien au} signe trouve ci-dessus pour AX.

Ce raisonnement peu evidemment ^etre 6tendu a la

« precession hyperfine)) ^{des elements non} diagonaux

de la matrice densité.

On peut interpreter ^{ainsi de} façon precise ^chacun

des termes de 1’expression de AX’ : 1’effet est 6videmment proportionnel ^{a la} probabilite ^r

d’6mission d’un photon. ^FGak represente la fraction de la grandeur transversale consideree qui ^{est con-}

(2) ^Dans certains cas, il n’est pas difficile d’etendre

calcul

supposant que les atomes ^sont orientes dans leur

etat fondamental. Les resultats seront publi6s ult6rieure-

ment.

582

serv6e dans un processus 616mentaire de diffusion

multiple. ^La quantite Yl’GIx.FG fait intervenir a la fois la probabilite ^de reabsorption ^du photon, ^{et la} longueur ^{de son} trajet ^dans la vapeur qui ^d6ter-

mine le retard.

5. RE MARQUES. -a) ^On peut facilement 6tendre le calcul precedent ^{au cas d’un} champ magnetique 6lev6 ; ^{il est} clair que le resultat ^est analogue.

b) ^{On a} suppose 1’absence de champ ^{de radio-} frequence ; ^{or celui-ci est} generalement ^n6ces-

saire pour ^creer les

grandeurs ^non diagonales

et mesurer leur f requence ^de

precession

^On pourrait ^{comme Barrat} [5] introduire ce champ ^de radiof requence ^{dans tous les} calculs ; ^{une fois}

encore ces calculs seraient tres similaires a ceux

de Barrat et il est a peu pr6s evident, d’après

les interpretations semi-classiques pr6c6dentes, qu’aucun ^terme supplémentaire ^{ne sera} introduit si

(JeBIIR «1, ^{ou RBF est} le hamiltonien corres-

pondant ^{a ce} champ, ^ce qui ^est toujours ^{le cas}

dans les experiences realisables : Faction de la

radiofréquence ^{sur les atomes est} n6gligeable pen- dant le temps ^de propagation ^d’un photon.

c) L’approximation (40a) IJC’L R ^« 1, peut, elle,

cesser d’être valable dans les cas concrets ; ^le

d6veloppement limit6e de el-X’R n’étant plus jus- tifi6, il faut tenir compte ^{de la valeur exacte de la} partie ^{r6elle et de la} partie imaginaire ^{de cette} expression : la valeur du

temps de relaxation

et du deplacement d’énergie ^{en sera} modifi6e : en

particulier, ^{comme la} partie ^{r6elle est} inférieure à

l’unit6, ^cet effet r6duit l’allongement ^du « temps ^de

relaxation)) par la diffusion multiple (dans l’image pr6c6dente, ^le d6phasage ^{de MB} par rapport ^{a MA} prend ^alors des valeurs importantes et al6atoires,

par suite la longueur ^{de sa} moyenne MB diminue).

6. ORDRE DE GRANDEUR DE L’EFFET DANS LE CAS DU MERCURE (NIVEAU ⁶ aPl)...- a) Isotopes pairs I = 0, F = G = J =1. - Le hamiltonien Je’

se r6duit dans ce cas au hamiltonien de 1’effet

Zeeman, coo Jz. Dans le _cas, par exemple, ^{de 1’ali-} gnement (k

2, l1rt.2

7/10), la variation rela- tive de la f requence ^de precession ^vaut

Si 1’on fait varier x, y/x pr6sente ^{un maximum}

assez plat pour XL voisin de 2,5 ; ^{on a alors} y/X , 0,3L ^et Acoo/coo

0,2 ^{rL. Si l’on} prend ^L

^{1 cm et r}

1/r

1,2 ^{X JO-7 sec, la}

valeur maximum pr6vue pour JA co,.l /coo ^{vaut donc}

5 X 10"5. Ceci represente ^{environ un centi6me de}

la demi largeur ^{de la raie de resonance} magnetique

pour ^coo

^27c 300 MHz ; ^on pourrait ^donc penser que ^{1’effet est} observable meme en « champ ^faible)) (ko u

^{2?u 620} MHz) ; ^{mais on verra} (§ IV) que dans les memes conditions la dispersion ^anormale produit ^{un effet de} signe oppose ^et plus important.

