Second degré

(1)

Second degré

Xavier Hallosserie

Lycée Blaise Pascal

septembre 2015

(2)

Sommaire

1.Activité

2.Fonction polynôme du second degré 2.1 Forme développée

2.2 Forme canonique 2.3 Variations

2.4 Représentation graphique

3.Équation du second degré

3.1 Résolution de l’équation du second degré

4.Factorisation et signe du trinôme

4.1 Factorisation du trinôme du second degré 4.2 Signe du trinôme du second degré

(3)

L’Airbus A300 zéro g et le vol parabolique

Le principe du vol parabolique est de reproduire une trajectoire la plus proche possible de la parabole décrite par un objet lancé à la vitesse de l’avion, afin que les expériences situées à l’intérieur de l’avion soient en état d’impesanteur.

https://www.youtube.com/watch?v=1ieR8hIXUIg

(4)

L’Airbus A300 z éro g et le vol parabolique

L’objet du problème est d’étudier une trajectoire correspondant à la phase d’impesanteur et d’en déterminer la durée.

(5)

L’Airbus A300 zéro g et le vol parabolique

Dans le repère(O;Ox;Oy)et dont l’unité choisie pour chaque axe est le mètre (m), la position de l’avion en fonction du temps durant la phase d’impesanteur est décrite par le système d’équations suivant :

Le tempstest toujours donné en seconde(s)

x= 120t (1) y=−4.9t²+ 120t (2)

(6)

L’Airbus A300 zéro g et le vol parabolique

x= 120t (1) y=−4.9t²+ 120t (2)

1 Déterminer la valeur deypourt= 5s.

2 En déduire l’altitude de l’avionpar rapport au solà cet instant.

3 À partir de l’équation (1), exprimerten fonction dex.

(7)

L’Airbus A300 zéro g et le vol parabolique

x= 120t (1) y=−4.9t²+ 120t (2)

4 En remplaçant alorsten fonction dexdans l’équation (2), montrer que l’équation de la trajectoire dans ce repère s’écrit :

y=− 4,9 x²+x

(8)

L’Airbus A300 zéro g et le vol parabolique

On étudie la fonctionf définie sur l’intervalleh

0 ; 3000i par :

f(x) =− 4,9 14 400x²+x

5 Pour quelle valeur dexl’altitude est-elle maximale ?

6 Pour quelles valeurs dexa-t-onf(x) = 0? Quelle est alors l’altitude de l’avion ?

7 Dresser le tableau de variation def surh

0 ; 3000i .

(9)

Sommaire

1.Activité

(10)

Sommaire

1.Activité

(11)

Définition 1

Une fonctionpolynôme du second degréoutrinôme du second degréest une fonction f définie surRpar :

f(x) =ax²+bx+coùa,b,c, sont trois réels donnés aveca6= 0.

Cette écriture est laforme développéedef.

Exercice 0

Déterminer les réelsa,b,cdans les cas suivants :

f(x) =−7x²+ 3x−4 g(x) =−2x+ 5x²−1 h(x) = 3−4x²

(12)

Définition 1

Une fonctionpolynôme du second degréoutrinôme du second degréest une fonction f définie surRpar :

f(x) =ax²+bx+coùa,b,c, sont trois réels donnés aveca6= 0.

Cette écriture est laforme développéedef.

Exercice 1

Déterminer les réelsa,b,cdans les cas suivants :

f(x) =−7x²+ 3x−4 g(x) =−2x+ 5x²−1 h(x) = 3−4x²

(13)

Sommaire

1.Activité

(14)

Propriété 1

Soitf(x) =ax²+bx+cune fonction polynôme du second degré aveca6= 0alors, pour tout réelx, on af(x) =a(x−α)²+β oùα=−b

2a etβ=f(α).

Cette écriture est appeléeforme canoniquedef.

(15)

Démonstration :

Démontrons queax²+bx+c=a

x+ b 2a

²

−b²−4ac 4a :

a

x+ b 2a

²

=a

x²+b ax+ b²

4a²

=ax²+bx+ b² 4a

a x+ b

2a ²

−b²−4ac

4a =ax²+bx+ b²

4a−b²−4ac 4a

=ax²+bx+ b² 4a− b²

4a+4ac 4a

=ax²+bx+c En posantα=− b

2a etβ=−b²−4ac

4a , on a bien :

ax²+bx+c=a(x−α)²+β avecβ=f(α).

