ANALYSE COMPLEXEPOUR LA LICENCE 3

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Cours et exercices corrigés

ANALYSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3

Patrice Tauvel

Licence 3 • CAPES

AN AL YSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3

Patrice Tauvel

COURS

ANALYSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3

Les fonctions holomorphes d’une ou plusieurs variables complexes interviennent dans plusieurs branches des mathématiques et aussi dans d’autres disciplines scientifiques, en particulier en physique. L’étude de ces fonctions est relativement ancienne et constitue toujours un domaine de recherche actif. Elles mettent en valeur la position privilégiée de l'analyse complexe, située entre la géométrie différentielle, la topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.

Cet ouvrage présente l’ensemble des notions d’analyse complexe habituellement abordées en Licence. Afin que le livre soit très autonome, les premiers chapitres reprennent, avec démonstrations, les résultats classiques concernant les séries entières. Des exercices corrigés illustrent le cours et permettent au lecteur de faire le point sur les connaissances acquises.

Cet ouvrage est principalement destiné aux étudiants de troisième année de Licence de mathématiques. Il s’adresse aussi aux candidats au CAPES ou à l’Agrégation et aux élèves des écoles d’ingénieurs.

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MATHÉMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE L’INGÉNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

PATRICE TAUVEL est professeur à l’université de Poitiers.

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ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

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ANALYSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3

Cours et exercices corrigés

Patrice Tauvel Professeur à l’université de Poitiers

lim Tauvel Page III Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

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Illustration de couverture : digitalvision^® Conseiller scientifique : Sinnou David

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Table des matières

AVANT-PROPOS XI

CHAPITRE 1 •SÉRIES NUMÉRIQUES

1.1 Notations et rappels 1

1.2 Limite supérieure et limite inférieure 2

1.3 Généralités sur les séries numériques 4

1.4 Séries à termes positifs 6

1.5 Convergence absolue 8

1.6 Règles de Cauchy et de d’Alembert 10

1.7 Séries alternées 11

1.8 Séries semi-convergentes 12

1.9 Série produit 13

1.10 Convergence associative ou commutative 14

1.11 Intégrales et séries 17

Exercices 19

Solutions des exercices 20

CHAPITRE 2 •SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

2.1 Convergence simple 23

2.2 Convergence uniforme 24

2.3 Continuité 25

2.4 Dérivabilité 25

2.5 Intégrabilité 27

(7)

2.6 Séries de fonctions 28

2.7 Convergence normale 29

Exercices 30

CHAPITRE 3 •SÉRIES ENTIÈRES

3.1 Généralités 35

3.2 Rayon de convergence 36

3.3 Continuité et intégrabilité 38

3.4 Dérivabilité 39

3.5 Fonctions développables en série entière 40

3.6 Quelques exemples 42

3.7 Fonction exponentielle 43

3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques 45

Exercices 46

CHAPITRE 4 •FONCTIONS ANALYTIQUES

4.1 Définition des fonctions analytiques 50

4.2 Principe du prolongement analytique 52

4.3 Principe des zéros isolés 52

Exercices 54

CHAPITRE 5 •FONCTIONS HOLOMORPHES

5.1 Rappels 58

5.2 Conditions de Cauchy-Riemann 59

5.3 Déterminations continues du logarithme 62

5.4 Autres déterminations continues 64

Exercices 65

(8)

Table des matières VII

CHAPITRE 6 •ANALYTICITÉ ET HOLOMORPHIE

6.1 Arcs et chemins 67

6.2 Intégration complexe 69

6.3 Indice 71

6.4 Existence des primitives 72

6.5 Analyticité des fonctions holomorphes 77

6.6 Fonctions circulaires réciproques 79

Exercices 82

CHAPITRE 7 •PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES

7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences 84

7.2 Principe du maximum 85

7.3 Lemme de Schwarz et applications 87

7.4 Suites et séries 89

7.5 Holomorphie et intégration 91

Exercices 94

CHAPITRE 8 •FONCTIONS MÉROMORPHES

8.1 Un point de topologie 98

8.2 Singularités isolées 99

8.3 Fonctions méromorphes 101

8.4 Théorème des résidus 102

8.5 Théorème de l’indice 104

8.6 Théorème de Rouché 106

8.7 Inversion locale 107

8.8 Séries de fonctions méromorphes 109

Exercices 112

(9)

