Chapitre 5 : Intégration.
I Un peu d’histoire.
C’est Leibniz qui opère le fondement de la théorie de l’intégration (Geometria recondita , 1686). En 1696, Jacques Bernoulli reprend le mot latin « integer », déjà utilisé au XIVe siècle, pour désigner le calcul intégral. A cette époque, on partait de l’équation de la courbe pour calculer l’aire sous la courbe, c’est à dire du « bord » de la surface à la surface entière (intégrale).
La formalisation de cette théorie a revêtu diverses formes. Elle aboutit tardivement, à cause de la com- plexité des problèmes soulevés.
L’intégrale de Riemann (Bernhard Riemann, 1854, publication posthume en 1867) puis l’intégrale de Le- besgue (Henri Lebesgue, 1902) ont marqué les esprits par leur formalisation aboutie. Au milieu du XIXe siècle, les sciences sociales reprennent le mot pour ex- primer l’idée qu’une personne s’intègre à un groupe.
Un exemple d’utilisation de l’intégration en écono- mie est le coefficient de Gini : mesure statistique de la dispersion de la distribution des richesses dans une population donnée. Une première approche consiste à définir le coefficient de Gini comme le double de l’aire comprise entre la courbe de Lorenz de la distribution des revenus et la courbe de Lorenz associée à une situa- tion théorique totalement égalitaire (dans laquelle tous les individus auraient exactement les mêmes gains).
Cette aire est notée A sur la figure ci-contre, la courbe de Lorenz observée figurant en gras. L’aire notée B est celle comprise entre la courbe de Lorenz observée et la
courbe de Lorenz associée à une situation totalement inégalitaire (dans laquelle une partie infime de la po- pulation détiendrait la totalité des richesses).
II Attendus
• Savoir faire une estimation graphique de la valeur d’une intégrale comme l’aire sous la courbe.
• Savoir déterminer si une fonction F est la primitive d’une fonction f (c’est-à-dire savoir montrer que F1 “f) (1 page 141)
• Savoir déterminer une primitive en utilisant les tableaux donnant les primitives usuelles ou le tableau des opération sur les primitives.(16-17 page 143)
• Savoir déterminerla primitive ayant une valeur donnée.
• Savoir calculer une intégrale en déterminant la primitive de la fonction à intégrer.
• Savoir déterminer la valeur moyenne d’une fonction.
• Connaitre et savoir utiliser les fonctions :
˝ La relation de Chasles.
˝ La positivité de l’intégrale.
˝ La linéarité de l’intégrale.
III Intégrale et calcul d’aire
A Exemple de situation.
Exercice 1. On considère la fonction affine définie surR par : fpxq “2x`3
On a représenté ci-dessous à gauche les droites d’équation x “1, x “ 3 et la courbe Cf représentative de la fonctionf. A droite nous avons rappelé la formule permettant d’obtenir l’aire d’un trapèze.
1. Retrouvez par le calcul, l’aire comprise entre les droites d’équation x “ 1, x “ 3 ainsi que l’axe des abscisses et la courbeCf.
On notera cette aire :
A“ ż3
1
fpxqdx 2. Faire de même pour déterminer les valeurs de :
‚ ż2
0
fpxqdx ‚ ż4
2
fpxqdx ‚ ż4
0
fpxqdx Exercice 2. Déterminer les valeurs de :
‚ ż2
´1
p9´3xqdx ‚ ż4
1
ˆ 1`1
2x
˙
dx ‚
ż5 1
ˆ 7´1
3x
˙ dx
B Définition et propriété graphique.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ra;bs. On appelle intégrale de f surra;bs l’aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x“aetx“b. On a la notation :
Aire“ żb
a
fpxqdx Définition 1
Exercices 55-60 page 150
Soit f etg deux fonctions continues et positives sur un intervallera;bs. Alors :
• Soit cP ra;bs, alors : żb
a
fpxqdx“ żc
a
fpxqdx` żb
c
fpxqdx (Relation de Chasles)
• Sifpxq ěgpxq sur l’intervallera;bsalors : żb
a
fpxqdxě żb
a
gpxqdx (Positivité de l’intégrale)
• On a :
żb
a
pf`gqpxqdx“ żb
a
fpxqdx` żb
a
gpxqdx (Linéarité de l’intégrale)
• Soit kun réel positif, on a : żb
a
kfpxqdx“k żb
a
fpxqdx (Linéarité de l’intégrale) Proposition 1
Remarque 1. Toutes les propriétés précédentes peuvent s’observer graphiquement.
