A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION B
X. G UYON E. L ESQUOY F. S CHAEFFER
Plans d’expérience adaptés à un champ d’hypothèses a priori. Construction. Précision globale
Annales de l’I. H. P., section B, tome 9, n
o4 (1973), p. 379-396
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Plans d’expérience
adaptés à
unchamp d’hypothèses
apriori.
Construction. Précision globale
X.
GUYON,
E.LESQUOY,
F. SCHAEFFERAnn. Inst. Henri Poincaré, Section B :
Calcul des Probabilités et Statistique,
SUMMARY. -
Following
the first paper aboutexperimental designs,
this one
gives
some information about theprecision
of the estimationin a linear model. It also
study
theproblem
of whatexperiences
can bedropped
if the class of theoperators
A is restricted to a smaller one.INTRODUCTION
La notion de
plan d’expérience adapté
à unchamp d’hypothèses a priori
est abordée par Pham Dinh
[1]
etreprise
avec une formulationplus géné-
rale par D.
Vaguelsy [2] peut
se résumer ainsi.Soit T =
Ai
1 xA~
x ... xAk
un ensemble de traitementspouvant
êtreappliqués
sur des unitésexpérimentales
et V un sous-espace vectoriel del~T
fixant lechamp d’hypothèses a priori :
Quelles expériences
faut-il réaliser afin depouvoir
estimer tous lesparamètres
du modèle V ?Un tel ensemble
d’expériences
seradit, adapté
auchamp d’hypothèses
a
priori
ouplan adapté
au modèle V.Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B - Vol. IX, n° 4 - 1973.
Vol. IX, n° 4, 1973, p. 379--396.
Le but de cet article est
1. de donner une méthode de construction
générale
deplans adaptés
au modèle
V,
2. de définir une mesure de la
précision globale
d’unplan adapté,
3. de
répondre
à laquestion :
dans le cas où on ne voudrait estimer que certainesprojections
de la moyenne, comment obtenir desplans adaptés
à ces estimations ?PRÉLIMINAIRES
ET NOTATIONSOn notera T =
A
1 xA2
x ... xAk
l’ensemble des traitements réali-sables, t
un traitement.Si,
sur une unitéexpérimentale
onapplique
le traitement t, on noteraYt
le résultat observé sur cette unité.
Y~
est une variable aléatoire de moyenne :La condition « ç E V » définit le
champ d’hypothèses a priori,
ou modèle.Reprenant
les notations de D.Vaguelsy [2]
on définira unplan d’expé-
rience par un
couple (U, s)
où :1.
U = {1, 2,
...,n ~
est l’ensemble de numérotation des unitésexpéri-
mentales.
2. s est une
application
de U dansT ; s(i)
est le traitementappliqué
à l’unité i.
Etant donné un
plan d’expérience quelconque (U, s)
on supposeraconnue la
matrice ~
de covariance du vecteur ..., et on sup- posera que cette matrice estrégulière.
I~T
est muni duproduit
scalairecanonique
~t
est le vecteur de la basecanonique
deIRT
V est muni du
produit
scalaire induit par celui de(~T.
~r
estl’application
linéaire :Elle caractérise le
plan d’expérience.
Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
381 PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI »
ESTIMATION
LINÉAIRE
DE VARIANCE
GÉNÉRALISÉE
MINIMALE D’UNOPÉRATEUR
ASoit
(U, s)
unplan adapté
à l’estimation de V dans le modèle V. Soit Eun espace
euclidien,
A unopérateur
de V dansE,
’
Notons :
ÂY
est un estimateur sans biais deA~p
si et seulement siOn
appelle
« variancegénéralisée »
de l’estimateurÂY
deA~p
laquantité :
Le théorème de Gauss-Markov s’écrit alors : cf. D.
Vaguelsy [2],
Cour-rège [3].
« Il existe unopérateur Âo unique
deRU
dans E tel que1.
0Y
estimeA03C6
sans biais pour tout ç de V.2.
0Y
est de variancegénéralisée
minimale.3.
Âo
=E est
l’opérateur
de covariance associé à Y où :et
(U, s) adapté implique
quet~~- ~~r
est donc inversible.DÉFINITIONS. - On notera
plan A-adapté
dans le modèle V unplan qui
permet
d’estimer,
dans le modèleV, l’opérateur
A Si :Vol. IX, n° 4-1973.
opérateur identique
deV,
on noteraplan V-adapté
dans le modèle V. Sisous-espace vectoriel de V et si
est la
projection orthogonale
surVl,
on noteraplan VI-adapté
dans lemodèle V au lieu de
PV1-adapté.