Par contre, ^en champ ^fort ( wo » ko u) ^{cet effet}

doit 1’emporter ^{sur celui dela} dispersion ^anormale.

b) Isotopes impairs.

Transitions hyperfines

dans un champ magnétique ^nul. La variation appa- rente de la constante hyperfine ^vaut

f = AA /A = - F(xy/X

une valeur typique ^de

^est 0,2, ^en prenant pour y et r les momes valeurs que ci-dessus, ^{on trouve} 1,5 ^X 10-5 pour limite sup6rieure 1m ^de f.

Cet effet semble avoir ete observe _par Schuler [8]

sur la transition hyperfine (F

3/2, F

1/2) ^du 2olHg ; ^{il trouve} que la frequence de resonance v varie de 1,3 ^{X 10-5 entre} les faibles et les fortes tensions de vapeur. Ceci represente ^environ 1/30

de la largeur ^{de la} raie de resonance. Notons que de la valeur de 1’afflnement de la courbe, ^Schuler

d6duit L

0,35 mm, ^on s’attendrait donc a trouver 1m

0,5 ^X 10-5 ; ^{mais on} peut remarquer que ^cette valeur de L est petite par rapport ^aux dimensions de la cellule, par ailleurs l’interpr6-

tation de l’expérience ^est difficile, la condition

IX’l ^{R « 1 n’est} plus bien vérifiée (27cv =: 1,5 cm-1)

et Schuler ne tient _pas compte de la correction de

Dyakonov ^{et Perel} [10] ^aux resultats de Barrat [5].

On peut donc estimer satisfaisant que l’ordre de

grandeur ^{et le} signe ^de 1’effet soient ceux que

pr6voit la th6orie.

IV. Dispersion anormale et diffusion multiple.

-

1. Pour simplifier, ^{on ne traitera en} detail que le cas d’un isotope pair (I

0), place ^{dans un} champ magnetique ^{faible :}

coo/ko u ^{« 1. A} partir ^des expressions ^{(26) et (20), on obtient}

pour pD (pD

po) ^une expression analogue ^a (31) :

Dans 1’expression ^de Y(ko + p coo + ko u-q), appa- raissent des quantités ^du type

Compte ^tenu des relations

On en d6duit (6q. 4,11 ^et 12)

583 En posant

et en supposant que

on obtient finalement

On peut montrer que

of J§Q ^est Ie carré de la projection ^{du moment} cinétique ^{J sur} R ; ^comme J = 1, 1ft

li. ^II

est facile de calculer JR ^en fonction des angles polaires ⁶ et cp de R [13, éq. (10)].

On peut ^ainsi mettre l’expression (46) ^{sous la}

forme

On se propose de calculer pD ^au premier ^ordre

en e ; le terme d’ordre 0 a ete calcule dans la partie pr6c6dente, ^nous n’y reviendrons pas. On s’inté-

resse au terme imaginaire ^du premier ordre, PD1- A cet ordre d’approximation, ^{il est} 16gitime ^de remplacer p(t

R) par p(t). ^La partie ^{de cette} expression qui depend ^des angles polaires ^{de R est}

done :

I1 suffit de calculer PT’k) - ^le premier ^{terme est} analogue ^{a celui calcule dans} la troisi6me partie,

il vaut 3L’oct[J,,, T(k)]. ^A partir ^de 1’expression ^de J2 [13, 6q. (10)], ^{le calcul du deuxi6me terme se}

ram6ne a des int6grales élémentaires ; ^{on trouve}

finalement

On se limitera par ^la suite au cas de 1’

aligne-

ment » (k

2), done,

On peut ^calculer explicitement ^{RéZ’(1) 6} partir de [9]

L’expression pr6c6dente ^n’est certainement _par

une tres bonne approximation pour les fortes pres- sions de vapeur : dans ^ce _cas, la distribution des vitesses des atomes excites n’est pas maxwellienne ;

leur r6partition ^n’est plus uniforme dans la cellule,

le mod6le du volume d’intégration sph6rique ^est

tres grossier, ^{etc... Pour cette} raison, ^{comme 1’ex-} pression ^{a calculer ne} peut etre mise sous une

forme alg6brique simple, ^{on se} limitera a la d6ter- mination de son d6veloppement ^limit6 pour ^de faibles valeurs de xL.

