1ConstructiondePtoléméedupentagramme:l'étoileà5branches Maxima TP7:Desexemplesdeconstructionsàlarègleetaucompasen

ULCO 2018 - 2019

L1 Mathématiques et Informatique Calcul Formel

TP 7 : Des exemples de constructions à la règle et au compas en Maxima

1 Construction de Ptolémée du pentagramme : l'étoile à 5 branches

Dans un cercle (C

) de centre O , passant par un point D , nous voulons inscrire un pentagone régulier croisé, ayant pour sommet ce point D . Il est représenté sur la gure ci-dessous.

Cette gure a été importée du très joli site :

http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/construc_elem_classique.html qui présente de nombreuses constructions à la règle et au compas.

N'hésitez pas non plus à lire pendant vos prochaines grandes vacances, le texte de François de Marçay : "Constructions à la règle et au compas" :

https://www.math.u-psud.fr/ merker/Enseignement/Geometrie-SEM/regle- compas.pdf

Ce texte s'adresse aux futurs professeurs des écoles, aux futurs graphistes informaticiens

et aussi aux futurs professeurs de mathématiques.

Figure 1: Le point A

représente ici notre point A

Nous voulons être capables, d'ici la n de cette séance, d'eectuer tous les calculs néces- saires à l'élaboration de la Figure 1 et de la reproduire le mieux possible avec Maxima.

Avant de donner une dénition de ce qu'est un point constructible à la règle et au compas, imaginez des constructions à la règle et au compas des objets suivants:

1. La médiatrice d'un segment [AB] .

2. La bissectrice d'un couple de demi-droite.

3. Un segment de longueur √

2 à partir d'un segment de longueur 1 donné.

4. En poursuivant la construction précédente, imaginez un polygone en forme de spirale constructible à la règle et au compas et donnant tous les nombres √

2, √ 3 ,

√ 4 , √

5, ...

2 Une dénition

Voici d'une façon un peu plus formelle, une dénition possible de ce qu'est un point constructible à la règle et au compas.

Dénition 1. Dans le plan P , on considère un ensemble de points de base B qui contient au moins deux points. Un point M de P est dit constructible à la règle et au compas à partir de B s'il existe une suite nie de points du plan P se terminant par M : M

, M

, . . . , M

= M telle que pour tout i entre 1 et n , le point M

est un point d'intersection

• soit de deux droites,

• soit d'une droite et d'un cercle,

• soit de deux cercles,

ces droites et cercles étant obtenus à l'aide de l'ensemble E

= B ∪ {M

, M

, . . . ., M

} de la façon suivante :

• chaque droite passe par deux points distincts de E

,

• chaque cercle est centré en un point de E

et a pour rayon la distance entre deux points de E

.

Une droite passant par deux points constructibles est dite constructible.

Un cercle centré en un point constructible et ayant pour rayon la distance entre deux points constructibles est dit constructible.

Exercice 1.

1. Relire lentement cette dénition.

2. Relire la construction des sommets du pentagramme et vérier que la dénition 1

s'applique en décrivant avec soin quels sont les points M

et les ensembles E

.

3 Rappels sur les équations de droites

Dans le repère usuel (O,~i,~j) , la droite passant par le point A(x

, y

) et de pente m a pour équation

y − y

= m(x − x

).

Le calcul de la pente d'un segment amène immédiatement l'équation de la droite passant par les points A(x

, y

) et B(x

, y

) :

y − y

= y

− y

x

− x

(x − x

), que l'on peut écrire

(x

− x

)(y − y

) − (y

− y

)(x − x

) = 0.

Le calcul du polynôme de deux variables x et y qui apparaît ici, peut être implémenté en Maxima par la fonction suivante :

(%i1) polydroite(A,B):=(B[1]-A[1])*(y-A[2])-(x-A[1])*(B[2]-A[2]);

Il faudra impérativement lors de l'appel de cette fonction que les variables A et B soient des listes de deux éléments.

Exercice 2.

1. Saisir dans Maxima la commande polydroite et trouver à titre d'exemple l'équation de la droite passant par les points (0, 2) et (3, −4) . Vérier que l'équation que vous trouverez avec Maxima, c'est à dire 3 ∗ (y − 2) + 6 ∗ x = 0 , est bien satisfaite par ces deux points.

2. Tester la commande polydroite pour deux points placés horizontalement ou ver- ticalement et vérier que l'on pourra bien s'en servir dans ce cas pour obtenir les équations correspondantes.

4 Rappels sur les équations de cercles

Le cercle de centre et de rayon est décrit par l'ensemble

(%i1) polycercle(A,B):=(x-A[1])^2+(y-A[2])^2-(B[1]-A[1])^2-

(B[2]-A[2])^2;

Il faudra impérativement lors de l'appel de cette fonction que les variables A et B soient des listes de deux éléments.

De même, on peut implémenter le polynôme de deux variables qui dénit l'équation du cercle de centre A et de rayon R par la commande

(%i1) polycercle2(A,R):=(x-A[1])^2+(y-A[2])^2-R^2;

Attention, quand vous appelez la commande polycercle2, la variable A doit être une liste de deux éléments et R doit représenter un réel.

Exercice 3.

1. Tester avec Maxima la commande polycercle et vérier que l'équation du cercle de centre A(−2, 1) et passant par B(3, 2) est (y − 1)

+ (x + 2)

− 26 = 0 .

2. Tester avec Maxima la commande polycercle2 et vérier que l'équation du cercle de centre A(−2, 1) et de rayon 3 est (y − 1)

+ (x + 2)

− 9 = 0 .

