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Exact solutions of the interface crack between elastic and rigid bodies under contact with friction
Huy Duong Bui, Abdelbacet Oueslati
To cite this version:
Huy Duong Bui, Abdelbacet Oueslati. Exact solutions of the interface crack between elastic and rigid bodies under contact with friction. Comptes Rendus Mécanique, Elsevier, 2004, 332, pp.709-716.
�10.1016/j.crme.2004.04.008�. �hal-00111408�
Solutions exactes de fissure d’interface sous contact frottant avec un milieu indéformable
Huy Duong Bui, Abdelbacet Oueslati
Laboratoire de mécanique des solides (CNRS UMR 7649), École polytechnique, 91128 Palaiseau cedex, France
Résumé
Onétudieunefissureàl’interfaced’unmassifélastiquesemi-infiniavecundemi-planrigide,enprésencedefrottementde Coulomb. Il existe deux solutions singulières à la tête d’une fissure semi-infinie correspondant physiquement aux deux problèmesd’enfoncementetd’arrachementdelafibreindéformabledansunematriceélastique.Lessolutionsexactesmontrent que seul le mode II est présent et qu’il n’y a pas de comportement oscillant près de la pointe de la fissure. La solution pour une fissured’interfacedelongueurfiniemontrequ’iln’yapasd’oscillationsprèsdespointesdelafissure,maisqu’ilyenaplus loinàlatransitionaveclazonedécollée.Ilyaquatretypesdesolutionssingulièrespourunefissurefiniedansunsolideborné, mais une seule solution dans un milieu infini.
Abstract
Exactsolutionsoftheinterfacecrackbetweenelasticandrigidbodiesundercontactwithfriction.Oneconsidersan interface crack between an elastic half-plane and a rigid half-plane, in the presence of Coulomb’s friction. There exists two singularsolutionsatthesemi-infinitecracktip,whichcorrespondphysicallytothepush-inandthepull-outofarigidfiberinan elastic matrix. The exact solutions show that only the mode II is present and there is no oscillatory behavior of the stress and thedisplacementnearthecracktip,butanoscillatorybehaviorisobservedatthe transitionpointwiththe stressfreezone.
Thereexistsfourtypesofsingularsolutionsforfinitecrackinboundedmedium,butonlyoneinaninfinitemedium.
Mots-clés : Solides et structures ; Frottement ; Fissure d’interface Keywords: Solids and structures; Friction; Interface crack
Adresses e-mail : bui@lms.polytechnique.fr (H.D. Bui), oueslati@lms.polytechnique.fr (A. Oueslati).
Abridged English version
Let the elastic medium Ω+ be bonded to the rigid body Ω− except on the crack. The general boundary conditions are given by Eqs. (4)–(6) and (7). The method of solution is based on the use of the classical conjugate transform of functiong(z)→ ¯g(z)and the assumption that the functionφ(z)defined inΩ+can be continued in Ω−along the bonded zone, which can be verified a posteriori on the solution. Then the conditions (4) of vanishing displacement suggest the definition of the functionψ(z)on the entire complex plane with the cut along the crack as Eq. (11)ψ(z)=κφ(z)¯ −φ(z).
From the contact condition on the interface cracku2=0, we show that for the finite interface crackφ¯(z)=
−φ(z)+C0(14). We first derive the solution for the non-opening case. From Coulomb’s law, we obtain Eq. (17) φ(t+)=gφ(t−)+B0 on the crack with g given by (18). The homogeneous equation possess two singular solutionsφ(z)=C(z−a)−1/2±α. The sign(+)corresponds to the push-in type solution (A solution), the (−) sign corresponds to the pull-out type solution (B solution). The general feature of the solutions are: unbounded stresses at the crack tip; singular compressive stressσ22(x1<0, x2=0)in the crack, vanishing normal stress σ22 ahead the crack tip, confirming Comninou’s result on the boundedness of this component of stress, derived in the frictionless case. Therefore, from the classical definition of the stress intensity factor in mode I, one gets KI =limr→0√
(2π r)σ22(r >0, θ=0)=0. The unusual definition of the mode I stress intensity factor using the compressive normal stress behind the tip is meaningless. There is no oscillatory behavior of stress and displacement at the crack tip, but only at the transition points with the stress free zone.
The interface crack under friction propagates only in mode II. Since there is friction in the crack, the energy release rate cannot be determined in the singular solution, but only in the case of finite geometry of interface crack.