Pour XL « 1, ^on peut negliger ^{le terme} expo- nentiel en R dans (54) ; l’int6gration sur R donne ainsi

L’intégrale ^est 616mentaire, ^{elle vaut}

Donc finalement

Remarque.

^Pour ZL ^» 1, ^en eff ectuant l’inté-

gration ^sur R, 1’expression (54) ^{devient :}

Mais il ne faut pas considerer ce resultat comme

significatif : ^d’une part ^{ce resultat} depend ^de façon extr6mement sensible de la distribution de vitesses choisie pour les ^atomes excites, ^d’autre part ^{on a} suppose ExL ^{« 1. Il est en} fait extrg- mement difficile de prevoir ^le comportement ^de pDi pour xL ^{» 1.}

2. ORDRE DE GRANDEUR. - Pour xL

^{0,5 la}

relation (58) donne dans le ^cas du niveau 6 3p, ^du

mercure (ko u/r

500)

Si l’on admet _que la relation (58) ^{est encore}

valable _pour XL - 1, ^on peut raisonnablement s’attendre a ce que ill mo Jmo puisse atteindre des valeurs de 1’ordrp ^{de 2 X} 10-4. Ceci est nettement

superieur ^au deplacement ^{du a la} propagation ^du photon ^{dans le vide} _(§ III, 6q. 45) qui ^{vaut au}

maximum - 5 x 10-b.

On a effectivement observe [7] que la f requence

de resonance de Ilensemble des isotopes pairs ^du

584

mercure augmente ^{de 10-4 entre} les faibles et les fortes tensions _{de vapeur}

Remarque.

^On _{peut imaginer} que plusieurs isotopes pairs ^sont presents simultan6ment dans la cellule et calculer 1’eff et de la dispersion ^anormale

de l’un sur les photons de diffusion multiple ^de

1’autre : on trouve un resultat analogue ^au prece- dent, ^{mais de} signe ^different (diminution ^{de la fr6-}

quence de resonance) ^et d’un ordre de grandeur beaucoup plus faible pour des pressions de vapeur

6gales : ^si k’ ^et ko ^{sont les} f requences ^{de resonance} optique ^relatives a chacun des deux isotopes, wo

et mg ^leur frequence ^de Larmor, ^{on trouve} pour la contribution de cet effet

en supposant ^des pressions de vapeur 6gales ^et ko u ^« IkA

k21.

Cet effet est done g6n6ralement compl6tement n6gligeable ^{devant le} precedent.

3. INTERPRETATION.

Consid6rons des condi- tions experimentales analogues ^a celles d6crites dans la troisi6me partie, mais supposons que le

photon ^se propage dans ^un milieu isotrope ^d’indice

n =A 1, ^constant pour ^toutes les f requences optiques

consid6r6es (dispersion normale) ; ^le temps de pro-

pagation ^du photon ^{dans un} tel milieu est allong6

tout en restant bien defini : il est evident que 1’effet analyse dans la troisi6me partie ^{est modifi6}

en proportion. ^Le deplacement ^de f requence ^pro-

duit par la dispersion anormale d’un isotope ^diffé-

rent (tel que Ikol

ko2i ^» ko u) ^{est assez voisin de}

ce phénomène. ^En fait, ^le milieu n’est pas isotro.pe

et pr6sente, ^entre autres, la rotation de Faraday ;

d’une part, ^{en un certain} sens, il retarde le photon,

d’autre part ^il change ^{son 6tat de} polarisation ; ^les

deux effets sont contraires, ^{mais le} premier ^1’em- porte. ^Plus pr6cis6ment, ^ils correspondent respec- tivement au premier ^{et au deuxi6me terme de} 1’expression (60). ^{Dans ce} cas, ^on peut ^{définir une}

vitesse de groupe pour le rayonnement considere ;

on en d6duit ^un retard supplementaire ^{0 dans la}

transmission de 1’excitation entre les deux atomes,

lie a 1’absorption virtuelle du photon (premier ^terme

de 1’equation 60), ^mais pendant ^{cette excitation} virtuelle, ^{le moment} magnetique ^de I’atome inter-

agit ^{avec le} champ magnetique (effet Faraday,

deuxi6me terme de 1’equation (60)).

