Laurent MORET-BAILLY
Points rationnels dans leur fibre : compléments à un théorème de Poonen Tome 32, no2 (2020), p. 471-488.
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de Bordeaux 32 (2020), 471–488
Points rationnels dans leur fibre :
compléments à un théorème de Poonen
par Laurent MORET-BAILLY
Résumé. Soit f : X → S un morphisme surjectif et de présentation finie de schémas intègres. Lorsque S est de type fini sur un corps ou sur Z, et de dimension > 0, Poonen a montré qu’il existe un point x ∈ X dont le corps résiduel κ(x) est une extension radicielle de κ(f (x)). Dans ce travail, on prolonge ce résultat de plusieurs façons. D’abord, on peut choisir x tel que f (x) soit un point de codimension 1 de S; si S est lisse sur un corps k, on peut exiger que κ(f (x)) soit séparable sur k. Dans une autre direction, on montre des résultats analogues pour d’autres classes de schémas S, par exemple les schémas noethériens intègres de dimension ≥ 2.
Abstract. Let f : X → S be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When S is of finite type over a field or over Z, of positive dimension, Poonen has shown that there is a point x ∈ X whose residue field κ(x) is purely inseparable over κ(f (x)). In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take x such that f (x) is a codimension 1 point of S; if S is smooth over a field k, we can require κ(f (x)) to be separable over k. In another direction, we prove that similar results hold for other schemes S, such as noetherian integral schemes of dimension ≥ 2.
1. Introduction
La source de ce travail est le théorème suivant, dû à Poonen :
Théorème 1.1 ([7, Theorem 1]). Soit k un corps et soit f : X → S un
morphisme dominant de k-variétés, avec dim(S) ≥ 1. Alors il existe un point x de X dont le corps résiduel κ(x) est une extension radicielle de κ(f (x)).
En particulier, si k est parfait, il existe un point s de S dont la fibre
f−1(s) admet un point κ(s)-rationnel. Il en est de même d’ailleurs si f est lisse (loc. cit., remarque suivant la preuve du théorème). Il y a un énoncé analogue pour les morphismes de Z-schémas de type fini [7, Theorem 4].
Manuscrit reçu le 28 novembre 2019, révisé le 12 mars 2020, accepté le 28 juillet 2020.
Classification Mathématique (2020). 14A15, 14D99.
Mots-clefs. Corps résiduel; extension résiduelle; morphisme de présentation finie.
L’auteur a bénéficié du soutien du projet Geolie (ANR-15-CE 40-0012) de l’Agence nationale de la recherche.
Le but de cet article est double. D’une part, sous les hypothèses du théorème de Poonen, on apporte les compléments suivants :
– on peut trouver un point x, comme dans l’énoncé, tel que f (x) soit un point de codimension 1 de S ;
– si S est lisse sur k, on peut exiger en outre que κ(f (x)) soit une extension séparable de k ;
– si X est lisse sur k, il existe un point fermé x de X tel que κ(x) =
κ(f (x)) et que κ(x) soit séparable sur k. (Ce résultat figure aussi
dans [6] : voir le lemme 14 de loc. cit. et les quelques lignes qui le précèdent).
D’autre part, on cherche à généraliser ce type de résultats à d’autres schémas de base S. À cet effet, on introduit la notion suivante. Soit S un schéma, que pour simplifier nous supposerons affine et intègre dans l’introduction. On dira que S est un schéma de Poonen (voir la définition 3.1 pour les schémas généraux) si pour tout S-schéma f : X → S dominant et de présentation finie, il existe un point x de X tel que κ(x) soit radiciel sur
κ(f (x)). (Ainsi, le théorème 1.1 affirme que tout schéma intègre de type
fini sur un corps, de dimension ≥ 1, est un schéma de Poonen.) On montre alors (théorème 3.2) que si f : X → S est comme ci-dessus, et si S est un schéma de Poonen, il existe un diagramme commutatif
(D) X0 X S0 S j f0 f i
où S0est non vide, i et j sont des immersions, f0est fini, surjectif et radiciel, et S0 est localement défini par une équation dans S : ainsi, le phénomène de « codimension 1 » rencontré plus haut est général.
On cherche ensuite des conditions suffisantes pour qu’un schéma (tou-jours supposé affine et intègre, disons S = Spec(A)) soit un schéma de Poonen. Il s’avère qu’il suffit de considérer des morphismes f : X → S de la forme X = Spec(A[Y ]/(F )) où F est un polynôme d’une variable non constant, à coefficients dans A. Il y a plusieurs énoncés de ce type, le plus simple étant le suivant (condition (P2) de 4.1.5) : S est un schéma de Poo-nen si, pour tout F ∈ A[Y ] non constant, il existe b ∈ A tel que F (b) /∈ A×. (Cette condition apparaît dans [7], sous une forme un peu différente). À partir de ce critère et de ses variantes, on retrouve le théorème de Poonen, mais aussi d’autres exemples : ainsi, tout schéma noethérien intègre de di-mension ≥ 2 est un schéma de Poonen, ainsi que tout schéma intègre de dimension ≥ 2 dont les anneaux locaux sont factoriels.
1.2. Plan de l’article. Dans un souci de cohérence, on a pris le parti de
donner des démonstrations indépendantes de [7], même lorsque le recours à [7] aurait permis d’abréger le texte.
La section 2 contient des définitions et des énoncés de base. À la sec-tion 3, on définit les schémas de Poonen et l’on prouve l’existence du dia-gramme (D) considéré plus haut (théorème 3.2). À la section 4, on donne des conditions suffisantes pour qu’un schéma soit un schéma de Poonen, en partant de critères polynomiaux tels que la condition (P2), et l’on en dé-duit les principaux exemples connus : schémas de type fini sur un corps ou sur Z (4.2.3), « courbes » de Fargues–Fontaine, certains schémas intègres de dimension ≥ 2 (4.3). On donne aussi quelques exemples de schémas de Poonen stricts (4.4). Les compléments au théorème de Poonen évoqués au début sont démontrés à la section 5 ; on y établit en fait une version rela-tive de ces résultats (théorème 5.1), où le schéma S est supposé lisse sur un schéma de base B quelconque. Il est à noter que la section 5 n’utilise que de façon marginale les résultats des sections précédentes ; avec quelques aménagements, on obtient ainsi une démonstration du théorème 5.1 indé-pendante de ces sections.
