Résumé. Fabian GUILLEMIN 2

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Résumé

Mots-clés : Actualisation, Taux d'Intérêts, Passifs Sociaux, Moindres Carrés Ordi- naires, IAS 19R, IFRS, Approche Granulaire, Dette Actuarielle, Coût des Services Rendus, Coût Financier.

Dans le contexte des entreprises françaises, comme dans beaucoup d'autres pays, les employés ont de bonnes conditions de travail et ont à leur disposition des avantages oerts par l'entreprise. Ces avantages sociaux ne sont pas tous versés sous la même forme et au même moment, il est pourtant nécessaire de bien les quantier an de savoir ce que l'entreprise doit provisionner pour ses employés. Pour cela, une actualisation des versements futurs est nécessaire an de réaliser leurs provisions et qu'elles puissent subvenir à leurs engagements sans pour autant les mettre en péril nancièrement.

Ce mémoire propose un inventaire des diérentes modélisations existantes traitant du taux d'actualisation et plus généralement des courbes de taux d'intérêts. Ainsi seront présentées les méthodes les plus courantes qui sont utilisées pour construire des courbes de taux d'intérêts ainsi que la méthode qui sera utilisée par la suite dans les évaluations.

Il sera aussi question de voir quelles approches du taux d'actualisation il est possible d'eectuer dans le contexte des évaluations d'engagements sociaux et comment doivent- elles être appliquées.

La nalité sera de déterminer quelles sont les méthodes à privilégier dans les calculs des provisions pour engagements sociaux et ce que peut gagner une entreprise à utiliser les approches granulaires. Cet objectif se devra d'être cohérent d'un point de vue économique, mais aussi vis à vis des référentiels comptables.

Ce mémoire est en lien avec un développement réalisé par le cabinet Deloitte au cours de l'année 2016 qui souhaitait créer un outil intuitif capable de donner, en faisant très peu de manipulations, des courbes de taux ables et ajustées au client, même en étant en dehors du bureau et qui puisse fournir ses résultats dans un laps de temps très court. Cela permet alors à chaque collaborateur de pouvoir adapter l'hypothèse d'actualisation pour chacun de ses clients, tout en étant capable de lui expliquer comment cet outil détermine le taux d'actualisation à l'aide de données économiques et mathématiques.

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Abstract

Key-words : Actualisation, Interest Rates, Liabilities, Ordinary Least Squares, IAS 19R, IFRS, Granular Approach, Actuarial Debt, Service Cost, Interest Cost.

In the developped countries, as in France, employees have good work conditions and advantages that are provided by the employer. These benets are not all paid in the same way and at the same time, it is necessary to quantify them well in order to know what the company must provide for its employees. For this, an update of the future payments is necessary in order to realize their provisions and they can support their benets without jeopardizing them nancially.

This thesis proposes an inventory of the dierent existing models dealing with the discount rate and more generally interest rate curves. This will show the most common methods used to construct interest rate curves and the method that will be used later in the valuations. It is also a question of the discount rate approaches to apply in the context of benet evaluations and how they should be applied.

The purpose will be to determine which methods to prefer in the calculation of provisions for the calculation of liabilities and what can a company gain from using granular approaches. This objective should be consistent from an economic point of view, but also with respect to the accounting standards considered.

This dissertation is in line with a development carried out by Deloitte during the year 2016, which wanted to create an intuitive tool capable of giving, with very few manipulations, reliable and customer-adjusted rate curves, even when out of the oce and can deliver results in a very short time. This allows each employee to be able to adapt the discounting hypothesis for each of his clients, while being able to explain how this tool determines the discount rate using economic and mathematical data.

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Remerciements

Je remercie Philippe Burger et Fabien Richard de m'avoir accueilli auprès de l'équipe Actuarial Rewards & Analytics de Deloitte. Un grand merci aussi à Franck Cheron et Stéphanie James qui m'ont recruté et ainsi permis de rejoindre l'équipe Bénéts.

Je remercie également Simon Lapeyre pour m'avoir guidé dans ma modélisation de l'outil de taux. Aussi un remerciement particulier à Jérémie Lévy pour tous ses conseils ainsi que son partage de connaissances sur le sujet et son aide dans la rédaction des documents associés à cette étude.

Je tiens à dire un grand merci à Bei Wang pour sa disponibilité pour répondre à mes questions, sa pédagogie et son accompagnement durant cette année d'alternance.

Je tiens aussi à remercier mon manager RH, Stéphane Rebaudo, auprès de qui je pouvais coner mon ressenti sur l'ambiance et les missions, mais aussi pour sa gentillesse, la conance qu'il a en moi et ses précieux conseils.

Je remercie aussi tous ceux qui m'ont aidé à avancer et à m'intégrer dans l'équipe : Lae- titia, Clarisse, Barbara, Grégoire, Isabelle, Patricia, Nataliya, Yehouda, Raphaël, Milan, Léa, Añambyè, ainsi que chaque personne de l'équipe pour leurs conseils.

Je remercie Xavier Milhaud, mon tuteur académique, pour sa disponibilité et son implication dans l'approche du mémoire.

Je remercie enn mes parents pour leur aide dans la revue de ce mémoire.