CHAPITRE 9 •PRODUITS INFINIS

9.1 Produits infinis de nombres complexes 116

9.2 Produits infinis de fonctions holomorphes 119

Exercices 123

CHAPITRE 10 •HOMOTOPIE ET HOLOMORPHIE

10.1 Homotopie et simple connexité 126

10.2 Primitive le long d’un arc 130

10.3 Indice 132

10.4 Formule de Cauchy 135

10.5 Séries de Laurent 137

10.6 Les généralisations 140

Exercices 142

CHAPITRE 11 •HOLOMORPHIE ET PARTIES LOCALEMENT FINIES

11.1 Produit canonique de Weierstrass 145

11.2 Applications 147

11.3 Idéaux 150

Exercices 152

CHAPITRE 12 •REPRÉSENTATION CONFORME

12.1 Topologie 154

12.2 Un résultat d’isomorphisme 157

12.3 Conservation des angles 159

Exercices 160

CHAPITRE 13 •QUELQUES GRANDS CLASSIQUES

13.1 Théorèmes de Picard 164

13.2 Théorème de Runge 169

Exercices 176

(10)

Table des matières IX

CHAPITRE 14 •FONCTIONS HARMONIQUES

14.1 Premières propriétés 179

14.2 Représentation intégrale 181

Exercices 184

CHAPITRE 15 •QUELQUES CALCULS D’INTÉGRALES

15.1 Quelques lemmes 186

15.2 Quelques méthodes 188

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES 197

INDEX 199

(11)

(12)

Avant-propos

Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d’une ou plusieurs variables complexes sont très nombreux, car c’est une théorie relativement ancienne (et la recherche dans ce domaine des mathématiques est toujours très active). Pour aborder cette théorie, l’étudiant aura intérêt à procéder par étapes. Ce livre peut être vu comme la première de ces étapes. Donnons quelques explications à ce sujet.

Les connaisances pour aborder la lecture de l’ouvrage sont plutôt modestes. En ce qui concerne la topologie, on ne demande de connaître que les propriétés élémentaires des compacts et des connexes deC. Pour l’intégration, à l’exception d’un complément donné au chapitre 7 (et qui n’est pas utilisé dans la suite de l’ouvrage), on n’a utilisé que les propriétés élémentaires de l’intégrale au sens de Riemann. En ce qui concerne le calcul différentiel, il n’est quasiment utilisé que la notion d’application différen- tiable. Il en résulte qu’un étudiant de troisième année de Licence dispose de toute la matière nécessaire pour aborder la lecture du livre. Donnons quelques détails quant à son contenu.

Les chapitres 1 à 3 constituent des révisions concernant un programme usuel de Li- cence. On y traite de séries numériques, de séries de fonctions, et de séries entières. Il nous semble en effet opportun de rappeler les points essentiels concernant ces notions (par exemple la définition du rayon de convergence d’une série entière).

Le chapitre 4 traite des fonctions analytiques. Bien que ne présentant aucune difficulté, on obtient déjà des résultats importants (principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés).

Au chapitre 5, on généralise la notion de dérivabilité au cas des fonctions d’une variable complexe. Il est aussi question des déterminations continues de l’argument, un point qui sera essentiel dans d’autres chapitres.

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Le chapitre 6 est fondamental. On y montre qu’une fonction est dérivable (on dit aussi holomorphe) si et seulement si elle est localement développable en série entière. C’est là une énorme différence avec le cas réel déjà vu par l’étudiant.

Dans les chapitres 7 et 8, on utilise la théorie de Cauchy locale pour obtenir les principales propriétés des fonctions holomorphes ou méromorphes. On y démontre, par exemple, la fameuse formule des résidus (dans des cas particuliers) qui permettra, et c’est parfois ce qui impressionne l’étudiant, de calculer des intégrales.

Les chapitres 9 et 11 sont consacrés à l’étude des produits infinis. C’est une notion très intéressante, mais aussi plus délicate que celle de série. Au chapitre 11, on montre en particulier l’existence de fonctions holomorphes ayant des zéros imposés.

Au chapitre 10, on traite, dans un cadre plus général, des questions vues dans les chapitres 7 et 8. On introduit en particulier la notion d’homotopie (on essaie de déformer des courbes de manière continue).