In the case of finite crack, four types of solutions are derived, The A–B, A–A, B–B, B–A solutions. Contrary to common belief, there exists an oscillatory behavior of the solution at the transition points with the stress free zone.
Physically, only one type of solution of finite energy (the A–A solution) exists in an infinite medium, the other solutions are not acceptable for physical reasons unless one changes the friction law.
1. Introduction
On trouve les fissures d’interface dans le délaminage entre les couches qui constituent un composite, dans l’arrachement d’une fibre hors de la matrice ou encore dans l’enfoncement d’un pieu etc. Sur le sujet considéré, il y a déjà de nombreux travaux : citons parmi les premiers travaux ceux de Williams [1], Rice et Sih [2] et Willis [3] et bien d’autres. La solution asymptotique des champs de déplacements et de contraintes diffère notablement de celle du milieu homogène par le fait que, d’après les travaux connus pour le cas sans frottement, les potentiels de Muskhelishvili ont des singularités de type puissances à exposants complexesz−1/2−i , avec la « constante bi-élastique » en déformation plane =2π1 Log{(3(3−−4ν4ν12)µ)µ21++µµ12}, cf. [4].
Ce résultat a été obtenu avec les conditions aux limites de surface libre de contraintes sur la fissure,σ12=σ22= 0 surR−. Deux conséquences résultent du modèle. La singularité des contraintes sur le ligament (z=reiθ∈Ω+ ouΩ−) est oscillante, de longueur d’onde de plus en plus courte à mesure que l’on se rapproche de la pointe de la fissure
(σ22+iσ12)(r, θ=0)= Kri
√2π r = K
√2π r
cos( Logr)+i sin( Logr)
La deuxième conséquence est que la discontinuité du déplacement[|(u1+iu2)|]est également oscillante. Il y a donc une infinité de points d’interpénétration des deux lèvres de la fissure car la discontinuité normale trouvée [|u2|]est négative en ces points. Cette singularité oscillante apparaît généralement au point de jonction entre deux conditions aux limites de types différents, de Dirichlet d’une part et de Neumann d’autre part, mais également dans le cas bi-matériaux. Une étude due à Abramov (1937) d’un poinçonnement avec adhérence totale (voir
Muskhelishvili [5], p. 488) montre que la zone oscillante est de l’ordre de 3×10−4 a, donc très petite. Pour éviter les interpénétrations, Comninou [6] a eu l’idée d’introduire le contact unilatéral sans frottement. Elle a obtenu des résultats étonnants pour un milieu infini en tension perpendiculaire à la fissure : le cisaillement en tête de fissure est singulier comme O(r−1/2), la contrainte normale est bornée devant la tête de la fissure, donc KI =0, en accord avec discontinuité normale nulle, mais cette contrainte est singulière juste derrière la tête de la fissure et c’est une compression singulière comme O(r−1/2). Une définition de facteurKIutilisant cette singularité compressive, derrière la tête de la fissure, fournit un facteur négatif qui n’aurait pas de sens. En d’autres termes, il n’existe pas de mode I même si la structure est sous tension ; la fissure se propage en mode II. Deng [7] a repris et étendu le modèle de Comninou aux matériaux anisotropes et à la propagation dynamique stationnaire en présence de frottement, mais il ne traite que la solution asymptotique. C’est le modèle asymptotique le plus complet à notre connaissance. Wang et Choi [8] ont traité le problème de fissure finie, avec contact mais sans frottement.
L’objet de cette Note est de réexaminer le problème d’une fissure d’interfaceR−, dans un cas très particulier, celui d’un demi-plan élastique collé à un substrat indéformable le long deR+en considérant le contact unilatéral avec frottement de Coulomb à coefficientf constant(f >0). Notre analyse diffèrera notablement de celle de Comninou [6] par la méthode de prolongement analytique utilisée ici, utilisée également dans Deng [7], nous conduisant à une solution explicite, alors que celle de Comninou, basée sur l’étude des équations intégrales singulières couplées pour les dislocations inconnues, requiert une résolution numérique. En outre nous donnons la solution exacte de la fissure d’interface de longueur finie. Le cas de vrais bi-matériaux fera l’objet d’une autre publication.