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Table des matières

Résumé . . . 2

Abstract . . . 3

Remerciements . . . 4

Introduction 9

I Contexte et but de l'étude 11

1 Environnement comptable 12 1.1 Les diérents référentiels comptables . . . 12

1.1.1 French GAAP . . . 12

1.1.2 US GAAP . . . 13

1.1.3 IFRS . . . 15

1.2 IAS 19 R . . . 18

2 But de l'étude 21 2.1 Pourquoi une nouvelle approche ? . . . 21

2.2 Ce que propose ce mémoire . . . 22

II Méthodes de détermination et modélisation des courbes de taux 23

1 Introduction aux taux 24 1.1 Les taux de marché . . . 24

1.1.1 Taux simple et taux composé . . . 24

1.1.2 Taux nominal et taux réel . . . 25

1.1.3 Taux court, taux moyen et taux long . . . 25

1.1.4 Taux zéro-coupon . . . 26

1.1.5 Taux forward . . . 26

1.1.6 Taux actuariel . . . 26

1.2 Le taux d'actualisation . . . 27 5

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TABLE DES MATIÈRES

2 Choix des données 29

2.1 iBoxx Euro Corporates AA . . . 29

2.2 AAA Euro Bonds . . . 32

2.3 OAT France . . . 32

3 Méthodes stochastiques 34 3.1 Le modèle de Vasicek . . . 34

3.1.1 Dénition du modèle . . . 34

3.1.2 Prix des obligations zéro-coupon . . . 36

3.2 Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) . . . 37

3.3 Le Modèle de Hull & White . . . 39

4 Méthodes déterministes 43 4.1 Régression par la méthode des Moindres Carrés Ordinaires . . . 43

4.1.1 Introduction aux variables . . . 43

4.1.2 Estimation des paramètres . . . 45

4.1.3 Taux Zero-Coupon . . . 46

4.2 Extrapolation de la courbe de taux . . . 47

4.2.1 Modèle de Nelson-Siegel-Svensson . . . 47

4.2.2 Extrapolation par la méthode des Spreads . . . 48

III Les avantages au personnel 53

1 Détermination des hypothèses 55 1.1 Hypothèses nancières . . . 55

1.1.1 Taux d'ination . . . 55

1.1.2 Taux de revalorisation des salaires . . . 58

1.1.3 Taux de revalorisation des rentes . . . 58

1.1.4 Taux d'actualisation . . . 59

1.2 Hypothèses démographiques . . . 60

1.2.1 Mortalité . . . 60

1.2.2 Taux de turnover . . . 60

1.2.3 Age de départ en retraite . . . 62

1.2.4 Taux de réversion . . . 62

1.2.5 Taux de nuptialité / âge conjoint . . . 63

1.3 Bilan des hypothèses retenues . . . 63

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TABLE DES MATIÈRES

2 Evaluation des passifs sociaux 64

2.1 Détermination du montant de l'engagement et de son coût . . . 64

2.1.1 Méthode des Unités de Crédits Projetés . . . 64

2.1.2 Coûts associés à la dette . . . 67

2.2 Approche traditionnelle . . . 69

3 Développement des approches granulaires 71 3.1 Dened Benet Obligation . . . 71

3.2 Service Cost . . . 73

3.3 Interest Cost . . . 75

3.3.1 Approche de taux spot . . . 75

3.3.2 Approche Forward . . . 76

3.3.3 Approche vectorielle . . . 77

IV Applications de l'approche granulaire 79

1 Application à un régime d'IDR 80 1.1 Calculs et résultats . . . 80

1.1.1 Scenario Central . . . 81

1.1.2 Scenarii avec approche granulaire . . . 81

1.2 Commentaires sur les résultats . . . 81

2 Application à un régime de retraite 83 2.1 Calculs et résultats . . . 83

2.1.1 Scenario Central . . . 84

2.1.2 Scenarii avec approche granulaire . . . 85

2.2 Commentaires sur les résultats . . . 85

3 Critiques 86 3.1 Projection de la dette . . . 86

3.2 Comptabilisation de la dette . . . 87

3.2.1 Référentiel IFRS . . . 87

3.2.2 Référentiel FrenchGAAP . . . 88

3.2.3 Référentiel USGAAP . . . 88

3.3 Limitations . . . 89

Conclusion 91

Bibliographie 100

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Introduction

Quel taux d'actualisation dois-je appliquer à mon entreprise pour les évaluations de passifs sociaux ? C'est à cette question que nous allons essayer de répondre dans ce mé- moire.

Dans une première partie seront présentés les environnements comptables les plus cou- rants en France utilisés pour la publication des comptes des compagnies. Cette première partie permettra de présenter l'environnement, mais aussi expliquer le contexte de l'étude et bien déterminer les enjeux de ce mémoire.

Dans une seconde partie sera présentée la théorie sur laquelle est fondé ce mémoire, en particulier ce qui concerne la détermination du (des) taux d'actualisation. Il sera aussi fait mention de l'environnement économique actuel qui a conduit au développement de l'approche granulaire des taux d'actualisation. Nous détaillerons aussi les procédures uti- lisées pour déterminer les courbes de taux. Nous verrons en particulier quelles sont les données que nous prenons en compte et comment nous les utilisons dans le modèle. Puis le processus de détermination de la courbe de taux sera détaillé, nous expliquerons les extrapolations et régressions utilisées.

Dans un troisième temps, une présentation générale des passifs sociaux nous permettra de voir comment les évaluations sont réalisées et aussi montrer quels aspects peuvent être améliorés ou intégrés, telle que l'approche granulaire. Enn, nous expliquerons en détail en quoi consiste une approche granulaire, qui est une méthode avangardiste en cours de développement dans certaines entreprises et cabinets de conseil. Cette méthode consiste à appliquer plusieurs taux dans le calcul de la dette actuarielle, nous expliquerons comment les déterminer. Nous en proterons aussi pour voir les résultats qu'on peut avoir en appliquant ces méthodes à un exemple concret.

Pour terminer, nous mettrons en pratique diérentes approches théoriques évoquées au cours de ce mémoire, que nous appliquerons à un régimes d'Indemnité de Départ en Retraite (IDR) et un plan de retraite supplémentaire type Article 39. Nous critiquerons également les diérentes approches du point de vue de l'entreprise et essayerons de déter- miner quels sont les avantages de ces nouvelles méthodes.

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Première partie

Contexte et but de l'étude

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Chapitre 1

Environnement comptable

1.1 Les diérents référentiels comptables

Au sein de Deloitte, comme dans de nombreuses entreprises françaises, nous sommes amenés à utiliser plusieurs normes comptables. Il convient donc de prendre en compte les règles de chacune de ces normes dans nos études an de rendre au client un compte rendu valide. Les trois normes en vigueur pour les passifs sociaux sont les French GAAP, les US GAAP et les normes IFRS. A titre d'information, GAAP (Generally Accepted Accounting Principle) désigne donc une règle comptable en vigueur dans un pays particulier.

1.1.1 French GAAP

Les French GAAP sont, comme son nom l'indique, les normes comptables françaises qui suivent les règles du Plan Comptable Général (PCG). Ces normes sont apparues en 1943 sous le régime de Vichy et a connu deux principaux changements en 1947 et 1957, avant d'être complètement revues en 1995 avec l'apparition du droit comptable.

Désormais, les modications doivent passer par l'ANC (Autorité de la norme comptable) qui se retrouve comme étant, depuis 2009, le nouvel organisme de la norme comptable.

Le Plan Comptable Général est divisé en huit classes où sont enregistrés les diérents ux nanciers de l'entreprise :

• Comptes de bilan

Classe 1 : Comptes de capitaux propres Classe 2 : Comptes d'immobilisations Classe 3 : Comptes de stocks et en-cours Classe 4 : Comptes de tiers

Classe 5 : Comptes nanciers

• Comptes de résultat

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CHAPITRE 1. ENVIRONNEMENT COMPTABLE

Classe 6 : Comptes de charges Classe 7 : Comptes de produits

• Documents annexe

Classe 8 : Comptes spéciaux

Les classes qui nous intéressent plus particulièrement dans l'environnement des passifs sociaux sont les classes 4 et 5 car la classe 4 concerne les frais liés au personnel et la classe 5 les actifs de couverture qui doivent couvrir les frais des avantages sociaux. La norme impose qu'un plan d'actifs soit mis en place an de compenser les provisions des coûts des avantages du personnel.

1.1.2 US GAAP

Cette seconde norme correspond à la norme comptable en vigueur aux Etats-Unis.

Elle a été développée au début des années 1930, suite à la crise de 1929 d'où ressortait un manque d'informations nancières dans les sociétés. La SEC (Securities and exchange commission) est ainsi créée par la Securities Act de 1933 et la Securities Exchange Act de 1934 ; elle a pour but de fournir à un investisseur potentiel toutes les informations nécessaires an de faire des choix pertinents.

Depuis le krach boursier de 1929, de nombreuses institutions normalisatrices ont vu le jour dans le but de développer les normes. Les plus importantes sont les suivantes :

Le Commitee on Accounting Procedures. Il est établi en 1938 et a créé près d'une cinquantaine de travaux sur les normes comptables. Ces diérents travaux sont publiés sous le nom d'Accounting Research Bulletins.

L'Accounting Principles Board prend la suite du Commitee on Accounting Pro- cedures en 1959. Il établit à son tour de nombreux principes cohérents et des études qui sont publiées sous le nom d'Accounting Research Studies. L'institution cesse son activité en 1971.

Le Financial Accounting Standard Board (FASB) est l'actuel principal nor- malisateur aux Etats-Unis, et ce depuis 1973. Il a comme mission d'établir les nouvelles normes comptables. Les deux autres organes qui l'encadrent sont : le Finan- cial Accounting Standards Advisory Council (FASAC) qui a pour but de conseiller le FASB sur la nature et l'urgence des questions à traiter et la Financial Accounting Foundation (FAF) qui nance les deux premières.

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Les sociétés américaines doivent donc rendre un rapport annuel qui rend compte de l'état nancier de la société. Ce reporting nancier se décompose en six diérentes parties : Statement on Financial Position : Cette première partie correspond à un rapport sur l'état nancier de la société, ou au bilan (Balance Sheet). Son équivalent dans le PCG est la première partie qui comprend les classes 1 à 5.

Statement of Comprehensive Income : C'est l'état nancier global de l'entreprise qui est ici exposé. Cette partie correspond aussi au compte de résultat (équivalent aux classes 6 et 7 du PCG), on parle en anglais du Prot and Loss Statement (P&L).

