Universit´e Claude Bernard Lyon 1 M1 EADM
Ann´ee 2010-2011
UE2 - Probabilit´es
Examen du 7 janvier 2011 (premi`ere session) Dur´ee : 2h
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la notation.
Questions de cours
1. Donner la d´efinition d’une mesure de probabilit´e P sur un espace Ω.
2. Donner la d´efinition de la densit´e f d’un couple de variables al´eatoires r´eelles (X, Y ).
3. ´Enoncer la loi faible des grands nombres.
4. Donner la d´efinition de la m´ediane et du premier quartile d’un ´echantillon num´erique (xk)1≤k≤35. 5. On dispose d’un ´echantillon (xk)k≤n constitu´e d’entiers entre 1 et 5. Expliquer la proc´edure `a mettre en œuvre pour appliquer le test du χ2 (chi 2) d’ad´equation (de risque α = 5%) de cet
´echantillon `a la loi uniforme sur {1, . . . , 5}. On supposera que n est suffisamment grand pour pouvoir appliquer le test en question.
Exercice 1. Le vaccin antigrippal prot`ege de la grippe avec une efficacit´e de 80%, c’est-`a-dire que les personnes vaccin´ees ont une probabilit´e de d´evelopper la maladie 5 fois plus faible que les non vaccin´ees. En France en 2007-2008, environ 2 millions de personnes ont contract´e la maladie et 5 millions de personnes ont ´et´e vaccin´ees (source : GROG).
On notera Ω (muni de la probabilit´e uniforme) l’ensemble des Fran¸cais, M l’ensemble des per- sonnes malades et V l’ensemble des personnes vaccin´ees, et M et V leurs compl´ementaires.
Les r´esultats num´eriques seront donn´es sous forme de fractions.
1. On tire une personne au hasard parmi les soixante millions de Fran¸cais. Quelle est la probabilit´e qu’elle soit efficacement vaccin´ee ?
2. On tire n personnes au hasard parmi la population fran¸caise. Quelle est la loi du nombre de personnes vaccin´ees parmi elles ?
3. Comment se traduit l’hypoth`ese sur l’efficacit´e du vaccin en terme de probabilit´es et/ou pro- babilit´es conditionnelles ?
4. ´Ecrire deux ´equations reliant P(M ∩ V ) et P(M ∩ V ). En d´eduire P(M ∩ V ).
5. Quelle est la proportion de malades ayant ´et´e vaccin´es ?
Exercice 2. Soit X une variable al´eatoire de loi exponentielle d’esp´erance 3.
1. Donner la densit´e de X et la valeur de sa variance.
2. Calculer P(X = 3) et P(X ≥ x), pour tout x ∈ R.
3. Expliciter la densit´e de Y = 3X + 2.
4. Calculer E(Y ) et var (Y ).
5. Expliciter la densit´e de Z = X2− X.
Tournez SVP
Exercice 3. Soit f : R2 → R la fonction d´efinie pour tout (x, y) ∈ R2 par f (x, y) = 8xy10≤x≤y≤1.
1. V´erifier que f est la densit´e d’une mesure de probabilit´e sur R2.
Dans la suite de l’exercice, on consid`ere un couple (X, Y ) de densit´e f . 2. D´eterminer l’ensemble-image (X, Y )(Ω)
3. D´eterminer les densit´es des lois marginales du couple (X, Y ).
4. Calculer E(X) et E(Y ).
5. Calculer la matrice de covariance de (X, Y )
6. Les variables al´eatoires X et Y sont-elles ind´ependantes ?
Exercice 4. On se donne une suite de variables al´eatoires (Xk)k≥1 ind´ependantes et identiquement distribu´ees, de carr´e int´egrable, d’esp´erance 0 et de variance σ2 > 0 et on note, pour tout n ≥ 1, Sn= X1+ · · · + Xn. Les r´esultats du cours utilis´es seront ´enonc´es pr´ecis´ement.
1. Quelle est la limite presque sˆure de (Sn/n) ? 2. Que peut-on dire de (Sn/√
n) ?
3. On dispose d’un ´echantillon (xk)k≤10000obtenu par une simulation informatique de la loi de X1. Donner un intervalle dans lequel se situe sa moyenne empirique x avec une confiance de 95%.
Valeurs num´eriques : Si Y suit une loi de Gauss N (0, 1), on donne P(Y ≤ 1.645) = 0.95 et P(Y ≤ 1.96) = 0.975.
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