2. Équations du problème
Nous considérons un solide élastique occupant le demi-planΩ+, soudé au demi-plan indéformableΩ−le long de l’axe réel, sauf sur la fissure d’interface de longueur 2a, cf. Fig. 1. Pour préciser les notations, nous rappelons les équations d’élasticité plane du modèle
2µ(u1−iu2)=
κφ(z)−zφ(z)−ψ(z)
(1) (σ11+σ22)=4 Re
φ(z)
(2)
Fig. 1. Délaminage par cisaillement et tension.
Fig. 1. Delamination by shearing and tension.
(σ22+iσ12)=φ(z)+φ(z)+zφ(z)+ψ(z) (3)
u1=u2=0 sur la partie collée (4)
u2=0, |σ12| = −f σ22 (σ220) sur la partie en contact frottant (5)
(σ22−iσ12)=0 (u2>0) sur la partie décollée (6)
σik→
t11∞, t22∞, t12∞
quand|z| → ∞dansΩ+ (7)
φ(z→ ∞)=1 4
t11∞+t22∞
−i(k+1)−1t12∞ (8)
ψ(z→ ∞)=1 2
t22∞−t11∞+2it12∞
(9) oùκ=3−4νen déformation plane etzdésigne la variable complexe définie parz=x1+ix2. Dans (5) et (6) les inégalités entre parenthèses ne sont pas imposées, mais sont à vérifier a posteriori pour la cohérence physique du modèle.
Bien queφ(z)soit seulement définie dansΩ+nous supposons qu’elle soit prolongeable dansΩ−, à travers la zone collée (point à vérifier a posteriori). Doncφ(z)est holomorphe dans tout le plan complexe avec la coupure suivant la fissure. Soit la transformation de conjugaison définie par g(z)→ ¯g(z):=g(z)¯ qui à toute fonction holomorphe dansΩ+(resp.Ω−) fait correspondre la fonction dite conjuguée, obtenue en remplaçantzparz¯puis en prenant le conjugué du résultat, qui est holomorphe dansΩ−(resp.Ω+). La propriété essentielle est que sur l’axe réelz= ¯z, là où la fonctiong(z)est continue, on a l’égalitég(z)¯ =g(z)¯ =g(z).
3. Méthode de résolution du problème. Cas sans décollement
Sur la zone soudée de l’axe réel, remplaçons dans (1)φ(z)parφ(z)¯ etz¯parz, conformément à la remarque du paragraphe précédent. Nous obtenons de la condition d’adhérence (1)
2µ(u1−iu2)=
κφ(z)¯ − ¯zφ(z)−ψ(z)
=0 (10)
d’où
ψ(z)=κφ(z)¯ −zφ(z) (11)
Le prolongement analytique utilisé ici, obtenu avec (4) diffère de celui fait classiquement à partir de (6). Nous définissons la fonctionψ(z)donnée par le second membre de (11) et la prolongeons non seulement dansΩ+mais dans tout le plan complexe coupé suivant la fissure. En dérivant (11) on obtientψ(z)que l’on peut reporter dans l’expression de la contrainte sur la fissure(σ22−iσ12)pourz=z+,z¯=z− ainsi que dans celle de la dérivée partielle∂u2/∂x1qui est nulle dans la fissure, car le contact frottant est supposé maintenu partout. Nous trouvons
σ22−iσ12=φ(z)+κφ(z)¯ sur l’axe réel (12)
La nullité de∂u2/∂x1implique que 4iµ∂u2
∂x1 =κ
φ(z)−φ(z)¯ −φ(z)¯ +φ(z)
=0 (13)
sur la fissure, d’où en séparant les variableszd’un côté etz¯de l’autre on voit que la fonctionφ(z)+φ(z)déja holomorphe dansC− [−a,+a]est continue à travers la fissure et donc holomorphe dansC. Cette fonction est une constante égale à sa valeurC0à l’infini. Par conséquent nous avons la relation qui définit la fonction conjuguée φ(z)dans toutC− [−a, a]en fonction deφ(z)
φ(z)= −φ(z)+C0
C0=φ0+φ0
(14)
Pour achever la détermination deφ(z), nous explicitons la condition de frottement en écrivantσ12=f σ22 en présupposantσ12<0 etσ22<0, avec
2iσ12= −(κ+1)
φ(z)¯ +φ(z)−C0
, (15)
2σ22=(κ−1)
φ(z)¯ −φ(z)
+C0(1+κ) (16)
