Revaloriser le discours du professeur ? Revaloriser le discours du professeur ?
Quel type de discours ? Quel type de discours ?
Maggy Schneider, Université de Liège, Maggy Schneider, Université de Liège,
avec la collaboration de Marysa Krysinska avec la collaboration de Marysa Krysinska
Congrès de la S.B.P.M., Dinant, Août 2010 Congrès de la S.B.P.M., Dinant, Août 2010
Plan de l’exposé Plan de l’exposé
Articulation entre « situations-problèmes » Articulation entre « situations-problèmes » et discours du professeur
et discours du professeur
Discours technologique à valeur Discours technologique à valeur
heuristique : fonctions, portée, illustrations heuristique : fonctions, portée, illustrations
Evaluation des compétences et discours Evaluation des compétences et discours technologique
technologique
Les tendances pédagogiques actuelles Les tendances pédagogiques actuelles
Mouvance des compétences qui met l’accent sur Mouvance des compétences qui met l’accent surl’activité de l’élève sous couvert du socio-constructivisme l’activité de l’élève sous couvert du socio-constructivisme
Espoir que le travail organisé autour des dites Espoir que le travail organisé autour des dites« situations-problèmes » favorise, chez les élèves, le
« situations-problèmes » favorise, chez les élèves, le transfert de leurs connaissances à des situations
transfert de leurs connaissances à des situations nouvelles
nouvelles
Enseignement soumis à un phénomène de balancier Enseignement soumis à un phénomène de balancier entre des positions extrêmes envisagées de manière entre des positions extrêmes envisagées de manièredichotomique : on péjore souvent les exposés dans la dichotomique : on péjore souvent les exposés dans la
mesure où on prône l’exploitation de « situations- mesure où on prône l’exploitation de « situations-
problèmes » problèmes »
Les tendances pédagogiques actuelles Les tendances pédagogiques actuelles
La relation entre l’activité préalable des élèves sur des La relation entre l’activité préalable des élèves sur des« situations-problèmes » et leur capacité de transfert des
« situations-problèmes » et leur capacité de transfert des connaissances acquises n’est pas établie : les théories connaissances acquises n’est pas établie : les théories
socio-constructivistes sont a priori des théories socio-constructivistes sont a priori des théories
d’apprentissage formulées hors contexte scolaire et non d’apprentissage formulées hors contexte scolaire et non
des modèles d’enseignement des modèles d’enseignement
La didactique étudie les conditions minimales sans La didactique étudie les conditions minimales sanslesquelles on ne peut espérer que l’activité des élèves lesquelles on ne peut espérer que l’activité des élèves débouche sur de réels apprentissages; ces conditions débouche sur de réels apprentissages; ces conditions
sont nécessaires mais pas suffisantes sont nécessaires mais pas suffisantes
Les « situations-problèmes » : Les « situations-problèmes » :
oui, à certaines conditions oui, à certaines conditions
Pour fonctionner en milieu scolaire, le socio- Pour fonctionner en milieu scolaire, le socio-
constructivisme se doit de respecter au constructivisme se doit de respecter au
minimum les conditions suivantes (Brousseau) : minimum les conditions suivantes (Brousseau) :
Existence d’un milieu qui permette la dévolution de la Existence d’un milieu qui permette la dévolution de la question aux élèves
question aux élèves
Dimension fondamentale de la question par rapport Dimension fondamentale de la question par rapport au savoir visé
au savoir visé
Discours d’institutionnalisationDiscours d’institutionnalisation
Brousseau parle alors de situation adidactique Brousseau parle alors de situation adidactique
Exemple du puzzle au niveau de l’enseignement Exemple du puzzle au niveau de l’enseignement
primaire : illustre le rôle du discours primaire : illustre le rôle du discours
Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique
des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires
« Voici des puzzles. Vous allez en
« Voici des puzzles. Vous allez en fabriquer de semblables, plus
fabriquer de semblables, plus grands que les modèles, en grands que les modèles, en respectant la règle suivante : le respectant la règle suivante : le segment qui mesure 4 cm sur le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction. Je donne un votre reproduction. Je donne un puzzle par équipe de 5 ou 6, mais puzzle par équipe de 5 ou 6, mais chaque élève fait au moins 1 pièce chaque élève fait au moins 1 pièce ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mêmes figures
reconstituer les mêmes figures qu’avec le modèle »
qu’avec le modèle »
Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique
des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires
Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les dimensions
dimensions
Autres idées :Autres idées :4 4 7 = 2 x 4 - 1 7 = 2 x 4 - 1 5 5 9 = 2 x 5 - 1 9 = 2 x 5 - 1 2 2 3 = 2 x 2 - 1 3 = 2 x 2 - 1
Mais, dans la classe, le modèle additif s’impose Mais, dans la classe, le modèle additif s’impose
Les morceaux ne se recollent pas : accusations, Les morceaux ne se recollent pas : accusations, disputes, tricheriesdisputes, tricheries
Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique
des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires
Interventions du Interventions du
professeur : attire professeur : attire
l’attention sur un l’attention sur un
puzzle particulier et/ou puzzle particulier et/ou propose de compléter propose de compléter un tableau numérique un tableau numérique
Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique
des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires
•
Mise en cause progressive du modèle additif et Mise en cause progressive du modèle additif et émergence du modèle linéaireémergence du modèle linéaire
2 2 2 + 3 = 5 2 + 3 = 5 4 4 4 + 3 = 7 4 + 3 = 7
6 6 6 + 3 = 9 et pourtant 9 6 + 3 = 9 et pourtant 9 5 + 7, alors que 6 = 4 + 2 ! 5 + 7, alors que 6 = 4 + 2 !
Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = 4 + 8 doit devenir 7 + 14 Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = 4 + 8 doit devenir 7 + 14
•
L’image de 1 :L’image de 1 :« Il faudrait l’image de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres.
« Il faudrait l’image de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres.
