Eléments de solutions pour un corrigé de l’épreuve de découverte édition 2015 (décembre 2014)
Exercice 1 – Tirer le portait – 7 points
On examine les 3 cas (A vrai, B faux et C faux ; A faux, B vrai et C faux ; A faux, B faux et C vrai). Les deux premiers cas aboutissent à une contradiction, pas le troisième. Le portrait est donc dans le coffret A.
Exercice 2 – Cachotterie – 5 points
En reportant consciencieusement chaque partie du pliage sur la feuille A4, on se rend compte que les 12 segments formant le périmètre de la figure grisée correspondent à 12 parties du périmètre de la feuille non pliée. La somme des périmètres des 4 triangles grisés est donc égale au périmètre de la feuille A4 soit 101,4 cm.
Exercice 3 – Pêche à l’équilibre – 7 points
Il existe plusieurs résolutions possibles ; en voici une :
Soient P, H, E, B, x les masses du poisson, de l'hippocampe, de l'étoile de mer, d'une barre, et de l’objet caché. On obtient une première égalité, en considérant l’ensemble du mobile : 2B + 3P + 2E + 1H = 3P + 3B + 3H + x
On obtient une deuxième égalité en considérant uniquement l’équilibre « caché par la main » : x = 2H + B.
Finalement x = E. L’objet caché derrière la main est une étoile de mer.
Exercice 4 – Cinématique – 5 points
Soit n le nombre d'images du film. La durée au cinéma est n/24 ; à la télé, c'est n/25.
La différence entre les 2 durées est n/24 – n/25 et est égale à 9 min 30 s soit 570 s.
Ceci donne n = 570×24×25. La durée du film au cinéma est donc 570s ×25 soit de 3h57min30s et la durée à la télé est de 570s × 24 soit 3h48min.
Exercice 5 – C’est du lourd ! – 7 points
« Un croquis vaut mieux qu’un long discours ! »
Le croquis ci-joint n’est pas à l’échelle.
On pivote autour de A pour que B vienne en C, C étant sur la médiatrice de [AD].
On pivote autour de C pour que A vienne en D, D étant aligné avec O et A.
On pivote autour de D pour que E vienne en F.
Exercice 6 – Les taux se desserrent – 5 points
Avec un taux t de réussite en 2013, le taux de 2014 est de 1,2 t. La différence entre ces deux taux, 1,2t – t = 0,2t , correspond donc aux 12 (%) relevés par l’élève qui a fait cette comparaison. On est donc passé de 60% à 72% de réussite en 2014.
Exercice 7 – Miam-miam – 7 points
En 30 secondes par exemple, la petite souris mange 1/30 du morceau, la moyenne 1/15 et la grosse 1/10, soit un total de 1/5. Pour dévorer tout le morceau, il leur faudra donc 5 fois 30 secondes, donc 2 minutes et 30 secondes.
Exercice 8 – Sans un rond – 5 points
La liste des nombres de 1 à 15 contient 8 nombres non entourés. Il en est de même pour la liste des nombres de 16 à 30 et ainsi de suite par listes de 15 nombres. Sur 134 listes (134 listes car 2014/15≈314), 1 072 nombres ne sont pas entourés. La suite finale {2011, 2012, 2013, 2014} contient 3 nombres non entourés. De 1 à 2014, il y a 1 075 nombres non entourés.
Exercice 9 – Case 7 magique – 7 points
En appelant a et b les deux premiers nombres, on obtient pour le nombre de la 7e ligne, 5a+8b.
La somme des dix nombres écrits est alors 55a+88b = 11(5a+8b), soit 11 fois le nombre de la 7e ligne.
Exercice 10 – Twisté – 10 points
Confection : les plis de 105 cm (à l’échelle 21 cm) sont en arêtes, les plis diagonaux sont en vallées.
Calcul de la hauteur : les sommets des carrés supérieur et inférieur définissent les sommets d’un pavé droit ; les plis arêtes de 105 cm parcourent des diagonales des faces latérales de ce pavé.
H2= 1052 – 352 = 11025 – 1225 = 9800 H = 9800 = 70 2 ≈ 99 cm
La hauteur réelle du piètement est de 70 2 cm soit environ 99 cm.
Spécial seconde
Exercice 11 – Train-train – 5 points
Chaque passager a deux choix équiprobables : il y a 32 possibilités équiprobables. On compte le nombre de ces possibilités pour chacune des trois répartitions proposées et on obtient pour les probabilités, dans l'ordre de l'énoncé : 2/32, 10/32 et 20/32 (ou 1/16, 5/16 et 5/8).
1 a
2 b
3 a+b 4 a+2b 5 2a+3b 6 3a+5b 7 5a+8b 8 8a+13b 9 13a+21b 10 21a+34b
Exercice 12 – En connaître un rayon – 7 points On calcule la distance entre les deux points de contact des cercles sur la table qu’on notera M et M’.
MM’= 82+(7−5)2 = 68=2 17 cm On appelle r le rayon décrit par le point de contact sur la table du petit disque : r = OM’.
On appelle R le rayon du cercle décrit par le point de contact du grand cercle. R = OM.
On applique le théorème de Thalès dans le triangle OMH :
d’où 2 r = 5 ; r = 5 17 cm (r ≈ 20,62 cm) R = 5 17+2 17 = 7 17cm (≈ 28,86 cm).
Autre solution :
On appelle R et r les rayons respectifs du grand et du petit cercle. On pose OH' = p.
On a les égalités suivantes (th de Thalès dans les triangles OMH et OM’H’ et th de Pythagore dans le triangle OM’H’) : R
r =7
5 ; R−r r = 8
p ; r2 = p2 + 52 On en déduit R
r −1= 8 p d’où 8
p =2
5 et p = 20. r2 = 202 + 52 d’où r = 5 17 et R = 7 17.
Exercice 13 – Spécial Secondes GT – Passera, passera pas ? – 10 points Voici une démarche possible :
En appliquant successivement le théorème de Pythagore dans les triangles OBC et OFE, on trouve :
• R2 = (R – 5)2 + 122 et donc R = 16,9 m ;
• 16,92 = 15,92 + FE2 et donc FE ≈ 5,73 m.
La longueur FE étant inférieure à 6 m, la péniche ne peut pas passer.
Exercice 13 – Spécial Secondes Pro – Disques qualifiés ? – 10 points
La distance entre les deux centres est de 6,95 cm ; il manque 0,05 cm pour placer les deux disques.