(16)

x+ b 2a

²

−b²−4ac 4a :

a

x+ b 2a

²

=a

x²+b ax+ b²

4a²

=ax²+bx+ b² 4a

a x+ b

2a ²

−b²−4ac

4a =ax²+bx+ b²

4a−b²−4ac 4a

=ax²+bx+ b² 4a− b²

4a+4ac 4a

=ax²+bx+c

En posantα=− b

4a , on a bien :

ax²+bx+c=a(x−α)²+β avecβ=f(α).

(17)

x+ b 2a

²

−b²−4ac 4a :

a

x+ b 2a

²

=a

x²+b ax+ b²

4a²

=ax²+bx+ b² 4a

a x+ b

2a ²

−b²−4ac

4a =ax²+bx+ b²

4a−b²−4ac 4a

=ax²+bx+ b² 4a− b²

4a+4ac 4a

=ax²+bx+c En posantα=− b

4a , on a bien :

(18)

Exercice 2

Déterminer les formes canoniques des fonctionsf etg: f(x) = 3x²−6x+ 7 g(x) =−2x²−12x−23.

(19)

Sommaire

1.Activité

(20)

Propriété 2 (rappel)

Soitf une fonction polynôme du second degré écrite sous sa forme canonique : f(x) =a(x−α)²+β

Sia >0f estdécroissantesur]− ∞;α]etcroissantesur[α; +∞[.

Sia <0f estcroissantesur]− ∞;α]etdécroissantesur[α; +∞[.

x

variation def

−∞ α +∞

β β

x

variation def

−∞ α +∞

β β

(21)

Sia >0f estdécroissantesur]− ∞;α]etcroissantesur[α; +∞[.

Sia <0f estcroissantesur]− ∞;α]etdécroissantesur[α; +∞[.

x

variation def

−∞ α +∞

β β x

variation def

−∞ α +∞

β β

(22)

Exercice 3

Dresser les tableaux de variation des fonctions du second degré suivantes : f(x) = 3x²−6x+ 7 g(x) =−2x²−12x−23.

(23)

Sommaire

1.Activité

(24)

La courbe représentative def est une parabole desommetS(α;β)et qui admet comme axe de symétriela droite d’équationx=α.

x y

O

x y

O

(25)

x y

Cf

O

y

Cf

(26)

x y

Cf

O S• α

β x

y

Cf

O

S•

α β

(27)

x y

Cf

O

x=α

y

Cf

x=α

(28)

f admet un extremum égal àβatteint enx=αd’après la propriété 2.

On posex=α+havech >0. On a alorsf(α+h) =a(α+h−α)²+β=ah²+β etf(α−h) =a(α−h−α)²+β=a(−h)²+β=ah²+β, ce qui prouve que la droite d’équationx=αest un axe de symétrie de la courbe.

x y

O S•

Cf

α

β

x y

O

S•

Cf

α β

(29)

x y

O

•S Cf

α

β

(30)

x y

O

•S Cf

α

β

α+h

f(α+h)

(31)

x y

O

•S Cf

α

β α−h

f(α−h)

(32)

x y

O

•S Cf

α

β α−h

f(α−h)

α+h

f(α+h)

(33)

x y

O

•S Cf

α

β

x=α

(34)

Sommaire

1.Activité

(35)

Définition 2

Soitax²+bx+cuntrinômedu second degré(a6= 0).

Le nombre∆ =b²−4acest appelédiscriminantdu trinôme.

Remarque :

La forme canonique def peut alors s’écriref(x) =a(x−α)²− ∆ 4a.

(36)

Sommaire

1.Activité

(37)

Propriété 4

On considère l’équationax²+bx+c= 0avec(a6= 0)et on note∆le discriminant du trinôme.

Si∆>0l’équation admet deux solutions distinctes : x1= −b+√

∆

2a etx2= −b−√

∆ 2a ;

Si∆ = 0l’équation admet une seule solution : x0=− b

2a;

Si∆<0l’équation n’admet pas de solution.

Remarque :

On dit aussi quex1,x2oux0 sont lesracinesdu trinôme.

(38)

Propriété 4

∆

2a etx2= −b−√

∆ 2a ;

2a;

Remarque :

(39)

Propriété 4

∆

2a etx2= −b−√

∆ 2a ;

2a;

Remarque :

(40)

Propriété 4

∆

2a etx2= −b−√

∆ 2a ;

2a;

Remarque :

On dit aussi quex1,x2 oux0 sont lesracinesdu trinôme.