Pour cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi » Pour cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi »
•
Correction de l’ajout :Correction de l’ajout :1 1 1 + 3/4 1 + 3/4 6 6 6 + 6.3/4 6 + 6.3/4 11 11 11 + 11.3/4 11 + 11.3/4
Les situations adidactiques Les situations adidactiques
« Situations à l’occasion desquelles le
« Situations à l’occasion desquelles le
professeur peut abdiquer de son intention professeur peut abdiquer de son intention
d’enseigner pour fonder l’apprentissage de d’enseigner pour fonder l’apprentissage de l’élève sur une confrontation des actions de l’élève sur une confrontation des actions de
celui-ci avec un
celui-ci avec un milieu milieu . Pour un temps, la . Pour un temps, la question, le problème ne sont plus ceux du question, le problème ne sont plus ceux du
professeur, mais ceux de l’élève. C’est le professeur, mais ceux de l’élève. C’est le
processus de
processus de dévolution. dévolution. » » (G. Brousseau) (G. Brousseau)
Les situations adidactiques et le milieu Les situations adidactiques et le milieu
C’est l’existence d’un
C’est l’existence d’un milieu adidactiquemilieu adidactique qui permet la qui permet la dévolution.
dévolution. Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas vendre la mèche », ce qui n’empêche pas qu’il puisse vendre la mèche », ce qui n’empêche pas qu’il puisse
injecter des idées injecter des idées
Le milieu a des facettes diverses : « matérielles », Le milieu a des facettes diverses : « matérielles »,
sociales, cognitives : la situation et ses variables sociales, cognitives : la situation et ses variables
didactiques (la confection du puzzle et la dimension de didactiques (la confection du puzzle et la dimension de
ses pièces,…), l’idée intuitive d’agrandissement, les ses pièces,…), l’idée intuitive d’agrandissement, les
échanges entre élèves, les interventions du professeur échanges entre élèves, les interventions du professeur
qui renvoient au milieu sans dénaturer le sens de la qui renvoient au milieu sans dénaturer le sens de la
situation, les connaissances antérieures qui vont faire situation, les connaissances antérieures qui vont faire
obstacle, etc.
obstacle, etc.
Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et
la dimension fondamentale des questions la dimension fondamentale des questions Caractère fondamental d’une situation
Caractère fondamental d’une situation
adidactique : le savoir visé apporte une réponse adidactique : le savoir visé apporte une réponse
optimale à la question posée et aux questions optimale à la question posée et aux questions
du même type du même type
Si l’on cherche une quelconque « autonomie » Si l’on cherche une quelconque « autonomie »
des élèves, le caractère fondamental d’une des élèves, le caractère fondamental d’une
situation doit primer sur d’autres critères plus situation doit primer sur d’autres critères plus
secondaires : caractère concret (vie de tous les secondaires : caractère concret (vie de tous les
jours, nature, …), préoccupations « supposées » jours, nature, …), préoccupations « supposées »
des jeunes, occasion de modélisation, …
des jeunes, occasion de modélisation, …
Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et
la dimension fondamentale des questions la dimension fondamentale des questions
La conception ou l’analyse de situations adidactiques La conception ou l’analyse de situations adidactiques ayant un caractère fondamental suppose une analyse ayant un caractère fondamental suppose une analyse a a
priori
priori épistémologique et didactique épistémologique et didactique
Exemple des fractions dont les sens sont multiples : mesures, Exemple des fractions dont les sens sont multiples : mesures, opérateurs de similitude, partages, recherche d’une commune opérateurs de similitude, partages, recherche d’une commune mesure entre deux grandeurs, nombres (Rouche, …)
mesure entre deux grandeurs, nombres (Rouche, …)
Plusieurs fonctionnalités, Plusieurs fonctionnalités,
plusieurs situations adidactiques plusieurs situations adidactiques
Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et le discours d’institutionnalisation le discours d’institutionnalisation Le processus d’
Le processus d’ institutionnalisation institutionnalisation fait pendant fait pendant au processus de dévolution :
au processus de dévolution :
« Quelqu’un d’extérieur vient pointer dans les
« Quelqu’un d’extérieur vient pointer dans les activités de l’élève celles qui ont un intérêt, un activités de l’élève celles qui ont un intérêt, un
statut culturel » (Brousseau) statut culturel » (Brousseau)
Le discours du professeur doit alors situer la Le discours du professeur doit alors situer la situation adidactique dans un ensemble plus situation adidactique dans un ensemble plus vaste : quelle classe de problèmes représente-t- vaste : quelle classe de problèmes représente-t-
elle ? Quelle est la variabilité de cette classe ?
elle ? Quelle est la variabilité de cette classe ?
Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et le discours d’institutionnalisation le discours d’institutionnalisation
Favoriser le transfert par un discours permettant le processus de Favoriser le transfert par un discours permettant le processus de décontextualisation et engageant les élèves à « l’étude » des décontextualisation et engageant les élèves à « l’étude » des problèmes résolus :
problèmes résolus :
A propos des problèmes de proportionnalité : A propos des problèmes de proportionnalité :
« Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et pourraient
« Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et pourraient être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de catégories et de être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de catégories et de problèmes-types à apprendre. Cherchez des problèmes qui se problèmes-types à apprendre. Cherchez des problèmes qui se résolvent ou s’expliquent de la même façon. Nous discuterons résolvent ou s’expliquent de la même façon. Nous discuterons
ensemble les regroupements. En même temps, nous chercherons ensemble les regroupements. En même temps, nous chercherons ce qui peut les rendre différents »
ce qui peut les rendre différents » (G. Brousseau et N. Brousseau) (G. Brousseau et N. Brousseau)
Classification de tels problèmes dans les anciens manuels, basée Classification de tels problèmes dans les anciens manuels, basée soit sur la méthode de résolution (règle de trois simple et directe, soit sur la méthode de résolution (règle de trois simple et directe, simple et inverse, composée), soit sur le contexte (problèmes simple et inverse, composée), soit sur le contexte (problèmes d’intérêt, de mélange, d’alliage, …)
d’intérêt, de mélange, d’alliage, …)
Préserver les situations-problèmes en Préserver les situations-problèmes en
certaines circonstances certaines circonstances
Quand les élèves ont à faire le deuil d’une connaissance Quand les élèves ont à faire le deuil d’une connaissance ancienne :ancienne :
Pourquoi la situation du pantographe n’est pas choisie comme première Pourquoi la situation du pantographe n’est pas choisie comme première approche des agrandissements :
approche des agrandissements : « Le modèle additif sera envisagé moins « Le modèle additif sera envisagé moins sérieusement. Il sera rejeté sans examen puisque l’appareil fournira la sérieusement. Il sera rejeté sans examen puisque l’appareil fournira la bonne image. Au lieu de construire le modèle (multiplicatif) et de prévoir le bonne image. Au lieu de construire le modèle (multiplicatif) et de prévoir le résultat satisfaisant les conditions voulues, il suffirait de le découvrir comme résultat satisfaisant les conditions voulues, il suffirait de le découvrir comme une loi de la nature. Or, le modèle additif est un obstacle résistant à la mise une loi de la nature. Or, le modèle additif est un obstacle résistant à la mise en place du modèle multiplicatif et doit pouvoir lui être opposé dans des en place du modèle multiplicatif et doit pouvoir lui être opposé dans des situations ouvertes, ce choix devant se faire sur des critères rationnels et situations ouvertes, ce choix devant se faire sur des critères rationnels et intellectuels »
intellectuels » (Brousseau) (Brousseau)
L’enjeu majeur est alors la mise à l’épreuve de L’enjeu majeur est alors la mise à l’épreuve de connaissances devenues inadaptées, ainsi que les connaissances devenues inadaptées, ainsi que les
intuitions d’élèves, fausses mais persistantes intuitions d’élèves, fausses mais persistantes
Préserver les situations-problèmes en Préserver les situations-problèmes en
certaines circonstances certaines circonstances
Quand il y a des raisons de penser que des élèves d’un Quand il y a des raisons de penser que des élèves d’un niveau donné peuvent produire d’eux-mêmes la réponse niveau donné peuvent produire d’eux-mêmes la réponseà la question posée.
à la question posée.
Mais il s’agit alors d’un processus collectif et non d’un Mais il s’agit alors d’un processus collectif et non d’un entraînement individuel à la compétence de résolution entraînement individuel à la compétence de résolution
de problèmes (dépersonnalisation) de problèmes (dépersonnalisation) La solution optimale au problème
La solution optimale au problème « peut être trouvée et « peut être trouvée et prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée
par les autres »
par les autres » (Brousseau) (Brousseau)
Sans minorer l’importance du discours Sans minorer l’importance du discours
Celui des élèves qui échangent entre eux et qui, Celui des élèves qui échangent entre eux et qui, collectivement, analysent l’efficacité des stratégies collectivement, analysent l’efficacité des stratégiesproposées et formulent les limites des connaissances proposées et formulent les limites des connaissances
mises à l’épreuve tout comme les caractéristiques des mises à l’épreuve tout comme les caractéristiques des
nouvelles connaissances à construire nouvelles connaissances à construire
Celui du professeur qui peut faire des propositions en Celui du professeur qui peut faire des propositions en jouant l’ingénuité et qui joue un rôle central dans le jouant l’ingénuité et qui joue un rôle central dans leprocessus d’institutionnalisation processus d’institutionnalisation
Sinon … Sinon …
En dehors de ces circonstances ou en l’absence En dehors de ces circonstances ou en l’absence
des conditions décrites, mieux vaut s’en tenir à des conditions décrites, mieux vaut s’en tenir à
un « bon » discours un « bon » discours
Exemple du théorème de Pythagore
Exemple du théorème de Pythagore
Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration
du théorème de Pythagore ? du théorème de Pythagore ?
Une activité classique : avec ou sans logiciel, observer Une activité classique : avec ou sans logiciel, observer une régularité dans le calcul des carrés des côtés de une régularité dans le calcul des carrés des côtés demultiples triangles rectangles multiples triangles rectangles
Il s’agit là d’un leurre de dévolution Il s’agit là d’un leurre de dévolution
Cas d’
Cas d’Ostension déguisée Ostension déguisée (Salin)(Salin) ::
le professeur fait le gros du travail et fait semblant de le professeur fait le gros du travail et fait semblant de
faire « découvrir » les élèves en triant leurs interventions faire « découvrir » les élèves en triant leurs interventions
à partir de questions telles que
à partir de questions telles que «Que constates-tu ?», «Que constates-tu ?»,
« Que conclus-tu
« Que conclus-tu ? » ? »
Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration
du théorème de Pythagore ? du théorème de Pythagore ?
Faire travailler les élèves sur des puzzles mobilisant les Faire travailler les élèves sur des puzzles mobilisant les carrés construits sur les côtés du triangle ?carrés construits sur les côtés du triangle ?
Puzzles peu naturels. Pourquoi des carrés ?Puzzles peu naturels. Pourquoi des carrés ?
Risque de détourner l’attention des élèves de la Risque de détourner l’attention des élèves de laproblématique essentielle : « résoudre » un triangle problématique essentielle : « résoudre » un triangle
rectangle qui modélise ou non une situation « réelle » rectangle qui modélise ou non une situation « réelle »
Manque de visibilité d’un discours qui présente cette Manque de visibilité d’un discours qui présente cette problématique d’entrée de jeu et qui explique que la problématique d’entrée de jeu et qui explique que ladémonstration par les aires est un artifice peu courant à démonstration par les aires est un artifice peu courant à
une époque où on maîtrise l’algèbre une époque où on maîtrise l’algèbre
Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration
du théorème de Pythagore ?
du théorème de Pythagore ?