I.
CARACTÉRISATIONS
D’UN PLANV-ADAPTÉ.
PLANS
MINIMAUX
Soit unplan (U, s),
un modèle V. Notonsla
partie
def~T
associée às(u)
pardualité ; [E] l’espace
vectorielengendré
par la
partie
E etPv
laprojection orthogonale
sur V.THÉORÈME 1.
- (Il, s)
estV-adapté
dans le modèle V si et seulement sis*(u)} engendre
V :Cette condition est
équivalente
àest
de rang p où p est ladimension
de V.En
particulier, (U, s)
estV-adapté
minimal si etseulement
siDans ce cas : Card U = Card
s(U)
= dim V.On sait que
(U, s)
estadapté
si et seulement siDonc
(U, s)
estadapté
si et seulement sic’est-à-dire
comme :
le résultat en découle
immédiatement.
Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI » 383
COROLLAIRE. - Si les traitements
{ tl, t2, ..., t p ~ et
la base ~ de Vsatisfont à
c’est-à-dire si le tableau des valeurs des en ti est de la forme suivante :
alors
{ tl, t2, ..., tp ~
est unplan
Vadapté
minimal.Application
à la construction d’un telplan
On
part
d’une basequelconque
de V :On choisit un
point t
1 tel que~p°(t 1 )
soit différent de 0 et on construitune nouvelle base 1 de V :
On choisit alors un
point t2
tel que On poseOn continue le
procédé jusqu’à ~pp.
Alors {t1,
...,tp}
et ..., satisfont aux conditions du corol- laire.Vol. IX, n° 4 - 1973.
II.
PRÉCISION
GLOBALE D’UN PLANV-ADAPTÉ
DANS LE
MODÈLE
VSoit
~’ _ ~
vl,v2, ... , vp ~
une baseorthogonale
de V. On note lamatrice de
l’opérateur 03C8
dans la base N de V et la basecanonique
deRU, 03A3
la matrice de covariance de Y. Alors la variancegénéralisée de
s’écritEn effet si est orthonormale et si ç s’écrit
alors
et :
Nous
appellerons
cenombre,
«précision globale »
duplan.
Remarquons
que la «précision globale »
d’unplan d’expérience
estinvariante par les
permutations
61 de deA2,~ ...,
6p deAp.
On endéduit une
permutation 0’
de T :Il
correspond
à cettepermutation
(7, unchangement
de base deV ;
si :alors :
Si ’Y~ est
orthonormale,
est encore orthonormale :et comme la
précision globale
est la trace d’unematrice,
elle est invarianteAnnales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI » 385
par transformation
orthogonale ;
en effet si ~Y~’ est une autre base ortho- normaleoù P est
orthogonale
DÉFINITION. - On
appellera
«équivalents » (cf. [I])
deuxplans (U1, (U2, s2)
tels que :** Il existe une
permutation 6
=(o~
1 ...7p)
telle quePROPOSITION II .1. - Soit un
système
degénérateurs
de V.Si tout
élément 03C6
dans V sedécompose
defaçon unique
où les
~,i
sont définies par les conditionssupplémentaires
et si on pose
On a le résultat suivant :
où q;
est la ie colonne deQ.
Enparticulier
si i,p est une base ortho- normale de V :Démonstration. Démontrons d’abord le résultat pour une base orthonormale
Vol. IX, n° 4 - 1973.
Si
(P, Xi
sont les estimateurs de varianceminimum,
alors :On a donc :
Si P est la matrice
(p,
p +q)
des coordonnées de 11/’ dans f alorsEn
prenant
la trace de cette matrice on obtient bienExemple :
modèle additif.’
Les
paramètres classiques
del’analyse
de variance sont tels queAnnales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI » 387
Les matrices des
produits scalaires ( Wi, W~ ) et (
s’écrivent :Les
âi
et les~3~
étant les estimateurs sans biais de variance minimum desparamètres,
on a :Vol. IX, n° 4 - 1973.
On en déduit donc :
Remarque.
- Endécomposant
~p sur la base orthonormale onobtient
où t
estl’estimateur
de variance minimum de la moyenne Si leplan adapté
estminimal :
et si t n’est pas dans
S(u), ,û~
est lacombinaison
linéaire des dontl’espé-
rance vaut On trouvera dans le
paragraphe 4,
comment dans le casdu modèle additif à deux
facteurs
on litdirectement
sur leplan d’expé- rience,
la valeur de la variancegénéralisée.