1.3. Remerciements. Je remercie le rapporteur pour ses remarques et
pour ses questions (qui m’ont notamment conduit aux résultats des sec-tions 4 et 5), et Jean-Louis Colliot-Thélène qui m’a signalé l’article [6].
1.4. Notations et conventions. Les anneaux sont commutatifs et
uni-taires. Si A est un anneau et t un élément de A, le localisé (tN)−1A sera noté At; on notera D(t) l’ouvert Spec(At) de Spec(A) et V (t) le fermé
Spec(A/tA).
Si s est un point d’un schéma S, l’anneau local de S en s et le corps résiduel de s seront notés respectivementOS,s et κ(s).
Conventions pour les flèches des diagrammes.
= monomorphisme ◦ = immersion ouverte
= morphisme surjectif / = immersion fermée = morphisme radiciel /◦ = immersion
2. Quasi-relèvements
Définition 2.1. Soit f : X → S un morphisme de schémas, et soit T −→ Si
un S-schéma. Un relèvement de T à X (ou à f ) est un S-morphisme j : T → X tel que f ◦ j = i.
Un quasi-relèvement de T à X est un diagramme commutatif e T X T S j ρ f i
où ρ est fini, surjectif et radiciel.
Nous dirons que T est (quasi-)relevable à X s’il admet au moins un (quasi-)relèvement.
Dans ce travail, nous n’utiliserons ce langage que lorsque i est un mono-morphisme, et plus précisément dans deux cas :
– T = Spec(κ) est un point de S, i est l’inclusion, etT est un pointe
de X au-dessus de T , à corps résiduel fini radiciel sur κ ; – i est une immersion.
Définition 2.2. Si f : X → S est un morphisme de schémas, nous
pose-rons
]
QRel(f ) := {x ∈ X | l’extension κ(f (x)) ⊂ κ(x) est radicielle}
g
Rel(f ) := {x ∈ X | l’extension κ(f (x)) ⊂ κ(x) est triviale} QRel(f ) := f ( ]QRel(f )) ⊂ S
Rel(f ) := f (Rel(f )) ⊂ S.g
Ainsi, Rel(f ) (resp. QRel(f )) est l’ensemble des points de S qui sont relevables (resp. quasi-relevables) à X.
Définition 2.2.1. Une immersion principale est un morphisme u : X → Y
de schémas qui se décompose sous la forme X /i U ◦j Y où j est une immersion ouverte et i une immersion fermée localement définie par une équation1.
Si X est un sous-schéma de Y et u l’inclusion, on dira aussi que X est un sous-schéma principal de Y , et que son espace sous-jacent est un
sous-espace principal de |Y |.
Proposition 2.2.2. Soit f : X → S un morphisme étale de schémas.
(1) On a ]QRel(f ) =Rel(f ) et QRel(f ) = Rel(f ).g
(2) Soit x ∈Rel(f ) et soit s = f (x). Il existe un sous-schéma principalg
S0 i S de S contenant s, et un relèvement j de S0 à X qui est une immersion principale et vérifie j(s) = x.
Démonstration. L’assertion (1) est immédiate (et il suffit que f soit non
ramifié) puisque toutes les extensions résiduelles de f sont séparables. Mon-trons (2). On peut remplacer X et S par des voisinages convenables de x et s ; d’après le théorème de structure locale des algèbres étales [8, V, théo-rème 1], nous pouvons donc supposer que S = Spec(A) et X = Spec(B) où
B = (A[Y ]/(F ))h, Y étant une indéterminée et h un élément de A[Y ]/(F ). Puisque κ(s)−∼→ κ(x), l’image de Y dans κ(x) définit un élément α de κ(s) (vérifiant F (α) = 0 et h(α) 6= 0) ; quitte à localiser A, on peut relever
α en a ∈ A. Soit alors S0 := V (F (a)) le sous-schéma fermé principal dé-fini par F (a) : on obtient j : S0 → X à partir du morphisme d’algèbres
B → A/(F (a)) envoyant la classe y de Y sur la classe de a : ce morphisme
identifie A/(F (a)) à B/(y − a), ce qui prouve que j est une immersion prin-cipale. Les inclusions i(S0) ⊂ Rel(f ) et j(S0) ⊂Rel(f ) sont triviales.g Remarque 2.2.3. En termes géométriques, la construction de la
démons-tration se décrit ainsi : quitte à localiser, on a une S-immersion principale
u de X dans la droite affine A1S (de coordonnée Y ) ; d’autre part le point x
est image d’une section de A1
S au-dessus de Spec(κ(s)), que l’on prolonge
en une section σ au-dessus de S (donnée par Y = a). Le schéma S0 est le produit fibré X ×u,A1
S,σS ; le fait que i et j soient des immersions principales
résulte par changement de base de la même propriété pour u et σ.
Définition 2.2.4. Un morphisme de schémas f : X → S sera dit
quasi-étale s’il se décompose en X −→ Xρ 0 −→ S où π est étale et où ρ est entier,π
surjectif et radiciel (ce qui équivaut à dire que ρ est un homéomorphisme universel, cf. [5, 18.12.11]).
Proposition 2.2.5. Soit f : X → S un morphisme quasi-étale, décomposé
en X −→ Xρ 0 −→ S comme dans la définition 2.2.4.π (1) On a QRel(f ) = QRel(π) = Rel(π).
(2) Soit x ∈ ]QRel(f ) et soit s = f (x). Il existe un sous-schéma principal
S0 i Scontenant s, et un quasi-relèvement S0 fS0 X
f0 j
de S0 à X, où fS0 contient x et où j est une immersion principale.
