Chapitre 1 :
Ensembles de nombres-Intervalles-Valeur absolue I Ensembles de nombres
1) Nombres entiers
Définitions :
• L’ensemble {0; 1; 2; 3; 4; 5 … } est appelé ensemble des nombres entiers naturels.
Il se note ℕ.
• L’ensemble {… ; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 … } est appelé ensemble des nombres entiers relatifs. Il se note ℤ.
Exemples :
• 21………
• −12………
2) Nombres décimaux
Définition : Un nombre décimal est un nombre de la forme 𝑎
10𝑝, avec 𝑎 ∈ ℤ et 𝑝 ∈ ℕ. Il peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ.
Exemples :
• 0,56………
• −3………
• 1
3………
Démonstration :
On va effectuer une démonstration par l’absurde, c’est-à-dire on va supposer que 1
3 est décimal et regarder ce qu’on peut en déduire. Si on aboutit à une absurdité, c’est que notre hypothèse de départ est fausse. Supposons donc que 1
3 est décimal.
Alors il s’écrit sous la forme ……….
Donc ………
Un nombre est divisible par 3 lorsque ………
Or,
………
Donc l’hypothèse posée au départ est fausse et donc 1
3 n’est pas décimal.
3) Nombres rationnels
Définition : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme 𝒂
𝒃 avec 𝑎 ∈ ℤ et 𝑏 ∈ ℕ∗ (ℕ privé de 0)
L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. ( lettre Q comme quotient ) Exemples :
• 1
3 ……….
• −4,8 ………
• √2 ………
4) Nombres réels
Définition : L'ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels et se note ℝ. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.
5) Inclusions
Exemple : Tous les entiers naturels (ℕ) sont aussi des entiers relatifs (ℤ).
On dit que ℕ est inclus dans ℤ et on note ℕ ⊂ ℤ
Propriété : On a également les inclusions suivantes : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
II Encadrer et arrondir
Définitions :
Encadrer un nombre x, c’est trouver deux nombres a et b tels que 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.
La différence 𝑏 − 𝑎 est l’amplitude de l’encadrement.
Arrondir un nombre, c’est lui trouver la valeur la plus proche à une précision donnée.
Exemples :
• 𝜋 ≈ 3,1415
……… est un encadrement de π d’amplitude 10−1 (ou 0,1)
……… est un encadrement de π d’amplitude 10−2 (ou 0,01)
• √3 ≈ 1,732
Un arrondi de √3 à l’unité près est ……
Un arrondi de √3 à 10−1 près est ……
III Intervalles
Définition : L'ensemble des nombres compris entre a et b, (les x tels que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) est appelé et noté l'intervalle [𝒂; 𝒃]. On le représente en coloriant une partie de la droite numérique
Exemple : 3 … [2; 5] 3 … [4; 5]
Remarque : Attention à ne pas confondre {−2; 4}, l’ensemble qui contient uniquement – 2 et 4, et [−2; 4] qui contient tous les nombres entre – 2 et 4, comme 0 ou 3,1.
Définition : Un crochet ouvert sur l’extérieur signifie que l’extrémité est exclue de l’intervalle.
Exemple : ]0 ; 4[ est l’ensemble des nombres strictement compris entre 0 et 4, donc ne contient ni 0 ni 4. [1 ; 3[ contient 1 mais pas 3.
Définitions :
• L'ensemble des nombres plus grands que 𝑎 (les 𝑥 tels que 𝑥 ≥ 𝑎) est l'intervalle [𝑎; +∞[
• L'ensemble des nombres plus petits que 𝑏 (les 𝑥 tels que 𝑥 ≤ 𝑏) est l'intervalle ] − ∞; 𝑏]
Remarque : L’infini ∞ n’est jamais atteint donc le crochet y est toujours ouvert.
ℝ=] − ∞ ; +∞ [
Intervalles bornés et non bornés :
Définition : Soient 𝐼 𝑒𝑡 𝐽 deux intervalles.
L’intersection de 𝐼 et de 𝐽 , notée 𝑰 ∩ 𝑱 , est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à 𝐼 et à 𝐽.