Le chapitre 12 est consacré d’une part à des questions topologiques (théorème de Montel) et d’autre part à la représentation conforme (théorème de Riemann). On y démontre en particulier à quelle condition deux ouverts de C sont analytiquement isomorphes.

Au chapitre 13, on démontre trois résultats fameux : deux théorèmes de Picard et le théorème de Runge. Les deux premiers sont spectaculaires, le troisième est fondamental en ce qui concerne l’approximation des fonctions.

Au chapitre 14, on aborde l’étude des fonctions harmoniques de deux variables réelles.

Ces fonctions sont très utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. On prouve en particulier qu’une telle fonction est indéfiniment différentiable.

Le chapitre 15 donne quelques méthodes (en nombre très limité) de calculs d’inté- grales en utilisant la formule des résidus. Nous renvoyons cependant le lecteur à des livres d’exercices (ou à des séances de travaux dirigés) pour ce qui concerne ce point.

Comme nous l’avons déjà précisé, ce livre, qui se veut d’un niveau relativement élé- mentaire, n’aborde que quelques aspects de la théorie des fonctions holomorphes.

Nous n’avons en particulier traité que le cas des fonctions holomorphes d’une variable.

Pour l’étudiant qui veut se spécialiser dans ce domaine, il peut être une introduction à des ouvrages de niveau plus élevé. Nous conseillons en particulier les livres [4], [6], [8], [9], [10] de la bibliographie.

Signalons aussi que le contenu de cet ouvrage couvre entièrement la partie du programme de l’agrégation de mathématiques qui concerne les fonctions holomorphes.

(14)

Avant-propos XIII

Diagramme d’implication des différents chapitres :

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(15)

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©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.

Chapitre 1

Séries numériques

Dans ce chapitre, on fait quelques rappels concernant les séries numériques.

1.1 NOTATIONS ET RAPPELS

1.1.1. SoientE, F des ensembles etAune partie deE.

On noteP(E)l’ensemble des parties deEetidE l’application identité deE.

On désigne parE\F l’ensemble des éléments deE qui n’appartiennent pas àF, et parF(E, F)l’ensemble des applications deEdansF. On écrira souventf:E →F pour signifier quef ∈ F(E, F), et on notef|Ala restriction def àA.

SiEest fini,card(E)est le cardinal deE.

1.1.2. Les symboles

N, N^∗, Z, R, R^∗, R₊, R₋, R^∗₊, R^∗₋, C, C^∗

ont la signification usuelle bien connue de tous. Sizest un nombre complexe, on note zson conjugué etRe(z)(respectivementIm(z)) sa partie réelle (respectivement partie imaginaire).

Dans la suite de ce chapitreKest l’un des corpsRouC.

(17)

1.1.3. SoitX un espace métrique dont la distance est notéed. Rappelons qu’une suitex = (xn)n0d’éléments deXest appelée une suite de Cauchy si elle vérifie la condition suivante : pour toutε >0, il existeN ∈Ntel qued(x_m, x_n) < εdès que mN etnN.

Définition. Un espace métriqueXest dit complet si toute suite de Cauchy d’éléments de X a une limite dansX. UnK-espace vectoriel normé et complet est appelé un espace de Banach.

Théorème 1.1.4. ToutK-espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach. En particulier, le corpsKest complet.

1.2 LIMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE

1.2.1. On adjoint àRles symboles usuels−∞et+∞, et on pose : R=R∪ {−∞,+∞}.

On prolonge la relation d’ordre naturelle deRen convenant que, pour touta∈R:

−∞< a <+∞.

1.2.2. On noteS l’ensemble des suites réelles etC le sous-espace vectoriel de S constitué des suites convergentes.

Définition. Soitx= (x_n)_n₀ ∈ S. On dit quexconverge dansRsi elle vérifie l’une ou l’autre des conditions suivantes :

(i) x∈ C

(ii) x_ntend vers+∞quandntend vers+∞. (iii) xntend vers−∞quandntend vers+∞.

On désigne parRl’ensemble des éléments deSqui convergent dansR. Remarques. 1) Sixn= (−1)ⁿ, on ax /∈ R.

2) Six_n=n, alorsx∈ R\C. Par suiteCRS.

3) L’ensemble Rn’est pas un sous-espace vectoriel deS. Si x = (xn)n et y= (y_n)_nvérifientx_n=n+ (−1)ⁿety_n=−n, on ax, y∈ Retx+y /∈ R.