III. PLANS
Vi-ADAPTÉS
DANS LEMODÈLE
V SoientV2
lesupplémentaire orthogonal
deVi
dans V etVi
unsupplé-
mentaire
quelconque
deVl
dans V. Unplan qui
rend estimable laprojec-
tion
orthogonale P~1
rend estimable laprojection ~~i
surVl parallèlement
à
V2,
car il existe unisomorphisme
L tel que :Un
plan
est doncVl adapté
si et seulement si il permet d’estimer toutopérateur
nul surV2.
PROPOSITION 111.1. - Un
plan (~, s)
estVl-adapté
dans le modèle V si et seulement siDémonstration. «
(~, s) Vl-adapté
dans le modèle V » s’écrit :c’est-à-dire
Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
389
PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI »
On en déduit alors :
Relations entre
plans V t -adaptés
et
plans V-adaptés,
dans le modèle VCes relations sont
explicitées
par les trois résultats suivants :PROPOSITION 111.2. - Tout
plan V1-adapté
dans le modèle V
peut
seprolonger
en unplan (t1, t2, ... , tk, ... , tp}
V-adapté
dans le modèleV,
minimal.PROPOSITION III 3. - De tout
plan V-adapté
dans Vminimal,
on peut extraire ununique plan
minimalV1-adapté
dans V.PROPOSITION III. 4. - Si
S(u)
etS’(u)
sont deuxplans V-adaptés
dansV, minimaux, qui
induisent par extraction le mêmeplan V1-adapté
dans
V,
alors tout élément deVl
admet le même estimateur de variance minimum dansS(u)
etS’(u), c’est-à-dire,
l’estimateur de laprojection orthogonale
surVl
nedépend
que deDémonstration de la
proposition
III . 2. SoitS 1 (u)
unplan V1-adapté
dans
V,
minimal(au
sens del’inclusion)
et différent de T.La suite des espaces vectoriels ...,
est strictement croissante
puisque {
ti, t2, ...,tk}
est minimale. Deplus d’après
laproposition 111.1,
on a :-
On a donc
On
peut
alors trouver des fonctions orthonormales deV,
~p2, ~ ~ ~, ~Pk telles que :Vol. IX, n° 4 - 1973.
et le tableau des valeurs des rpt sur
les t~
de la formeComme pour la construction d’un
plan
minimal faite auparagraphe I,
on
peut
trouver des fonctions ~pk + 1,... , ~p p
et despoints
...,tp
tels
qu’on
ait le tableau suivantc’est-à-dire
{tI’ t2, ... , t p ~ V-adapté
dans V et minimal.Démonstration de la
proposition
111.3. - SoitS(u)
unplan V-adapté
dans V et minimal :
Si il existe un indice i tel que :
on retire le
point ti
et on ne considèreplus
quesinon {
tl, t2,..., tp ~
est leplan VI-adapté
dans V minimal que l’onpeut
extraire deS(u).
Si on est dans lepremier
cas, on recommencel’opération sur { t~, j ~ i ~
et finalement au bout d’un nombre fini de telles extractionson aboutit à une
partie
incluse dansS(u) minimale, VI-adaptée
dans V.*
Supposons
maintenant que nous ayons trouvé deuxparties
deS(u),
Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI » 391
minimales, sl(u)
ets2(u), qui
soientV1-adaptées
dans le modèle V. Posonsalors :
Parce sont linéairement
indépendants.
CommeA~
1et
A2,
A contient laminimalité
entraîne que :c’est-à-dire
Démonstration de la
proposition
111.4. - PosonsOn sait que
Soit
(v 1,
v2, ...,vI)
une base orthonormale deVl
que l’onprolonge
en une base orthonormale de
V,
v2, ...,vn) ayant
lespropriétés
sui-vantes :
Par
hypothèse
lafonction (~
donnée parest dans V. Donc
relation que l’on écrit matriciellement :
Vol. IX, n° 4 - 1973. 28
~r
est de la forme suivante :~r
étantrégulière
on obtient l’estimateurde ~,, ~ :
. 1 1
En
particulier
= est estimé par et nedépend
que des k observations effectuées surRecherche du
plan V -adapté
dans V minimal extrait d’unplan V-adapté
minimalSoit
S(u) _ ~ t 1,
t2, ... , unplan V-adapté
minimal et v2, ...,vI ~
une base de
VI
que l’oncomplète
en une base deV, ~ v 1,
v2, ... , vi, ... , Onappelle t03C8
la matricequi
contient en colonnes les vecteursPV03B4tk expri-
més dans la
base {
vl, v2, ...,vp ~ .