Nous obtenons l’équation suivante
φ(t+)=gφ(t−)+B0 sur[−a, a], (17)
où
g= −(κ+1)+if (κ−1)
(κ+1)−if (κ−1) (18)
avecB0= −C0 (κ+1)(if−1)
(κ+1)−if (κ−1) et |g| =1. En prenant les mêmes notations que celle du livre de Muskhelishvili [5], nous posons tg(π α)=fκκ−+11, d’où 0α 12. Les deux bornes de α réel proviennent de f 0 et de κ−1=3−4ν−1=2(1−2ν) >0. Par conséquentg= −e2iπ α=e2iπ(α+21). Posonsγ=2iπ1 Log(g)=α+12. L’Éq. (17) est une variante d’un problème de Hilbert, dont la solution est donnée dans Muskhelishvili [5]. La solution singulière de l’équation homogène est
X0(z)=(z+a)−1/2−α(a−z)−1/2+α (19)
Étudions d’abord la nature de la singularité à droite, en posant r= |z−a|,φ(z)=C(z−a)−1/2+α. Prenons C=ib2imaginaire pur pour que le cisaillement soit réel sur le ligament, d’où
σ12= −b(κ+1)
2 r−1/2+α, σ22=0 et u1=u2=0 (|x1|> a) (20) σ12= −b(κ+1)
2 sin(π α)r−1/2+α, σ22= −b(κ−1)
2 cos(π α)r−1/2+α (|x1|< a) (21) u1= − bκ
µ(1+2α)cos(π α)r1/2+α, u2=0 (|x1|< a) (22)
La condition de contact est bien respectée. La constante b est ici positive pour queσ22 etσ12 soient toutes les deux négatives sur la fissure, comme il a été supposé. Dans ce cas, la face de la fissure se déplace par rapport au substrat vers la gauche (u1<0) ce qui explique le cisaillement négatif. En l’abscence de frottement(α=0), nous retrouvons la singularité de Comninou [6], avec son surprenant résultat sur la finitude deσ22 sur le ligament.
Physiquement, la première singularitéφ(z)=C(z−a)−1/2+αcorrespond cinématiquement à l’enfoncement de la fibre rigide dans le corps élastique (en anglais push-in), tandis que la deuxième singularitéφ(z)=C(z−a)−1/2−α correspond à l’arrachement de la fibre (en anglais pull-out), cf. Fig. 1.
Une solution de (17) est une combinaison des deux types de singularités, singularité arrachement ou enfoncement à gauche ou à droite.
φ(z)= 1
2πiB0X0(z) a
−a
1 X0(t+)
dt
t−z+C1B0X0(z) (23)
=1 2B0
1−i tg(π α) +1
2B0
i
cos(π α)(z+2aα)+2C1
X0 (24)
La fonctionX0(z), donnée par (19), dans le cas enfoncement-arrachement prend une valeur réelle pourz=z+, mais il y a d’autres types de fonctionsX0(z)correspondant au type enfoncement-enfoncement etc. La constante
complexeC1=C+iC est déterminée par deux conditions de fermeture pour assurer la continuité deu1(a)= u2(a)=0, obtenues intégrant 2µ(u1+iu2)sur la fissurez=t+i0
2µ(u1+iu2)(x1,0+)=
x1
−a
κφ(z)−zφ(z)−φ(z)−ψ(z)
dt (25)
En résumé, la solution sans décollement est déterminée entièrement, pourvu que l’on ait σ12
x1+i0;t11∞, t22∞, t22∞
<0 et σ22
x1+i0;t11∞, t22∞, t22∞
<0, ∀x1∈ [−a,+a] (26) Dans l’espace des chargements, ces inégalités définissent deux familles de convexes (des demi-espaces), indexées parx1, dont l’intersection commune définit le convexe admissible pour le chargement donnant une solution sans décollement. Prenons le cas de chargement à deux paramètres (t22∞ ett12∞) avec une compression forte (tension négative) et un cisaillement faible ou nul, il est clair que le point (t22∞= −∞ett12∞=0) fait partie du convexe admissible. Par contre, le point (t22∞= +∞ett12∞<0) ne fait partie de ce convexe, d’après les travaux antérieurs sur les solutions existantes dans le cas sans frottement. Le convexe admissible n’est pas vide.