Une autre forme de première rencontre Une autre forme de première rencontre
avec le savoir avec le savoir
Pourquoi ne pas proposer, dans certains cas, une Pourquoi ne pas proposer, dans certains cas, une première rencontre des élèves avec le savoir de type première rencontre des élèves avec le savoir de type‘culturelle-mimétique’ :
‘culturelle-mimétique’ : « expliquer discursivement les « expliquer discursivement les
raisons d’être de l’organisation mathématique rencontrée, raisons d’être de l’organisation mathématique rencontrée,
c’est-à-dire les motifs pour lesquels, du moins, elle c’est-à-dire les motifs pour lesquels, du moins, elle
continue à vivre dans la culture mathématique continue à vivre dans la culture mathématique
contemporaine »
contemporaine » (Chevallard) (Chevallard)
Le discours du professeur prend alors appui sur une Le discours du professeur prend alors appui sur une question (une problématique) ayant un caractèrequestion (une problématique) ayant un caractère fondamental mais qu’on ne dévolue pas aux élèves fondamental mais qu’on ne dévolue pas aux élèves
La dévolution peut s’envisager à d’autres moments : La dévolution peut s’envisager à d’autres moments : exploration de la technique et de ses limites, « étude » exploration de la technique et de ses limites, « étude »des exercices
des exercices au delà d’une ritualisation procéduraleau delà d’une ritualisation procédurale
Intégrer les « situations-problèmes » Intégrer les « situations-problèmes »
dans un discours sur la problématique globale dans un discours sur la problématique globale
On ne fait pas de la géométrie vectorielle pour s’orienter On ne fait pas de la géométrie vectorielle pour s’orienter dans la nature mais pour démontrer, de manièredans la nature mais pour démontrer, de manière
« calculatoire », des propriétés de figures géométriques
« calculatoire », des propriétés de figures géométriques
D’où l’intérêt de dévoluer la caractérisation analytique D’où l’intérêt de dévoluer la caractérisation analytique puis vectorielle de configurations-clés: parallélogramme, puis vectorielle de configurations-clés: parallélogramme,positions de trois points alignés, … positions de trois points alignés, …
Les activités doivent s’intégrer dans ce projet global Les activités doivent s’intégrer dans ce projet global rendu visible aux élèvesrendu visible aux élèves
Quel type de discours ? Quel type de discours ?
Discours technologique au sens de Chevallard Discours technologique au sens de Chevallard
Discours heuristique au sens de Lakatos Discours heuristique au sens de Lakatos
Exemple des équations du second degré Exemple des équations du second degré
Une technique « exotique » pour résoudre Une technique « exotique » pour résoudre XX22 + 10x = 39 + 10x = 39
Diviser 10 par 4 : 2,5Diviser 10 par 4 : 2,5
Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,5Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,522 x 4 = 25 x 4 = 25
Ajouter 39 : 25 + 39 = 64Ajouter 39 : 25 + 39 = 64
Prendre la racine de 64 : √64 = 8Prendre la racine de 64 : √64 = 8
Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3Malaise pour cause d’inintelligibilité
Malaise pour cause d’inintelligibilité
Exemple des équations du second degré :
Exemple des équations du second degré :
recherche d’une intelligibilité de la méthode
recherche d’une intelligibilité de la méthode
Rôle du discours technologique Rôle du discours technologique
Le discours technologique, au sens de Chevallard, doit : Le discours technologique, au sens de Chevallard, doit :
Justifier l’efficacité de la technique eu égard à la Justifier l’efficacité de la technique eu égard à la tâche visée
tâche visée
Rendre la technique intelligible ce qui est Rendre la technique intelligible ce qui est
indispensable si l’on veut savoir dans quelles indispensable si l’on veut savoir dans quelles
conditions l’utiliser et savoir l’adapter le cas échéant conditions l’utiliser et savoir l’adapter le cas échéant
L’inintelligibilité des techniques est la première L’inintelligibilité des techniques est la première
source de décrochage des élèves
source de décrochage des élèves
Rôle du discours technologique Rôle du discours technologique
Aujourd’hui, l’intelligibilité de la technique de résolution d’une Aujourd’hui, l’intelligibilité de la technique de résolution d’une équation du second degré est donnée par un développement équation du second degré est donnée par un développement algébrique qui illustre l’importance des paramètres en algèbre.
algébrique qui illustre l’importance des paramètres en algèbre.