Supposons maintenant qu’il existe deux isotopes pairs ^tels que kol

k2 ^et co 10 wo ; 1’analogue ^de l’ équation (60) ^est

en particulier ^s’il n’y ^a qu’un isotope : wo

W2

on retrouve 1’expression (57). ^{Le deuxieme terme}

de 1’expression (62) correspond ^{encore a 1’effet} Faraday ^de l’isotope ^{2 ; il est de} signe oppose a

celui de 1’expression (60) (A2 eõå ^{et A’} wo ^{sont de} signe oppose) ; ^ce n’est pas étonnant, ^on sait que le signe de 1’eff et Faraday diamagn6tique change

suivant _que la f requence ^du rayonnement ^{tombe à}

l’int6rieur ou a l’extérieur du doublet form6 par les deux composantes ^{de la raie} d’absorption. ^{I1 est}

normal que ^le premier ^terme change ^de signe egalement ; mais il n’a plus d’interprétation ^aussi simple, puisqu’il faudrait attribuer au photon ^une

vitesse negative ! Ceci n’a rien d’étonnant puisque

l’on sait [15] que dans ^ce cas, ^{on ne} peut pas définir de temps ^de propagation pour le photon.

4. REMARQUES. - a) ^On peut, par des calculs

similaires, prevoir 1’effet de la dispersion ^anormale

dans des conditions dinerentes :

champ magn6- tique ^{élevé »,} transition hyperfine ^d’un isotope impair, ^etc... On doit s’attendre a ce que 1’effet,

toutes choses 6gales par ailleurs, ^soit plus ^faible

par ^un facteur de l’ordre de ( coo iko u)2 ^ou (A Jko u)2,

ce qui ^{le rend} g6n6ralement n6gligeable ^devant

celui du a la propagation ^du photon dans le vide

(cf. § III).

b) ^On peut ^{aussi se} poser la question ^{de la vali-}

dit6 des resultats precedents, ^en presence ^d’un champ ^de radiofréquence ; ^{dans ce cas} encore, ^on

peut ^{en donner} une justification rigoureuse (formel-

lement assez complexe), ^{mais nous nous limiterons}

a 1’argument simple suivant : dans les cas ou l’on

peut définir le retard 0, I’action ^{de la} radiofréquence

est 6videmment n6gligeable ^{dans la mesure ou} IXRFIO ^{« 1 et} IJeRFI IJC’L ^ce qui ^est toujours

vérifié dans les cas int6ressants. Dans le cas 6tudi6

en detail ci-dessus, ^on peut ^{définir un} analogue

de 6 : 0’

xR/ko u qui represente ^{un ordre de} grandeur ^{du temps total} pendant lequel ^un photon

est absorbe virtuellement par la vapeur. On voit que pour xR N 1, ^{la condition} )RBF) ^{6’ « 1 est}

certainement r6alis6e.

Conclusion.

La diffusion multiple ^coh6rente

aff ecte done non seulement la largeur des raies de resonance magnetique ^{des 6tats} excites, ^{mais aussi}

leur position ; ^{cet eff et est lie au} fait que 1’exci- tation est transmise d’un atome a 1’autre par ^un

photon qui ^{doit se} propager ; ^on peut distinguer

la propagation ^du photon ^{dans le vide et son} absorption virtuelle par les autres atomes de la vapeur. ^On peut ^{dire en un certain sens} que, pen- dant cette absorption virtuelle, la vapeuI poss6de

une aimantation (différente ^{de celle} qu’aurait poss6d6e l’ atome 6metteur s’il etait reste excite) qui interagit ^{avec le} champ magnetique ^{et affecte}

en retour 1’etat de polarisation ^du photon (effet Faraday).

