1ère L1 . OPTION FONCTIONS : Activités préliminaires Exercice 1.
Un maître nageur dispose d’un cordon flottant de 360 m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée . On note x et y les dimensions , en mètres , de ce rectangle et S(x) son aire en m² .
1. a. Calculer cette aire pour x égal à 25 puis , pour x égal 42 . b. De façon générale , exprimer y puis S(x) en fonction de x .
2. Le but de cette question est de déterminer quelle valeur donner à x pour que l’aire de baignade soit maximale . a. A quel intervalle I appartient le nombre x ?
b. Première méthode : Utilisation de la calculatrice
- En utilisant le tableur de votre calculatrice , compléter le tableau suivant :
x 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90
S(x)
x 100 110 120 130 140 150 160 170 175
S(x)
Qu’observe-t-on ?
- A l’aide de ce tableau et du graphe de la fonction ( Mode Trace ) , conjecturer la valeur de x pour laquelle l’aire est maximale . Réponse : ………….
c. Seconde méthode : Par le calcul
- Démontrer que : S(x) – 16 200 = -2 x P(x) où P(x) est un polynôme du second degré à déterminer . - Démontrer que P(x) peut s’écrire sous la forme ( a – b )² où a et b sont à déterminer .
- Quel est le signe de S(x) – 16 200 ? En déduire que : S(x) 16200et que l’égalité n’est possible que pour une valeur de x .
3. Déterminer le plus précisément possible , les valeurs de x pour lesquelles l’aire , S(x) , est supérieure à 12 000 m² .
Exercice 2.
On introduit 50 000 poissons dans un lac artificiel . On estime que la population de poissons varie en fonction du temps et que , t années après la mise à l’eau le nombre de poissons , en milliers d’unités , est donné par la formule :
t 05 , 0 1
t 60 ) 50
t (
P
.
1. Calculer la population de poissons au bout d’un an , de quatre ans , de huit ans .
2. En combien d’années la population aura-t-elle quadruplé ? aura-t-elle été multipliée par 6 ? 3. a. Compléter le tableau suivant ( arrondir à l’unité ) :
t 0 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70
P(t)
b. A l’aide de la calculatrice conjecturer la valeur de m , plus petit nombre que P(t) ne dépassera jamais . c. Confirmer cette conjecture en étudiant le signe de P(t) – m .