Déterminer une intégrale par calculs d’aire.
Vidéo 1
IV Primitives.
A Définition.
Soit f une continue et positive sur un intervallera;bs. On dira de F que c’est une primitive def, si pour toutxP ra;bs:
F1pxq “fpxq Définition 2
Exercices 61-70 page 150-151
Soit f une fonction continue et positive sur un intervallera;bsetF une primitive de f. Alors :
• L’ensemble des primitives def sur ra;bs est constitué des fonctionsGdéfinie sur ra;bspar : Gpxq “Fpxq `C où CPR
• On remarque que l’on peut imposer que Gpx0q “y0 (oùx0 P ra;bsety0PR)et dans ce cas la primitive est unique.
Proposition 2
Démonstration 1. Soitf une fonction continue et positive sur un intervallera;bsetF etG deux primitives de f. Soit la fonctionH définie par :
@xP ra;bs, Hpxq “Gpxq ´Fpxq Alors :
@xP ra;bs, H1pxq “G1pxq ´F1pxq “fpxq ´fpxq “0
Donc puisque la dérivée de H est nulle alors la fonction H est une constante que l’on peut noter C P R. On obtient donc :
@xP ra;bs, Gpxq “Fpxq `C
Soitx0P ra;bsety0 PR. Si l’on imposeFpx0q “y0 etGpx0q “y0 , on obtient : Hpx0q “Gpx0q ´Fpx0q “0“C
Donc :
@xP ra;bs, Fpxq “Gpxq DoncF “G.
Exercices 71-75 pages 151 et 83-85 page 152
B Primitives des fonction usuelles.
Toutes les primitives ci-dessous sont connues à une constante CPR près.
f définie sur I par primitivesF de f sur I intervalleI
0 C PR R
1 x R
x x22 R
x2 x33 R
xn,nPN˚ x
n`1
n`1 R
1 2? x
?x s0;`8r
1
x lnpxq s0;`8r
1
x2 ´x1 s ´ 8; 0rou s0;`8r
1
xn,nPN ´pn´1qx1 n´1 s ´ 8; 0rou s0;`8r
sinpxq ´cospxq R
cospxq sinpxq R
ex ex R
C Opérations sur les primitives.
Toutes les primitives ci-dessous sont connues à une constante CPR près.
On désigne par uest v deux fonctions continues et dérivables sur un intervalleI. f définie surI par PrimitivesF de f surI
u1`v1 u`v
ku1 ku
u1u 1
2u2 u1un, nPN
1 n`1un`1 u1
u2 ´1
u u1
un où u ne s’annule pas sur I ´ 1 pn´1qun´1
u1eu eu
u1
?u où uą0 surI 2?
u`C, CPR u1
u où uą0 surI lnu
Exercices 76-82 page 151-152
Chercher une primitive en utilisant les tableaux précédents :
• vidéo 1 • Vidéo 2 • Vidéo 3 • vidéo 4
Vidéo 2
Rechercher la primitive prenant une valeur données.
Vidéo 3
V Intégrale d’une fonction de signe quelconque
A Définition.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle I et pour tous les réels a et b de I, on définit l’intégrale de aà bde f par
żb
a
fptqdt“ rFptqsba“Fpbq ´Fpaq où F est une primitive de f surra;bs.
Définition 3
Exemple 1. Soit la fonctionf définie sur Rpar :
fpxq “3x2`6x`5 On remarque que si l’on pose :
Fpxq “x3`3x2`5x`2 Alors :
F1pxq “3x2`6x`5 On donc dire queF est une primitive def. On a donc par exemple : ż1
0
fpxqdx“ ż1
0
3x2`6x`5dx““
x3`3x2`5x`2‰1
0“ p13`3ˆ12`5ˆ1`2q ´ p03`3ˆ02`5ˆ0`2q “9 Remarque 2. On remarque que l’on aurez pu choisir dans l’exemple précédent, une infinité d’autre fonction primitive de f à la place de la fonction F. En effet la constante 2 en fin d’expression n’apparait plus lors du calcul de la dérivée deF.