Statement of Changes in Equity : On rend compte ici de la variation des capitaux propres. Ceci correspond à une partie des comptes 5 du PCG

Statement of cash ows : Cette quatrième partie présente les ux de trésorerie de la société. De même que la partie précédente, celle-ci correspond à une partie de la classe 5 du PCG.

Notes to the Financial Statements : Ce sont ici toutes les annexes et notes qui ont pour but de résumer tous les principes comptables utilisés ainsi qu'une vision plus détaillée des articles concernant le bilan, les ux de trésorerie et le résultat global.

Management Discussion and Analysis : Cette dernière partie se décompose en trois éléments indispensables :

le résultat opérationnel ainsi que les évolutions des ventes et des dépenses les capitaux propres, la trésorerie, et les évolutions de cash-ows

les perspectives générales basées sur les tendances connues.

Cette partie doit obligatoirement gurer dans les rapports annuels des sociétés co- tées.

Enn, la principale diérence que l'on rencontre dans les US GAAP par rapport à certaines autres normes (telles que les French GAAP) réside dans la considération de la juste valeur ( fair value ) dans les audits, alors que dans les autres pays l'audit se doit de renvoyer une image dèle de la société. Cet écart entre la prise en compte d'une image dèle et de la juste valeur est l'écart d'acquisition, aussi appelé goodwill . Concrètement, le goodwill correspond à la diérence entre l'actif net du bilan et sa valeur de marché. Cette diérence est expliquée par des éléments d'actifs qui ne sont pas pris en compte par les normes comptables traditionnelles, mais qui constituent une valeur qui a une incidence sur la valeur marché de la société (e.g. : Capital Humain et Fonds de marché).

Cette norme est aujourd'hui présente dans presque la totalité des pays du fait de l'implantation des entreprises et franchises américaines dans le monde. C'est aussi celle qui se rapproche le plus des normes internationales

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1.1.3 IFRS

Les normes IFRS (International Financial Reporting Standards) sont les normes internationales actuellement en vigueur. Ces normes ont été mises en place et adoptées en 2005, elles comprennent toutes les normes internationales (IAS - International Accounting Standards) qui avaient été mises en place depuis 1973. Le but de l'élaboration de ces nouvelles normes est d'harmoniser la présentation des états nanciers et y apporter plus de clarté an que les investisseurs soient parfaitement informés de la situation de la société.

L'établissement des normes IFRS est déni par un comité international appelé l'IASB (International Accounting Strandards Board) dont les missions depuis sa création en 2001 sont : d'élaborer et publier les normes comptables internationales pour la pré- sentation des états nanciers, de promouvoir leur utilisation au niveau mondial et de publier des interprétations qui sont développées par l'International Financial Reporting Standards Interpretations Committee. Il est aujourd'hui dirigé par la Fondation IFRS.

Les rapports IFRS sont présentés sous un schéma très proche des rapports nanciers en US GAAP :

L'état de situation nancière L'état du résultat global

L'état de variation des capitaux propres

Le tableau des ux nanciers, il est optionnel en France Les notes et annexes

L'investisseur doit alors avoir accès aux informations présentes dans les diérentes parties du rapport. Le rapport nancier IFRS se doit donc d'être :

Intelligible : La simple lecture des informations comptables doit permettre à un investisseur de se faire une opinion sur l'activité de la société.

Pertinent : L'investisseur doit être en mesure de prendre des décisions économiques quant à l'avenir de l'entreprise en se basant sur les informations du rapport

Comparable : Le rapport doit rendre compte des choix des méthodes appliquées et leur permanence. Il doit aussi faire mention des chires de l'exercice comptable précédent.

Fiable : L'investisseur peut utiliser l'information sans risque d'erreur. La abilité repose sur cinq principes fondamentaux :

neutralité prudence exhaustivité

prééminence du fond sur la forme

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respect de l'image dèle

L'application des normes IFRS s'est faite le 1er Janvier 2005 dans de nombreux pays de la zone Euro, mais cependant il existe encore des diérences d'applications entre certains pays. Ce règlement s'applique aux sociétés qui sont régies par le droit d'un Etat membre de la zone Euro et qui aurait émis des titres admis aux négociations sur le marché réglementé d'un Etat membre. Dans le cas de la France, les sociétés cotées sont obligées d'appliquer ces normes, tandis que les sociétés non cotées ont le choix de passer sous IFRS ou rester sous les normes françaises. La carte ci-dessous montre quels sont les pays où les normes IFRS sont appliquées dans le monde :

Figure 1.1 Application des normes IFRS dans le monde

Les normes IFRS sont divisées en de nombreuses catégories qui permettent une lecture claire et rapide. Par exemple : IFRS 4 correspond à tout ce qui concerne les contrats

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d'assurance et IFRS 7 traite des dossiers sur les instruments nanciers . Dans notre cas nous nous intéresserons plus particulièrement à la Norme IFRS 2 qui concerne les paiements fondés sur des actions et en particulier IAS 19 R, encadrant les passifs sociaux, que nous verrons dans la section suivante.

IFRS 2

La norme IFRS 2 est apparue peu après la mise en place des normes IFRS, le 4 Février 2005 au sein de l'Union Européenne. Les diérents amendements de la norme ont aussi été adoptés, sauf le dernier en date, publiés en Juin 2016 concernant les amendements limités à IFRS 2 Classication et évaluation des transactions dont le paiement est fondé sur des actions .

Focus-IFRS résume parfaitement la fonction principale de la norme IFRS 2 : L'objectif d'IFRS 2 est de spécier l'information nancière à présenter par une entité qui entreprend une transaction dont le paiement est fondé sur des actions. En particulier, elle impose à une entité de reéter dans son résultat et dans sa situation nancière les eets des transactions dont le paiement est fondé sur des actions, y compris les charges liées à des transactions attribuant aux membres du personnel des options sur actions.

En bref, IFRS 2 traite toutes les transactions : avec les salariés ou assimilés de l'entité,

avec les fournisseurs de biens et services de l'entité.

IFRS 2 impose la reconnaissance de toutes les transactions dont le paiement est basé sur le cours d'un instrument de capitaux propres (coté en bourse ou non) de l'entité (ou parente). En particulier, les plans suivants entrent dans le périmètre d'IFRS2 : Ac- tions gratuites (ou RSU, phantom free shares . . . ), Stock-options (ou SARs,. . .), BSA (ou BSCPE. . . ), Bonus diérés indexés sur actions . . .

IFRS 2 comprend trois grands types de transactions :

• Dénouement de la transaction en instruments de capitaux propres,

• Dénouement en cash (ex. engagement de liquidité d'une société non cotée),

• Dénouement en cash ou en instruments de capitaux propres à la main de l'entité ou à la main du fournisseur de biens et services.

Les biens et services rendus à l'entreprise doivent être évalués à la juste valeur des biens et services reçus à la date à laquelle la société obtient les biens, sauf si la juste valeur

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ne peut pas être déterminée de façon able. IFRS 2 impose de reconnaître en compte de résultat le coût des avantages octroyés au fur et à mesure que les services qui y ont donné droit sont eectués ( vesting period ou période d'acquisition)

IFRS 2 n'est pas la seule norme qui s'intéresse aux passifs sociaux, certaines transactions s'inscrivent en eet sous le champ d'IAS 19 :

• Abondement de l'employeur (dans le cadre d'un plan d'actionnariat salarié)

• Avantage au personnel déni par un montant non lié au cours de l'action de l'entreprise ou du Groupe

1.2 IAS 19 R

La norme IAS 19 (International Accounting Standard 19 ) a été créée par l'International Accounting Standards Committee (IASC) en 1983 et s'intéressait dans un premier temps aux retraites, avant de prendre en compte dès 1998 dans un second temps les autres avantages du personnel. La norme a subi en 2013 d'importantes réformes, ce qui fait qu'elle est désignée aujourd'hui par l'acronyme IAS 19 R, R signiant Révisée . Cette norme est aujourd'hui appliquée dans tous les pays ayant déjà adopté les normes IFRS.