Les mathématiques ont pour fonction de « tuer » les problèmes en Les mathématiques ont pour fonction de « tuer » les problèmes en créant des techniques pour les résoudre d’une manière
créant des techniques pour les résoudre d’une manière
« performante », le prix à payer étant le discours technologique
« performante », le prix à payer étant le discours technologique
Mais ce développement doit être inscrit dans un discours qui, sur Mais ce développement doit être inscrit dans un discours qui, sur base d’exemples judicieusement choisis, montre l’intérêt de
base d’exemples judicieusement choisis, montre l’intérêt de
certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » et indique le souhait de « ramener » d’autres équations à celles-là et indique le souhait de « ramener » d’autres équations à celles-là
On devrait réfléchir à des modalités de dévolution à de tels On devrait réfléchir à des modalités de dévolution à de tels moments aussi
moments aussi
La recherche d’intelligibilité va plus loin La recherche d’intelligibilité va plus loin
« Comment se fait-il que tant de gens trouvent les mathématiques « Comment se fait-il que tant de gens trouvent les mathématiques obscures alors qu’elles ne font appel qu’aux principes
obscures alors qu’elles ne font appel qu’aux principes
fondamentaux de la logique ? Qu’est-ce que comprendre ? Est-ce fondamentaux de la logique ? Qu’est-ce que comprendre ? Est-ce examiner successivement chacun des syllogismes et constater qu’il examiner successivement chacun des syllogismes et constater qu’il est correct ? Oui, pour quelques-uns; presque tous sont beaucoup est correct ? Oui, pour quelques-uns; presque tous sont beaucoup plus exigeants, ils veulent savoir non seulement si tous les
plus exigeants, ils veulent savoir non seulement si tous les
syllogismes sont corrects, mais pourquoi ils s’enchaînent dans tel syllogismes sont corrects, mais pourquoi ils s’enchaînent dans tel ordre plutôt que dans tel autre. Tant qu’ils leur semblent engendrés ordre plutôt que dans tel autre. Tant qu’ils leur semblent engendrés par le caprice et non par une intelligence consciente du but à
par le caprice et non par une intelligence consciente du but à atteindre, ils ne croient pas avoir compris et dès lors sont
atteindre, ils ne croient pas avoir compris et dès lors sont insatisfaits »
insatisfaits » (Poincaré) (Poincaré)
Mais aussi des questions sur d’où viennent les objets Mais aussi des questions sur d’où viennent les objets
mathématiques et pourquoi ils ont cette forme-là, questions pas mathématiques et pourquoi ils ont cette forme-là, questions pas toujours exprimées en raison du contrat didactique (recherche toujours exprimées en raison du contrat didactique (recherche d’économie d’investissement)
Le discours technologique Le discours technologique
de type heuristique de type heuristique
Qualificatif « heuristique »
Qualificatif « heuristique » emprunté à Lakatos mais emprunté à Lakatos mais envisagé ici en un sens plus global
envisagé ici en un sens plus global
Le discours heuristique met en évidence le projet Le discours heuristique met en évidence le projet
initial à l’origine des mathématiques enseignées, quel initial à l’origine des mathématiques enseignées, quel
que soit le niveau d’étude mathématique envisagé, que soit le niveau d’étude mathématique envisagé,
les tentatives
les tentatives a prioria priori, les succès et les échecs et les , les succès et les échecs et les raisons pour lesquelles on optera, en définitive, pour raisons pour lesquelles on optera, en définitive, pour
tel ou tel choix de concept, d’agencement des tel ou tel choix de concept, d’agencement des
propriétés, … propriétés, …
Trois exemples : les nombres relatifs, la géométrie Trois exemples : les nombres relatifs, la géométrie analytique 3D, le théorème fondamental du calcul analytique 3D, le théorème fondamental du calcul intégral
Exemple des nombres relatifs Exemple des nombres relatifs
Inintelligibilité de la règle ‘moins par moins donne plus’ : Inintelligibilité de la règle ‘moins par moins donne plus’ :« Minus times Minus equals Plus : The reason for this we need
« Minus times Minus equals Plus : The reason for this we need not discuss »
not discuss »
« Là où j’ai commencé à décrocher en math., c’est quand on n’a
« Là où j’ai commencé à décrocher en math., c’est quand on n’a dit que moins par mois donne plus. J’en ai conclu que les
dit que moins par mois donne plus. J’en ai conclu que les maths., c’était pas mon truc »
maths., c’était pas mon truc »
Obstacle d’ordre épistémologique : « Difficulté de Obstacle d’ordre épistémologique : « Difficulté de s’écarter d’un sens ‘concret’ attribué aux êtres s’écarter d’un sens ‘concret’ attribué aux êtresnumériques » (Glaeser) numériques » (Glaeser)
Essais plus ou moins concluants dans les manuels pour Essais plus ou moins concluants dans les manuels pour justifier cette règle: méthode « inductive-exploratoire » justifier cette règle: méthode « inductive-exploratoire »(Freudenthal) qui consiste à faire compéter des tableaux (Freudenthal) qui consiste à faire compéter des tableaux
Exemple des nombres relatifs Exemple des nombres relatifs
Stevin (1625) justifie cette Stevin (1625) justifie cette règle en calculant des aires règle en calculant des aires de rectangles de plusieurs de rectangles de plusieurs manières : soit en les prenant manières : soit en les prenant globalement, soit en ajoutant globalement, soit en ajoutant différentes petites parties et différentes petites parties et arrive, en développant (a - b) arrive, en développant (a - b) (c - d) où a, b, c, d sont des (c - d) où a, b, c, d sont des réels positifs à devoir écrire, réels positifs à devoir écrire,
entre autres, entre autres,
(- b) x (- d) à bd (- b) x (- d) à bd
Exemple des nombres relatifs Exemple des nombres relatifs
Solution de la crise des relatifs apportée par Hermann
Hankel en 1867 comme un épilogue heureux de cette crise.
Règles justifiées non pas par le biais d’un modèle concret mais par le respect d’un principe de permanence: la
multiplication dans Z doit prolonger la multiplication dans N tout en gardant de « bonnes propriétés », entre autres, en respectant les règles de distributivité. Ainsi, 0 peut s’écrire, d’une part, sous la forme
a x 0 = a x (b + opp b) = ab + a x (opp b) et, d’autre part, sous la forme = 0 x (opp b) = (opp a + a) x (opp b) = (opp a) x (opp b) + a x (opp b). De là, on tire que (opp a) x (opp b)
= ab.