Remarque 1. Notons que la contrainteσ22−iσ12=φ(z)+κφ(z)¯ au niveau de la fissureσ22 qui contribue au délaminage dépend uniquement deC0=(φ0+φ0). Or d’après (8) on voit que la contrainte normale de tension horizontalet11∞>0 joue le même rôle vis à vis du délaminage que la tension verticalet22∞>0. Intuitivement, sous la contrainte par exemple résiduelle de traction horizontalet11∞>0 la matière s’allonge horizontalement, mais son déplacement horizontal est empêché au niveau de l’interface adhérente (|x1|> a), d’où un mouvement de flexion vers le haut qui peut ouvrir la fissure, cela même si la contraintet22∞est compressive. En outre, une tensiont11∞>0 entraîne par effet de Poisson une contraction dans le sens vertical, empêchée par l’adhérence avec le substrat. Ceci tend aussi à ouvrir la fissure.
4. Cas du décollement
Supposons qu’il y a un seul décollement sur l’intervalle[c, d](−a < c < d < a) et que les zones de contact frottant sont les intervalles[−a, c]et[d, a]. Le cisaillement sur l’interface avant le glissement étant négatif, le mouvement de glissement de la face de la fissure va vers la gauche. On a une singularité de type enfoncement en z= +aet une singularité de type arrachement enz= −a. Nous cherchons s’il y a une solution sous la forme
φ(z)=F (z)X0(z) avecX0(z)=(z+a)−1/2−α(a−z)−1/2+α (27) oùF (z)est holomorphe dansC− [c, d]. L’Éq. (11) demeure valable car elle résulte de la condition d’adhérence en dehors de la fissure. Les contraintes au niveau de la fissure sont données par
σ22−iσ12=φ(z+)+κφ(z−) (28)
SiF (z)est continue, alors les deux conditions de contact frottantu2=0 etσ12=f σ22, en présupposantσ12etσ12 négatifs, sont remplies par la fonction discontinueX0(z). Maintenant, la condition de surface libre dans la zone décollée est(σ22−iσ12=0)sur[c, d], c’est à dire
φ(z+)+κφ(z−)=0 sur[c, d] (29)
En tenant compte deX0(t+)=gX0(t−)nous obtenons l’équation de discontinuité F (t+)+κ
gF (t−)=0 ⇒ F (t+)=g∗F (t−) dans[c, d] (30)
En posant g∗= −κg =e2iπβ avec β =β1+iβ2 complexe, on obtient β = −α− 2πi Log(κ). On pose β=
−2πi Log(κ). Une fonction satisfaisant à (30) est
F (z)=(z−c)α+(i/(2π ))Log(κ)(d−z)1−α−(i/(2π ))Log(κ) (31) Remarquons que la coupure, pour la fonctionF (z), se trouve maintenant sur[c, d]. Nous allons combiner les singularités pour respecter plusieurs conditions : les branches des fonctionsφ(z)singulières de type(z−ai)−γ(z− bi)γ−1à choisir sont celles pour lesquelles elles tendent à l’infini vers(1z). Les fonctionsφ(z)sont régulières en z=c etz=d, holomorphes dans tout le plan complexe coupé suivant la fissure, tendent vers une constante à l’infini et vérifient les conditions de discontinuités (contact frottant et surface libre). Pour l’holomorphie, il est nécessaire que la somme des exposants des fonctions puissances dans les solutions ci-dessous soit égale à un entier positif, négatif ou nul.
Solution de type (B–A).
φBA =C(z+a)−1/2−α(z−c)−β+α(d−z)1+β−α(a−z)−1/2+α (32) Elle est de type arrachement enz= −aetz=d et de type enfoncement enz=cetz=a. Cette fonction est régulière enz=ccar α >0 et enz=d car(1−α) >0. Enfin la constanteC est déterminée par la condition à l’infini, d’oùC=14(t11∞+t22∞)−i(k+1)−1t12∞. Au voisinage dez=cetz=d, la solution B–A présente un comportement non singulier mais oscillatoire (η=2π1 Log(κ)),φ(z−c)≈rαriηetφ(z−d)≈r1−αr−iη. Ceci n’entraine pas d’interpénétration sensible pour le déplacement normal, car au voisinage dez=c et z=d, le déplacementu2oscille entre les deux courbes±Br1+α et±Br2−α. Les zones d’interpénétration hors de la zone de contact sont de plusieurs ordre de grandeur plus petits (10−6a) par rapport aux zones oscillantes connues dans le cas des solutions sans contact ( de l’ordre de 10−4a). La deuxième condition (6) est vérifiée pratiquement sur la surface libre, exceptée deux petites zones.
