Trois tournées spatiales
A l'occasion de ces trois tournées, on se place toujours dans l'espace à trois dimensions :
1ère tournée : soient quatre points A,B,C et D non coplanaires. Les quatre côtés AB, BC, CD et DA du quadrangle ABCDA touchent une sphère en quatre points P, Q, R et S. Démontrer que ces quatre points sont coplanaires.
2ème tournée : on considère toujours les quatre points A, B, C et D non coplanaires. Combien de parallélépipèdes ont pour sommets ces quatre points ?
3ème tournée : on considère n - 1 points P1, , Pn-1 qui ont tous pour point le plus proche un nième point Pn. Quelle est la valeur maximale de l'entier n ?
Solution 2ème tournée
Quatre cas se présentent :
1- Aucun des quatre points n’est voisin d’un autre.
Une solution unique, après avoir obtenu le centre du parallélépipède comme barycentre des quatre
sommets.
2- Les quatre points forment une manivelle.
Douze solutions, selon l’ordre, modulo un retournement, des quatre sommets.
3- Trois points forment un angle ; le quatrième est opposé au sommet de l’angle.
Douze solutions, selon le choix des points cités.
4- Un des quatre points est voisin des trois autres.
Quatre solutions, selon le choix du point cité.
Au total, il y a 29 solutions.
3ème tournée
Cherchons à placer un maximum de points sur une sphère de centre Pn, tels que la distance de deux d’entre eux soit supérieure au rayon de la sphère.
Associons à tout point P de la sphère une « zone circulaire de sécurité » de telle sorte que deux points dont les zones ne se chevauchent pas sont distants de plus d’un rayon.
La surface de la zone de sécurité doit dépasser πr2(1-√3/2) soit 0,13398 πr2. Comme la sphère a pour surface 2πr2, il ne peut y avoir plus de 14 points sur la sphère dont les zones de sécurité ne se chevauchent pas ; en fait 12, si l’on prend en compte les espaces libres entre les zones.
Les douze sommets d’un icosaèdre sont régulièrement répartis sur une sphère.
Ils forment 20 triangles équilatéraux de coté : 2/rac(phi*rac(5)) fois le rayon de la sphère, où phi est le nombre d’or. Ce rapport vaut 1,051 …
Autrement dit cette solution n’est pas unique ; il reste du mou pour des solutions moins régulières.