Démonstration. On laisse (1) au lecteur (la seconde égalité est un rappel de
la proposition 2.2.2). Pour montrer (2), on applique 2.2.2 (2) au morphisme
π, ce qui donne des immersions principales i : S0 ,→ S et j0 : S0,→ X0 avec
π ◦ j0= i. Il suffit alors de poser X0:= X ×ρ,X0,j0S
0.
Remarque 2.2.6. On voit ainsi que si f : X → S est quasi-étale, alors
QRel(f ) (resp. ]QRel(f )) est réunion de sous-espaces principaux de |S| (resp. de |X|), et est en particulier ind-constructible dans S (resp. dans
On peut vérifier que cette dernière propriété est valable pour tout mor-phisme f : X → S localement de présentation finie.
La proposition suivante est utile pour ramener « génériquement » l’étude de QRel(f ) au cas quasi-étale. Noter que l’hypothèse que S est réduit est en général inoffensive puisque QRel(f ) = QRel(fred).
Proposition 2.3. Soient S un schéma réduit, f : X → S un morphisme
localement de présentation finie, η un point maximal de S, ξ un point fermé de Xη = f−1(η).
Il existe un diagramme commutatif comme ci-dessous, dans lequel S0 est un voisinage ouvert affine de η, v : X0 → X est une immersion, et f0 est
quasi-étale, fini, localement libre et surjectif.
ξ ∈ X0 X η ∈ S0 S f0 / ◦v f u ◦
De plus, si l’extension κ(η) ⊂ κ(ξ) est séparable, on peut prendre f0 étale. Démonstration. Puisque Xη est un κ(η)-schéma de type fini, κ(ξ) est une extension finie de κ(η), et admet donc une sous-extension séparable maxi-male L ; l’extension κ(ξ)/L est finie radicielle.
Puisque S est réduit et η maximal, κ(η) coïncide avec OS,η, et donc
Spec(κ(η)) est limite projective de la famille filtrante des voisinages affines de η ; par suite il y a un tel voisinage S0 = Spec(A0) et un morphisme
B0 → C0 de A0-algèbres de présentation finie, induisant L → κ(ξ) par le changement de base A0 → κ(η). Quitte à localiser, B0 est finie étale sur A0 et C0 est libre et radicielle sur B0.
Comme f est localement de présentation finie, les résultats de [5, §8] montrent que, quitte à localiser à nouveau, l’immersion fermée naturelle Spec(κ(ξ)) → Xη se prolonge en une immersion Spec(C0) → X avec les propriétés voulues. La dernière assertion de l’énoncé vient du fait que si
κ(η) ⊂ κ(ξ) est séparable, on a L = κ(ξ) et l’on peut prendre C0 = B0.
3. Schémas de Poonen
Définition 3.1. Un schéma S est un schéma de Poonen (resp. un schéma
de Poonen strict) s’il vérifie la condition suivante :
Pour tout ouvert non vide U ⊂ S et tout U -schéma f : X → U de présentation finie et dominant, on a QRel(f ) 6= ∅ (resp. Rel(f ) 6= ∅).
Un anneau A est un anneau de Poonen (strict) si Spec(A) est un schéma de Poonen (strict).
Dans ce travail, on s’intéressera surtout aux schémas et anneaux de Poo-nen ; voir la section 4.4 pour quelques exemples de schémas de PooPoo-nen stricts.
Dans le cas d’un schéma noethérien, on peut simplifier la définition 3.1 en oubliant l’ouvert U . Plus généralement :
Proposition 3.1.1. Soit S un schéma.
(1) Si S est un schéma de Poonen (resp. un schéma de Poonen strict),
alors pour tout g : Y → S de présentation finie et dominant,
QRel(g) (resp. Rel(g)) est dense dans S.
(2) La réciproque est vraie si S est quasi-séparé et n’a qu’un nombre
fini de composantes irréductibles.
Démonstration. L’assertion (1) est immédiate. Sous les hypothèses de (2),
si U est un ouvert affine non vide de S et f : X → U un morphisme dominant de présentation finie, il existe, quitte à restreindre U , un ouvert affine V disjoint de U et tel que U ∪ V soit dense dans S (considérer les points maximaux de S n’appartenant pas à U ). Il suffit alors d’appliquer l’hypothèse au morphisme g : X q V → S, qui est bien de présentation finie si X est séparé, les immersions de U et V dans X étant
quasi-compactes.
3.1.2. Exemples et remarques.
(3.1.2.1) J’ignore si l’assertion 3.1.1 (2) est vraie sans hypothèse sur S. (3.1.2.2) Si un morphisme f : X → U est de présentation finie et dominant,
son image contient un ouvert dense de U ; il en résulte que l’on peut, dans la définition, se limiter aux morphismes f qui sont surjectifs, et exiger que QRel(f ) (resp. Rel(f )) soit dense dans U . On peut aussi se limiter aux morphismes f : X → U où X et U sont affines.
(3.1.2.3) S est un schéma de Poonen (strict) si et seulement si Sreden est un. (3.1.2.4) La somme`
i∈ISi d’une famille (Si)i∈I de schémas est un schéma
de Poonen (strict) si et seulement si chacun des Si en est un.
(3.1.2.5) Un corps est un anneau de Poonen (strict) si et seulement si il est séparablement clos (algébriquement clos).
(3.1.2.6) Soit S0 un ouvert de S : si S est un schéma de Poonen (strict), il en est de même de S0. La réciproque est vraie si S0 est dense dans
S ; plus généralement :
(3.1.2.7) Soit u : S0 → S un morphisme dominant. On suppose que pour tout s0 ∈ S0, l’extension résiduelle κ(u(s0)) ⊂ κ(s0) est radicielle (resp. triviale). Alors, si S0 est un schéma de Poonen (resp. un schéma de Poonen strict), il en est de même de S.
En effet, traitons le cas des schémas de Poonen (le cas strict est analogue). Soit f : X → U ⊂ S comme dans la définition 3.1 :
alors U ×SS0 → U est encore dominant à extensions résiduelles
radicielles, et U ×S S0 contient un ouvert affine non vide V de
S0. Le morphisme induit X ×SV → V est dominant ; on a donc
QRel(X ×S V /V ) 6= ∅, et le fait que les extensions résiduelles
de V → U soient radicielles entraîne que u(QRel(X ×SV /V )) ⊂
QRel(X/U ).