Exercices 86-90 page 152
Calculer une intégrale à partir d’une primitive :
• Vidéo 1 • Vidéo 2 • vidéo 3
Vidéo 4
B Fonction définie par une intégrale.
Soit f une fonction continue sur un intervalle ra;bs. Soit F la fonction continue définie sur un intervallera;bspar :
Fpxq “ żx
a
fptqdt
Alors, la dérivée de la fonction F est la fonction f. C’est à dire pour toutxP ra;bs: F1pxq “fpxq
On dira de F que c’est la primitive de f qui s’annule en a.
Proposition 3
Démonstration 2. Soitf une fonction continue et positive sur un intervallera;bs. Soit Gune primitive def etF définie par :
Fpxq “ żx
a
fptqdt On a donc :
Fpxq “Gpxq ´Gpaq Donc :
F1pxq “G1pxq et Fpaq “ ża
a
fptqdt“Gpaq ´Gpaq “0 Exemple 2. Si l’on pose :
Fpxq “ żx
1
3t2`6t`5dt Alors on a :
F1pxq “3x2`6x`5 Dans ce cas, il est facile de déterminerF :
Fpxq “x3`3x2`5x´9 Pour queFp1q “0.
C Propriétés du calcul intégrale.
Soit f etg deux fonctions continues sur un intervallera;bs. Alors :
• Soit cP ra;bs, alors : żb
a
fpxqdx“ żc
a
fpxqdx` żb
c
fpxqdx (Relation de Chasles)
• On a :
ża
a
fpxqdx“0 et
ża
b
fpxqdx“ ´ żb
a
fpxqdx
• Sifpxq ěgpxq sur l’intervallera;bsalors : żb
a
fpxqdxě żb
a
gpxqdx (Positivité de l’intégrale)
• On a :
żb a
pf`gqpxqdx“ żb
a
fpxqdx` żb
a
gpxqdx (Linéarité de l’intégrale)
• Soit kun réel positif, on a : żb
a
kfpxqdx“k żb
a
fpxqdx (Linéarité de l’intégrale) Proposition 4
Démonstration 3. SoitF une primitive de f. On a żb
a
fpxqdx` żc
b
fpxqdx“Fpbq ´Fpaq `Fpcq ´Fpbq
“Fpcq ´Fpaq
“ żc
a
fpxqdx Démonstration 4. D’une part :
ża
a
fpxqdx“Fpaq ´Fpaq “0 et d’autre part,
żb a
fpxqdx` ża
b
fpxqdx“ ża
a
fpxqdx d’où les deux résultats.
Démonstration 5. SoientF etG des primitives def etg respectivement.
AlorsF `Gest une primitive de f`g carpF`Gq1 “F1`G1 “f`g et on a :
żb
a
pfpxq `gpxqqdx“ pF`Gqpbq ´ pF `Gqpaq “Fpbq `Gpbq ´Fpaq ´Gpaq “Fpbq ´Fpaq `Gpbq ´Gpaq
“ żb
a
fpxqdx` żb
a
gpxqx dx.
Démonstration 6. De même,kF est une primitive de kf et żb
a
kfpxqdx“kFpbq ´kFpaq “kpFpbq ´Fpaqq “k żb
a
fpxqdx Exercices 96-102 page 153
Une utilisation très fréquente au bacde la propriété :
@xP ra, bs, fpxq ěgpxq ñ żb
a
fpxqdxě żb
a
gpxqdx En effet, nous pouvons alors parler de l’aire situé entre les deux courbes.
Vidéo 5
Exemple d’utilisation de la linéarité.
Vidéo 6
Exemple d’encadrement d’une intégrale Vidéo 7
D Valeur moyenne.
On appelle valeur moyenne de f surra;bs, le réel µ“ 1
b´a żb
a
fptqdt Définition 4
91-96 page 152-153
Exemple de calcul de la moyenne d’une fonction Vidéo 8