Les d6placements ^de f requence ^{calcul6s sont}

petits, generalement inf6rieurs a 10-4 en valeur

relative ; ^{ils sont n6anmoins} sup6rieurs ^{a la} pr6- cision des mesures dans les cas favorables. Des

d6placements ^{des deux} types ^ont d6jh ete observes

[7 ^et 8]. Dans les deux cas, I’ordre ^de grandeur ^et

le signe ^{de ces} d6placements ^{sont en excellent}

accord avec la th6orie. L’ordre de grandeiir ^de 1’effet, ^les approximations utilis6es dans la theorie et l’impr6cision ^{des mesures} semblent rendre diffi- cile une verification d6taill6e des r6sultats de la th6orie. Une 6tiide experimentale syst6matique ^de

1’effet semble n6anmoins souhaitable.

Par ailleurs, la m6thode semi-classique ^utilis6e

ici doit permettre ^une approche plus simple ^de

1’etude de l’influence de la diffusion multiple ^sur

un certain nombre de probl6mes : croisement de

niveaux, orientation _par pompage optique ^{de 1’etat}

fondamental. On peut ^aussi imaginer ^des expe-

riences oit l’on interposerait ^{un milieu} dispersif ^sur

le trajet ^du photon qui diff userait d’une c811ule de resonance a une autre comme dant certaines exp6-

riences de Barrat [5].

Appèndice : Théorie de la dispersion ^anormale

dans le formalisnie de la diffusion multiple.

^On

consid6re deux atomes A et B, l’atome ^{A est excite}

seul a l’instant t

0 ; ^{si ces deux atomes consti-}

tuaient un syst6me isolé, l’évolution ^{de la fonction}

d’onde de B serait d6termin6e par 1’equation (15).

Mais les atomes de la vapeur places ^au voisinage

de la droite qui joint ^{A et} B. ^{et eux seuls} [5, 11-B], interagissent ^{avec le} photon qui transfèl e Fexci- tation de A a B, ^{de sorte} que 1’evolution de B est d6termin6e par 1’6quation (20) ; ^{c’est ce resultat} qu’on ^se propose de d6montrer ici.

Soit un atome i quelconque ^{situ6 sur} la droi te AB entre A et B (ce peut ^{etre I’atome B} lui-meme), d’après 1’6quation (15)

La sommation devant etre 6tendue a tous les atomes situ6s entre i et A (y compris ^{I’atome A).}

On va calculer, ^aux différents ordres, ^{la varia-}

tion de IA(Be, t) > due a la diffusion multiple :

On pose

avec

et

(on ^tient compte ^{ici du terme eikoviRij} neglige ^dans

la relation (16)).

En effectuant Ie changement ^{de variables}

1’expression pr6c6dente ^{devient :}

11 faut [5] prendre la moyenne de ^cette expres- sion sur les différentes vitesses et positions possibles

des atomes, et, puisqu’on suppose la vapeur d6so- rient6e dans 1’6tat fondamental, ^sur les differentes valeurs des _pi, (i, :A A) ; ^cette desorientation

impose ^{en outre de} prendre t’.

^[.Liq [cf. 5].

Comme

11 est 16gitime ^de remplacer ^toutes les bornes sup6-

rieures d’int6gration par +

Si l’on suppose que 1’atome A ^est excite dans 1’etat _m, on peut remplacer ^le dernier Je _par km ; 1’integration ^{sur la} position ^{des atomes} donne alors

[5, II-C]

la matrice V’ ,etant d6finie par

Comme (6q. 10)

on voit que V, := V; ^{on en d6duit} imm6diatement la relation (20).

Je tiens a remercier MM. Jean Brossel et Jean- Pierre Barrat pour l’intérêt qu’ils ^ont port6 ^{a ce} travail, ^et M. Claude Cohen-Tannoudji pour ^ses

suggestions ^et les fructueuses discussions que ^nous

avons eues.

Manuscrit _regu le 4 juin ^1965.

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