LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2013–2014
Devoir maison n◦16 – mathématiques Donné le 25/03/2014 – à rendre le 01/04/2014
Exercice 1
À jeun, la glycémie, taux de sucre dans le sang exprimé en grammes par litre (g.L−1), suit la loi normale de paramètres µ= 1,03et σ= 0,302.
1. Préciser la probabilité d’avoir une glycémie normale, c’est à dire comprise entre 0,8 et1,26.
2. L’hyperglycémie correspond à une glycémie supérieure à 1,26g.L−1. Quelle est la probabilité de souffrir d’une hyperglycémie ?
3. Selon les critères de l’OMS (Organisation mondiale de la santé), une personne est atteinte du diabète quand sa glycémie à jeun est supérieure ou égale à 1,26g.L−1 à deux reprises.
En supposant que les mesures de ce taux à jeun sont indépendantes, quelle est la probabilité qu’une personne soit atteinte du diabète ?
Exercice 2
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit la loi exponentielle de paramètre λ= 1,5.
• Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté ;
• Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80% des cas.
• Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
(a) Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à10−3 près.
(b) Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification ?
2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindre est suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise. Quelle est la probabilité que :
(a) les dix cylindres soient acceptés ? (b) au moins un cylindre soit refusé ?