1.2.3. SoitAune partie non vide deR. SiAest majorée (respectivement minorée), on notesupA(respectivementinfA) la borne supérieure (respectivement inférieure) de A. Si A est non majorée (respectivement non minorée), on pose supA = +∞ (respectivementinfA=−∞).

Lemme 1.2.4. Soitx= (xn)∈ S. Sip∈N, on poseXp ={xn;np}.

(i) S’il existeq∈Ntel quesupXq = +∞, alorssupXp = +∞pour toutp∈N. (ii) S’il existeq∈Ntel queinfX_q =−∞, alorsinfX_p=−∞pour toutp∈N.

(18)

1.2 Limite supérieure et limite inférieure 3

Démonstration. Prouvons (i), la démonstration de (ii) étant analogue.

Sipq, on aXq⊂XpdoncsupXp = +∞. Supposonsp > qetsupXp =M ∈R.

DeX_q =X_p∪ {x_q, x_q₊₁, . . . , x_p₋₁}, on déduit :

supX_qmax{M, x_q, x_q₊₁, . . . , x_p₋₁}<+∞.

Contradiction.

1.2.5. Soitx = (xn)n ∈ S. On va définir des élémentslim supxetlim infxdeR, appelés respectivement limite supérieure et limite inférieure dex. Notons, sin∈N:

X_n={x_p;pn}, M_n= supX_n, m_n= infX_n.

•S’il existeq ∈Ntel queM_q= +∞, alorsM_n= +∞pour toutn∈N(1.2.4). On pose :

lim supx= +∞.

•SupposonsM_n <+∞pour toutn∈N. CommeX_n₊₁ ⊂ X_n, la suite(M_n)_nest décroissante. Elle a donc une limite dansR, et on pose :

lim supx= lim

n Mn.

•S’il existeq ∈Ntel quemq =−∞, alorsmn=−∞pour toutn∈N(1.2.4). On pose :

lim infx=−∞.

•Si m_n > −∞pour toutn ∈ N, la suite(m_n)_n étant croissante, elle a une limite dansR. On pose :

lim infx= lim

n m_n. D’après les définitions, il est clair quelim infxlim supx.

On notera parfoislim sup

n

x_npourlim supxetlim inf

n x_npourlim infx.

Théorème 1.2.6. Soitx= (x_n)_n∈ S. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) La suitexconverge dansR.

(ii) On alim infx= lim supx.

Si ces conditions sont vérifiées, alors :

limx= lim infx= lim supx.

Démonstration. (i)⇒(ii) Supposons (i) vérifié.

•Envisageons le cas où xconverge vers ∈ R. Siε > 0, il existeN ∈ Ntel que

|xn−|< εdès quenN. Alors, pournN, il vient|Mn−|εet|mn−|ε.

Ceci prouve que les suites(M_n)_net(m_n)_nconvergent vers.

• Supposonslimx = +∞. Si A ∈ R, il existeN ∈ N tel que x_n A dès que n N. On obtientMn Aetmn Asin N. La condition (ii) est à nouveau vérifiée. La preuve est analogue silimx=−∞.

(19)

(ii)⇒(i) Supposons (ii) vérifié.

•Silim infx= lim supx=∈R, pourε >0, il existeN ∈Ntel que : nN ⇒−εm_nM_n+ε.

D’où :

nN ⇒−εm_nx_nM_n+ε.

Ceci montre que la suitexconverge vers.

•Supposonslim infx= lim supx= +∞. SiA∈R, il existeN ∈Ntel que : nN ⇒Amn Mn.

Ainsi :

nN ⇒AmnxnMn.

D’oùlimx= +∞. La preuve est analogue silim infx= lim supx=−∞.

1.3 GÉNÉRALITÉS SUR LES SÉRIES NUMÉRIQUES

Définition 1.3.1. Soit(u_n)_n₀une suite d’éléments deK. On appelle série de terme généralu_n, ou série

u_n, la suite deK×Kdéfinie par :

un, n k=0u_k

n0. La série

unest dite réelle (respectivement complexe) si la suite(un)nest à termes réels (respectivement complexes).