(3.1.2.8) Soit u : S0 → S un morphisme de schémas. Dans chacun des cas suivants, u vérifie les hypothèses de (3.1.2.7), donc S est un schéma de Poonen (resp. un schéma de Poonen strict) si S0 en est un :
(a) u est radiciel et dominant (resp. un monomorphisme domi-nant) ;
(b) S est irréductible et S0 = Spec(OS,s), où s est un point de S ; (c) S0 est la somme des composantes irréductibles de S.
(3.1.2.9) Soit f : S → T un morphisme de schémas. Supposons que pour tout t ∈ T la fibre St:= f−1(t) soit un schéma de Poonen (strict).
Alors S est un schéma de Poonen (strict) : il suffit en effet d’ap-pliquer (3.1.2.7) avec S0 =`
t∈TSt.
(3.1.2.10) Soit S un schéma de Poonen (strict), et soit u : S0 → S un S-schéma de présentation finie. On suppose que pour tout ouvert non vide V de S0, u(V ) contient un ouvert non vide de S (de façon équivalente, u envoie tout point maximal de S0 sur un point maximal de S). Alors S0 est un schéma de Poonen (strict).
Théorème 3.2. Soit S un schéma de Poonen non vide, et soit f : X → S
un morphisme dominant de présentation finie.
(1) Il existe un sous-schéma principal non vide S0 de S qui est quasi-relevable à X, et même quasi-relevable à X si f est lisse.
(2) On suppose S localement noethérien. Alors QRel(f ) contient un
point de codimension ≤ 1 de S ; il en est de même de Rel(f ) si f est lisse.
(3) On suppose que S est un schéma de Jacobson [4, (6.4.1)]. Alors QRel(f ) contient un point fermé de S ; il en est de même de Rel(f )
si f est lisse.
Démonstration. On peut supposer S réduit. Les assertions (2) et (3) sont
des conséquences immédiates de (1). Montrons (1). L’image de f contient un point maximal η de S ; choisissons un point fermé ξ de Xη, avec κ(ξ) séparable sur κ(η) si f est lisse. Appliquant la proposition 2.3, on voit que quitte à remplacer S par un voisinage de η, on peut supposer f quasi-étale, et même étale dans le cas lisse. Comme S est un schéma de Poonen, il existe un point s ∈ S qui est dans QRel(f ), et donc dans Rel(f ) dans le cas étale. Il suffit alors d’appliquer 2.2.5 (2), et 2.2.2 (2) dans le cas étale.
Remarque 3.2.1. Si l’on suppose dans le théorème 3.2 que S est un schéma
de Poonen strict, on ne peut pas pour autant conclure (en dehors du cas lisse) que Rel(f ) contient des points de codimension 1. Par exemple, soit
k un corps parfait de caractéristique p > 0, et considérons S = A2k. Nous
verrons plus loin (4.4.3) que S est un schéma de Poonen strict. Soit f : S →
S le morphisme de Frobenius relatif à k : on voit facilement que Rel(f ) est
l’ensemble des points fermés de S.
4. Exemples de schémas de Poonen
4.1. Cas des schémas affines intègres : critères polynomiaux. Le
point de départ de nos exemples est l’énoncé suivant, conséquence facile de la proposition 2.3 :
Proposition 4.1.1. Soit S un schéma. Les conditions suivantes sont
équi-valentes :
(1) S est un schéma de Poonen ;
(2) pour tout ouvert affine non vide U de S et tout morphisme fini, surjectif et quasi-étale f : X → U , on a QRel(f ) 6= ∅ ;
(3) pour tout ouvert affine non vide U de S et tout morphisme fini étale surjectif f : X → U , on a QRel(f ) 6= ∅ (et donc Rel(f ) 6= ∅ d’après 2.2.2 (1)).
Démonstration. Les implications (1) ⇒ (2) ⇒ (3) sont triviales, et 2.2.5 (1)
montre que (3) implique (2). Supposons (2), et montrons (1). Soit donc
f : X → U dominant de présentation finie, où U est un ouvert affine non
vide de S. Choisissons un point maximal η de U contenu dans l’image de
f , et un point fermé ξ de f−1(η). Appliquant la proposition 2.3, on trouve, quitte à restreindre U , un U -schéma fini, quasi-étale et surjectif f0 : X0→ U et une U -immersion fermée X0 ,→ X. Il est clair que QRel(f0) ⊂ QRel(f ) et l’hypothèse (2) assure que QRel(f0) 6= ∅, donc QRel(f ) 6= ∅.
Notation 4.1.2. Soit A un anneau intègre, de spectre S, de corps des
fractions K, et soit Y une indéterminée. Pour tout F ∈ A[Y ], nous poserons
XA,F := Spec (A[Y ]/(F )) .
Si aucune confusion n’est à craindre, nous écrirons XF plutôt que XA,F. Nous n’utiliserons ces notations que lorsque F n’est pas constant ; dans ce cas, XF est un S-schéma dominant et génériquement fini. Nous dirons que F est séparable si son image dans K[Y ] est un polynôme séparable, c’est-à-dire si XF est génériquement étale sur S.
Dans ce qui suit, nous nous intéresserons aux ensembles de la forme Rel(XF/S), et secondairement QRel(XF/S), le but étant de déterminer
si A est un anneau de Poonen. On laisse au lecteur la démonstration du lemme suivant :
Lemme 4.1.3. Soit A un anneau intègre, de corps des fractions K et de
spectre S, et soit F ∈ A[Y ] non constant.
(1) Soit p un idéal premier de A. Les conditions suivantes sont
équiva-lentes :
(a) p ∈ Rel(XF/S) ;
(b) l’image de F dans κ(p)[Y ] a une racine dans κ(p) ; (c) il existe g ∈ A r p et b ∈ Ag tels que F (b) ∈ pAp. (2) Les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Rel(XF/S) est dense dans S ;
(b) pour tout g ∈ A r {0}, il existe u ∈ A et b ∈ Aug tels que
F (b) /∈ A×ug.