Exemple des nombres relatifs Exemple des nombres relatifs
Dans les deux cas, c’est l’algébrique qui commande au Dans les deux cas, c’est l’algébrique qui commande au numérique
numérique
Dans les deux cas, on expose les raisons pour lesquelles Dans les deux cas, on expose les raisons pour lesquelles on ‘impose’ un certain comportement aux nombres
on ‘impose’ un certain comportement aux nombres négatifs :
négatifs :
Stevin s’appuie sur le fait que les écritures algébriques servent à Stevin s’appuie sur le fait que les écritures algébriques servent à modéliser des modèles de grandeurs
modéliser des modèles de grandeurs
Hankel se situe dans une perspective plus structurale des Hankel se situe dans une perspective plus structurale des ensembles de nombres
ensembles de nombres
On a là deux niveaux d’étude mathématique fort différents On a là deux niveaux d’étude mathématique fort différents
Exemple des nombres relatifs Exemple des nombres relatifs
Un créneau possible pour l’enseignement : la Un créneau possible pour l’enseignement : lamodélisation fonctionnelle où l’usage de grandeurs modélisation fonctionnelle où l’usage de grandeurs
négatives (temps et position sur une trajectoire rectiligne négatives (temps et position sur une trajectoire rectiligne
orientée) et le souhait de réduire tous les cas à un seul orientée) et le souhait de réduire tous les cas à un seul
imposent la règle des signes ou tout simplement la imposent la règle des signes ou tout simplement la
géométrie analytique géométrie analytique
Il s’agit là d’un discours heuristique qui ne décrit pas le Il s’agit là d’un discours heuristique qui ne décrit pas le comportement des nombres comme si ceux-ci existaient comportement des nombres comme si ceux-ci existaientpar eux-mêmes mais comme des objets que les par eux-mêmes mais comme des objets que les
humains façonnent au gré de leur projet humains façonnent au gré de leur projet
Exemple des nombres relatifs Exemple des nombres relatifs
« Justifier » les règles de multiplication dans les relatifs par le
« Justifier » les règles de multiplication dans les relatifs par le souhait d’avoir une seule formule :
souhait d’avoir une seule formule :
P = 3 t P = 3 t
P = - 3 t P = - 3 t
Exemple de la géométrie analytique 3D Exemple de la géométrie analytique 3D
Habituellement, l’enseignement de la géométrie analytique 3D la Habituellement, l’enseignement de la géométrie analytique 3D la présente subordonnée à l’algèbre linéaire
présente subordonnée à l’algèbre linéaire Dans la théorie standard à l’université :
Les droites et plans sont définis d’emblée comme variétés
linéaires ou affines. Les vecteurs sont des éléments d’un espace vectoriel et des vecteurs colinéaires sont définis à partir de la notion de partie liée
Un théorème permet de traduire les écritures vectorielles en termes de coordonnées : Tout espace vectoriel E de dimension finie n sur un corps commutatif K est isomorphe à l’espace Kn des coordonnées
Efficacité de l’algèbre linéaire comme théorie multi-sens
Exemple de la géométrie analytique 3D Exemple de la géométrie analytique 3D
Dans la transposition didactique en vigueur dans le secondaire :
Le point de départ est toujours vectoriel
On gomme les points jugés trop difficiles pour les élèves (Organisation mathématique à « trous », Rouy)
On passe du vectoriel au paramétrique (puis au cartésien) sans aucune justification, le déploiement des écritures avec flèches en écritures sur les coordonnées étant perçu comme une
« recette »
Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève
des difficultés d’apprentissage habituellement non des difficultés d’apprentissage habituellement non
gérées (Lebeau et Schneider) gérées (Lebeau et Schneider)
Exemple de la géométrie analytique 3D Exemple de la géométrie analytique 3D
« L’équation y = 2x + 1 est celle d’une droite. Or, on cherche « L’équation y = 2x + 1 est celle d’une droite. Or, on cherche l’équation d’un plan. Où est l’erreur de calcul ? »
l’équation d’un plan. Où est l’erreur de calcul ? »
Plus généralement, l’équation Plus généralement, l’équation ax + by + cz + d = 0 est celle d’une ax + by + cz + d = 0 est celle d’une droite dans « l’espace »
droite dans « l’espace »
« Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On « Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On pourrait n’en faire qu’une seule »
pourrait n’en faire qu’une seule »
« x = 3 est la solution d’une équation et pas une équation »« x = 3 est la solution d’une équation et pas une équation »
« Je n’ai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin. « Je n’ai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin.
Qui a juste ? » Qui a juste ? »
« On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4 « On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4 points
points
« Qui dit que l’addition de 2 vecteurs de l’espace ne conduit pas à « Qui dit que l’addition de 2 vecteurs de l’espace ne conduit pas à
Exemple de la géométrie analytique 3D Exemple de la géométrie analytique 3D
Il manque un discours technologique de type Il manque un discours technologique de type heuristique qui justifie les modèles
heuristique qui justifie les modèles
paramétriques et cartésiens pour eux-mêmes paramétriques et cartésiens pour eux-mêmes
La dévolution de quelques questions peut La dévolution de quelques questions peut
amener un tel discours à travers un débat entre amener un tel discours à travers un débat entre
élèves et professeurs sur ces modèles
élèves et professeurs sur ces modèles
Exemple de la géométrie analytique 3D Exemple de la géométrie analytique 3D
Une première tâche :
Une première tâche : Décrivez l’ensemble des points de Décrivez l’ensemble des points de
« l’espace » dont les coordonnées (x,y,z) vérifient
« l’espace » dont les coordonnées (x,y,z) vérifient l’équation : y = -3/2 x + 3
l’équation : y = -3/2 x + 3
donne l’occasion d’un discours : donne l’occasion d’un discours :
sur ce que signifie l’absence de zsur ce que signifie l’absence de z
sur le sens des équations qui ne sont pas des sur le sens des équations qui ne sont pas des étiquettes mais des contraintes portant sur les étiquettes mais des contraintes portant sur les
coordonnées des points d’un lieu coordonnées des points d’un lieu
Sur le fait qu’Sur le fait qu’une même écriture algébrique peut une même écriture algébrique peut donner lieu à plusieurs interprétations géométriques donner lieu à plusieurs interprétations géométriques
Exemple de la géométrie analytique 3D Exemple de la géométrie analytique 3D
Une deuxième tâche :
Une deuxième tâche : Donnez une équation du plan OxyDonnez une équation du plan Oxy permet de rendre explicite des aspects généralement permet de rendre explicite des aspects généralement
tus, à savoir que, contrairement aux contraintes, la tus, à savoir que, contrairement aux contraintes, la liberté ne se traduit pas algébriquement, quoi qu’en liberté ne se traduit pas algébriquement, quoi qu’en
pensent certains élèves : pensent certains élèves :
Exemple de la géométrie analytique 3D Exemple de la géométrie analytique 3D
On a là le début d’un discours heuristique qui On a là le début d’un discours heuristique qui justifie les modèles paramétriques et cartésiens justifie les modèles paramétriques et cartésiens
des objets géométriques et sur lesquels on des objets géométriques et sur lesquels on
s’appuiera pour « remonter » au vectoriel s’appuiera pour « remonter » au vectoriel
Un tel discours devrait permettre d’éviter Un tel discours devrait permettre d’éviter
l’habituel « rabattement » de cet enseignement l’habituel « rabattement » de cet enseignement
sur des acquisitions techniques sur des acquisitions techniques
Ici, le discours se greffe sur des activités Ici, le discours se greffe sur des activités
dévolues aux élèves en rebondissant sur leurs dévolues aux élèves en rebondissant sur leurs
réactions
réactions
Exemple du théorème fondamental Exemple du théorème fondamental
du calcul intégral du calcul intégral
Théorème qui permet de remplacer, dans Théorème qui permet de remplacer, dans plusieurs cas, une technique fastidieuse de plusieurs cas, une technique fastidieuse de
sommation d’aires de rectangles et de passage sommation d’aires de rectangles et de passage à la limite par une technique plus conviviale de à la limite par une technique plus conviviale de
primitivation primitivation
Réalise une économie d’action au prix d’un Réalise une économie d’action au prix d’un discours technologique qui valide la nouvelle discours technologique qui valide la nouvelle
technique et la rend intelligible. Mais quelle technique et la rend intelligible. Mais quelle
serait la teneur de ce discours, hormis la serait la teneur de ce discours, hormis la
démonstration classique que peu d’élèves démonstration classique que peu d’élèves
semblent avoir compris ?