La norme IAS 19 R s'applique à toutes les transactions avec le personnel sauf celles auxquelles est appliquée la norme IFRS 2. IAS 19 R est divisée en quatre familles d'avantages au personnel :

Avantages à court terme : ce type d'avantages accordés au personnel correspond à ceux qui sont dus intégralement dans les 12 mois suivant la n de la période pendant laquelle les membres du personnel ont rendu les services correspondants.

Ils comprennent d'une part le salaire, les congés payés, les indemnités ou encore les primes, ceci correspond à des avantages monétaires ; les avantages non monétaires d'autre part sont par exemple l'assistance médicale, la voiture ou le logement.

L'entreprise n'a besoin d'aucune hypothèse actuarielle ou méthode de projection pour mesurer cette obligation qui doit obligatoirement être comptabilisée.

Autres avantages à long-terme : ils correspondent aux avantages qui ne sont pas dus intégralement dans les 12 mois suivant la n de la période pendant laquelle les membres du personnel ont rendu les services correspondants.

Ils comprennent les médailles du travail, les primes d'ancienneté, les congés sabba- tiques ou encore les primes payables au-delà de 12 mois.

La comptabilisation de ces avantages passe par une reconnaissance d'une charge actuarielle. L'entité doit donc réaliser des calculs actuariels avec des hypothèses et

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méthodes de projections an de dénir l'obligation ainsi que les charges annuelles.

Avantages postérieurs à l'emploi : ces avantages concernent ceux perçus par l'em- ployé après cessation de son activité. Il existe deux types de prestations :

• Régimes à cotisations dénies : ce type de régime désigne un système par lequel une entité devra verser des cotisations à une entité distincte sans être obligée ni juridiquement, ni implicitement de verser des cotisations supplémentaires. En revanche l'employeur est tenu par une obligation de moyens, c'est à dire qu'il se doit de nancer ses régimes. Il se caractérise par le versement de cotisations de l'employeur sur des comptes individuels tenus par des tiers.

L'un des régimes les plus connus est la retraite dénie par l'article 83, mais cela concerne aussi le PERCO.

Ce régime est comptabilisé de la même manière que les avantages à court terme et ne nécessite donc pas de calculs actuariels.

• Régimes à prestations dénies : ce type de régime désigne les autres régimes postérieurs à l'emploi dont la prestation a été convenue à l'avance à l'aide d'une formule. Dans ces régimes, l'employeur a une obligation de résultat envers l'em- ployé qui a souscrit un tel contrat.

Les régimes les plus connus sont les Indemnités de Départ en Retraite (IDR), les frais de santé pour les employés retraités et les régimes de retraite Article 39.La comptabilisation de ces avantages passe par une reconnaissance d'une charge actuarielle. L'entité doit donc réaliser des calculs actuariels avec des hypothèses et méthodes de projections an de dénir l'obligation ainsi que les charges annuelles.

Indemnités de n de contrat de travail : ce sont des avantages qui sont versés sous forme d'indemnités et qui font suite, soit au départ volontaire d'un employé en échange de ces indemnités, soit à la résiliation du contrat de travail d'un membre du personnel par l'entreprise avant l'âge normal de départ en retraite.

On comprend ici par exemple les indemnités de licenciement et les plans de restructuration.

Cette dernière catégorie est comptabilisée sous forme de charge (ou revenu), durant l'année de survenance, par le biais d'une provision de restructuration.

L'application de la norme IAS 19 n'était au début pas obligatoire, simplement for- tement conseillée, mais depuis l'application des normes IFRS, les sociétés sont obligées de comptabiliser les passifs sociaux. Cette obligation a incité de nombreuses entreprises à revoir leurs nancements d'avantages au personnel ainsi que leurs méthodes d'évaluations.

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Le caractère actuariel de ces évaluations contraint l'entreprise à faire appel à des entités de conseil pour ses évaluations de passifs sociaux.

Ainsi, pour faire les calculs de provisions sous IAS 19, nous avons besoin d'un certain nombre d'hypothèses. Elles sont classées en d'autres catégories comme suit (on ne présente ici que les plus importantes) :

• Hypothèses démographiques : Tables de mortalité

Taux de turnover

Age de départ en retraite Taux de charges sociales

Taux d'augmentation de salaire Taux d'indexation des rentes . . .

• Hypothèses nancières : Taux d'actualisation Taux d'ination

Taux de rendement attendu des actifs de couverture

L'hypothèse principale pour nous est le taux d'actualisation qui est le sujet principal de ce mémoire. Comme nous l'avons vu précédemment, certains avantages sociaux sont projetés dans le temps et nous donnent donc des coûts futurs des obligations. Le taux d'actualisation trouve son utilité dans la valeur actuelle de ces coûts futurs, c'est un élément essentiel des évaluations actuarielles.

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Chapitre 2

But de l'étude

2.1 Pourquoi une nouvelle approche ?

L'approche traditionnelle est l'approche commune qui était utilisée par toutes les entreprises et qui sera explicitée par la suite, utilise un unique taux équivalent d'actualisation dans la détermination d'autres éléments de coûts en plus de la dette actuarielle, tels que le service cost et du net interest income (comprenant les coûts d'intérêt et des revenus d'intérêts).

Seulement, au regard des ux de versements des diérents coûts, on peut observer que la duration est généralement diérente d'un coût à l'autre. Une approche plus rigoureuse serait donc de déterminer des taux diérents pour chaque coût, c'est ce qu'on appelle la méthode granulaire. A ce sujet, de nombreuses entreprises françaises se demandent s'il ne serait pas plus juste d'établir de tels taux an d'optimiser leurs coûts.

Il faut aussi remarquer que le contexte économique actuel de taux bas a augmenté considérablement les DBO, ce qui pousse les entreprises à se tourner vers de nouvelles méthodes qui permettraient d'optimiser nancièrement leurs obligations. L'approche granulaire apparaît alors comme une possibilité d'optimisation de la charge actuarielle.

Les développements récents sur les taux de rendement des obligations des sociétés ont lancé de nombreuses entreprises dans l'analyse des approches granulaires alternatives, déjà mises en oeuvre par certaines entreprises américaines sous USGAAP, notamment pour la reconnaissance des diérentes composantes des coûts de plans de retraite.

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CHAPITRE 2. BUT DE L'ÉTUDE

2.2 Ce que propose ce mémoire

Le sujet principal de ce mémoire est donc l'étude du taux d'actualisation dans l'environnement des évaluations de passifs sociaux. Nous allons nous concentrer plus particuliè- rement sur l'approche granulaire qui est un sujet récent et qui commence de plus en plus à s'implanter dans les évaluations actuarielles des entreprises. Plusieurs problématiques s'orent à nous.

Il s'agira tout d'abord de savoir comment nous déterminons une courbe de taux à partir de données de marché. Notre base de données utilisée an de déterminer ces taux est l'univers iBoxx corporates AA que nous obtenons sur Markit. Nous aurons aussi besoin d'autres taux de références avec lesquels nous ferons une interpolation an de déterminer les taux pour des maturités élevées : ces taux sont les AAA Euro Bonds et les OAT France.

Nous verrons par la suite quelles sont les diérentes manières de décomposer le taux d'actualisation. Trois approches diérentes s'orent à nous :

l'approche du taux spot, l'approche forward, l'approche vectorielle.

La question principale sera d'une part, de se demander quelle est l'approche granulaire la plus optimale, d'autre part savoir quelles sont les approches qu'il faut privilégier. A l'aide de DBO cash-ows nous regarderons donc quels résultats nous obtenons concernant les diérents coûts liés aux plans à prestation dénie et les critiquerons.