1.3.2. Étant donnée une série

u_n, on dit que

U_n=u₀+u₁+· · ·+u_n

est la somme partielle de rangnde la série. La série est dite convergente (respective- ment divergente) si la suite(U_n)_n₀ converge dansK(respectivement diverge). Si la suite(Un)n0converge, sa limiteU est appelée la somme de la série, et on écrit :

U = ^∞

n=0u_n. Il est clair qu’une série complexe

un est convergente si et seulement si les séries réelles

Re(u_n)et

Im(u_n)le sont. S’il en est ainsi, on a : ∞

n=0un= ^∞

n=0Re(un) +i ^∞

n=0Im(un).

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1.3 Généralités sur les séries numériques 5

Le résultat suivant est immédiat :

Proposition. L’ensembleS(K)des séries convergentes est unK-sous-espace vecto- riel de l’espace vectoriel des séries à éléments dansK, et l’application

S(K)→K,

un→ ^∞

n=0un

estK-linéaire.

1.3.3. Soitp ∈ N^∗. Nous aurons parfois à considérer des suites(un)np d’éléments deK. En posantv_n = 0sin < petv_n=u_nsinp, on obtient une série

v_nqui sera notée

npun, ou même encore

uns’il n’y a pas d’ambiguïté.

Inversement, à une série

u_n, on peut associer une série

npu_nqui est dite déduite

de

u_npar troncature.

Une série

un et une série

npun s’en déduisant par troncature sont de même nature. En cas de convergence, la somme de la seconde série est

∞

n=0u_n−^p⁻¹

n=0u_n notée ^∞

n=p

u_n.

Convention 1.3.4. Dans les preuves qui suivent, si l’on considère une série de terme généralu_n(lettre minuscule), la somme de rangnde cette série sera notéeU_n(lettre majuscule). En cas de convergence, la somme de la série sera notéeU (lettre majus- cule). En outre, le mot « série » signifiera « série à éléments dansK».

1.3.5. Soit

u_nune série. Pourp < q, on a

Uq−Up=up+1+up+2+· · ·+uq.

Le corpsKétant complet, il résulte de 1.1.4 que l’on a le résultat suivant : Théorème. (Critère de Cauchy). Soit

u_nune série. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) La série

u_nest convergente.

(ii) Pour toutε >0, il existeN ∈Ntel que :

N pq ⇒ |u_p+u_p+1+· · ·+u_q|ε.

Corollaire 1.3.6. Si la série

u_nconverge, la suite(u_n)_nadmet0pour limite.

Démonstration. Il suffit de prendreq=p+ 1dans le critère de Cauchy.

Définition 1.3.7. Une série

unest dite absolument convergente si la série

|un| est convergente.

(21)

Théorème 1.3.8. Toute série

u_nabsolument convergente est convergente et : ^∞

n=0u_n ^∞

n=0|u_n|.

Démonstration. Résulte de|u_p+u_p₊₁+· · ·+u_q||u_p|+|u_p₊₁|+· · ·+|u_q|et

du critère de Cauchy.

1.3.9. Soientλ∈C,a∈C^∗, etun =aλⁿ. On dit que

unest la série géométrique de premier termeaet de raisonλ.

• Si |λ| 1, la suite (un)n ne converge pas vers 0. D’après 1.3.6, la série un

diverge.

•Supposons|λ|<1. De

Un=a1−λⁿ⁺¹ 1−λ on déduit que la série

u_nconverge et que sa somme est : U = a

1−λ· 1.3.10. On appelle série de Riemann toute série

n1un, avecun= 1

n^α, oùα∈R.

Siα0la série

undiverge d’après 1.3.6. Supposonsα >0. Sin2, on a : _n₊₁

n

dx x^α 1

n^α _n

n−1

dx x^α· Pourn1, il vient alors :

ln(n+ 1)U_n =u₁+· · ·+u_n1 + lnn si α= 1, 1

1−α

1

(n+ 1)^α⁻¹ −1

U_n1 + 1 1−α

1 n^α⁻¹ −1

si α= 1.

La suite (U_n)_n étant croissante, on voit donc que la série de Riemann précédente converge si et seulement siα >1.

1.4 SÉRIES À TERMES POSITIFS

1.4.1. Rappelons tout d’abord quelques points concernant des notions classiques.

Soientu= (u_n)_netv= (v_n)_ndes suites à éléments dansK.

• On dit que v domine u, et on écrit alorsun = O(vn), s’il existeA > 0 tel que

|u_n|A|v_n|dès quenest assez grand.