semblent avoir compris ?
Exemple du théorème fondamental Exemple du théorème fondamental
du calcul intégral du calcul intégral
Exemple d’évitement de ce discours par ostention:
Exemple d’évitement de ce discours par ostention:
Exemple du théorème fondamental Exemple du théorème fondamental
du calcul intégral du calcul intégral
La technique basée sur la somme d’aires de La technique basée sur la somme d’aires de rectangles est naturelle car basée sur l’idée de rectangles est naturelle car basée sur l’idée de remplissage d’une aire curviligne par des aires remplissage d’une aire curviligne par des aires rectilignes de plus en plus petites; la technique rectilignes de plus en plus petites; la technique basée sur la primitivation suppose un important basée sur la primitivation suppose un important
« pas de côté »
« pas de côté »
Emergence lente de l’idée de réciprocité entre le Emergence lente de l’idée de réciprocité entre le processus d’intégration et le processus de
processus d’intégration et le processus de dérivation
dérivation
L’imagerie cinématique de Newton L’imagerie cinématique de Newton
En amont de la démonstration, il est donc En amont de la démonstration, il est donc
nécessaire d’avoir un discours qui rend l’idée nécessaire d’avoir un discours qui rend l’idée
accessible. Newton nous donne un exemple accessible. Newton nous donne un exemple
d’un tel discours : c’est l’idée de balayage qui d’un tel discours : c’est l’idée de balayage qui
conduit au théorème fondamental conduit au théorème fondamental
Les variables « fluentes » et les fluxions : une Les variables « fluentes » et les fluxions : une manière de penser « variation » (ou fonction) là manière de penser « variation » (ou fonction) là
où ce n’est pas spontané a priori où ce n’est pas spontané a priori
L’élimination du temps L’élimination du temps
L’imagerie cinématique de Newton L’imagerie cinématique de Newton
« Je vais considérer dans cet ouvrage les grandeurs « Je vais considérer dans cet ouvrage les grandeurs mathématiques non pas comme étant formées de mathématiques non pas comme étant formées departies constantes même infiniment petites mais comme parties constantes même infiniment petites mais comme étant engendrées par un mouvement continu. Les lignes étant engendrées par un mouvement continu. Les lignes
seront décrites et par là générées non par addition de seront décrites et par là générées non par addition de parties mais par un mouvement continu de points, les parties mais par un mouvement continu de points, les
surfaces par un mouvement de lignes, les solides par un surfaces par un mouvement de lignes, les solides par un
mouvement de surfaces, … » mouvement de surfaces, … »
« Je ne considérerai pas le temps en lui-même « Je ne considérerai pas le temps en lui-mêmeformellement, mais parmi les quantités envisagées et qui formellement, mais parmi les quantités envisagées et qui sont de la même sorte, je supposerai que l’une croît d’un sont de la même sorte, je supposerai que l’une croît d’un
mouvement uniforme : toutes les autres pourront être mouvement uniforme : toutes les autres pourront être
repérées à celle-là comme si elle était le temps » repérées à celle-là comme si elle était le temps »
Exemple du théorème fondamental Exemple du théorème fondamental
du calcul intégral du calcul intégral
A partir de là, on peut imaginer une activité de A partir de là, on peut imaginer une activité de
lecture ou un discours magistral qui « crée lecture ou un discours magistral qui « crée l’événement » ou, pourquoi pas, un milieu l’événement » ou, pourquoi pas, un milieu
adidactique qui permette d’espérer, de la part adidactique qui permette d’espérer, de la part
des élèves, un quelconque cheminement des élèves, un quelconque cheminement
personnel vers ce théorème
personnel vers ce théorème
Et le discours des élèves ? Et le discours des élèves ?
A l’ère des compétences, évaluer les élèves sur A l’ère des compétences, évaluer les élèves sur la restitution de connaissances n’est guère
la restitution de connaissances n’est guère pédagogiquement correct.
pédagogiquement correct.