(41)

Illustration

∆

2a etx2= −b−√

∆ 2a ;

x y

O

a >0

x y

O

a <0

(42)

Illustration

∆

2a etx2= −b−√

∆ 2a ;

x y

O

a >0

x1 x2

x y

O

a <0

x1 x2

(43)

Illustration

2a;

x y

O

a >0

x y

O

a <0

(44)

Illustration

2a;

x y

O

a >0

x0

x y

O

a <0

x0

(45)

Illustration

x y

O

a >0

x y

O

a <0

(46)

Illustration

x y

O

a >0

x y

O

a <0

pas d’intersection avec l’axe des abscisses !

(47)

Démonstration : On sait que

ax²+bx+c= 0⇔a(x−α)²− ∆

4a = 0⇔a(x−α)²= ∆

4a ⇔(x−α)²= ∆ 4a²

Si∆>0l’équation est équivalente àx−α=

√∆

2a oux−α=−

√∆ 2a doncx=α+

√

∆ 2a =−b

2a+

√

∆

2a = −b+√

∆ 2a ou x=α−

√

∆ 2a =−b

2a−

√

∆

2a =−b−√

∆ 2a ;

Si∆ = 0l’équation est équivalente à(x−α)²= 0 doncx=α=− b 2a; Si∆<0alors ∆

4a² <0et l’équation(x−α)²= ∆

4a² n’admet pas de solution.

(48)

ax²+bx+c= 0⇔a(x−α)²− ∆

4a = 0⇔a(x−α)²= ∆

4a ⇔(x−α)²= ∆ 4a²

√

∆

2a oux−α=−

√

∆ 2a doncx=α+

√

∆ 2a =− b

2a+

√

∆

2a = −b+√

∆ 2a ou x=α−

√

∆ 2a =−b

2a−

√

∆

2a = −b−√

∆ 2a ;

(49)

ax²+bx+c= 0⇔a(x−α)²− ∆

4a = 0⇔a(x−α)²= ∆

4a ⇔(x−α)²= ∆ 4a²

√

∆

2a oux−α=−

√

∆ 2a doncx=α+

√

∆ 2a =− b

2a+

√

∆

2a = −b+√

∆ 2a ou x=α−

√

∆ 2a =−b

2a−

√

∆

2a = −b−√

∆ 2a ;

Si∆ = 0l’équation est équivalente à(x−α)²= 0 doncx=α=− b 2a;

Si∆<0alors ∆

(50)

ax²+bx+c= 0⇔a(x−α)²− ∆

4a = 0⇔a(x−α)²= ∆

4a ⇔(x−α)²= ∆ 4a²

√

∆

2a oux−α=−

√

∆ 2a doncx=α+

√

∆ 2a =− b

2a+

√

∆

2a = −b+√

∆ 2a ou x=α−

√

∆ 2a =−b

2a−

√

∆

2a = −b−√

∆ 2a ;

(51)

ax²+bx+c= 0⇔a(x−α)²− ∆

4a = 0⇔a(x−α)²= ∆

4a ⇔(x−α)²= ∆ 4a²

√

∆

2a oux−α=−

√

∆ 2a doncx=α+

√

∆ 2a =− b

2a+

√

∆

2a = −b+√

∆ 2a ou x=α−

√

∆ 2a =−b

2a−

√

∆

2a = −b−√

∆ 2a ;

(52)

Exercice 4

Résoudre à l’aide des formules les équations suivantes : 2x²−3x−5 = 0

3x²−3x= 18 6x²−7x−3 = 0 Remarque :

Quand l’un des coefficientsboucest nul, il n’est pas nécessaire - même déconseillé - d’utiliser la propriété 4 !

Exercice 5

Résoudre sans les formules les équations suivantes : 4x²−9 = 0

5x²−2x= 0 x²+ 4 = 0

(53)

Sommaire

1.Activité

(54)

Sommaire

1.Activité

(55)

Propriété 5

On considère le trinômeax²+bx+cavec(a6= 0)de discriminant∆.

Si∆>0le trinôme est factorisable :ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2)oùx1 etx2

sont les racines du trinôme ;

Si∆ = 0le trinôme est factorisable :ax²+bx+c=a(x−x0)² oùx0 l’unique racine du trinôme ;

Si∆<0le trinôme n’est pas factorisable.

