G254 – Parties de bras de fer [*** à la main]
Neuf villages organisent un tournoi de parties de bras de fer. Chaque village V ( i = 1,2,...,9) i a une équipe de neuf lutteurs et rencontre les huit autres villages. Lors d’une rencontre entre deux villages, chaque lutteur d’un village rencontre les neuf lutteurs du village adverse. Les 81 lutteurs sont tous de force inégale de sorte que la partie de bras de fer entre deux d’entre eux se termine toujours par la victoire du plus fort. A l’issue d’une rencontre entre deux villages,le village qui enregistre le plus grand nombre de victoires marque un point et le perdant ne marque rien.
Montrer qu’a l’issue du tournoi dans le classement des villages on peut avoir à la fois : 1) le paradoxe de Condorcet avec V₁ vainqueur de V₂, lui-même de vainqueur de V₃
et ainsi de suite ... V vainqueur de i Vi1...jusqu’à V₉ vainqueur de V₁, 2) un unique vainqueur, une unique lanterne rouge et seulement trois ex-aequo,
3) le plus fort de tous les lutteurs venant du village lanterne rouge et le plus faible venant du village qui a gagné le tournoi.
Solution proposée par Bernard Vignes
Oui c’est possible avec le tableau ci-après des forces respectives des 81 lutteurs, le lutteur le plus fort ayant le coefficient 81 et le plus faible le coefficient 1:
Le tableau croisé des résultats obtenus à l’issue de chaque rencontre entre deux villages est le suivant :
Lorsque deux villages se rencontrent, il y a 9*9 = 81 parties de bras de fer et la somme des scores obtenus par les deux villages est égale à 81.
Sur chaque ligne, on a les scores obtenus par le village Vi contre les villages Vj pour j
=1,2,..,9 ≠ i. Les cases bleues permettent de repérer les victoires obtenues par chaque village.
D’où le tableau des nombres de victoires acquises par les neuf villages:
D’où le classement final selon le nombre de victoires obtenues.
1) V₂ avec 7 victoires 2) V₃ avec 6 victoires 3) V₄ avec 6 victoires
4) ex aequo V₅,V₆ et V₉ avec 4 victoires 7) V₇ avec 3 victoires
8) V₈ avec 2 victoires
9) V₁ avec une seule victoire
On vérifie aisément que les trois conditions de l’énoncé sont bien satisfaites.