Et pourtant, la maîtrise des Et pourtant, la maîtrise des ‘connaissances ‘connaissances conditionnelles’
conditionnelles’ au sens de Tardif semble au sens de Tardif semble
favoriser le transfert des savoirs et procédures à favoriser le transfert des savoirs et procédures à
des situations nouvelles des situations nouvelles
Or, contrat didactique oblige, laisser une place à Or, contrat didactique oblige, laisser une place à ce créneau dans l’évaluation des élèves pourrait ce créneau dans l’évaluation des élèves pourrait
peut-être les inciter à étudier…
peut-être les inciter à étudier…
Une grille d’évaluation des compétences Une grille d’évaluation des compétences
Une grille conçue au Sedess de Liège (Gérard, Une grille conçue au Sedess de Liège (Gérard,
Schneider, Varlet) : Schneider, Varlet) :
ConnaîtreConnaître (au sens du discours technologique et des (au sens du discours technologique et des connaissances conditionnelles)
connaissances conditionnelles)
Appliquer des procéduresAppliquer des procédures
Résoudre des problèmesRésoudre des problèmes (non pas résoudre (non pas résoudre
n’importe quel problème, ce qui relève d’une illusion n’importe quel problème, ce qui relève d’une illusion
méthodologique, mais savoir identifier à quelle classe méthodologique, mais savoir identifier à quelle classe de problèmes appartient un nouvel énoncé : suppose de problèmes appartient un nouvel énoncé : suppose
d’avoir identifié et brassé préalablement plusieurs d’avoir identifié et brassé préalablement plusieurs
classes) classes)
Une grille d’évaluation des compétences Une grille d’évaluation des compétences
Grille adoptée par le Secteur « Mathématique » Grille adoptée par le Secteur « Mathématique » de la FESeC hormis que « connaître » a été
de la FESeC hormis que « connaître » a été remplacé par « Expliciter les savoirs et
remplacé par « Expliciter les savoirs et procédures »
procédures »
Mais qu’est devenu le discours technologique ? Mais qu’est devenu le discours technologique ? Demande-t-on aux élèves de rendre des
Demande-t-on aux élèves de rendre des
comptes sur ce qui justifie les procédures et les comptes sur ce qui justifie les procédures et les
rend intelligibles ? rend intelligibles ?
NON, ces questions restent politiquement NON, ces questions restent politiquement incorrectes
incorrectes
Une grille d’évaluation des compétences Une grille d’évaluation des compétences
Exemples de telles questions où l’on demande Exemples de telles questions où l’on demande aux élèves d’expliquer le pourquoi des choses : aux élèves d’expliquer le pourquoi des choses :
Dans son livre d’analyse, Swokowski écrit : Dans son livre d’analyse, Swokowski écrit :
« n’oubliez jamais ces neuf mots : limite de sommes,
« n’oubliez jamais ces neuf mots : limite de sommes, limite de sommes, limite de sommes ». Illustrer ce limite de sommes, limite de sommes ». Illustrer ce
propos dans trois contextes différents propos dans trois contextes différents
Décriver et justifier les méthodes permettant de Décriver et justifier les méthodes permettant de
déterminer des aires délimitées par des courbes en déterminer des aires délimitées par des courbes en
précisant s’il s’agit d’un calcul exact ou approximatif.
précisant s’il s’agit d’un calcul exact ou approximatif.
Illustrer les conditions d’application de ces méthodes Illustrer les conditions d’application de ces méthodes
Quels types de situations modélise-t-on par la loi Quels types de situations modélise-t-on par la loi binomiale ?
binomiale ?
Une grille d’évaluation des compétences Une grille d’évaluation des compétences
Quelles sont les différentes techniques permettant de Quelles sont les différentes techniques permettant de calculer une distance inaccessible? Illustrer chacune calculer une distance inaccessible? Illustrer chacuned’elles d’elles
Pour quelles raisons les nombres trigonométriques, Pour quelles raisons les nombres trigonométriques, d’abord définis comme rapports de longueurs,d’abord définis comme rapports de longueurs, deviennent-ils négatifs ?
deviennent-ils négatifs ?
Quels sont les problèmes de mouvements que ne Quels sont les problèmes de mouvements que nepermet pas de traiter la définition d’une vitesse comme permet pas de traiter la définition d’une vitesse comme
rapport de l’espace parcouru au temps ? rapport de l’espace parcouru au temps ?
Une grille d’évaluation des compétences Une grille d’évaluation des compétences
Pourquoi définit-on aPourquoi définit-on a-2-2 comme 1/a comme 1/a22 et non pas, par et non pas, par exemple, comme - aexemple, comme - a22 ? ?
Pour quelles raisons transforme-t-on Pour quelles raisons transforme-t-on a (b + c)a (b + c) en en ab + acab + ac ? ?
Des suites de dessins peuvent être modélisées par des Des suites de dessins peuvent être modélisées par des formules algébriques. Illustrer les types de formulesformules algébriques. Illustrer les types de formules
rencontrées dans le cours et décrire ce qui permet de les rencontrées dans le cours et décrire ce qui permet de les
identifier (voir Krysinska et Schneider) identifier (voir Krysinska et Schneider)
Une grille d’évaluation des compétences Une grille d’évaluation des compétences
Ces questions renvoient à ce qui est dans le Ces questions renvoient à ce qui est dans le cours : on n’évalue donc aucune production cours : on n’évalue donc aucune production
personnelle de la part des élèves personnelle de la part des élèves
Mais elles constituent un indice pertinent de leur Mais elles constituent un indice pertinent de leur compréhension et un signe institutionnel qui leur compréhension et un signe institutionnel qui leur
indique une façon d’étudier indique une façon d’étudier
Cela renvoie au rôle des évaluations et leur Cela renvoie au rôle des évaluations et leur
impact sur les apprentissages : à qui doit profiter impact sur les apprentissages : à qui doit profiter
l’évaluation ?
l’évaluation ?
« Si les mathématiques m’étaient contées »
« Si les mathématiques m’étaient contées » En conclusion : au-delà du foisonnement des En conclusion : au-delà du foisonnement des
exemples et applications dans les manuels, exemples et applications dans les manuels,
retrouver un discours retrouver un discours
qui rend visibles les projets humains passés et encore qui rend visibles les projets humains passés et encore actuels pour la réalisation desquels les savoirs
actuels pour la réalisation desquels les savoirs
mathématiques autorisent une économie de pensée mathématiques autorisent une économie de pensée
et d’action et d’action
qui situe toute activité, tout exercice dans un tel récit qui situe toute activité, tout exercice dans un tel récit