(c) pour tout g ∈ A r {0}, il existe u ∈ A, b ∈ Aug et p ∈ D(ug)
tels que F (b) ∈ pAp.
La proposition 4.1.1 conduit au critère suivant :
Proposition 4.1.4. Soit A un anneau intègre, de spectre S. Pour que
A soit un anneau de Poonen, il faut et il suffit que pour tout F ∈ A[Y ] séparable non constant, Rel(XF/S) soit dense dans S.
Démonstration. La nécessité est triviale. Montrons la suffisance en utilisant
le critère 4.1.1 (3). Soient donc U ⊂ S un ouvert affine non vide, f : X U un morphisme fini étale surjectif, et montrons que Rel(X/U ) 6= ∅. La fibre générique XK de f (où K := Frac(A)) est le spectre d’un produit fini
d’ex-tensions finies séparables de K ; quitte à restreindre encore U et à remplacer
X par un ouvert fermé, on peut supposer X intègre. De plus, d’après le
théorème de l’élément primitif (et quitte à restreindre U à nouveau), on peut supposer que U = D(g) pour g 6= 0 dans A, et que X = XAg,F où
F ∈ Ag[Y ] est non constant et séparable sur K. On peut écrire F = g−NF1 où N ∈ N et F1 ∈ A[Y ] ; il est clair que X est U -isomorphe à XAg,F1. Appliquant l’hypothèse à F1, on conclut que Rel(XA,F1/S) ∩ U 6= ∅ et donc
que Rel(X/S) ∩ U 6= ∅.
Notation 4.1.5. Pour un anneau intègre A, de spectre S, nous
considére-rons les conditions
(P1) Pour tout F ∈ A[Y ] non constant, Rel(XF/S) est dense dans S.
(P2) Pour tout F ∈ A[Y ] non constant, il existe b ∈ A tel que F (b) /∈ A×.
Remarques 4.1.6. Gardons les notations de 4.1.5.
(1) Si A est un corps, (P1) (resp. (P2)) signifie que A est algébriquement clos.
(2) (P2) implique que le radical de A est nul : considérer F (Y ) = 1+aY , avec a 6= 0.
(3) Dans la démonstration du lemme 3 de [7], Poonen mentionne la condition suivante : pour tout F ∈ A[Y ] non constant et tout g 6= 0
dans A, il existe b ∈ A tel que F (b) /∈ A×g. Cette condition est en fait équivalente à (P2), comme le montre la preuve de l’implication (c) de la proposition 4.1.8 plus bas.
Pour étudier les liens entre ces conditions, le lemme élémentaire qui suit nous sera utile ; la preuve en est laissée au lecteur.
Lemme 4.1.7. Soient A un anneau, g et b deux éléments de A tels que les
images de b dans A/(g) et dans Ag soient inversibles. Alors b ∈ A×. Proposition 4.1.8. Soient A un anneau intègre et g ∈ A non nul.
(1) On a les implications :
A vérifie (P2)
(c)
(a) +3
A vérifie (P1) (b) +3A est un anneau de Poonen Ag vérifie (P2)
(a)+3
Ag vérifie (P1)
(d)
KS
(2) Si A est un anneau de Jacobson, (a) et (c) sont des équivalences.
Démonstration.
(1). L’implication (b) résulte de la proposition 4.1.4 (la différence étant que, dans (P1), le polynôme F considéré n’est pas supposé séparable).
L’équivalence (d) est facile et laissée au lecteur. Montrons (c). Supposons donc (P2) pour A, soit F ∈ Ag[Y ] non constant, et cherchons b ∈ Ag tel
que F (b) /∈ A×
g. Pour N entier convenable, F1 := gNF ∈ A[Y ] et, pour tout b ∈ Ag, on a l’équivalence F (b) ∈ A×g ⇔ F1(b) ∈ A×g. On peut donc remplacer F par F1 et supposer F = Pd
i=0aiYi ∈ A[Y ], avec d > 0 et
ad6= 0. Si a0 = 0, alors b = 0 convient. Sinon, considérons le polynôme
H(Y ) := a−10 F (a0g Y ) = 1 + a1g Y + · · · + adad−10 gdYd.
Comme H n’est pas constant (car adad−10 gd6= 0), l’hypothèse (P2) fournit
b0 ∈ A tel que H(b0) /∈ A×. Comme d’autre part H(b0) ∈ 1 + gA, on déduit du lemme 4.1.7 que H(b0) /∈ A×
g, et donc que F (a0g b0) = a0H(b0) /∈ A×g,
d’où la conclusion avec b = a0g b0.
Montrons (a). Supposons que A vérifie (P2), et soit F ∈ A[Y ] non constant. Pour voir que Rel(XF/S) est dense dans S, appliquons le
cri-tère 4.1.3 (2). Soit donc 0 6= g ∈ A : on cherche u ∈ A et b ∈ Aug tels
que F (b) /∈ A×
ug. Or nous venons de voir que Ag vérifie (P2), donc il existe
même un tel couple (u, b) avec u = 1.
(2). Supposons que A soit un anneau de Jacobson. Vu les implications déjà établies, il suffit de voir que (P1) implique (P2) pour A. Soit F ∈ A[Y ] non constant. (P1) implique l’existence de u ∈ A non nul et de b ∈ Au tel que
un anneau de Jacobson, m := n ∩ A est un idéal maximal de A de même corps résiduel κ. Il existe b0 ∈ A dont l’image dans κ est celle de b : on a
alors F (b0) ∈ m, donc F (b0) /∈ A×.
Remarques 4.1.9.
(1) En général, les implications (a), (b) et (c) sont strictes. C’est im-médiat pour (b) : un corps séparablement clos, mais non parfait, est un anneau de Poonen qui ne vérifie pas (P1).
Pour (a), prenons A local noethérien intègre de dimension ≥ 2. La remarque 4.1.6 (2) montre que A ne vérifie pas (P2), mais nous verrons plus bas (4.3.1) que A vérifie (P1). Le même exemple vaut pour (c), car pour tout g 6= 0 dans l’idéal maximal de A, l’anneau
Ag vérifie (P2) (remarque 4.3.2).