Enn, nous étudierons cette nouvelle approche avec des cas pratiques : d'abord avec le calcul d'une dette pour Indemnités de départ en Retraite (ou Indemnité de Fin de Carrière), puis dans le cas d'un régime de retraite à prestations dénies. Nous verrons aussi quelles sont les limitations de ces méthodes et quelles sont les possibilités actuelles de son utilisation.

L'outil qui a été créé pour ce mémoire a pour but d'être facile d'utilisation, utilisable dans n'importe quelle situation, que les résultats donnés soient présentables au client et qu'il soit accessible à tous les consultants. Nous allons donc aussi critiquer les méthodes utilisées en prenant en compte ce point de vue.

(23)

Deuxième partie

Méthodes de détermination et modélisation des courbes de taux

23

(24)

Chapitre 1

Introduction aux taux

Dans cette première partie nous allons présenter les diérents types de taux qu'il est possible de rencontrer. Cette introduction aux taux a pour but de se familiariser avec les diérents taux qui seront étudiés par la suite.

Dans un premier temps, les taux de marché qui seront présentés, sont pour nous les plus habituels et ceux que nous rencontrons lorsque nous faisons un prêt, un achat d'obligation ou de bon du Trésor.

Dans un second temps, nous nous intéresserons plus particulièrement au taux d'actualisation, son but et son fonctionnement. C'est le sujet principal de ce mémoire, c'est pourquoi une importance particulière lui est consacrée.

1.1 Les taux de marché

Ces taux concernent les taux habituellement appelés taux d'intérêts que nous retrouvons couramment sur les marchés nanciers. Ces taux sont nombreux et dépendent de diérents paramètres sur lesquels ils sont déterminés tels que leur mode de calcul, la prise en compte de l'ination, la durée à laquelle ils sont aectés ou encore le type de marché auquel ils sont appliqués.

1.1.1 Taux simple et taux composé

Ces trois types de taux sont des notions essentielles dans les mathématiques nancières.

Le premier taux est le taux d'intérêt simple, sa particularité est que sur la période où il est exercé, seul le capital est source de produit nancier. Le résultat est donné à la n

(25)

CHAPITRE 1. INTRODUCTION AUX TAUX

d'exercice du placement nancier et se traduit par une somme arithmétique des résultats individuels.

A l'inverse, l'intérêt composé est généré par le capital et les intérêts versés précédem- ment. En notant ile taux d'intérêt simple annuel eti_m le taux d'intérêt composé sur une période de _m¹ année, alors on a :

i_m = ^m√ 1 +i

1.1.2 Taux nominal et taux réel

Ce qui diérencie ces diérents types de taux est la considération ou non de l'eet de l'ination sur la durée d'exercice. En eet, le taux nominal est le taux d'intérêt qui est présenté sur un contrat de prêt, c'est celui qui sera eectivement payé par l'emprunteur au prêteur.

Cependant, an d'avoir une vision plus réaliste de ce que va vraiment coûter le prêt, il faut raisonner en terme de taux réel, c'est-à-dire en retirant l'eet de l'ination.

En notant i le taux nominal, i_rel le taux réel et π le taux d'ination. La relation qui lie le taux réel et le taux nominal est la suivante :

i_réel = (1−i) (1−π) −1

Une approximation de cette équation, appelée Relation de Fisher , permet de mieux se rendre compte que le taux réel est le taux nominal privé de l'ination :

i_réel=i−π

1.1.3 Taux court, taux moyen et taux long

Ces trois échelles de taux se diérencient simplement par la durée sur laquelle ils sont exercés. Le taux appliqué ne sera en eet pas le même suivant qu'on emprunte à 3 mois, 3 ans ou 30 ans. Ainsi, ils sont classés de la façon suivante :

Taux court : ce taux correspond à une durée d'emprunt inférieure à 2 ans, par exemple les taux moyen de marché monétaire ou les taux des bons du trésor.

Taux moyen : ce type de taux est exercé sur les emprunts dont la durée est comprise entre 2 ans et 7 ans. Le principal exemple est le taux moyen d'emprunt d'Etat (TME).

Taux long : cette dernière catégorie prend en compte toutes les opérations nancières d'une durée supérieure à 7 ans, telles que les taux du marché obligataire (TMO).

Fabian GUILLEMIN 25

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1.1.4 Taux zéro-coupon

Comme son nom l'indique, le taux zéro-coupon correspond au taux d'intérêt exercé sur un investissement qui ne rapportera aucun détachement de coupon sur la période de l'investissement. Ce taux est donc déterminé sur la base de deux ux :

Le ux de départ (négatif) qui correspond au paiement du nominal.

Le ux nal (positif) qui correspond au retour sur l'investissement, c'est-à-dire le remboursement du nominal avec les intérêts qui lui sont dus.

1.1.5 Taux forward

Le taux forward correspond au taux d'emprunt d'une durée d qui aura lieu dans le futur. En notant t la date à laquelle l'emprunt commencera, le taux forward s'écrit alors f(t, t+d).

Supposons qu'à la date d'aujourd'hui (t = 0), on a en notre possession les taux zéro- coupon à t années, R(0,t), et à t+d années, R(0, t+d). Alors on aura le taux forward qui sera déni de la façon suivante :

f(t, t+d) = ((1 +R(0, t+d)^t+d

(1 +R(0, t)^t )^1/d−1

1.1.6 Taux actuariel

Le taux actuariel correspond au taux permettant de donner le prix d'une série future de cash-ows qui seront versés. L'exemple le plus commun est le marché des obligations dont des coupons sont émis régulièrement durant la durée d'investissement.

En prenant une série de taux (T x_i)0≤i≤n et en considérant une série de ux futurs (Fi)0≤i≤n, le taux actuariel ou taux équivalent, noté T xeq sera solution de l'équation :

n

X

i=0

F i

(1 +T x_eq)ⁱ =

n

X

i=0

F i (1 +T x_i)ⁱ

Le concept de taux actuariel est très proche de l'actualisation.

Les taux qui ont été présentés dans cette première partie sont des notions importantes qui seront utilisées tout au long de ce mémoire. Même si par la suite ils ne sont pas ex- plicitement nommés, leurs propriétés ainsi que leur approche seront détaillées en fonction des besoins pour l'avancement de l'étude.

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1.2 Le taux d'actualisation

L'actualisation est un concept diérent des taux vus ci-dessus au sens où ces taux ne sont pas appliqués sur les marchés, mais seulement dans le cadre d'évaluations actuarielles de passifs.

Cependant une étude des taux de marché est nécessaire, car comme le précise le paragraphe 80 de la norme IAS 19, le taux d'actualisation doit bien être cohérent avec le marché :

" Financial assumptions shall be based on market expectations, at the end of the reporting period, for the period over which the obligations are to be settled."

L'actualisation est un principe mathématique qui permet d'évaluer à la date d'aujourd'hui des ux qui seront versés dans le futur. L'actualisation consiste à se dire que plus une prestation aura lieu un futur lointain, moins de chance elle aura d'être versée.

Ainsi, l'actualisation est le mécanisme qui va nous permettre de déprécier le futur an de pouvoir comparer plusieurs valeurs versées à des dates diérentes.

La dépréciation du taux d'actualisation est l'eet associé au concept économique d'aversion au risque , auquel on peut associer l'expression :

" Un tiens, vaut mieux que deux tu l'auras."

Mathématiquement on écrira l'actualisation sous cette forme, en considérant un ux F qui sera versé à la date T et un taux d'actualisation i, alors àt= 0 on aura :

V A(F) = F (1 +i)^T

Sur un plan nancier l'actualisation représente le contrebalancement de l'eet de l'ination sur la valeur de la monnaie dans le futur. Il représente le coût du temps appliqué à un ux futur, il fonctionne dans le sens inverse aux taux d'intérêts qui ont été exposés dans la section précédente.