Soit R lapartie
deS(u)
telle queS(u) -
Rsoit
V1-adaptée
dansV, minimale ;
alors on a la caractérisation suivante : tk est dans R si et seulement si la keligne
de commence par 1zéros,
c’est-à-dire la ke coordonnéede 03BD1
1(resp.
v2, ... ,vI) exprimé
dans la base...,
PV03B4tp)
est nulle.IV. EXEMPLE :
MODÈLE
ADDITIF A DEUX FACTEURS; IV.l. Liste des
plans
minimaux. V =Ei
+E2
On a
figuré
lesreprésentants
des 28 classesd’équivalence
desplans
minimaux
V-adaptés,
dans un modèle additif(5 x 4).
On a choisi lesrepré-
sentants en classant les
plans d’expérience
de lafaçon
suivante :la suite des
couples (i, j) représentant
uneexpérience
i = 1 ...5, j
= 1 ... 4 estrangée
dans l’ordrelexicographique
décroissant :.Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
393 PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI »
Les différents
plans d’expérience
sont aussi ordonnés avec l’ordre lexico-graphique :
’
on
représente chaque
classe deplans
par leplus grand
de ses éléments.On numérote enfin ces
représentants
en lesrangeant
dans l’ordre lexico-graphique
décroissant.On remarquera que la transformation
orthogonale
de Vqui correspond
à des
permutations
de niveaux dechaque
facteur laisse invariants les sous-espaces
03A6Ø, S21
1 etSZ2.
La
précision globale
est invariante mais aussi lesprécisions partielles
sur
Q2,
c’est-à-direSous chacun des
plans
on aporté
les trois nombrescalculé dans le cas est l’identité.
IV. 2. Calcul direct de la
précision globale pour E
= Id~ Un
plan
estadapté
si par « saturation » on obtient T tout entier(voir ‘[6]).
Pour saturer un
plan d’expérience
onajoute
tous lespoints (i, j) qui
constituent le
quatrième
sommet d’unrectangle
dont les trois autres sontpoints
duplan
ou d’une saturationprécédente jusqu’à
obtenir unrectangle
de
points.
En effet
si, Y12, Y21
i sont des variablesd’expérience réalisées,
l’esti-mateur de variance minimum de ,u22 est :
Vol. I X, n° 4 - 1973.
Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B
395
PLANS D’EXPÉRIENCE ADAPTÉS A UN CHAMP D’HYPOTHÈSES « A PRIORI »
Vol. IX, n° 4 - 1973.
si
d’où le résultat suivant :
« la
précision globale
estégale
au nombre de fois que l’on utilise lespoints
du
plan
minimal pour obtenir une saturation duplan
».Exemple :
1 =6,
J = 4 et leplan
est donné par le schéma ci-contre :.
points
duplan
3 saturation au 1er tour 5 saturation au 2e tour 7 saturation au 3e tour
Précision
globale = (9 + 3 x 9 + 5 x 5 x 5 x 1 x 7)
= 68.Ainsi les
plans qui
donnent la meilleureprécision globale
sont ceuxqui
se saturent
complètement
au ler tour.IV. 3.
Sous-plan
Q1-adapté
minimaux extraitsOn sait cf.
[4] qu’un plan
estQi adapté
si c’est un « escalier » dont laprojection
horizontale estcomplète.
Dans la
présentation
desplans
5 x 4 on arangé
sur une mêmeligne
ceux
qui
donnent le mêmeQ-adapté
minimal(ou
deséquiva- lents).
Il est donc normal que sur uneligne
la «précision
surQl
»soit constante.
[1] PHAM DINH, Contributions à l’analyse de la variance et aux plans d’expérience (thèse présentée à l’Université de Grenoble).
[2] D. VAGUELSY, Plans d’expérience.
[3] COURRÈGE, FILLOCHE, PRIOURET, Régression linéaire et estimation par la méthode des moindres carrés. Ann. Inst. Henri Poincaré, vol. VII, n° 4, 1971, p. 253-270.
[4] X. GUYON, E. LESQUOY et F. SCHAEFFER, Recherche de plans d’expériences adaptés
à des hypothèses a priori dans certains cas particuliers.
[5] BARRA, Notions fondamentales de statistique Mathématiques, Dunod.
[6] D. BIRKES, Y. DODGE, N. HARTMANN et J. J. SEELY, Estimability and analysis for
additive two-way classification models with missing observations Department of Statistics. Oregon State, Univ.
(Manuscrit reçu le 5 juin 1973) Annales de l’Institut Henri Poincarë - Section B