(2) On a introduit la condition (P2) parce qu’elle est, lorsqu’elle s’ap-plique, facile à vérifier puisqu’elle n’utilise pas de localisation : on va le voir dans la section 4.2.
(3) Le statut logique de (P2) semble aussi plus simple. Si l’on fixe le degré de F dans (P2), la condition s’exprime par une formule du pre-mier ordre du langage des anneaux. Par suite la classe des anneaux intègres vérifiant (P2) est élémentaire ; en particulier, si A vérifie (P2), tout « modèle non standard » de A vérifie (P2). J’ignore si la classe des anneaux de Poonen (ou celle des anneaux vérifiant (P1)) est élémentaire.
4.2. Exemples valués et conséquences. Dans cette section, nous
ap-pellerons valeur absolue sur un corps K une application | · | : K → Γ, où : – (Γ, ×, ≤) est un groupe abélien totalement ordonné, et Γ est le
mo-noïde Γ ∪ {0}, ordonné par 0 < Γ ;
– ou bien Γ = R≥0 et | · | est une valeur absolue (au sens habituel), ou bien | · | est une valuation sur K, notée multiplicativement (avec notamment |0| = 0).
Théorème 4.2.1. Soit A un anneau intègre, dont le corps des fractions K
est muni d’une valeur absolue | · | : K → Γ. On suppose que le sous-monoïde
|A| de Γ n’est pas majoré, mais que |A×| l’est.
Alors A vérifie la condition (P2) de 4.1.5 et est donc un anneau de Poonen.
Démonstration. Soit F (Y ) = adYd+ G(Y ) ∈ A[Y ], avec d > 0, ad6= 0, et deg(G) < d. Les hypothèses entraînent que si b ∈ A avec |b| suffisamment grand, on a :
– dans le cas ultramétrique, |adbd| > |G(b)| et donc |F (b)| = |ad| |b|d;
– pour une valeur absolue classique, |adbd| > 2 |G(b)| et donc |F (b)| ≥ 1
On en déduit que |F (A)| n’est pas majoré et donc que F (A) 6⊂ A×.
Corollaire 4.2.2.
(1) [7, Lemma 3] Z est un anneau de Poonen.
(2) [7, Theorem 1] Si k est un corps, l’anneau de polynômes k[t] est un
anneau de Poonen.
Démonstration. Il suffit d’appliquer 4.2.1 avec, pour Z, la valeur absolue
ordinaire, et pour k[t] la valeur absolue de Gauss P 7→ 2− deg(P ).
Théorème 4.2.3.
(1) [7, Theorem 1] Soit k un corps. Tout k-schéma de type fini sans
point isolé est un schéma de Poonen.
(2) [7, Theorem 4] Tout Z-schéma de type fini sans point isolé est un
schéma de Poonen.
Démonstration. Dans les deux cas, on se ramène (en utilisant les
remar-ques 3.1.2) au cas d’un schéma S affine intègre de dimension ≥ 1. Dans le cas (1), il existe un k-morphisme dominant S → A1k, de sorte que
d’après (3.1.2.10), l’assertion résulte du cas de A1
k = Spec(k[t]). Dans le
cas (2), ou bien S domine Spec(Z) et l’on conclut par 4.2.2 (1), ou bien
S est de caractéristique p > 0, c’est un Fp-schéma de type fini et on
ap-plique (1).
Voici une généralisation du cas des anneaux de polynômes, qui s’applique notamment aux « courbes » construites dans [3]2 :
Théorème 4.2.4. Soit S un schéma intègre, de corps des fonctions K,
muni d’un point fermé ∞ vérifiant les propriétés suivantes :
(1) l’anneau local O := OS,∞¯ est un anneau de valuation ;
(2) S := S r {∞} est un schéma affine non vide, d’anneau noté A ; (3) Γ(S,OS¯) = A ∩O est un corps.
Alors A vérifie (P2) et est donc un anneau de Poonen (et par suite, d’après
(3.1.2.6), S est un schéma de Poonen).
Démonstration. Notons m l’idéal maximal de O et | · | : K → Γ = K/O×
la valuation associée, qui est non triviale puisque S 6= ∅. L’hypothèse 3 entraîne que A ∩ m = {0} ; pour tout a ∈ A non nul, on a donc |a| ≥ 1, et par suite |a| = 1 si a ∈ A×. De plus |A| n’est pas majoré dans Γ : en effet, pour tout z = a/b ∈ K (avec a et b 6= 0 dans A) on a |a| = |b||z| ≥ |z| donc |A| est cofinal dans Γ, qui n’est pas majoré puisque | · | est non triviale. Les conditions de 4.2.1 sont donc satisfaites, ce qui établit le résultat.
2 Cependant beaucoup de ces courbes (celles du chapitre 6 de [3]) sont trivialement des
Remarque 4.2.5. Soit A un anneau principal qui n’est pas un corps. Pour
que A soit un anneau de Poonen, il faut qu’il ait une infinité d’idéaux maxi-maux (sinon le point générique est un ouvert de Spec(A) qui n’est pas un schéma de Poonen). Cette condition n’est pas suffisante. Par exemple, soient
P l’ensemble des nombres premiers, Σ = {p ∈ P | p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4)},
et Σ0 = {p ∈ P | p ≡ −1 (mod 4)}. Alors Σ et Σ0 sont de même den-sité 1/2, mais A1 := Σ−1Z n’est pas un anneau de Poonen (considérer Spec A1[Y ]/(Y2+ 1)
). En revanche, A2 := Σ0−1Z vérifie (P2) : pour
F ∈ A2[Y ] non constant, soit α une racine de F dans C et soit K := Q(α, i) : si p est un nombre premier décomposé dans K, on a p /∈ Σ0 (donc (p) ∈ Spec(A2)) et (p) est relevable à A2[Y ]/(F ).