En pratique, l'hypothèse d'actualisation est celle sur laquelle les entreprises vont prêter le plus d'attention car son impact est fort dans les évaluations actuarielles. C'est pourquoi on donne beaucoup d'importance aux méthodes qui permettent de déterminer les taux

Fabian GUILLEMIN 27

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les plus justes, mais aussi les données du marché qui nous donnent les informations sur lesquelles nous pouvons nous baser pour calibrer notre courbe de taux.

Le prochain chapitre traite justement des données marché prises en compte par De- loitte an de déterminer son hypothèse d'actualisation.

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Chapitre 2

Choix des données

Avant de commencer la modélisation de la courbe de taux, nous avons besoin de dénir les données que nous allons utiliser. En eet, il est nécessaire de nous référer à des données établies et validées par des marchés an de construire des courbes de taux qui correspondent aux exigences d'IAS 19.

Pour modéliser la courbe de taux, nous utiliserons dans un premier temps un univers de taux déni par les marchés : l'iBoxx Corporates Euro AA. Dans un second temps nous utiliserons aussi deux autres données de références : les AAA Euro Bonds et les OAT France. Ces deux dernières références ayant la même utilité dans la modélisation, nous les comparerons an de déterminer celle qui convient le mieux.

2.1 iBoxx Euro Corporates AA

L'univers iBoxx Euro Corporates AA est un indice comportant les entreprises les plus cotées qui émettent des obligations en Euro. L'iBoxx est l'indice de référence pour la grande majorité des entreprises souhaitant établir leur propre taux d'actualisation.

Dans notre cas, nous prenons l'iBoxx en Euro car la majorité des clients de Deloitte France évolue dans le périmètre européen ; les évaluations sont donc réalisées en Euro et nécessitent donc des hypothèses nancières basées sur la même monnaie.

Les données iBoxx que nous utilisons sont collectées, pour la grande majorité, sur le site Markit qui est spécialisé dans les données économiques et nancières. Les données sont extraites toutes les ns de mois. L'indice que nous utilisons peut être retrouvé sur Markit avec le ticker suivant : DE0006301161. Les données fournies par Markit nous donnent les informations suivantes :

Nom et code de la société émettrice de l'obligation : ces informations nous 29

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CHAPITRE 2. CHOIX DES DONNÉES

permettent d'identier plus facilement les obligations et d'éviter qu'une obligation soit comptée plusieurs fois

Coupon annuel : il correspond au taux d'intérêt que verse l'obligation à son détenteur tous les ans. La donnée est exprimée en pourcentage de nominal.

Date d'émission : permet de savoir quand a été émise l'obligation et quand sont versés les coupons.

Les premières, secondes et pénultièmes dates de versement de coupons : cela nous donne une information supplémentaire sur les coupons. Dans la totalité des cas, les premiers coupons sont versés au premier anniversaire de l'obligation, puis tous les ans à la date anniversaire.

La date de maturité : elle nous donne l'échéance de l'obligation, c'est la date qui nous sert dans la suite de l'étude.

D'autres éléments sur ces données nous sont fournis, mais ils ne nous servent pas dans notre étude, notamment l'indication du secteur qui précise que nous sommes bien avec les Corporates Euro AA.

Aux données fournies par Markit manque une donnée principale, il s'agit du prix de l'obligation à la date d'extraction car Markit ne nous donne pas ce paramètre. Pour com- pléter notre série de données, nous consultons le site de Merrill Lynch qui permet d'avoir accès au prix de l'obligation. Merrill Lynch est une banque d'investissement américaine créée en 1848 et rachetée par la Bank of America en 2008 qui fournit de nombreux services nanciers. Nous pouvons consulter les prix d'émission des obligations émises par les sociétés, moyennant un abonnement payant auprès de la Banque.

Ainsi, nous rajoutons à la suite des données de Markit les prix des obligations récupérés sur le site de Merrill Lynch. Toutes ces données sont enregistrées dans un chier Excel que tous les consultants peuvent consulter. Ce chier historique est celui que nous allons utiliser pour la suite du mémoire car il sera le chier de référence pour toutes nos données ; ce dernier est mis à jour tous les mois.

Par la suite, nous aurons besoin des taux de rendement des obligations de l'univers iBoxx. Comme vu précédemment, nous prenons les données dont nous avons besoin, elles sont notées ainsi :

P x : le prix de l'obligation, donné par Merrill Lynch r : le taux du coupon

τ : le nombre d'années résiduelles en prenant le temps entre la date d'évaluation et la date de maturité.

(31)

T : le nombre d'années total d'émission de l'obligation

f : la fréquence de versement du coupon. En général, f=1car le versement du coupon est annuel.

Pour chaque obligation, nous calculons le taux actuariel dont l'expression est écrite ainsi :

Y ield= (1 + ^r_f)−(₁₀₀^{P x} + (T ×^r_f))

P x

100 + (T × ^r_f) × f∗360

τ (2.1)

Les rendements obligataires ainsi calculés, nous pouvons désormais commencer l'estimation de la courbe de rendement pour l'univers iBoxx. Pour donner une idée de la représentation de l'univers iBoxx, le graphique suivant représente toutes ces données à n décembre 2016 :

Figure 2.1 Dispersion des rendements de l'univers iBoxx

Une courbe de rendement est une représentation de la relation entre les taux de ré- munération du marché et le temps restant jusqu'à l'échéance des obligations. Une courbe de rendement peut également être décrite comme la structure à terme des taux d'inté- rêt. Dans le graphique ci-dessus, on peut remarquer que le nuage de points représentant l'Univers iBoxx semble suivre une courbe. C'est cette courbe que nous allons essayer de déterminer par la suite.

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2.2 AAA Euro Bonds

Cette seconde base est la première des deux données de taux de référence permettant l'interpolation pour les maturités élevées. Elle est donnée par la Banque Centrale Euro- péenne (BCE ou ECB en anglais) et basée sur les obligations gouvernementales centrales ayant séparément un rating AAA ainsi que les obligations de la zone Euro du gouverne- ment central. La BCE fournit uniquement les données de la zone Euro dont les sources sont ouvertes au marché.

La BCE est la principale institution nancière de la zone Euro, elle est l'émettrice de l'Euro et gère toutes les directives concernant sa mise en oeuvre et la politique monétaire à adopter. Il convient donc de la considérer comme l'une des principales sources quant aux données nancières à prendre en compte, plus particulièrement pour nous les données qui nous seront utiles pour établir la courbe de taux.

L'extraction de ces taux est gratuite et se fait directement sur le site de la BCE.

Les données sont mises à jour tous les jours ouvrables et l'historique des taux publiés précédemment est aussi disponible. Les maturités de taux disponibles sont 3, 6 et 9 puis tous les ans de 1 à 30 ans. Dans notre cas nous prenons les taux anniversaires aux dates qui nous intéressent, en l'occurrence les dates d'extraction de l'iBoxx dans Markit. Les données sont ajoutées tous les mois dans l'historique avec les univers iBoxx.

Les taux établis par la BCE ayant une note très élevée, on peut considérer ces taux comme étant des taux sans risque, d'autant plus que les obligations sont établies par des Etats.

Cependant, ces données ont une limitation. En eet, la prise en compte de tous les pays de la zone Euro inue sur le résultat nal. Tous les pays sont pris en compte, ce qui ne convient pas forcément à toutes les entreprises, en particulier celles dont la majeure partie de l'activité se trouve en France. C'est pourquoi nous nous intéressons aussi à une autre base de taux, plus adaptée au périmètre français, les OAT France.