Tracé d'un cercle : Vous avez peut-être sans vous en être rendu compte déjà travaillé avec une équation paramétrique du cercle unité. En eet, à chaque fois que vous avez placé un point M sur le cercle unité, ses coordonnées étaient de la forme (cos t, sin t) où t est l'angle entre ~i et OM ~ .

Les coordonnées d'un point du cercle de centre O et de rayon R sont donc de la forme (R cos t, R sin t) avec t ∈ [0, 2π] .

Les coordonnées d'un point du cercle de centre A(x

, y

) et de rayon R sont donc de la forme (x

, y

) + (R cos t, R sin t) = (x

+ R cos t, y

+ R sin t) avec t ∈ [0, 2π] . Pour gagner du temps par la suite, on peut dénir les fonctions cercle et cercle2 qui nous permettront de créer plus vite les dessins où plusieurs cercles apparaissent.

cercle2(A,R):=parametric(A[1]+R*cos(t),A[2]+R*sin(t),t,0,2*%pi);

norme(A,B):=sqrt((B[1]-A[1])^2+(B[2]-A[2])^2);

cercle(A,B):=block([R],R:norme(A,B),parametric(A[1]+R*cos(t), A[2]+R*sin(t),t,0,2*%pi));

Nous avons utilisé ci-dessus une commande block qui est une forme assez générale de fonction en Maxima. Elle permet de réaliser des calculs intermédiaires séparés par des virgules, la valeur aectée à la fonction étant la dernière évaluation eectuée. Elle permet aussi d'utiliser des variables locales, par exemple la variable R dans la fonction cercle2.

Exercice 4. Obtenir avec Maxima le début de la construction du pentagramme en y

plaçant les points 0, A

, A

, D, K , leur nom et les cercles C

, C

. Partez de O(0, 0) et

A

(1, 0) .

4.1 Intersections de deux courbes

Un point M (x, y) appartient à l'intersection de deux courbes s'il vérie le système formé par les deux équations des courbes, les deux inconnues étant x et y .

Intersection de deux droites :

Par exemple, M (x, y) est l'intersection des deux droites D

≡ y = 3x − 2 et D

≡ y =

−2x + 1 si ses deux coordonnées vérient le système 3x − y − 2 = 0

−2x − y + 1 = 0

Considérons un exemple de résolution avec Maxima : soient quatre points A, B, C, D dont nous choisissons les coordonnées ci-dessous, et calculons les coordonnées du point obtenu comme intersection des droites (AB) et (CD) .

(%i1) A:[1,4]$B:[3,6]$C:[1,5]$D:[3,-2]$

s1:solve([polydroite(A,B)=0,polydroite(C,D)=0],[x,y]);

M:subst(s1[1],[x,y]);

(s1) [[x=11/9,y=38/9]]

(M) [11/9,38/9]

Maxima regroupe toutes les solutions données par solve dans une liste, mais comme il n'y a qu'un couple solution (11/9, 38/9) , Maxima place la liste [x=11/9,y=38/9] entre deux crochets. Il faut donc utiliser la commande s1[1] pour aller "chercher" le premier élément de la liste [[x=11/9,y=38/9]]. Quand il y aura plusieurs solutions amenées par la commande solve, vous devrez aller chercher celle qui vous intéresse par une commande du type s1[1],s1[2], etc... Ceci se passera quand vous intersecterez deux cercles ou une droite et un cercle.

La commande subst substitue les valeurs trouvées par solve et placées dans s1 dans l'objet placé en seconde position.

Intersection d'une droite et d'un cercle :

Un point M (x, y) appartient à l'intersection d'une droite et d'un cercle s'il vérie à la

fois l'équation de la droite et l'équation du cercle. Il faut donc impérativement résoudre

un système de deux équations à deux inconnues mais cette fois, ce n'est plus un système

Il vous faudra choisir parmi deux solutions celle que vous voulez (si les cercles s'intersectent en deux points distincts).

Exercice 5.

1. Poursuivre avec Maxima la construction du pentagramme en résolvant un système d'équations pour trouver le point U .

2. Poursuivre avec l'obtention des points A et B . 3. Poursuivre avec l'obtention des points C et E .

4. Obtenir un dessin représentant la construction du pentagramme.

5. Nous avons pour l'instant admis que les points A, B, C, D, E forment eectivement un pentagone régulier étoilé. Calculer avec Maxima, si c'est nécessaire, les distances AB , BC , CD , DE , EA et prouver ainsi par un calcul assisté de l'ordinateur que le pentagone étoilé est régulier.

4.2 Construction à la règle et au compas de la division en le nombre d'or d'un segment

Soit [AB] un segment unité. Cela signie que vous choisissez l'unité comme étant la longueur du segment que vous aurez choisi librement sur votre feuille.

On veut construire à la règle et au compas l'unique point P appartenant au segment [AB] tel que

AP

P B = 1 + √ 5

2 = φ

Notons comme précédemment M (N ) le cercle de centre M et de rayon MN. Construire 1. Le cercle C

= A(B) .

2. Le cercle C

= B(A) ; il intersecte le cercle C

en deux points C et D . 3. La droite (AB) qui intersecte C

en un point E diérent de B .

4. Le cercle C

= E (B ) qui intersecte C

en F ( F étant le point de l'autre côté de C relativement à la droite (AB) ).

5. Le point P intersection de (CF ) et (AB) .

Construire avec Maxima les éléments de cette construction et démontrer par un calcul formel l'égalité

AP

P B = 1 + √ 5 2 = φ.

Maxima a bien du mal à simplier complètement, à vous de voir comment naliser les choses.

Obtenir le dessin de cette construction à la règle et au compas.