• On dit queu est négligeable devant v, et on écrit alors un = o(vn), si pour tout ε >0, on a|u_n|ε|v_n|dès quenest assez grand.

(22)

1.4 Séries à termes positifs 7

•On dit queuetvsont équivalentes, et on écrit alorsu_n∼v_n, siu_n−v_n=o(u_n).

Si cette condition est réalisée, on a aussivn−un=o(vn). S’il existeN ∈Ntel que v_n= 0pournN, ceci équivaut à dire que la suite(u_n/v_n)_nconverge vers1.

1.4.2. Soit

unune série à termes réels positifs ou nuls. La suite (Un)n est donc croissante. Il en résulte que le résultat suivant et celui de 1.4.3 sont immédiats.

Théorème. Soit

u_n une série à termes réels positifs ou nuls. Les conditions sui- vantes sont équivalentes :

(i) La série

u_nest convergente.

(ii) La suite(Un)nest majorée.

Si ces conditions sont vérifiées, on aU = sup{U_n;n ∈ N}. Si elles ne le sont pas, alorsUntend vers+∞quandntend vers+∞.

Théorème 1.4.3. Soient

u_net

v_ndes séries à termes réels positifs ou nuls. On suppose qu’il existeN ∈Ntel queunvnsinN. Alors :

(i) Si la série

v_nconverge, il en est de même de la série u_net : ∞

n=N

un ^∞

n=N

vn. (ii) Si la série

unest divergente, il en est de même de la série vn. Corollaire 1.4.4. Soient

u_net

v_ndes séries à termes réels positifs ou nuls telles queu_n=O(v_n). Alors :

(i) Si la série

vnconverge, il en est de même de la série un. (ii) Si la série

undiverge, la série

vndiverge aussi.

Démonstration. D’après les hypothèses, il existeN ∈NetA >0tels queu_nAv_n

sinN. Il suffit donc d’appliquer 1.4.3.

Corollaire 1.4.5. Soient

un et

vn des séries à termes réels positifs ou nuls vérifiant l’une ou l’autre des hypothèses suivantes :

(i) Il existeA, B∈R^∗₊tels queAvnunBvnpournassez grand.

(ii) un∼vn. Alors les séries

u_net

v_nsont de même nature.

Démonstration. Les deux conditions impliquent en effet queun = O(vn) et que

v_n=O(u_n).

(23)

Proposition 1.4.6. Soient

u_net

v_ndes séries à termes réels positifs ou nuls. On suppose qu’il existeN ∈Ntel que, pournN :

un>0, vn>0, un+1

un vn+1

vn · (i) Si la série

v_nconverge, la série

u_nconverge aussi.

(ii) Si la série

u_ndiverge, la série

v_ndiverge aussi.

Démonstration. PosonsA=uN/vN. SinN, il vient : u_n

vn u_n₋₁

vn−1 · · · u_N₊₁ vN+1 u_N

vN A.

D’où les assertions d’après 1.4.4.

1.5 CONVERGENCE ABSOLUE

Proposition 1.5.1. Soit

unune série à termes complexes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) La série

unest absolument convergente.

(ii) Les séries

Re(un)et

Im(un)sont absolument convergentes.

Démonstration. On a :

|Re(un)||un|, |Im(un)||un|, |un||Re(un)|+|Im(un)|.

Les deux premières inégalités établissent (i)⇒(ii) ; la troisième (ii)⇒(i).

1.5.2. D’après 1.5.1, l’étude de la convergence absolue dans le cas complexe se ramène à celle du cas réel. On va s’intéresser à cette situation. Sia∈R, on pose :

a⁺= max{a,0}, a⁻= max{−a,0}. Proposition. Soit

u_nune série à termes réels. Les conditions suivantes sont équi- valentes :

(i) La série

u_nest absolument convergente.

(ii) Les séries

u⁺_n et

u⁻_n sont convergentes.

Démonstration. Sin∈N, alors :

0u⁺_n |un|, 0u⁻_n |un|, |un|=u⁺_n +u⁻_n.

D’où le résultat.

Proposition 1.5.3. Soient

unune série et

vnune série à termes réels positifs ou nuls vérifiantu_n = O(v_n). Si la série

v_nconverge, alors la série

u_nconverge absolument.

Démonstration. Résulte de 1.4.4, caru_n=O(v_n)équivaut à|u_n|=O(v_n).