2.3 OAT France

Les OAT (Obligations Assimilables du Trésor) français sont les bons du Trésor émis par l'Etat français. Nous prenons tous les bons en compte an de réaliser une régression, cependant ce sont les OAT qui nous intéressent le plus car ce sont les taux pour des bons

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à long terme (supérieurs à 7 ans). Les autres indices de taux utilisés pour le début de la courbe sont : les BTAN (Bons du Trésor à intérêts Annuels Normalisés) qui sont établis pour des maturités comprises entre 2 et 5 ans et les BTF (Bons du Trésor à taux Fixe), titres à court terme dont la maturité n'excède pas un an.

Nous récupérons ces taux sur le site de Bloomberg auprès duquel un abonnement payant est requis an de récupérer les données. Tout comme Merrill Lynch, Bloomberg est une banque d'investissement américaine très réputée, avec le premier site mondial d'informations nancières. Nous récupérons les taux fournis dont nous avons besoin dans l'étude avec le ticker C916 , les taux sont référencés sous le nom GVT Strips France , GVT précisant le caractère gouvernemental de ces données.

Les données que nous récupérons sont les taux pour des maturités de 1 à 5 ans, de 7 à 10 ans et pour 15, 20, 25 et 30 ans. Ce sont les seules données anniversaires qui sont fournies par le site Bloomberg.

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Chapitre 3

Méthodes stochastiques

Cette partie présente diérentes modélisations stochastiques qui permettent d'établir une courbe de taux court. Nous verrons en particulier trois modèles diérents et commen- terons leur qualité de résultats ainsi que leur adaptation à notre objectif nal qui est de créer un outil utilisable par tous et rapide. Ces trois modèles sont : le modèle de Vasicek, le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) et le modèle de Hull & White.

Il existe de nombreux modèles à une variable, tous basés sur une structure évoluant avec le taux court, car il est supposé sans risque. Ceci est en partie dû au fait que les diérentes théories économiques préconisent de déterminer la structure des taux courts avant d'étudier celle des taux longs. Deux familles de modèles de taux courts existent : les modèles d'équilibre, dont font partie les modèles de Vasicek et CIR et les modèles sans opportunité d'arbitrage, dont le modèle d'Hull & White.

3.1 Le modèle de Vasicek

3.1.1 Dénition du modèle

Ce modèle est l'un des premiers (1977), c'est le plus commun des modèles de structure des taux d'intérêts et de nombreux autres modèles trouvent leurs bases dans celui de Vasicek. Sa compréhension est donc indispensable dans la compréhension des autres modèles, c'est pourquoi il est présenté dans ce mémoire.

Le modèle de Vasicek est un modèle de taux à un facteur car il décrit des mouvements de taux par rapport à une seule source de risque de marché. On se place dans un espace de probabilité(Ω,F,Q)muni d'une ltration (F_t)0≤t≤T. Alors, sous la probabilité risque- neutre Q, il modélise le taux à court terme r_t selon le processus d'Ornstein Uhlenbeck

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CHAPITRE 3. MÉTHODES STOCHASTIQUES

explicité ci-dessous :

dr_t =k[θ−r_t]dt+σdW_t ; k >0, θ >0, σ >0 r(0) =r₀ Q−p.s.

Avec :

k, la vitesse de retour à la moyenne, qui représente la marge de variation du taux court dans l'intervalle [t,t+1].

θ, la moyenne du taux court à long terme σ, la volatilité

W un processus de Wiener

La solution de l'équation vue précédemment s'écrit de la manière suivante : r(t) =r(s)e^−k(t−s)+θ(1−e^−k(t−s)) +σ

Z t s

e^−k(t−u)dW_u

Ce résultat explicite est le principal avantage du modèle de Vasicek, il se retrouve en appliquant le lemme d'Itô à Y_t =r(t)e^kt. Cette démonstration est explicitée en annexe.

On peut également déterminer l'espérance et la variance conditionnelles du modèle.

Avect > s :

E[r_t|F_s] =r_se^−k(t−s)+θ(1−e^−k(t−s)) V ar[r_t|F_s] = σ²

2k(1−e^−2k(t−s))

Cette modélisation est adaptée à la modélisation de taux d'intérêts car elle prend en compte le retour à la moyenne. En eet, contrairement au prix des actions, les taux d'intérêts ne peuvent pas croître indéniment car des niveaux trop hauts risqueraient de détruire l'économie et seraient ainsi automatiquement abaissés. C'est pourquoi il est dit qu'ils tendent vers une moyenne à long terme (e.g. : moyenne de taux d'ination à long terme de 2,00 % réclamé par la BCE). La dynamique peut ainsi s'expliquer très simplement selon le graphique ci-dessous :

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Figure 3.1 Illustration du retour à la moyenne dans le modèle de Vasicek

Ce modèle possède en revanche un inconvénient non négligeable en ce qui concerne la possibilité d'avoir des taux négatifs. En eet, (r_t)0≤t≤T est un processus gaussien, ainsi le taux instantané r(t)peut être négatif avec une probabilité non nulle.

Cependant, le contexte actuel dément ce qui était précédemment un inconvénient majeur. En eet, les taux à court terme (1 - 2 ans) observés pendant l'année 2016 se trouvent être négatifs dans la majorité des observations. Ce modèle reste donc pour nous acceptable et peut être utilisé dans l'environnement de taux actuel en vue de notre étude des taux d'actualisation.

Ce qui nous intéresse maintenant est le prix des obligations zéro-coupon que nous obtenons à l'aide du modèle de Vasicek. C'est ce prix qui nous donne la courbe nale de rendement que nous pourrons utiliser par la suite an d'extraire le taux zéro-coupon.

3.1.2 Prix des obligations zéro-coupon

Le prix des obligations zéro-coupon à la date t de maturitéT donné par le modèle de Vasicek est le suivant :

P(t, T) = A(t, T)e−B(t,T)r(t)

Avec :

A(t, T) =exp[(θ−_2k^σ²2)(B(t, T)−(T −t))− ^σ_4k²B(t, T)²] B(t, T) = ¹_k(1−e^−k(T^−t))

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Ainsi, on en extrait le taux zéro-coupon selon le système d'équations ci-dessous : ( R(t, T) = R_∞+ (r(t)−R_∞)^1−e_k(T^−k(T−t)_−t) +_4k3^σ(T²−t)(1−e^−k(T^−t))²

R∞ =θ− _2k^σ²2

Avec : R∞= lim

T→+∞R(t, T), le taux zéro-coupon long-terme.

La courbe de taux zéro-coupon vue ci-dessus n'est pas souple et ne peut ainsi pas reproduire toutes les formes de courbes que nous pouvons obtenir sur le marché. Aussi, son caractère endogène qui fait que la courbe est entièrement dénie par le modèle ne permet pas de dénir les données de marché comme entrée du modèle.

Le second modèle d'équilibre tentant de répondre aux diérentes limites du modèle de Vasicek est le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR).

3.2 Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

3.2.1 Dénition du modèle

Ce modèle a été présenté une dizaine d'années après celui de Vasicek, en 1985. Il se place dans le même espace probabilisé (Ω,F,P), muni de la ltration (F_t)_0≤t≤T. Alors, sous la probabilité risque-neutreQ, le processus suivi par le taux r_t est le suivant :

drt =k(θ−rt)dt+σ√

rtdWt ; k >0, θ >0, σ >0 Avec :

θ, la moyenne du taux court à long terme σ, la volatilité

W un processus de Wiener

Les constantes k, θ et sigma sont toutes les trois strictement positives et vérient : σ² = 2kθ

Cette dernière équation permet d'assurer la stricte positivité des taux du modèle.

Aussi, cette condition est confortée par le fait que l'écart-type du modèle CIR est pro-

Fabian GUILLEMIN 37

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portionnel à la racine carrée du taux court, ce qui implique donc que le taux court ne peut pas être négatif. C'est un avantage que cette modélisation présente par rapport au Modèle de Vasicek.