Ainsi, s’il n’y a pas d’oscillations à la pointe de la fissure, grâce au contact unilatéral, les oscillations se déplacent plus loin, aux points de décollementcetd, contrairement aux idées reçues reportées dans la littérature (sans frottement) soit sur des solutions asymptotiques avec frottement de Deng [7], soit sur des calculs numériques sans frottement de Gautesen et Dundurs [9]. Ceci tient à la nature mathématique des solutions des problèmes aux limites mixtes, conditions de Dirichlet et de Neumann, de part et d’autre part d’un point ou conditions mélangées (c’est notre cas). Dans Muskhelishvili [5] (page 486), un problème de poinçonnement avec les données de(u1+iu2)d’un côté et(σ22+iσ12)de l’autre, étudié par Abramov, donne un déplacement oscillatoire en dehors de la zone de contact.
Pour obtenir les résultats ci-dessus, il reste à préciser les constantes inconnues c etd, déterminées par les conditions de continuité du déplacement sur la fissure sachant queu1(−a,0)=0 et queu2(c,0)=0, à savoir les deux conditions de fermetureU (a)=0 etV (d)=0, avec les parties réelle et imaginaire de (25)
U (x1)=
x1
−a
2µu1dt et V (x1)=
x1
c
2µu2dt (33)
Convexes admissibles. En nous limittant à deux paramètres de chargement, on obtient finalement quatre types de convexes des contraintes définissant le convexe admissible par leur intersection
σ12
x1+i0;t12∞, t22∞
<0 ∀x1∈ [−a, c] ∪ [d, a] σ22
x1+i0;t12∞, t22∞
<0 ∀x1∈ [−a, c] ∪ [d, a] u1
x1+i0;t12∞, t22∞
<0 ∀x1∈ [−a, c] ∪ [d, a] u2
x1+i0;t12∞, t22∞
>0 ∀x1∈ [c, d] (u1etσ12sont de même signe sur[−a, c]et[d, a])
Remarque 2. Nous avons indiqué en détail la solution de type B–A en tête de fissure. La solution de type A–B en tête de fissure est obtenue par symétrie miroir. Ces deux solutions ont des singularités des contraintes ou de l’énergie non intégrable à une tête de fissure et donc ne sont pas physiques, comme l’a remarqué aussi Deng [7].
Ce sont des solutions mathématiques, aussi non intégrables en énergie que les fonctions de Bueckner.
Remarque 3. Il n’y a pas de solutions des deux types A–A et B–B en l’abscence de décollement parce que les potentiels définis comme précédemment ne sont pas holomorphes dansC− [−a,+a].
Remarque 4. Il existe une seule solution physique à énergie intégrable de type A–A aux extrémités de fissure, avec décollement en c et d
φAA =C(z+a)−1/2+α(z−c)1−β−α(d−z)1+β−α(a−z)−1/2+α (34) Elle est de type enfoncement enz= −aetz=aet arrachement enz=cetz=d. Cette solution correspond, pour certain choix deC, à un état de contraintes de flexiont22∞=0 ett11∞=λx2. La singularité de (34) est faible aux pointes de fissure, le taux de restitution d’énergie, défini par une intégraleJ [7] (limitée ici à un demi-cercle de rayon tendant vers 0) est nul. L’intégraleJ dépend du contour parce qu’elle exprime la dissipation par frottement sur les lèvres de la fissure situées à l’intérieur du contour considéré.
Remarque 5. La solution de type B–B aux extrémités de fissure et décollement enc et d n’est pas physique (énergie non intégrable). Elle est de type arrachement enz= −aetz=aet enfoncement enz=cetz=d.
φBB =C(z+a)−1/2−α(z−c)1−β+α(d−z)1+β+α(a−z)−1/2−α (35) Remarque 6. On a donné une solution pour le milieu infini. Pour un milieu borné, pour des singularités de type arrachement comme en (32) et (35) on obtient une énergie finie en multipliant respectivement les potentiels par des polynômes, par exemple on multiplie (32) par(z+a)et (35) par(z2−a2). Les singularités dans ce cas (milieu borné) ont un comportement
ϕBA (z+a)1/2−α(z−c)−β+α(d−z)1+β−α(a−z)−1/2+α ϕBB (z+a)1/2−α(z−c)1−β+α(d−z)1+β+α(a−z)1/2−α
Références
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