Td corrigé DECOMPOSITION DES FRACTIONS EN ELEMENTS SIMPLES pdf

(1)

DECOMPOSITION DES FRACTIONS EN ELEMENTS SIMPLES Nous allons nous intéresser aux fractions rationnelles du type f(x)=P(x)

Q(x), où P et Q n’ont aucunes racines communes (pas de simplification possible) et où d°(P)<d°(Q)

Exemple : f(x) =

   

2 2

3x x 1 x 3 Ce type de fractions peut se rencontrer :

 dans des intégrales où une intégration directe n’est pas en général possible (à moins que le numérateur soit la dérivée du dénominateur)

 dans l’expression de certaines transformée de Laplace ou transformée en Z, pour lesquelles le problème d’inversion se pose (passage en transformée de Laplace ou en Z inverse).

 autre..

Pour résoudre ces types de problèmes, une solution rapide consiste en la décomposition en éléments simples.

Qu’est-ce qu’un élément simple ? C’est une fraction du type

 

1

x  ^ où  est une racine d’ordre q de Q, (ou pôle d’ordre q de f), et est un entier strictement positif mais inférieur ou égal à q.

Exemple :



^{x 1}¹



^,



x 1¹



² ^,



^{x 3}¹



, sont les trois éléments simples qui rentreront en jeu dans la décomposition de f(x).

Appelons 1, 2,…….., n, les racines réelles ou complexes de Q ( on peut toujours trouver des racines complexes), d’ordre respectifs q1, q2,…., qn. Alors, quelle que soit la forme de P, si son degré est inférieur strictement à celui de Q, il existe toujours des constantes réelles ou complexes, A1, A2,…….., An telles que :

           

1 1 2

q q 1 1 q 1 1

1 1 1 2 2 n

q q 1 q

1 2

1 1 2 n

A A A A A A

f (x) P(x) ... ... ...

Q(x) x x x x x x



         

   

       

Par exemple, il existe trois constantes réelles A, B, et C, telles que :

f(x) =

         

2

2 2

3x A B C

x 1 x 3

x 1 x 3  x 1  

 

  

Comment trouve-t-on ces constantes ? C’est l’objet des techniques de décomposition en éléments simples.

1^er cas : Q n’admet que des racines simples (d’ordre 1)

1

(2)

C’est le cas le plus simple.

Exemple :

 

2x2 1 A B C

f (x)

2x(x 1) x 2 x x 1 x 2

    

   

1. valeur de A : multiplier les deux membres par x

 

2

x(2x 1) Bx Cx

2x(x 1) x 2 A x 1 x 2

(2x 1) Bx Cx

2(x 1) x 2 A x 1 x 2

   

   

   

   

remplacer ensuite x par 0 pour annuler les deux termes en B et C

 

(2.02 1) 1

A A

2(0 1) 0 2 4

   

 

2. valeur de B : multiplier les deux membres par (x-1)

 

     

   

2

(2x 1) x 1 A x 1 C(x 1)

2x x 1 x 2 x B x 2

A x 1

(2x 1) C(x 1)

2x x 2 x B x 2

      

  

     

 

remplacer ensuite x par 1 pour annuler les deux termes en A et C

 

(2.12 1) 1

B B

2.1 1 2 6

   



3. Valeur de C : multiplier les deux membres par (x+2)

 

     

   

2

(2x 1) x 2 A x 2 B x 2

2x(x 1) x 2 x x 1 C

A x 2 B x 2

(2x 1)

2x(x 1) x x 1 C

   

  

  

 

   

 

remplacer ensuite x par -2 pour annuler les deux termes en A et B

 

²

(2 2 1) 7

C C

2( 2)( 2 1) 12

 

  

  

Conclusion :

 

2x2 1 1 1 7

f (x)

2x(x 1) x 2 4x 6(x 1) 12(x 2)

    

   

2^ième cas : Q admet une seule racine multiple

2

(3)

Exemple : f(x) =

       

2

3 3 2

P(x) x 1 A B C

Q(x) x 2 x 2 x 2 x 2

    

   

En observant les numérateurs des deux membres, on s’aperçoit rapidement que : (1) ^{P(x) x}^ ²^{  }^{1 A B x 2}



^



^^{C x 2}



^



²

1)

valeur de A : remplacer dans l’expression précédente x par –2, pour annuler les termes en B et C

P(-2) =

 

^² ²^{ }^{1 A} ^ ^{3 A}^

2)

valeur de B : Dériver une fois l’expression (1) : P’(x) =2x B 2C x 2 







et remplacer dans l’expression précédente x par –2, pour annuler le terme en C P’(-2) = ^{2. 2}

 

^{ }^B ^ ^{ }^{4 B}

3)

valeur de C : Dériver deux fois l’expression (1) : P’’(x) = 2 2C  1 C

Conclusion :

       

2

3 3 2

x 1 3 4 1

f (x)

x 2 x 2 x 2 x 2

    

   

3^ième cas : Q admet plusieurs racines dont une au moins est multiple.

C’est un petit peu plus compliqué, mais la méthode précédente, jouant sur les numérateurs, peut encore s’appliquer, même si elle est moins directe que dans le cas précédent. Reprenons l’exemple du début :

Exemple :

       

2

2 2

P(x) 3x A B C

f (x)

Q(x) x 1 x 3 x 1 x 1 x 3

    

 

  

En observant les numérateurs des deux membres, on s’aperçoit rapidement que : (2) ^{P(x) 3x}^ ² ^^{A x 3}



^{ }



^{B x 1 x 3}



^

 

^{ }



^{C x 1}



^



²

1)

valeur de A : remplacer x par 1 dans l’expression précédente pour annuler les termes en B et C :

 

2 3

P(1) 3.1 A 1 3 A

    4 

2)

valeur de C : remplacer x par -3 dans l’expression précédente pour annuler les termes en A et B :

3

(4)

 

²

 

² ²⁷

P( 3) 3 3 C 3 1 C

       16 

3)

valeur de B

Dans ce cas relativement simple, connaissant A et C , il suffirait par exemple de remplacer x par 0 pour en déduire B.

Mais dans un cas plus compliqué, la méthode consistant à dériver pour trouver les coefficients suivants s’applique.

Jouons le jeu, et dérivons l’expression P(x) :

     

P '(x) 6x A B x 3    B x 1 2C x 1

remplacer dans l’expression précédente x par 1, pour annuler le terme en C

 

3 21

P '(1) 6.(1) B 1 3 B

4 16

     

Conclusion

       

2

2 2

3x 3 21 27

f (x)

16 x 1 16(x 3) x 1 x 3 4 x 1

   

 

  

Ces techniques ne sont pas compliquées ; mais le plus difficile est d’éviter les nombreuses erreurs de calcul pouvant s’insérer au cours de ces manipulations de polynômes !

4