4.3. Schémas de dimension ≥ 2.
Théorème 4.3.1. Soit A un anneau local intègre de dimension ≥ 2, d’idéal
maximal m. On suppose vérifiée la condition suivante :
(∗) Pour tout x ∈ m non nul, Spec(A/xA) n’a qu’un nombre fini de
com-posantes irréductibles, et elles sont de codimension 1 dans Spec(A). Alors, A vérifie la condition (P1) de 4.1.5 et est donc un anneau de Poonen. Démonstration. Soit F =Pd
i=0aiYi ∈ A[Y ], avec d > 0 et ad6= 0, et
mon-trons que Rel(XF/S) est dense dans S := Spec(A). Pour cela, fixons g ∈ A
non nul (que l’on peut supposer dans m). Nous allons exhiber b ∈ Agad et q∈ D(gad) tels que F (b) ∈ qAq, ce qui établira le théorème d’après 4.1.3 (2). Soient pi (1 ≤ i ≤ n) les idéaux premiers de A correspondant aux
composantes de V (gad). Le lemme d’évitement des idéaux premiers [1, II, §1, no1, proposition 2] montre qu’il existe c ∈ m r ∪n
i=1pi. Prenons b := c/(ga2 d) ∈ Agad. On trouve F (b) = a1−2dd g−d " cd+ d−1 X i=0 aia2(d−i)−1d gd−ici # = a1−2dd g−dcd+ g adα
où α ∈ A. L’élément γ := cd+ g adα appartient à m (comme c et g) et n’est
dans aucun des pi, vu le choix de c. Si q ∈ Spec(A) est un point maximal de
V (γ), alors q est de hauteur 1 d’après (∗), et donc gad ∈ q (sinon q serait/
l’un des pi, ce qui est exclu car il contient γ). Autrement dit, q ∈ D(gad) et γ ∈ qAq, et donc F (b) ∈ qAq, le facteur a1−2dd g−d étant dans Agad.
Remarque 4.3.2. Sous les hypothèses de 4.3.1, soit g ∈ m r {0}.
Sup-posons que Ag soit un anneau de Jacobson : alors, puisqu’il vérifie (P1),
il vérifie aussi (P2) d’après 4.1.8 (2). Cela se produit notamment si A est
noethérien [5, (10.5.8)], et aussi lorsque dim(A) = 2 : dans ce dernier cas, Agest un anneau intègre de dimension 1 qui (d’après le lemme d’évitement)
Corollaire 4.3.3. Soit S un schéma localement noethérien, dont toutes les
composantes irréductibles sont de dimension ≥ 2. Alors S est un schéma de Poonen.
Démonstration. Utilisant 3.1.2.8 et 3.1.2.3, nous sommes ramenés au cas
où S est le spectre d’un anneau local noethérien intègre de dimension ≥ 2,
qui est un cas particulier du théorème 4.3.1.
Corollaire 4.3.4. Soit A un anneau de Krull [1, VII, §1, no3, définition 3]
de dimension ≥ 2. Alors A est un anneau de Poonen.
En particulier, tout anneau factoriel de dimension ≥ 2 est un anneau de Poonen.
Démonstration. Soit p un idéal premier de A de hauteur ≥ 2. Alors Ap est un anneau de Krull [1, VII, §1, no3, proposition 6] auquel le théorème 4.3.1 s’applique ; c’est donc un anneau de Poonen. Par suite A est un anneau de
Poonen d’après 3.1.2.8.
4.4. Exemples de schémas de Poonen stricts.
Proposition 4.4.1. Soit S un schéma de Poonen intègre, dont le corps de
fonctions K est parfait. Alors S est un schéma de Poonen strict.
Démonstration. Soit f : X → S de présentation finie et dominant. Pour
voir que Rel(f ) 6= ∅, on peut supposer X réduit. Puisque K est parfait, l’ouvert de lissité de f est non vide, ce qui nous ramène au cas où f est
lisse, qui résulte de 3.2 (1).
Proposition 4.4.2. Soit S un schéma de Poonen. On suppose que S est un
schéma de Jacobson et que, pour tout point fermé s de S, le corps résiduel κ(s) est parfait. Alors S est un schéma de Poonen strict.
Démonstration. C’est une conséquence immédiate de 3.2 (3).
Corollaire 4.4.3.
(1) Soit k un corps parfait. Tout k-schéma de type fini sans point isolé
est un schéma de Poonen strict.
(2) Tout Z-schéma de type fini sans point isolé est un schéma de Poonen
strict.
5. Schémas lisses sur une base
Théorème 5.1. Soit X −→ Sf −→ B un diagramme de schémas non vides.g
On suppose que :
(i) g est lisse, surjectif, à fibres de dimension ≥ 1 ; (ii) f est de présentation finie et dominant.
Alors
(1) Il existe un sous-schéma non vide S0 de S, lisse de codimension relative 1 sur B, quasi-relevable à X, et relevable à X si f est lisse.
(2) Si X est lisse sur B, il existe un sous-schéma non vide S0 de S,
étale sur B, et relevable à X.
5.2. Preuve du théorème 5.1 : réduction au cas d’un corps de base. Les arguments étant classiques, on laisse les détails au lecteur. En
remplaçant X, S et B par des ouverts convenables, on peut supposer qu’ils sont affines et que la dimension des fibres de g est constante. Posant B = Spec(k), on remarque que puisque f et g sont de présentation finie, il existe un sous-anneau k0 de k de type fini sur Z et un diagramme X0
f0 −→ S0 g0 −→ B0 := Spec(k0) induisant X f −
→ S −→ B par changement de base et ayant lesg mêmes propriétés : on peut donc supposer B noethérien. Si η est un point maximal de B et B1:= Spec(OB,η), il suffit de démontrer le théorème pour
le diagramme X1−→ Sf1 1 g1
−→ B1obtenu par le changement de base B1→ B : un sous-schéma S10 ⊂ S1de présentation finie est induit par un sous-schéma de S, qui aura les propriétés voulues.