(24)

1.5 Convergence absolue 9

Théorème 1.5.4. Soient

u_nune série et

v_nune série à termes réels positifs ou nuls. On suppose qu’il existe un nombre complexe non nulλtel queun∼λvn. (i) Si

v_nconverge, alors

u_nconverge absolument.

(ii) Si

vndiverge,

undiverge aussi.

(iii) Les deux séries sont simultanément convergentes ou divergentes.

Démonstration. Il suffit de prouver (i) et (ii). D’après l’hypothèse, on aun=O(vn).

D’où (i) (1.5.3).

Supposons

v_ndivergente. On au_n−λv_n=o(λv_n). Il existe doncN ∈Ntel que : nN ⇒ |u_n−v_n| |λ|

2 v_n. SiN pq, on obtient alors :

|λ|^q

n=p

v_n− ^q

n=p

u_n ^q

n=p

(u_n−λv_n) |λ| 2

q n=p

v_n. On en déduit :

q n=p

v_n 2

|λ| ^q

n=p

u_n.

Si

u_nconverge, elle vérifie le critère de Cauchy. L’inégalité précédente montre que vnvérifie aussi ce critère, donc converge. Contradiction.

Corollaire 1.5.5. Soit

u_nune série. On suppose qu’il existeα∈ Retλ∈C^∗tels queu_n∼λn⁻^α. Alors :

(i) Siα >1, la série

(ii) Siα1, la série

u_ndiverge.

Démonstration. C’est clair d’après 1.3.10 et 1.5.4.

Proposition 1.5.6. Soit

unune série.

(i) S’il existeα > 1tel que la suite(n^αu_n)_nsoit bornée, la série

u_nest absolu- ment convergente.

(ii) Supposons lesu_n réels de même signe et l’existence deα 1tel que n^α|u_n| tende vers+∞quandntend vers+∞. Alors, la série

u_ndiverge.

Démonstration.

(i) On au_n=O(n⁻^α). On conclut d’après 1.3.10 et 1.5.3.

(ii) D’après les hypothèses, il vientn⁻^α =O(|un|). On termine alors comme en (i).

(25)

1.6 RÈGLES DE CAUCHY ET DE D’ALEMBERT

Théorème 1.6.1. (Règle de Cauchy). Soient

unune série et= lim sup ⁿ

|un|.

(i) Si <1, la série

(ii) Si >1, la série

unest divergente.

Démonstration. (i) Supposons <1, et fixonsλtel que < λ <1. Il existeN ∈N tel que|u_n|¹^/n λsinN. Pour un tel entiern, on a|u_n|λⁿ. On conclut alors d’après 1.3.9 et 1.4.3.

(ii) Supposons > 1, et fixonsλvérifiant > λ > 1. Pour tout N ∈ N, il existe n N tel que|un|¹^/n λ, soit|un| λⁿ. La suite(un)n ne converge pas vers0,

donc

u_ndiverge (1.3.6).

Remarque. Le cas des séries de Riemann montre que l’on ne peut conclure si = 1.

Corollaire 1.6.2. On suppose que la suite ⁿ

|u_n|

na une limite∈R. (i) Si <1, la série

u_nest divergente.

Théorème 1.6.3. (Règle de d’Alembert). Soit

u_nune série. On supposeu_n = 0 pournassez grand, et on pose :

L= lim sup|u_n₊₁|

|un| , = lim inf |u_n₊₁|

|un| · (i) SiL <1, la série

unest divergente.

Démonstration. (i) Supposons L < 1, et fixons λ tel que L < λ < 1. Posons vn=λⁿ. Sinest assez grand, on a :

|un+1|

|u_n| λ= vn+1

v_n · D’où l’assertion (1.3.9 et 1.4.6).

(ii) Si >1, il existeN ∈Ntel que :

nN ⇒un= 0 et |un+1|

|u_n| 1.

SinN, il vient|un||uN|>0. On conclut d’après 1.3.6.

Corollaire 1.6.4. On suppose queu_nest non nul pournassez grand et que la suite

|un+1|/|un|

na une limite∈R.

(i) Si <1, la série

u_nest divergente.

(26)

1.7 Séries alternées 11

1.6.5. Pourn∈Netz∈C, posonsun(z) = zⁿ n!·

•Sin1, on aun(0) = 0, et la série

un(0)est convergente, de somme égale à1.

