UTBM MT-AAC1 le 7 Octobre 2020 Arthur Lannuzel
AAC1 : Travail à rendre le 23 octobre 2020
Il sera tenu compte dans la correction de la présentation et de la rédaction correcte des démonstrations.
Exercice 1
Soit l’application
f : R2 −→ R
V =
x
y
7→ f(V) =x+ 2y 1) Cette application est-elle injective ? surjective ?
2) Quelle est l’ensemble E0 des antécédents de 0 par f? 3) Soit la relation R sur R2 définie par :
V1RV2 ⇐⇒V1−V2 ∈E0. Montrer que R est une relation d’équivalence.
4) Quelle est la classe d’équivalence de (1,1)∈R2 pour R?
Exercice 2
Résoudre dans R2 :
|x−y| − |x+y|= 2.
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Exercice 3
Soit la suite définie par récurrence (a ∈R+ fixé) :
u0 ∈ R∗+
un+1 = 12(un+ua
n) On se propose de montrer que un tend vers √
a.
1) vérifier que ∀n ∈N, un≥0.
2) Montrer queu2n+1−a= (u4.u2n−a)2 2 n . 3) Montrer que pour n≥1, un ≥√
a.
4) Montrer que(un)n est décroissante. En déduire que (un)n est convergente.
5) Montrer que la limite de (un)n est √ a.
6) En utilisant la relation u2n+1−a= (un+1−√
a).(un+1+√
a), Montrer que un+1−√
a ≤ 1 2.√
a(un−√ a)2.
7) Si u0−√
a ≤1, déduire de 6) une majoration de la différence un−√
a (n ≥1) en fonction de n et √
a.
8) Prenons u0 = 3 et a= 10. Grâce à l’encadrement3≤√
a≤4, montrer queu4 nous donne √
10 avec une précision d’au moins 6 chiffres ?
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