Ceci nous ramène au cas où B = Spec(k) est local artinien, de corps rési-duel κ. Par changement de base à B2 := Spec(κ), on obtient un diagramme
X2
f2
−→ S2 g2
−→ B2. Si S20 ⊂ S2 est un sous-schéma lisse sur B2, il se relève (au moins localement) en un sous-schéma S0 ⊂ S lisse sur B, de même dimension relative ; si S02 est quasi-relevable à X2, alors S0 est trivialement quasi-relevable à X (tout schéma fini, radiciel et surjectif sur S20 est aussi fini, radiciel et surjectif sur S0) ; si f est lisse, tout relèvement de S20 à X2 se prolonge en un relèvement de S0 à X, au moins si S0 est affine.
En résumé, il suffit d’établir le théorème lorsque B est le spectre d’un corps.
5.3. Preuve du théorème 5.1 : le cas d’un corps de base. On
sup-pose désormais que B = Spec(k), où k est un corps ; S est un k-schéma affine lisse, purement de dimension d > 0, et f : X → S est de type fini et dominant.
Supposons d’abord k parfait. Alors le théorème 5.1 est une conséquence immédiate du théorème 3.2 et du fait que, d’après le théorème 4.2.3, S est un schéma de Poonen : il suffit de remarquer, pour (1), que tout sous-schéma réduit de S est génériquement lisse sur k et, pour (2), que tout point fermé de S est étale sur k.
La suite de la démonstration s’applique dès que k est infini, ce que nous supposons désormais ; il est à noter que les arguments qui suivent ne font pas appel au théorème 3.2 ni au théorème 4.2.3, qui sont donc redémontrés dans ce cas. (Pour le cas d’un corps fini, voir la remarque 5.3.1.1.)
5.3.1. Le cas où dim(S) = 1. Comme toujours, on suppose X et S
affines, et S irréductible de dimension 1. On peut remplacer X par une courbe irréductible de X, dominant S, lisse si X l’est, et étale sur S si f est lisse. Ainsi nous pouvons supposer, en préservant les hypothèses dans chaque cas, que X et S sont des courbes affines.
Montrons d’abord (2). On suppose donc X lisse sur k, et l’on cherche un point fermé de S, séparable sur k et relevable à X. Fixons un k-morphisme dominant π : S → A1k. Il suffit de démontrer le résultat avec f remplacé
par π ◦ f . On supposera donc que S = A1
k= Spec(k[t]).
Le corps de fonctions K := k(X) est une extension séparable de k, de degré de transcendance 1 ; en particulier le degré d’imperfection de K sur
k est égal à 1 (en d’autres termes, [K : kKp] = p, où p est l’exposant caractéristique de k) ; a fortiori, le degré d’imperfection de K sur k(S) est ≤ 1. Par suite (voir [2, V, §13, exercice 3] ou [9, §40]) l’extension finie
k(X)/k(S) est engendrée par un élément. Ceci nous ramène au cas où X ⊂
A2k est un ouvert de Xk[t],F (notation de 4.1.2) où F ∈ A[Y ] = k[t, Y ] est
non constant en Y . Il existe une droite D ⊂ A2k d’équation Y = λt + µ
(λ, µ ∈ k) qui coupe X transversalement en au moins un point x : en effet, les droites ayant cette propriété forment un ouvert U du plan des (λ, µ) ; on a U 6= ∅ car X est lisse, donc U (k) 6= ∅ puisque k est infini. Puisque
x ∈ D, on a x ∈Rel(X/S), et puisque l’intersection est transverse, κ(x) estg
séparable sur k, ce qui prouve (2).
Montrons (1). Le cas où f est étale résulte de (2) ; en général, on peut supposer que f se décompose en X −→ Xg 0 f0
−→ S où f0 est étale et g radiciel. Il suffit d’appliquer le cas étale à f0 et de remarquer que QRel(X/S) = Rel(X0/S).
Remarque 5.3.1.1. L’hypothèse que k est infini a servi pour l’existence de
la droite transverse D dans la preuve de 2. Si k est fini, on peut procéder comme suit : on peut supposer que X est l’ouvert g 6= 0 de Xk[t],F, où
g ∈ k[t]. Si F (t, 0) = 0, alors X contient l’ouvert g 6= 0 de l’axe Y = 0, et
la conclusion est triviale. Sinon, un calcul élémentaire montre que, pour N assez grand, F (t, g−N) n’est pas inversible dans k[t]g; un idéal maximal qui
le contient fournit un point fermé de Rel(X/S), automatiquement séparable puisque k est parfait. Cet argument élimine le recours aux théorèmes 3.2 et 4.2.3.
5.3.2. Le cas général. Commençons par montrer (2). Si X est lisse, il
existe une courbe lisse irréductible C ⊂ X telle que f (C) soit une courbe dans S, automatiquement lisse (au moins génériquement). Il suffit d’appli-quer le cas de dimension 1 au morphisme induit C → f (C).
Montrons enfin (1). Ceci revient à trouver un point s ∈ QRel(f ), de codimension 1 dans S, séparable sur k, et appartenant à Rel(f ) si f est lisse.
On peut supposer que dim(S) = d > 1, et qu’il existe un morphisme lisse π : S → Ad−1k . Soit K le corps des fonctions rationnelles de A
d−1 k . Le
changement de base Spec(K) → Ad−1k donne un K-morphisme fK: XK →
SK vérifiant encore les hypothèses du théorème (avec fK lisse si f l’est,
et SK lisse sur K) et avec dim(SK) = 1. Le cas de dimension 1 fournit
un point fermé sK ∈ QRel(fK), séparable sur K et dans Rel(fK) si f est lisse. Ce point (vu comme point de S) répond à la question : il est clair que QRel(fK) ⊂ QRel(f ) et Rel(fK) ⊂ Rel(f ) puisque XK → X et SK → S sont des monomorphismes ; d’autre part s est de codimension 1 dans S (on a OS,s=OSK,s), et enfin l’extension k ⊂ κ(s) est composée des extensions séparables k ⊂ K ⊂ κ(s), donc est séparable.
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Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625 35000 Rennes, France
E-mail: laurent.moret-bailly@univ-rennes1.fr