(56)

Propriété 5

(57)

Propriété 5

(58)

Démonstration : Si∆>0, alors√

∆existe :

a(x−α)²− ∆ 4a =a

(x−α)²− ∆ 4a²

=a

"

(x−α)²− ^√

∆ 2a

2#

=a

x−α−

√∆

2a x−α+

√∆ 2a

=a

x−−b 2a −

√∆

2a x−−b 2a +

√∆ 2a

=a

x−−b+√

∆

2a x−−b−√

∆ 2a

=a(x−x1)(x−x2)

(59)

Démonstration : Si∆ = 0:

a(x−α)²− ∆

4a =a(x−α)²

=a(x−x0)²

(60)

Démonstration : Si∆<0alors√

∆n’existe pas et on ne peut pas factoriser le trinôme.

(61)

Sommaire

1.Activité

(62)

Propriété 6

Soitax²+bx+cavec(a6= 0)etx1,x2 oux0 les racines suivant les cas.

Cas∆>0: x Signe de ax² + bx + c

−∞ x1 x2 +∞

signe de

(a) 0 signe de

(−a) 0 signe de (a)

Cas∆ = 0: x Signe de ax² + bx + c

−∞ x0 +∞

signe de

(a) 0 signe de (a) Cas∆<0:

x Signe de ax² + bx + c

−∞ +∞

signe de (a)

(63)

Propriété 6

−∞ x1 x2 +∞

signe de

(a) 0 signe de

(−a) 0 signe de (a) Cas∆ = 0:

−∞ x0 +∞

signe de

(a) 0 signe de (a)

Cas∆<0: x Signe de ax² + bx + c

−∞ +∞

signe de (a)

(64)

Propriété 6

−∞ x1 x2 +∞

signe de

(a) 0 signe de

(−a) 0 signe de (a) Cas∆ = 0:

−∞ x0 +∞

signe de

(a) 0 signe de (a) Cas∆<0:

−∞ +∞

signe de (a)

(65)

Illustration

Cas∆>0:

x y

O

a >0

x y

O

a <0

(66)

Illustration

Cas∆>0:

x y

O

a >0

+ +

x1

-

x2

x y

O

a <0

- -

x1

+

x2

(67)

Illustration

Cas∆>0:

x y

O

a >0

+ +

x1

-

x2

x y

O

a <0

- -

x1

+

x2

x Signe de ax²+bx+c

−∞ x1 x2 +∞

signe de

(a) 0 signe de

(−a) 0 signe de (a)

(68)

Illustration

Cas∆ = 0:

x y

O

a >0

x y

O

a <0

(69)

Illustration

Cas∆ = 0:

x y

O

a >0

+ +

x0

x y

O

a <0

- -

x0

(70)

Illustration

Cas∆ = 0:

x y

O

a >0

+ +

x0

x y

O

a <0

- -

x0

−∞ x0 +∞

signe de

(a) 0 signe de (a)

(71)

Illustration

Cas∆<0:

x y

O

a >0

x y

O

a <0

(72)

Illustration

Cas∆<0:

x y

O

a >0

+

x y

O

a <0

-

(73)

Illustration

Cas∆<0:

x y

O

a >0

+

x y

O

a <0

-

−∞ +∞

signe de (a)

(74)

Remarque :

On retiendra qu’un trinôme du second degré est toujours du signe de(a)sauf entre ses racines éventuelles.

Si∆>0avecx1< x2 : x x − x1

x − x2

(x − x1)(x − x2) a(x − x1)(x − x2)

−∞ x1 x2 +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

signe de

(a) 0 signe de

(−a) 0 signe de (a)

(75)

Remarque :

Démonstration : Si∆ = 0:

x x − x0

x − x0

(x − x0)(x − x0) a(x − x0)(x − x0)

−∞ x0 +∞

− 0 +

+ 0 +

signe de

(a) 0 signe de (a)

(76)

Remarque :

Si∆<0: ax²+bx+c=a

(x−α)²− ∆ 4a²

Or(x−α)²>0et− ∆ 4a² >0 donc(x−α)²− ∆

4a² >0eta

(x−α)²− ∆ 4a²

est du signe de(a).

(77)

Exercice 6

Résoudre dansRles trois inéquations suivantes :

2x²−7x−9<0

−6x²−11x+ 7>0 5x²−2x+ 1>0