La réunion de 𝐼 et de 𝐽 , notée 𝑰 ∪ 𝑱 , est l’ensemble des réels
qui appartiennent à 𝐼 ou à 𝐽.
Exemple : Représenter les intervalles I et J sur l’axe gradué, puis déterminer l'intersection 𝐼 ∩ 𝐽 et la réunion 𝐼 ∪ 𝐽 des deux intervalles suivants :
I = [-2 ; 3[ et J = ]-3 ; 1[
𝐼 ∩ 𝐽 = 𝐼 ∪ 𝐽 =
IV Valeur absolue
1) Définition
Définition : La valeur absolue d’un nombre réel x est la distance entre x et 0.
Elle se note |𝒙|.
Exemples :
• |5| = ……… • |−3| = ………. •|2 − 4,5| = ………
Remarques :
• La valeur absolue d’un nombre correspond à sa partie numérique (sans le signe -), elle est toujours positive ou nulle
• Pour 𝑥 ∈ ℝ, |𝑥| = { 𝑥 si 𝑥 ≥ 0
−𝑥 si 𝑥 < 0 Exemples :
• |𝑥| = 4 est une équation qui a ………
• L’ensemble des nombres x qui vérifient |𝑥| < 2 est l’ensemble des nombres dont la distance à 0 est ………
Propriété :
• L’ensemble des nombres x tels que |𝑥| = 𝑎 est l’ensemble {−𝑎; 𝑎}
• L’ensemble des nombres x tels que |𝑥| ≤ 𝑎 est l’intervalle [−𝑎; 𝑎]
• L’ensemble des nombres x tels que |𝑥| > 𝑎 est ] − ∞; −𝑎[⋃]𝑎; +∞[
2) Distance
Propriété (admise) : la distance d entre deux nombres réels a et b est égale à |𝑏 − 𝑎|
Exemples :
• La distance entre 8 et 11 vaut ………
• La distance entre –7 et –1 vaut ………
Propriété : L’ensemble des nombres réels x vérifiant |𝒙 − 𝒂| < 𝒓 (où a et r sont deux nombres réels et r positif ou nul) est l’ensemble des nombres dont la distance à a est strictement inférieure à r, c’est donc l’intervalle ]𝒂 − 𝒓; 𝒂 + 𝒓[
On inclut les bornes si l’inégalité est au sens large.
Exemples :
• L’ensemble des nombres réels x vérifiant |𝑥 − 2| < 5 est l’intervalle centré sur …… avec
……… de distance de chaque côté, c’est-à-dire ………
• L’ensemble des nombres réels x vérifiant |𝑥 + 3| < 4 est l’intervalle
………...
………
..
Capacités attendues
• Associer à chaque point de la droite graduée un unique nombre réel et réciproquement.
• Représenter un intervalle de la droite numérique. Déterminer si un nombre réel appartient à un intervalle donné.
• Donner un encadrement, d’amplitude donnée, d’un nombre réel par des décimaux.
• Dans le cadre de la résolution de problèmes, arrondir en donnant le nombre de chiffres significatifs adapté à la situation étudiée.
Ensembles : Compléter le tableau suivant avec le signe ∈ ou ∉ .
𝑥 ℕ ℤ ⅅ ℚ ℝ
-13 59,0000002
- 7 4 4 23
7 4 – Intervalles :
• Traduire les appartenances suivantes par un encadrement ou une inégalité :
INTERVALLE INEGALITE INTERVALLE INEGALITE
𝑥 ∈ [5 ; 9] ……….. b 𝑥 ∈ ] − ∞ ; 8 [ ………
𝑥 ∈ [3 ; +∞[ ………... d. 𝑥 ∈ [5 ; 7 [ ………...
● On donne les intervalles suivants : I = ] 2 ; +∞ [ ; J = ] - 4 ; 3 [ et K = ]- ∞ ; 0[.
a) Détermine à partir d’une représentation sur une droite graduée I ∩ J.
I ∩ J = ………
b) Déterminer à partir d’une représentation sur une droite graduée J ∪ K
J ∪ K = ………..