•Supposonsz= 0. Alors :

|un+1|

|u_n| = |z|

n+ 1 →0 si n→+∞. D’après 1.6.4,

u_n(z) converge absolument pour tout z ∈ C. La somme de cette série est notéee^z:

e^z= ^∞

n=0

zⁿ n!· La série précédente est appelée la série exponentielle.

1.7 SÉRIES ALTERNÉES

Définition 1.7.1. On appelle série alternée toute série à termes réels de la forme (−1)ⁿanou

(−1)ⁿ⁺¹an, avecan∈R+pour toutn∈N.

Théorème 1.7.2. (Critère des séries alternées). Soit(a_n)_nune suite réelle décrois- sante de limite nulle. Siun= (−1)ⁿan, la série

unest convergente. En outre, pour toutn∈N, on a :

U₂_n₊₁U U₂_n, |U −U_n|a_n₊₁. Démonstration. Sin∈N, on a :

U₂_n−U₂_n₊₁ =a₂_n₊₁0,

U₂_n₊₂−U₂_n =a₂_n₊₂−a₂_n₊₁ 0, U₂_n₊₃−U₂_n₊₁ =a₂_n₊₂−a₂_n₊₃ 0.

Par conséquent, (U₂_n₊₁)_n,(U₂_n)_n

est un couple de suites adjacentes. On en déduit que la suite(Un)nconverge, donc que la série

unest convergente. On obtient alors : U₂n+1 U U₂n⇒ |U−U₂n+1|U₂n+2−U₂n+1=a₂n+2,

U₂n+1 U U₂n⇒ |U−U₂n|U₂n−U₂n+1 =a₂n+1.

D’où le résultat.

Exemple. En utilisant 1.7.2, on voit que la série de terme général (−1)ⁿ

n^α converge si et seulement siα >0.

(27)

1.8 SÉRIES SEMI-CONVERGENTES

Définition 1.8.1. Une série est dite semi-convergente si elle est convergente sans être absolument convergente.

1.8.2. L’exemple précédent nous montre que, pour0 < α 1, la série de terme généralu_n= (−1)ⁿ

n^α est semi-convergente. Précisons siα= 1. On a 1

1 +t = 1−t+t²+· · ·+ (−1)ⁿtⁿ+ (1)ⁿ⁺¹tⁿ⁺¹ 1 +t pour0t1etn∈N. En intégrant entre0et1, on obtient alors :

ln 2 = 1−1 2 +1

3 +· · ·+(−1)ⁿ

n+ 1 + (−1)ⁿ⁺¹ ₁

0

tⁿ⁺¹ 1 +tdt.

Comme

0 ₁

0

tⁿ⁺¹ 1 +tdt

₁

0 tⁿ⁺¹dt= 1 n+ 2, on retrouve que la série converge siα= 1, et que sa somme estln 2.

1.8.3. Soit

u_nune série semi-convergente.

•Supposons la série à termes réels. Avec les notations de 1.5.2, il vient : un=u⁺_n −u⁻_n , |un|=u⁺_n +u⁻_n.

La première égalité montre que les séries

u⁺_n et

u⁻_n sont de même nature. La seconde prouve qu’elles sont divergentes.

• Supposons la série à termes complexes. Alors les séries

Re(u_n) et

Im(u_n) sont convergentes. Comme|u_n||Re(u_n)|+|Im(u_n)|, on voit que l’une au moins de ces deux séries n’est pas absolument convergente.

Théorème 1.8.4. Soient(vn)nune suite de nombres complexes et(αn)nune suite de nombres réels positifs vérifiant les conditions suivantes :

(i) La suite(αn)nest décroissante de limite nulle.

(ii) La suite(Vn)n, avecVn=v₀+· · ·+vn, est bornée.

Alors la série

α_nv_nest convergente.

Démonstration. Notonsu_n=α_nv_n, et soitM > 0vérifiant|V_n|M pour toutn.

On va prouver que la série

u_nvérifie le critère de Cauchy.

Remarquons quev_n=V_n−V_n₋₁sin1. D’où, si1pq: q

n=p

u_n=α_p(V_p−V_p₋₁) +α_p₊₁(V_p₊₁−V_p) +· · ·+α_q(V_q−V_q₋₁)

=−Vp−1αp+Vp(αp−αp+1) +· · ·+Vq−1(αq−1−αq) +Vqαq.