Tout comme le modèle de Vasicek, le terme endtcorrespond au retour à la moyenne du modèle CIR, en revanche, contrairement au précédent, il n'existe pas de solution explicite au processus. On peut cependant expliciter les expressions de l'espérance conditionnelle et de la variance conditionnelle. Avec t > s :

E[r_t|F_s] =r_se^−k(t−s)+θ(1−e^−k(t−s)) V ar[r_t|F_s] =r_sσ²

2k(e^−k(t−s)e^−2k(t−s)) +θσ²

2k(1e^−k(t−s))²

Le taux court r(t), déni selon le modèle CIR, suit une loi du χ², il perd donc le caractère gaussien présent dans le modèle de Vasicek qui permettait d'obtenir un prix et un taux zéro-coupon sans trop de dicultés.

3.2.2 Prix des obligations zéro-coupon

La détermination du prix des obligations zéro-coupon avec le modèle CIR est complexe et se détermine par résolution de l'équation aux dérivées partielles d'évaluation du modèle.

Cox et Al. ont expliqué dans leur ouvrage de 1985, que grâce aux informations situées ci-dessus, il était possible d'évaluer des produits dérivés sur les obligations zéro-coupon.

Ils mentionnent en particulier le prix à la date t d'une option d'achat au prix K et à la date T > t, d'une obligation zéro-coupon de maturité S > T notée : CIR(t, K, T, S). Voici son expression :

CIR(t, K, T, S) =P(r(t), t, S)Φ_χ²(2ρ[φ+ψ+B(T, S)];4ak

σ² , 2φ²ρe^θ(T^−t) φ+ψ+B(T, S))

−KP(r(t), t, T)Φ_χ²(2ρ[φ+ψ];4ak

θ² ,2φ²ρe^θ(T^−t) φ+ψ ) Avec :

θ =√

a²+ 2σ² φ= _σ₂_(eθ(T−t)^2θ −1)

ψ = ^a+θ_σ2

ρ= _B(t,S)¹ [ln(^A(t,S)_K )]

et où Φ_χ² est la fonction de répartition de la loi du χ² décentrée.

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3.3 Le Modèle de Hull & White

3.3.1 Dénition du modèle

Ce modèle a été présenté en 1990, il est considéré comme étant une extension du modèle de Vasicek. En eet, l'expression de son processus est à peu près similaire, la diérence est que le paramètre θ du modèle de Vasicek n'est plus constant mais dépend du temps. On se place dans un espace de probabilité (Ω,F,Q) muni d'une ltration (Ft)0≤t≤T. Alors, sous la probabilité risque-neutreQ, il modélise le taux à court terme r_tselon le processus explicité ci-dessous :

dr_t=k[θ(t)−r_t]dt+σdW_t ; k >0etσ >0 Avec :

σ, la volatilité

θ une fonction positive décrivant la moyenne de taux court à long terme W_t un processus de Wiener

Une seconde manière d'écrire ce processus est la suivante :

dr_t = [b(t)_ar_t]dt+σdW_t ; a >0etσ >0

Avec a correspondant à la vitesse de retour à la moyenne de l'équation et b une fonction positive.

Ce modèle, contrairement aux deux précédents, possède l'avantage de ne pas nécessiter de procédure numérique dans sa calibration. En eet, le paramètreb(t)est dépendant du temps et est paramétré grâce au données du marché à la date t = 0, que ce soit le prix des zéro-coupons ou les taux forward instantanés. Ainsi, le calibrage du modèle de Hull

& White est naturel.

Pour la suite de notre étude du modèle de Hull & White, nous allons avoir besoin de dénir deux fonctions. Pour T > 0:

P^M(0, T) le prix des zéro-coupons observés sur le marché en t=0 f^M(0, T) les taux forward instantanés observés sur le marché en t=0

Fabian GUILLEMIN 39

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Par dénition, le taux forward s'exprime de la manière suivante : f^M(0, T) = ∂

∂Tln(P^M(0, T))

Le modèle de Hull & White reproduit exactement la courbe des taux zéro-coupon du marché si on prend la fonction b telle que :

b(t) = ∂f^M

∂T (0, t) +af^M(0, t) + σ²

2a(1−e−2at)

Ainsi, en appliquant le lemme d'Itô au processus rte^at, on obtient l'expression du taux court :

r(t) = r(s)e^−a(t−s)+e^−at Z t

s

θ_e^audu+σe^−at Z t

s

e^audW u

Cette expression peut-être simpliée et explicitée sous la forme suivante, avec t > s : r(t) =r(s)e^−a(t−s)+α(t)−α_se^−a(t−s)+σ

Z t s

e^−a(t−u)dW u

avec : α(t) =f^M(0, t) + _2a^σ²2(1−e^−2at)²

Ces deux formules nous ramènent à la remarque qui avait été explicitée plus haut, disant que le modèle ne suggère pas d'approche numérique trop fastidieuse. En eet, les deux équations précédentes montrent qu'il n'est pas nécessaire d'évaluer ^∂f_∂T^M(0, T)comme il le paraît pourtant au regard de l'expression de b(t).

A l'instar des deux modèles précédents, le modèle de Hull & White possède aussi une espérance et une variance conditionnelle. Avec t > s :

E[rt|Fs] =rse^−a(t−s)+α(t)−αse^−a(t−s) V ar[r_t|F_s] = σ²

2a(1−e^−2a(t−s))

La première remarque que l'on peut faire est que la variance de ce modèle est identique à la variance du modèle de Vasicek. En eet, le modèle de Hull & White conserve le caractère gaussien du modèle de Vasicek, mais tout comme son prédécesseur la probabilité de rencontrer des taux négatifs est non nulle. Toutefois, au vu des données actuelles du marché, cela n'est pas un désavantage car pour les faibles maturités l'univers de taux est en majorité négatif.

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3.3.2 Prix des obligations zéro-coupon

Le prix des obligations zéro-couponP(t, T)de maturitéT déni par le modèle de Hull

& White à la date t s'exprime ainsi :

P(t, T) = A(t, T)e^−B(t,T^)r(t);t < T

Avec : (

A(t, T) = ^P_P^MM^(0,T(0,t)⁾exp[B(t, T)f^M(0, t)−^σ_4a²(1−e^−2at)B(t, T)²] B(t, T) = ¹_a(1−e^−a(T^−t))

Une fois le prix calculé, le taux zéro-coupon est donc déni selon cette expression, avec t < T :

R(t, T) = −ln(P(t, T)) T −t

Dans la pratique, le modèle de Hull & White est l'un des modèles les plus simples à utiliser, tout en donnant des résultats très proches de la réalité. C'est pourquoi ce modèle est très souvent utilisé et qu'il a été intégré dans ce mémoire. Il existe des extensions à ce modèle (Modèle G2++ à deux facteurs par exemple) qui nécessiteraient un plus profond approfondissement, non pertinent dans ce mémoire, dont le thème principal est l'approche granulaire.

Conclusion

Les modèles présentés dans cette partie représentent l'approche stochastique des taux, qui est en général l'approche recommandée pour une telle étude. Cependant, nous n'utiliserons pas cette approche dans les applications futures car elles possèdent plusieurs désavantages :

Le recours à R est indispensable car Excel ne peut pas seul assumer des modélisations stochastiques.

La création d'une courbe de taux par cette approche est longue, ce qui est contraire à la contrainte que nous avions qui était de déterminer une courbe de taux rapidement.

L'outil devant être développé rapidement an de répondre dans les plus brefs délais, l'approche stochastique aurait mis trop de temps à être développée et l'outil nal aurait mis aussi trop de temps à être audité.

La méthode précédemment utilisée était déterministe et Deloitte souhaitait conser- ver l'esprit du premier outil qui avait été développé et approuvé par la direction technique.

Fabian GUILLEMIN 41

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Dans la suite de cette partie sur la modélisation des taux, nous allons donc voir comment construire une courbe de taux selon des modèles déterministes.